ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಅವು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಅವರನ್ನು ಏಕೆ ಹಾಗೆ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವುವು? ಸ್ವಲ್ಪ ಜನರು ಯೋಚಿಸದೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವರಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಪರೂಪದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ

ಸಾರ ಮತ್ತು ಪದನಾಮ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಹೊಸ ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಹಿಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವ ಪ್ರಮಾಣವು 2 ರ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸದೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು I ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವಂತೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಅಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಇರುತ್ತದೆ

ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, 7 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರು. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ. ನಮ್ಮ ಯುಗದ ಮೊದಲು ಬದುಕಿದ್ದ ಕೆಲವು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಗಂಭೀರ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗೆ ಒಳಗಾಯಿತು, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಹೆಸರಿನ ಮೂಲ

ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಿದರೆ "ಭಾಗ", "ಅನುಪಾತ", ನಂತರ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ "ir"
ಈ ಪದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಹೆಸರು ಅವರು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವರ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಪ್ರಭೇದಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

a + b = b + a (ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ);

(a + b) + c = a + (b + c) (ಸಹಭಾಗಿತ್ವ);

a + (-a) = 0 (ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

ab = ba (ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾನೂನು);

(ab)c = a(bc) (ವಿತರಣೆ);

a(b+c) = ab + ac (ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು);

a x 1/a = 1 (ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳುಮತ್ತು ತತ್ವಗಳು:

a > b ಮತ್ತು b > c ಆಗಿದ್ದರೆ, a > c (ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ) ಮತ್ತು. ಇತ್ಯಾದಿ

ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೂ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳುಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಂ.

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ತತ್ವವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ಒಂದು ಪದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನಿಜ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣಬಾರಿ, ಮೀರಬಹುದು b.

ಬಳಕೆ

ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅವರನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಬಹುತೇಕ ಅಗೋಚರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲೂ ಇವೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆ, 3.1415926... ಅಥವಾ ಇ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, 2.718281828... ಬೀಜಗಣಿತ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅರ್ಥ"ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ", ಅಂದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದ ಸಣ್ಣ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ

ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿರುವ "ಬೆಳ್ಳಿ" ಕೂಡ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅವು ತುಂಬಾ ದಟ್ಟವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧವೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧವು ಸಂಭವಿಸುವುದು ಖಚಿತ.

ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಂತಹ ಮಾನದಂಡಗಳಿವೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವರು ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದಾರೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, e ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ

ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು C ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪದನಾಮವು ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತವು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗ ಮೂಲ 2 ರ ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು x 2 - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಸಂಖ್ಯೆ ಪೈ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಇ.

ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ; ಅವರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಅತಿಕ್ರಮಣವು ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ನಂತರ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು 1882 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 1894 ರಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಯಿತು, ವೃತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ 2,500 ವರ್ಷಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ನಡೆಸಿತು. ಅವನ ಮೊದಲು, ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತುಂಬಾ ಅಂದಾಜು.

ಇ (ಯೂಲರ್ ಅಥವಾ ನೇಪಿಯರ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಾಗಿ, ಅದರ ಅತಿಕ್ರಮಣದ ಪುರಾವೆ 1873 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತುಂಬಾ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಆಲೋಚನೆಯು ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಇದೆಲ್ಲ ಏಕೆ?" ಆದರೆ, ಮೊದಲ ಅನಿಸಿಕೆ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. - ಮೂಲಭೂತ ಅಗತ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಬಯಕೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಗಳ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಮತ್ತು, ಅದು ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಂದು ಈಗ ಯಾರಾದರೂ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವಿಜ್ಞಾನದ ರಾಣಿಯ ಕಾಲುಗಳು ಗುಹೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಚರ್ಮಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು ಮತ್ತು ಬುಡಕಟ್ಟು ಜನಾಂಗದವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು "ಎಣಿಸಲು ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ. ಮತ್ತು ಅದು ಅವನಿಗೆ ಸಾಕಾಗಿತ್ತು. ಕೆಲವು ಹಂತದವರೆಗೆ, ಸಹಜವಾಗಿ.

ನಂತರ ಚರ್ಮ ಮತ್ತು ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಬೇಕಾಯಿತು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳು, ಇದನ್ನು m/n ನಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m ಎಂಬುದು ಚರ್ಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n ಎಂಬುದು ಸಹವರ್ತಿ ಬುಡಕಟ್ಟು ಜನಾಂಗದವರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವು ಜೀವನವನ್ನು ಆನಂದಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಭಾಗವೂ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ ಎಂದು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ! ಮತ್ತು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಪೈ ಕೂಡ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು "ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗದ" ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯುವಷ್ಟು ಹಲವಾರು ಆಯಿತು.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದನ್ನು ವರ್ಗಗಳ (ಗ್ರೀಕ್ "ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ") ಅಥವಾ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ.

o ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನದರಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರತಿ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.

o ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಯಾವುದಾದರೂ ನಡುವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ.

o ಸೆಟ್ ಎಣಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಬೈರ್ ವರ್ಗದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

o ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ನೀವು ಯಾವುದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇನ್ನೊಂದು ಇರುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷಒಂದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್.

o ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಯಾವುದೇ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ (ಸೇರ್ಪಡೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ) ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ದಶಮಾಂಶ(ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ).

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ– ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ m/n ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಲ್ಲಿ m ಅಂಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು Q ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅನಂತ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರ I ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಬಹುಪದದ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಡಿಗ್ರಿ) ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ. ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅತೀಂದ್ರಿಯ.

ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ದಟ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇದೆ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್). ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ Q ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ N ಗಳ ಸೆಟ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು) .

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ Q ಅನ್ನು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವೂ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ (ಸಂಭಾಷಣೆ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ).

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್).

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ a + b√ c (ಇಲ್ಲಿ a, b ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, c ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವಲ್ಲ), “ಸಂಯೋಜಕ” ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ a – b√ c: ಮೂಲ – ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ. ಆದ್ದರಿಂದ a + b√ c ಮತ್ತು a – b√ c ಮೂಲಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

a) ಸಂಖ್ಯೆ √ 7;

ಬಿ) ಲಾಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ 80;

ಸಿ) ಸಂಖ್ಯೆ √ 2 + 3 √ 3;

ಅತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

a) ಸಂಖ್ಯೆ √ 7 ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ, coprime p ಮತ್ತು q ಇವೆ ಅಂದರೆ √ 7 = p/q, ಅಲ್ಲಿಂದ ನಾವು p 2 = 7q 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. p ಮತ್ತು q ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ p 2, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ p 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ನಂತರ p = 7k, ಇಲ್ಲಿ k ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ q 2 = 7k 2 = pk, ಇದು p ಮತ್ತು q ಗಳು ಕಾಪ್ರಿಮ್ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ √ 7 ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಬಿ) ಲಾಗ್ 80 ರ ಸಂಖ್ಯೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ 80 = p/q, ಅಥವಾ 10 p = 80 q ಲಾಗ್ ಆಗುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ p ಮತ್ತು q ಇವೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು 2 p-4q = 5 q-p ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 2 ಮತ್ತು 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು p–4q = 0 ಮತ್ತು q–p = 0 ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. p = q = 0 ಎಲ್ಲಿಂದ, p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿರಲು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ lg 80 ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಸಿ) ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ.

ನಂತರ (x – √ 2) 3 = 3, ಅಥವಾ x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.

ಇದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು 1 ಮತ್ತು -1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಿಂದ 1 ಮತ್ತು –1 ಬೇರುಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ √ 2 + 3 √ 3 ​​ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

2. ಎ, ಬಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ √a –√b,- ತರ್ಕಬದ್ಧ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ √a ಮತ್ತು √bಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಸಹ.

ಕೆಲಸವನ್ನು ನೋಡೋಣ

(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.

ಸಂಖ್ಯೆ √a +√b,ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a - b ಮತ್ತು √a –√b,ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

- ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

3. ಧನಾತ್ಮಕ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a ಮತ್ತು b ಇವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಇದಕ್ಕಾಗಿ a b ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

4. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ

(ಎ + ಬಿ √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ?

ಷರತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a, b, c, d ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆಯು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ:

(ಎ-ಬಿ √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

ಆದರೆ 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಮೂಲ ಸಮಾನತೆ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಅವರು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

5. a, b, c ಉದ್ದವಿರುವ ಭಾಗಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ n = 2, 3, 4, . . . n √ a, n √ b, n √ c ಉದ್ದವಿರುವ ಭಾಗಗಳು ಸಹ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ರುಜುವಾತುಪಡಿಸು.

a, b, c ಉದ್ದವಿರುವ ಭಾಗಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ c.

ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಉಳಿದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ತೀರ್ಮಾನವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

6. ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವು 0.1234567891011121314 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ... (ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಭಾಗವು ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು n ಅಂಕೆಗಳ ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮ T ಎಂಬುದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು mth ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. m-th ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರದ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ T ಅಂಕೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕಿಯಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ mth ಅಂಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸತತವಾಗಿ ಯಾವುದೇ n ಅಂಕೆಗಳ ನಡುವೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಭಾಗದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತವು 100...0 = 10 k ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ k > m ಮತ್ತು k > n. ಈ ನಮೂದು m-th ಅಂಕಿಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸತತವಾಗಿ n ಸೊನ್ನೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

7. ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 0,a 1 a 2 ... ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಭಾಗವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು 0 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಾರಿ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ನಂತರ, ನಾವು ಮೊದಲ ವರ್ಗದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ - ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ಬಾರಿ. ದಾಖಲಾದ ಮೊದಲ ವರ್ಗ ಅಂಕೆಗಳು ದಶಮಾಂಶದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅವಧಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮುಂದೆ, ಎರಡನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅವಧಿ ಎಂದು ಘೋಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

8. ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉದ್ದದ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

m ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ನೀಡಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ m ಅಂಕಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆ, ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಮೀ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ 10 ಮೀ, ಅಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ √ 2, π ಅಥವಾ ಇಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅಂಕೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

9. ಸಮೀಕರಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲ ಎಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಅತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

x > 0 ಗಾಗಿ ಎಡಬದಿಸಮೀಕರಣವು x ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x = 1.5 ನಲ್ಲಿ ಅದು 10 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x = 1.6 ನಲ್ಲಿ ಅದು 10 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ (1.5; 1.6 )

ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ p/q ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ, ಇಲ್ಲಿ p ಮತ್ತು q ಕೆಲವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ x = p/q ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

ಇದರಿಂದ p 10 ರ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, p ಎಂಬುದು 1, 2, 5, 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1, 2, 5, 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ (1.5; 1.6).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ, ಅಂದರೆ ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

10. a) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ A, B ಮತ್ತು C ಎಂಬ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿವೆಯೇ ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು X ಗೆ XA, XB ಮತ್ತು XC ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರ ಉದ್ದವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆಯೇ?

ಬಿ) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಅದರ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಸಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವಿರುವ ಅಂತಹ ಗೋಳವಿದೆಯೇ? (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.)

ಎ) ಹೌದು, ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು C ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. AB 2 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, XA, XB ಮತ್ತು XC ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಬಿ) (a 1; b 1), (a 2; b 2) ಮತ್ತು (a 3; b 3) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ಅದರ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಇದರರ್ಥ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಸಿ) ಅಂತಹ ಗೋಳವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಗೋಳ

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ O (0; 0; 0) ಈ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಗೋಳದ ಉಳಿದ ಬಿಂದುಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: (x; y; z) ಗೋಳದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. x 0 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x = 0 ಗಾಗಿ ಇದೆ ಕೇವಲ ನಿರ್ಧಾರ(0; 0; 0), ಇದು ಈಗ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು √ 2 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

ತರ್ಕಬದ್ಧ x, y, z ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ √ 2 ರೊಂದಿಗೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, O(0; 0; 0) ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಗೋಳದ ಏಕೈಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

ಅತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

2. m ಮತ್ತು n ಯಾವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆ (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

3. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a – √ 3 ಮತ್ತು 1/a + √ 3 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ?

4. 1, √ 2, 4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಬಹುದೇ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ)?

5. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n ಸಮೀಕರಣ (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (x; y).

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆ "ಪೈ" ಸಹ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಕಡಿಮೆ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಇಲ್ಲ.
ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಅತೀಂದ್ರಿಯ.
ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವುದು ಖಚಿತ.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ, ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದು 2 ನೇ ವರ್ಗದ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, 0 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಮವಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲ

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಮೂಲ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಲ್ಲ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು;
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು;
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು;
ನಾಲ್ಕನೆಯದಾಗಿ, ವಿವಿಧ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು;
ಐದನೆಯದಾಗಿ, ಇವು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು +, -, , : ನಂತಹ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವೂ ಇರುತ್ತದೆ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈಗ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದು ನೋಡೋಣ:

ಈ ನಿಗೂಢ ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಅಭಿಮಾನಿಗಳು ಪೈ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಅಭಿಮಾನಿಗಳ ಕ್ಲಬ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ, ಅದರ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ಬಿಚ್ಚಿಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ? ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ಕ್ಲಬ್‌ನ ಸದಸ್ಯರಾಗಬಹುದು;

ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ, ಯುನೆಸ್ಕೋದ ರಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಸ್ಟಡೆಲ್ ಮಾಂಟೆ ಅರಮನೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ, ಅದರ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ನೀವು ಪೈ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ರಾಜ ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ II ಇಡೀ ಅರಮನೆಯನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅರ್ಪಿಸಿದನು.

ಬಾಬೆಲ್ ಗೋಪುರದ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅವರು ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇದು ಯೋಜನೆಯ ಕುಸಿತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪೈ ಮೌಲ್ಯದ ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಗಾಯಕಿ ಕೇಟ್ ಬುಷ್ ತನ್ನ ಹೊಸ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ "ಪೈ" ಎಂಬ ಹಾಡನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ 3, 141…..

ಈ ಲೇಖನದ ವಸ್ತುವು ಬಗ್ಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಮೊದಲು ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಯೂನಿಟ್ ಸೆಗ್‌ಮೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ವಿಭಾಗಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ, ಅವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಧ್ವನಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಮಗೆ ನೀಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 4.10110011100011110000... (ಒಂದು ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ) ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: −22.353335333335... (ಎಂಟುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಎರಡರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ).

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ , ಇತ್ಯಾದಿ, ಹಾಗೆಯೇ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಿದ ಅಕ್ಷರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಎರಡರ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ, ಸಂಖ್ಯೆ “pi” π=3.141592..., ಸಂಖ್ಯೆ e=2.718281... ಮತ್ತು ಚಿನ್ನದ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೇ?

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ನೀಡದೆ, ಕೆಲವು ಮೂಲ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ನೀಡಿದಾಗ, ಅದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವಾಗ, ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಲ್ಲ:

• ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.

ಅಲ್ಲದೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯು (+, -, ·, :) ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹಲವಾರು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು π, e, ಇತ್ಯಾದಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗಾಗಲೇ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ.

ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ kth ಮೂಲವು ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ kth ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ; ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಮೂಲವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವು 7 ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿಲ್ಲ, ಅದರ ಐದನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಿಕೆಯು 15 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲ, ರಿಂದ ಮತ್ತು .

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಲಾಗ್ 2 3 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಲಾಗ್ 2 3 ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ m/n ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ: . ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆ ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - ಸಹ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಲಾಗ್ 2 3 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು.

ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಒಂದಲ್ಲದ ಭಾಗಲಬ್ಧ a ಗಾಗಿ lna ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಭಾಗಲಬ್ಧ a ಕ್ಕೆ e ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ z ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ π z ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ sin, cos, tg ಮತ್ತು ctg ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, sin1 , tan(-4) , cos5,7 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಇತರ ಸಾಬೀತಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದವರಿಗೆ ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ, ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಹೇಳಬೇಕು ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಅವಸರದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಹೇಳಿದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಪದವಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡಬಹುದು, ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದಲ್ಲದೆ, π+e, π−e, π·e, π π, π e ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಇನ್ನೂ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. 6 ನೇ ತರಗತಿ: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಎನ್. ಯಾ ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು]. - 22 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 288 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ): ಪ್ರೊ. ಭತ್ಯೆ.- ಎಂ.; ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲೆ, 1984.-351 ಪು., ಅನಾರೋಗ್ಯ.