Kuinka löytää hypotenuusan pituus suorakulmaisessa kolmiossa. Kuinka löytää jalat, jos hypotenuusa tunnetaan

Käännetty kielestä kreikkalainen, hypotenuusa tarkoittaa "venytettyä". Oikean käsityksen saamiseksi kuvittele jousinauha, joka yhdistää joustavan tikun kaksi päätä. Täällä myös suorakulmainen kolmio, pisin sivu, on hypotenuusa, joka on oikeaa kulmaa vastapäätä. Se toimii liittimenä kahdelle muulle sivulle, jota kutsutaan jaloiksi. Saadaksesi selville, kuinka pitkä tämä "merkkijono" on, sinulla on oltava jalkojen pituudet tai kahden terävän kulman arvo. Näiden tietojen yhdistäminen voidaan laskea kaavoilla haluttu arvo.

Kuinka löytää hypotenuusa jaloista

Helpoin tapa laskea, jos tiedät kahden jalan arvon (merkitsimme yhtä A, toista B). Pythagoras itse tulee apuun ja hänen maailmansa kuuluisa lause. Hän kertoo, että jos jalkojen pituus neliötetään ja lasketut arvot lasketaan yhteen, saadaan tuloksena hypotenuusan pituus neliöitynä. Yllä olevasta päättelemme: hypotenuusan arvon löytämiseksi on tarpeen erottaa jalkojen neliöiden kokonaissumman neliöjuuri C \u003d √ (A² + B²). Esimerkki: jalka A \u003d 10 cm, jalka B \u003d 20 cm. Hypotenuusa on 22,36 cm. Laskelma on seuraava: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √200 √203.

Kuinka löytää hypotenuusa kulman kautta

Hypotenuusan pituuden laskeminen tietyn kulman kautta on hieman vaikeampaa. Jos tiedät toisen haaran koon (merkitsimme A) ja sitä vastapäätä olevan kulman koon (merkitsimme α), niin hypotenuusan koko löydetään trigonometrian avulla ja erityisesti sini. Sinun tarvitsee vain jakaa tunnetun haaran arvo kulman sinillä. C=A/sin(a). Esimerkki: jalan pituus on A = 30 cm, kulma sitä vastapäätä on 45 °, hypotenuusa on 42,25 cm Laskelma on seuraava: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Toinen tapa on löytää hypotenuusan koko kosinin avulla. Sitä käytetään, jos tiedät jalan koon (merkitsimme B) ja sen vieressä olevan terävän kulman (merkitsimme α). Sinun tarvitsee vain jakaa jalan arvo kulman sinillä. С=В/cos(α). Esimerkki: jalan pituus on B = 30 cm, kulma sitä vastapäätä on 45 °, hypotenuusa on 42,25 cm Laskelma on seuraava: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Kuinka löytää tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa

Jokainen itseään kunnioittava oppilas tietää, että kolmio on tasakylkinen, edellyttäen, että kaksi kolmesta sivusta ovat yhtä suuret. Näitä sivuja kutsutaan lateraaliseksi, ja jäljelle jäänyt on pohja. Jos yksi kulmista on 90 °, sinulla on tasakylkinen suorakulmainen kolmio.

Hypotenuusan löytäminen tällaisesta kolmiosta on yksinkertaista, koska sillä on useita ominaisuuksia, jotka auttavat. Alustan vieressä olevat kulmat ovat samanarvoisia, kulmien yhteissumma on 180°. Tämä tarkoittaa, että oikea kulma on pohjaa vastapäätä, mikä tarkoittaa, että pohja on hypotenuusa, jalat ovat sivut.

Ohje

Liittyvät videot

Huomautus

Kun lasketaan suorakulmaisen kolmion sivuja, sen ominaisuuksien tuntemus voi pelata:
1) Jos suoran kulman haara on 30 asteen kulmaa vastapäätä, se on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta;
2) hypotenuusa on aina pidempi kuin mikään jalka;
3) Jos ympyrä on rajattu suorakulmaisen kolmion ympärille, sen keskipisteen on oltava hypotenuusan keskellä.

Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion sivu, joka on vastapäätä 90 asteen kulmaa. Sen pituuden laskemiseksi riittää, että tietää yhden jalan pituus ja yhden kolmion terävän kulman arvo.

Ohje

Kerro meille yksi jaloista ja sen vieressä oleva kulma. Varmuuden vuoksi olkoon se jalka |AB| ja kulma α. Sitten voimme käyttää kaavaa viereisen haaran trigonometriselle kosini - kosinisuhteelle. Nuo. merkinnässämme cos α = |AB| / |AC|. Tästä saamme hypotenuusan pituuden |AC| = |AB| / cosα.
Jos tunnemme jalan |BC| ja kulma α, niin käytämme kaavaa kulman sinin laskemiseen - kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan: sin α = |BC| / |AC|. Saamme, että hypotenuusan pituus on |AC| = |BC| / cosα.

Selvyyden vuoksi harkitse esimerkkiä. Olkoon jalan pituus |AB| = 15. Ja kulma α = 60°. Saamme |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mieti, kuinka voit tarkistaa tuloksesi Pythagoraan lauseen avulla. Tätä varten meidän on laskettava toisen jalan pituus |BC|. Käyttämällä kaavaa kulman tangentille tg α = |BC| / |AC|, saamme |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Seuraavaksi sovellamme Pythagoraan lausetta, saamme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Varmistus on tehty.

Hyödyllinen neuvo

Kun olet laskenut hypotenuusan, tarkista, täyttääkö saatu arvo Pythagoraan lauseen.

Lähteet:

Jalat Nimeä suorakulmaisen kolmion kaksi lyhyttä sivua, jotka muodostavat sen kärjen, joiden arvo on 90 °. Tällaisen kolmion kolmatta sivua kutsutaan hypotenuusaksi. Kaikki nämä kolmion sivut ja kulmat liittyvät toisiinsa tietyillä suhteilla, joiden avulla voit laskea jalan pituuden, jos tunnetaan useita muita parametreja.

Ohje

Käytä Pythagoraan lausetta haaralle (A), jos tiedät suoran kolmion kahden muun sivun (B ja C) pituuden. Tämä lause sanoo, että jalkojen pituuksien neliösumma on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Tästä seuraa, että kunkin jalan pituus on yhtä suuri neliöjuuri hypotenuusan ja toisen haaran pituuksista: A=√(C²-B²).

Käytä suoran trigonometrisen funktion "sini" määritelmää terävälle kulmille, jos tiedät laskettua haaraa vastapäätä olevan kulman arvon (α) ja hypotenuusan pituuden (C). Tämä kertoo, että tämän tunnetun sini on halutun jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Tämä tarkoittaa, että halutun haaran pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja tunnetun kulman sinin tulo: A=C∗sin(α). Samoille tunnetuille arvoille voidaan käyttää kosekanttia ja laskea haluttu pituus jakamalla hypotenuusan pituus tunnetun kulman A=C/cosec(α) kosekantilla.

Käytä suoran trigonometrisen kosinifunktion määritelmää, jos hypotenuusan (C) pituuden lisäksi tiedetään myös vaaditun viereisen terävän kulman (β) arvo. Tämän kulman kosini on halutun jalan ja hypotenuusan pituuksien suhde, ja tästä voidaan päätellä, että jalan pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja tunnetun kulman kosinin tulo: A=C∗cos(β). Voit käyttää sekanttifunktion määritelmää ja laskea halutun arvon jakamalla hypotenuusan pituuden tunnetun kulman A=C/s(β) sekantilla.

Tuo esille haluttu kaava samanlaisesta trigonometrisen funktiotangentin derivaatan määritelmästä, jos haluttua haaraa (A) vastapäätä olevan terävän kulman (α) arvon lisäksi tunnetaan toisen haaran (B) pituus. Haluttua haaraa vastapäätä olevan kulman tangentti on tämän haaran pituuden suhde toisen haaran pituuteen. Tämä tarkoittaa, että haluttu arvo on yhtä suuri kuin tunnetun haaran pituuden ja tunnetun kulman tangentin tulo: A=B∗tg(α). Näistä samoista tunnetuista suureista voidaan johtaa toinen kaava käyttämällä kotangenttifunktion määritelmää. Tässä tapauksessa haaran pituuden laskemiseksi on tarpeen löytää tunnetun haaran pituuden suhde tunnetun kulman kotangenttiin: A=B/ctg(α).

Liittyvät videot

Sana "katet" tuli venäjäksi kreikasta. SISÄÄN tarkka käännös se tarkoittaa luotia, eli kohtisuoraa maan pintaan nähden. Matematiikassa jalkoja kutsutaan sivuiksi, jotka muodostavat suoran kolmion suoran kulman. Tätä kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Termiä "jalka" käytetään myös arkkitehtuurissa ja hitsaustekniikassa.

Piirrä suorakulmainen kolmio ACB. Merkitse sen jalat a ja b ja merkitse sen hypotenuusa c. Suorakulmaisen kolmion kaikki sivut ja kulmat on määritelty toisiinsa. Terävän kulman vastapäätä olevan jalan suhdetta hypotenuusaan kutsutaan tämän kulman siniksi. Tässä kolmiossa sinCAB=a/c. Kosini on suhde viereisen haaran hypotenuusaan, eli cosCAB=b/c. Käänteisiä suhteita kutsutaan sekantiksi ja kosekantiksi.

Tämän kulman sekantti saadaan jakamalla hypotenuusa viereisellä haaralla, eli secCAB=c/b. Osoittautuu kosinin käänteisluku, eli se voidaan ilmaista kaavalla secCAB=1/cosSAB.
Kosekantti on yhtä suuri kuin hypotenuusan jakaminen vastakkaisella jalalla ja on sinin käänteisluku. Se voidaan laskea kaavalla cosecCAB=1/sinCAB

Molemmat jalat ovat yhteydessä toisiinsa ja kotangentti. Tässä tapauksessa tangentti on sivun a suhde sivuun b, toisin sanoen viereiseen vastakkaiseen jalkaan. Tämä suhde voidaan ilmaista kaavalla tgCAB=a/b. Vastaavasti käänteissuhde on kotangentti: ctgCAB=b/a.

Hypotenuusan ja molempien jalkojen koon välisen suhteen määritti muinainen kreikkalainen Pythagoras. Lauseen, hänen nimensä, ihmiset käyttävät edelleen. Se sanoo, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin summa jalkojen neliöt, eli c2=a2+b2. Vastaavasti jokainen haara on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja toisen jalan neliöiden välisen eron neliöjuuri. Tämä kaava voidaan kirjoittaa muodossa b=√(c2-a2).

Jalan pituus voidaan ilmaista myös tuntemillasi suhteilla. Sinien ja kosinien lauseiden mukaan jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja yhden näistä funktioista tulo. Voit ilmaista sen ja tai kotangentti. Jalka a löytyy esimerkiksi kaavasta a \u003d b * tan CAB. Täsmälleen samalla tavalla, riippuen annetusta tangentista tai , toinen jalka määritetään.

Arkkitehtuurissa käytetään myös termiä "jalka". Se asetetaan ionipäähän ja luoti sen selän keskeltä. Eli tässä tapauksessa tällä termillä kohtisuora annettuun viivaan nähden.

Hitsaustekniikassa on "pienahitsien jalka". Kuten muissakin tapauksissa, tämä on lyhin etäisyys. Tässä me puhumme noin yhden hitsattavan osan välisestä rakosta toisen osan pinnalla olevan sauman reunaan.

Liittyvät videot

Lähteet:

  • mikä on jalka ja hypotenuusa vuonna 2019

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on kolme vaihtoehtoa. Ensimmäinen on, jos tehtävän ehdoissa on annettu, että jalat ovat yhtä suuret (itse asiassa meillä on suorakulmainen tasakylkinen kolmio). Toinen - jos annetaan jokin muu kulma (paitsi 45% kulma, niin meillä on sama tasakylkinen kolmio ja palataan ensimmäiseen vaihtoehtoon). Ja kolmas - kun yksi jaloista tunnetaan. Harkitse näitä vaihtoehtoja tarkemmin.

Kuinka löytää yhtäläiset jalat tunnetulla hypotenuusalla

  • ensimmäinen jalka (merkitkäämme sitä kirjaimella "a") on yhtä suuri kuin toinen jalka ((merkittään kirjaimella "b"): a=b;
  • jalkojen koko;

Tässä versiossa tehtävän ratkaisu perustuu Pythagoraan lauseen käyttöön. Sitä sovelletaan suorakulmioihin ja sen perusversio kuulostaa tältä: "Hpotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa." Koska jalkamme ovat yhtä suuret, voimme merkitä molemmille jaloille samalla merkillä: a=b, mikä tarkoittaa - a=a.

  1. Korvaa meidän yleissopimuksia lauseeseen (ottaen huomioon edellä):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Seuraavaksi yksinkertaistamme kaavaa niin paljon kuin mahdollista:
    с^2=2*(a^2) - ryhmä,
    c \u003d √ 2 * a - tuomme molemmat yhtälön osat neliöjuureen,
    a=c/√2 - ota haluttu pois.
  3. Korvaava annettu arvo hypotenuusa ja saamme ratkaisun:
    a=x/√2

Kuinka löytää jalat tunnetulla hypotenuusalla ja kulmalla

  • hypotenuusa (merkitty kirjaimella "c") on yhtä suuri kuin x cm: c=x;
  • kulma β yhtä suuri kuin q: β=q;
  • jalkojen koko;

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen käyttää trigonometrisiä funktioita. Kaksi suosituinta niistä ovat:

  • sinifunktio - halutun kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan;
  • kosinifunktio - halutun kulman kosini on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan;

Voit käyttää mitä tahansa. Annan esimerkin käyttämällä ensimmäistä. Merkitään jalkoja symboleilla "a" (kulman vieressä) ja "b" (kulmaa vastapäätä). Näin ollen kulmamme on jalan "a" ja hypotenuusan välillä.

  1. Korvaamme valitut symbolit kaavassa:
    sinβ = b/c
  2. Johdamme katetin:
    b=c*sinβ
  3. Korvaamme tietomme ja meillä on yksi jalka.
    b=c*sinq

Toinen jalka löytyy käyttämällä toista trigonometrinen funktio tai siirry kolmanteen vaihtoehtoon.

Kuinka löytää toinen jalka, jos hypotenuusa ja toinen jalka tunnetaan

  • hypotenuusa (merkitty kirjaimella "c") on yhtä suuri kuin x cm: c=x;
  • jalka (merkitkäämme sitä kirjaimella "b") on yhtä suuri kuin y cm: b=y;
  • toisen jalan koko (merkitkäämme sitä kirjaimella "a");

Tässä muunnelmassa ongelman ratkaisu, kuten ensimmäisessä, on Pythagoraan lauseen käyttö.

  1. Korvaamalla konventiomme lauseeseen:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Otamme pois tarvittavan jalan:
    a^2=c^2-b^2
  3. Tuomme yhtälön molemmat puolet neliöjuureen:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Korvaamme nämä arvot ja meillä on ratkaisu:
    a=√(x^2-y^2)

"Ja he kertovat meille, että jalka on lyhyempi kuin hypotenuusa..." Nämä rivit kuuluisan laulun "The Adventures of Electronics" -elokuvassa ovat todellakin oikeita Eukleideen geometrian kannalta. Loppujen lopuksi jalat ovat kaksi puolta, jotka muodostavat kulman, jonka astemitta on 90 astetta. Ja hypotenuusa on pisin "venynyt" puoli, joka yhdistää kaksi jalkaa kohtisuorassa toisiinsa nähden ja sijaitsee vastapäätä oikea kulma. Siksi on mahdollista löytää hypotenuusa jalkoja pitkin vain suorakulmaisesta kolmiosta, ja jos jalka olisi pidempi kuin hypotenuusa, tällaista kolmiota ei olisi olemassa.

Kuinka löytää hypotenuusa Pythagoraan lauseen avulla, jos molemmat jalat tunnetaan

Lause sanoo, että hypotenuusan neliö ei ole muuta kuin jalkojen neliöiden summa: x^2+y^2=z^2, missä:

  • x - ensimmäinen jalka;
  • y - toinen jalka;
  • z on hypotenuusa.

Mutta sinun on vain löydettävä hypotenuusa, ei sen neliö. Tee tämä purkamalla juuri.

Algoritmi hypotenuusan löytämiseksi kahdella kuuluisat jalat:

  • Määritä itsellesi, missä jalat ovat ja missä hypotenuusa.
  • Ensimmäinen jalka neliö.
  • Toinen jalka neliö.
  • Laske yhteen saadut arvot.
  • Ota vaiheessa 4 saadun luvun juuri.

Kuinka löytää hypotenuusa sinin kautta, jos jalka ja sitä vasten oleva terävä kulma tunnetaan

Tunnetun jalan suhde sitä vastapäätä olevaan terävään kulmaan on yhtä suuri kuin hypotenuusan arvo: a/sin A = c. Tämä on seurausta sinin määritelmästä:

Vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan: sin A \u003d a / c, missä:

  • a - ensimmäinen jalka;
  • A on jalkaa vastapäätä oleva terävä kulma;
  • c on hypotenuusa.

Algoritmi hypotenuusan löytämiseksi sinilauseen avulla:

  • Määritä itsellesi tunnettu jalka ja sitä vastakkainen kulma.
  • Jaa jalka vastakkaiseen kulmaan.
  • Ota hypotenuusa.

Kuinka löytää hypotenuusa kosinin kautta, jos jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma tunnetaan

Tunnetun jalan suhde terävään sisäkulmaan on yhtä suuri kuin hypotenuusan arvo a/cos B = c. Tämä on seurausta kosinin määritelmästä: viereisen jalan suhde hypotenuusaan: cos B \u003d a / s, jossa:

  • a - toinen jalka;
  • B on toisen haaran vieressä oleva terävä kulma;
  • c on hypotenuusa.

Algoritmi hypotenuusan löytämiseksi kosinilauseen avulla:

  • Määritä itsellesi tunnettu jalka ja sen vieressä oleva kulma.
  • Jaa jalka viereiseen kulmaan.
  • Ota hypotenuusa.

Kuinka löytää hypotenuusa käyttämällä "Egyptin kolmiota"

"Egyptin kolmio" on kolmio numeroita, joiden tiedostamalla voit säästää aikaa hypotenuusan tai jopa toisen tuntemattoman jalan löytämiseen. Kolmiolla on tällainen nimi, koska Egyptissä jotkut numerot symboloivat jumalia ja olivat perusta pyramidien ja muiden erilaisten rakenteiden rakentamiselle.

  • Ensimmäinen numerokolmio: 3-4-5. Jalat ovat tässä yhtä suuret kuin 3 ja 4. Tällöin hypotenuusa on välttämättä yhtä suuri kuin 5. Tarkista: (9 + 16 = 25).
  • Toinen numerokolmio: 5-12-13. Tässäkin jalat ovat 5 ja 12. Siksi hypotenuusa on 13. Tarkista: (25+144=169).

Tällaiset luvut auttavat, vaikka ne jaetaan tai kerrotaan jollakin yksittäisellä numerolla. Jos jalat ovat 3 ja 4, hypotenuusa on 5. Jos kerrot nämä luvut kahdella, hypotenuusa kerrotaan kahdella. Esimerkiksi lukujen kolmoisosa 6-8-10 sopii myös Pythagoraan lauseeseen etkä voi laskea hypotenuusaa, jos muistat nämä numerokolmot.



Siten hypotenuusan löytämiseen on neljä tapaa tunnettujen jalkojen avulla. eniten paras vaihtoehto on Pythagoraan lause, mutta ei myöskään haittaisi muistaa "Egyptin kolmion" muodostavat numerokolmot, koska voit säästää paljon aikaa, jos törmäät sellaisiin arvoihin.