ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ? ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ

ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12, –6, 0) ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.5; –3.8921), ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.11(23); –3 ,(87) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ))

ಆದಾಗ್ಯೂ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳುರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳುಅಸಾಧ್ಯ. ಅವರು ಏನು ಅಂತ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು(ಅಂದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ). ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ π ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು 3.14 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರ ನಂತರ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸರಣಿಯಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, π ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೂ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. π ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇತರರಿಂದ - ಅಭಾಗಲಬ್ಧ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, √4 = 2, ಅಂದರೆ 4 ರ ಮೂಲ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ √2, √5, √7 ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಾಗವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಏಕೆ ಹೇಳಲು ಅಸಾಧ್ಯ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ.

ಆದ್ದರಿಂದ √5 ಎಂಬುದು 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ √4 = 2, ಮತ್ತು √9 = 3. ನಾವು √5 3 ಕ್ಕಿಂತ 2 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ √4 √5 ಗಿಂತ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ √9 ರಿಂದ √5. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, √5 ≈ 2.23 ಅಥವಾ √5 ≈ 2.24.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಇತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ನಾವು ಯಾವುದೇ ಘಟಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗವಹಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಎಂದು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಹೇಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಎರಡು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು √2 * √2 ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನೀವು 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ - ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, √2 * √3 = √6 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

√17 – 4 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಏಕೆ? ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ √17 = x + 4. ಆದರೆ x + 4 ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು x ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x + 4 ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ √17 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, √17 - 4 ತರ್ಕಬದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಪವಾದವಿದೆ. ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 0 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಘಟಕದ ಉದ್ದದ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದರು: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಅಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಅವರು ತಿಳಿದಿದ್ದರು, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದರೆ:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

2 ರ ಮೂಲ

ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಭಾವಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ:

ಇದು ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ತಿ ಇರುವಲ್ಲಿಯೇ ಇರಲಿ. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮ ಎಂದರೆ ಸಮ ಮತ್ತು . ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಸಂಯಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮೂಲ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಬೈನರಿ ಲಾಗರಿಥಮ್

ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ರಿಂದ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ

ಆದರೆ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ. ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇ

ಕಥೆ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 7 ನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು, ಮಾನವ (c. 750 BC - c. 690 BC) ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು 2 ಮತ್ತು 61 ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು. .

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೆಟಾಪಾಂಟಸ್‌ನ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್‌ಗೆ (c. 500 BC) ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಬ್ಬ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್‌ನವನು ಪೆಂಟಗ್ರಾಮ್‌ನ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡನು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದದ ಒಂದೇ ಘಟಕವಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿತ್ತು, ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ಉದ್ದದ ಏಕೈಕ ಘಟಕವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಾದಿಸಿದರು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹುವಿನ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬೇಕು. ಪುರಾವೆ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

• ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎ:ಬಿ, ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
• ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: ಎ² = 2 ಬಿ².
• ಏಕೆಂದರೆ ಎ- ಸಹ, ಎಸಮವಾಗಿರಬೇಕು (ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ).
• ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಎ:ಬಿತಗ್ಗಿಸಲಾಗದ ಬಿಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು.
• ಏಕೆಂದರೆ ಎಸಹ, ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ = 2ವೈ.
• ನಂತರ ಎ² = 4 ವೈ² = 2 ಬಿ².
• ಬಿ² = 2 ವೈ², ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿ- ಸಹ, ನಂತರ ಬಿಸಹ.
• ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಬಿಬೆಸ. ವಿರೋಧಾಭಾಸ.

ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆದರು ಲೋಗೋಗಳು(ಹೇಳಲಾಗದ), ಆದರೆ ದಂತಕಥೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅವರು ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಗೌರವವನ್ನು ನೀಡಲಿಲ್ಲ. ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ಒಳಗಿರುವಾಗ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮಾಡಿದನೆಂಬ ದಂತಕಥೆಯಿದೆ ಸಮುದ್ರ ಪ್ರಯಾಣ, ಮತ್ತು ಇತರ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರು "ವಿಶ್ವದ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ" ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟರು. ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ನ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸವಾಲು ಹಾಕಿತು ಗಂಭೀರ ಸಮಸ್ಯೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದವು ಎಂಬ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಹ ನೋಡಿ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಅವರನ್ನು ಏಕೆ ಹಾಗೆ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವುವು? ಸ್ವಲ್ಪ ಜನರು ಯೋಚಿಸದೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವರಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಪರೂಪದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ

ಸಾರ ಮತ್ತು ಪದನಾಮ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಹೊಸ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಹಿಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವ ಪ್ರಮಾಣವು 2 ರ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸದೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು I ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವಂತೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಅಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಇರುತ್ತದೆ

ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, 7 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರು. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ನಮ್ಮ ಯುಗದ ಮೊದಲು ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಕೆಲವು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಗಂಭೀರ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗೆ ಒಳಗಾಯಿತು, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಹೆಸರಿನ ಮೂಲ

ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಿದರೆ "ಭಾಗ", "ಅನುಪಾತ", ನಂತರ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ "ir"
ಈ ಪದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಹೆಸರು ಅವರು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವರ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಪ್ರಭೇದಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

a + b = b + a (ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ);

(a + b) + c = a + (b + c) (ಸಹಭಾಗಿತ್ವ);

a + (-a) = 0 (ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

ab = ba (ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾನೂನು);

(ab)c = a(bc) (ವಿತರಣೆ);

a(b+c) = ab + ac (ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು);

a x 1/a = 1 (ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳುಮತ್ತು ತತ್ವಗಳು:

a > b ಮತ್ತು b > c ಆಗಿದ್ದರೆ, a > c (ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ) ಮತ್ತು. ಇತ್ಯಾದಿ

ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೂ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳುಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಂ.

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ತತ್ವವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ಒಂದು ಪದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನಿಜ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣಬಾರಿ, ಮೀರಿಸಬಹುದು b.

ಬಳಕೆ

ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅವರನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಬಹುತೇಕ ಅಗೋಚರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲೂ ಇವೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆ, 3.1415926... ಅಥವಾ ಇ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, 2.718281828... ಬೀಜಗಣಿತ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅರ್ಥ"ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ", ಅಂದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದ ಸಣ್ಣ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ

ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿರುವ "ಬೆಳ್ಳಿ" ಕೂಡ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅವು ತುಂಬಾ ದಟ್ಟವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧವೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧವು ಸಂಭವಿಸುವುದು ಖಚಿತ.

ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಂತಹ ಮಾನದಂಡಗಳಿವೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವರು ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದಾರೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, e ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ

ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು C ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪದನಾಮವು ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೌಲ್ಯವು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗ ಮೂಲ 2 ರ ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು x 2 - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇ.

ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ; ಅವರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಅತಿಕ್ರಮಣವು ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ನಂತರ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು 1882 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 1894 ರಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಯಿತು, ವೃತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ 2,500 ವರ್ಷಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ನಡೆಸಿತು. ಅವನ ಮೊದಲು, ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತುಂಬಾ ಅಂದಾಜು.

ಇ (ಯೂಲರ್ ಅಥವಾ ನೇಪಿಯರ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಾಗಿ, ಅದರ ಅತಿಕ್ರಮಣದ ಪುರಾವೆ 1873 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತುಂಬಾ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಆಲೋಚನೆಯು ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಇದೆಲ್ಲ ಏಕೆ?" ಆದರೆ, ಮೊದಲ ಅನಿಸಿಕೆ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. - ಮೂಲಭೂತ ಅಗತ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಬಯಕೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಗಳ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಮತ್ತು, ಅದು ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಂದು ಈಗ ಯಾರಾದರೂ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವಿಜ್ಞಾನದ ರಾಣಿಯ ಕಾಲುಗಳು ಗುಹೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಚರ್ಮಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು ಮತ್ತು ಬುಡಕಟ್ಟು ಜನಾಂಗದವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು "ಎಣಿಸಲು ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ. ಮತ್ತು ಅದು ಅವನಿಗೆ ಸಾಕಾಗಿತ್ತು. ಕೆಲವು ಹಂತದವರೆಗೆ, ಸಹಜವಾಗಿ.

ನಂತರ ಚರ್ಮ ಮತ್ತು ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಬೇಕಾಯಿತು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳು, ಇದನ್ನು m/n ನಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m ಎಂಬುದು ಚರ್ಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n ಎಂಬುದು ಸಹವರ್ತಿ ಬುಡಕಟ್ಟು ಜನಾಂಗದವರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವು ಜೀವನವನ್ನು ಆನಂದಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಭಾಗವೂ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ ಎಂದು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ! ಮತ್ತು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಪೈ ಕೂಡ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು "ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗದ" ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯುವಷ್ಟು ಹಲವಾರು ಆಯಿತು.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದನ್ನು ವರ್ಗಗಳ (ಗ್ರೀಕ್ "ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ") ಅಥವಾ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ.

o ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನದರಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರತಿ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.

o ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಯಾವುದಾದರೂ ನಡುವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ.

o ಸೆಟ್ ಎಣಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಬೈರ್ ವರ್ಗದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

o ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ನೀವು ಯಾವುದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇನ್ನೊಂದು ಇರುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷಒಂದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್.

o ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಯಾವುದೇ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ (ಸೇರ್ಪಡೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ) ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ದಶಮಾಂಶ(ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ).

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ.
ಶೂನ್ಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ? ಇಲ್ಲ, ಶೂನ್ಯವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ.
ಎಷ್ಟು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ? ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ.
ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅತಿದೊಡ್ಡ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಅದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು:

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ a ಮತ್ತು b:

c ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೈನ್ಯುಂಡ್ ಸಬ್ಟ್ರಾಹೆಂಡ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ವೇಳೆ

ಇಲ್ಲಿ c ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರರ್ಥ a ಎಂಬುದು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, a ಎಂಬುದು ಲಾಭಾಂಶವಾಗಿದೆ, b ಎಂಬುದು ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, c ಎಂಬುದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಉದಾಹರಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2; 3; 5; 7 ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಇವು ಸರಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಒಂದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಒಂದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದ N ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ

ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿ

(a + b) + c = a + (b + c);

ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿ

(ab) c = a (bc);

ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ

A (b + c) = ab + ac;

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿರುದ್ಧಗಳು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1; -2; -3; -4;...

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದ Z ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯದ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು m/n ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ m ಪೂರ್ಣಾಂಕ, nನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 3, (6) ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ.