Zakharov matematiksel mantığın temelleri ve algoritma teorisi. "Matematiksel mantık ve algoritma teorisi

Kitabın. DJVU kitaplarını ücretsiz olarak PDF olarak indirin. Ücretsiz elektronik kütüphane
AK Cesaret, Matematiksel mantık ve algoritma teorisi

Yapabilirsiniz (program işaretleyecektir) sarı)
Yüksek matematikle ilgili kitapların alfabetik olarak sıralanmış bir listesini görebilirsiniz.
Yüksek fizikle ilgili kitapların alfabetik olarak sıralanmış bir listesini görebilirsiniz.

• Kitabı ücretsiz indirin, cilt 556 KB, djvu formatı (modern ders kitabı)

Bayanlar ve Baylar!! Elektronik yayınların dosyalarını “aksaklık” olmadan indirmek için dosyanın bulunduğu altı çizili bağlantıya tıklayın. Sağ fare tuşu, bir komut seçin "Hedefi farklı Kaydet..." ("Nesneyi farklı kaydet...") ve elektronik yayın dosyasını yerel bilgisayarınıza kaydedin. Elektronik yayınlar genellikle Adobe PDF ve DJVU formatlarında sunulmaktadır.

I. Mantık
1. Klasik mantık
1.1. Önerme mantığı
1.1.1. İfadeler
1.1.2. Mantığın temel yasaları
1.1.3. Russell'ın mantıksal paradoksu
1.1.4. Önerme cebiri (mantık)
1.1.5. Röle diyagramları
1.1.6. Eşdeğer formüller
1.1.7. Boole cebiri
1.1.8. Doğru ve genel olarak geçerli formüller
1.1.9. Çözülebilirlik sorunu
1.1.10. Mantıksal sonuç
1.1.11. Kıyaslamalar
1.2. Yüklem mantığı
1.2.1. Tahminler ve formüller
1.2.2. Yorumlar
1.2.3. Formüllerin doğruluğu ve karşılanabilirliği. Modeller, genel geçerlilik, mantıksal sonuç
1.2.4. Gottlob Frege
1.2.5. Skolemov işlevleri
ve formüllerin skolemizasyonu
1.3. Çözünürlük yöntemi
1.3.1. Önerme mantığında çözüm yöntemi
1.3.2. Yüklem mantığında çözümleme yöntemi

2. Biçimsel teoriler (matematik)
2.1. Biçimsel teorinin veya hesabın tanımı
2.1.1. Kanıt. Teorinin tutarlılığı. Teorinin bütünlüğü
2.2. Önerme hesabı
2.2.1. Önermeler hesabının dili ve türetme kuralları
2.2.2. Teoremin kanıtı örneği
2.2.3. Önermeler hesabının tamlığı ve tutarlılığı
2.3. Tahmin hesabı
2.3.1. Yüklem hesabının dili ve çıkarım kuralları
2.3.2. Yüklem hesabının tamlığı ve tutarlılığı
2.4. Biçimsel aritmetik
2.4.1. Eşitlikçi teoriler
2.4.2. Biçimsel aritmetiğin dili ve türetilme kuralları
2.4.3. Biçimsel aritmetiğin tutarlılığı. Gentzen teoremi
2.4.4. Gödel'in eksiklik teoremi
2.4.5. Kurt Gödel
2.5. Teoremlerin otomatik türetilmesi
2.5.1. S.Yu. Maslov
2.6. Mantık programlama
2.6.1. Mantık programı
2.6.2. Mantık programlama dilleri

3. Klasik olmayan mantıklar
3.1. Sezgisel mantık
3.2. Bulanık mantık
3.2.1. Bulanık alt kümeler
3.2.2. Bulanık alt kümeler üzerinde işlemler
3.2.3. Bir dizi bulanık alt kümenin özellikleri
3.2.4. Bulanık önerme mantığı
3.2.5. Bulanık röle diyagramları
3.3. Modal mantık
3.3.1. Modalite türleri
3.3.2. Matematik 1 ve T (Feis-von Wright)
3.3.3. Matematik S4, S5 ve Wrauer hesabı
3.3.4. Formüllerin anlamı
3.3.5. Kripke semantiği
3.3.6. Modalların diğer yorumları
3.4. Georg von Wright
3.5. Zamansal mantık
3.5.1. Prior'un zamansal mantığı
3.5.2. Lemmon'un zamansal mantığı
3.5.3. Von Wright'ın zamansal mantığı
3.5.4. Zamanlama mantığının programlamaya uygulanması
3.5.5. Pnueli'nin zamansal mantığı
3.6. Algoritmik mantık
3.6.1. Algoritmik mantık oluşturmanın ilkeleri
3.6.2. Charles Hoare
3.6.3. Algoritmik Hoare mantığı

II. Algoritmalar
4. Algoritmalar
4.1. Algoritma kavramı ve hesaplanabilir fonksiyon
4.2. Özyinelemeli işlevler
4.2.1. İlkel özyinelemeli işlevler
4.2.2. Kısmen özyinelemeli işlevler
4.2.3. Kilisenin tezi
4.3. Turing-Post makinesi
4.3.1. Turing-Post makinesinde fonksiyon hesaplamaları
4.3.2. Hesaplama örnekleri
4.3.3. Turing'in tezi
4.3.4. Üniversal makine Turing-Post
4.4. Alan Turing
4.5. Emil Postası
4.6. Verimli Algoritmalar
4.7. Algoritmik olarak çözülemeyen problemler

5. Algoritmaların karmaşıklığı
5.1. Algoritmaların karmaşıklığını anlamak
5.2. Sorun sınıfları P ve NP
5.2.1. Sorun sınıfı P
5.2.2. Sorun sınıfı NP
5.2.3. Deterministik olmayan Turing makinesi
5.3. Karmaşıklık kavramı hakkında
5.3.1. Üç tür zorluk
5.3.2. Kolmogorov'a göre dört sayı kategorisi
5.3.3. Kolmogorov'un tezi
5.4. BİR. Kolmogorov

6. Gerçeklik algoritmaları
6.1. Jeneratör sanal gerçeklik
6.2. Turing ilkesi
6.3. Cantgoutou'nun mantıksal olarak olası ortamları

Kitabın kısa özeti

Ders kitabı matematiksel mantığın temellerinin ve algoritma teorisinin sunumuna ayrılmıştır. Kılavuzun temelini Omsk Bilgisayar Bilimleri Bölümü ikinci sınıf öğrencilerine verilen ders notları oluşturmaktadır. Devlet Üniversitesi 2002 yılında. "Bilgisayar Güvenliği" uzmanlığı ve "Bilgisayarlar, kompleksler, sistemler ve ağlar" uzmanlığı alanında okuyan öğrenciler için.

Mantık bilimi nedir? Bu, doğru akıl yürütmeyi, doğru sonuç ve sonuçları çıkarmayı ve doğru (doğru) ifadelerle sonuçlanmayı öğreten bir teoridir. Bu nedenle bir bilim olarak mantık, doğru ifadeleri elde etmek için bir kurallar listesi içermelidir. Böyle bir kurallar ve sonuçlar dizisine kıyas listesi denir. Bir ifade, üzerinde çalışılan nesneler hakkında kesin ve kesin olarak tanımlanmış bir anlama sahip olan bir ifadedir. Rusça'da bir ifade, bize doğru veya tamamen yanlış bir şey söylediği söylenebilecek bildirim niteliğinde bir cümledir. Bu nedenle bir ifade doğru ya da yanlış olabilir.

Kitaplar, kitap indir, kitap indir, çevrimiçi kitaplar, çevrimiçi oku, ücretsiz kitap indir, kitap oku, çevrimiçi kitap oku, oku, çevrimiçi kütüphane, okunan kitaplar, ücretsiz çevrimiçi oku, ücretsiz kitap oku, e-kitap, çevrimiçi oku kitabın, en iyi kitaplar matematik ve fizik, ilginç kitaplar matematik ve fizik, e-kitaplar, ücretsiz kitaplar, ücretsiz indirilen kitaplar, ücretsiz matematik ve fizik kitapları indir, kitapların tamamı ücretsiz indir, çevrimiçi kütüphane, ücretsiz kitap indirin, kayıt olmadan ücretsiz çevrimiçi kitap okuyun matematik ve fizik, ücretsiz matematik ve fizik için çevrimiçi kitap okuyun, elektronik kütüphane matematik ve fizik, okunacak kitaplar çevrimiçi matematik ve fizik, matematik ve fizik kitapları dünyası, ücretsiz matematik ve fizik okuma, çevrimiçi kütüphane matematik ve fizik, matematik ve fizik kitapları okuma, çevrimiçi ücretsiz matematik ve fizik kitapları, popüler kitaplar matematik ve fizik, ücretsiz matematik ve fizik kitapları kütüphanesi, indir e-kitap matematik ve fizik, ücretsiz kütüphaneçevrimiçi matematik ve fizik, e-kitap indirme, çevrimiçi matematik ve fizik ders kitapları, kütüphane e-kitaplar matematik ve fizik, e-kitapları kayıt olmadan ücretsiz indirin matematik ve fizik, iyi kitaplar matematik ve fizik, tam matematik ve fizik kitaplarını indirin, ücretsiz matematik ve fizik için elektronik kütüphane okuyun, elektronik kütüphane ücretsiz matematik ve fizik indirin, indirmek için siteler matematik ve fizik kitapları, matematik ve fizik akıllı kitapları, matematik ve fizik kitaplarını arayın, ücretsiz matematik ve fizik için e-kitaplar indirin, matematik ve fizik e-kitap indirin, en iyi matematik ve fizik kitapları, elektronik kütüphane ücretsiz matematik ve fizik, çevrimiçi ücretsiz kitap okuyun matematik ve fizik, matematik ve fizik kitapları için web sitesi, elektronik kütüphane, okunacak çevrimiçi kitaplar, matematik ve fizik için elektronik kitap, ücretsiz ve kayıt olmadan kitap indirmek için web sitesi, ücretsiz çevrimiçi kütüphane matematik ve fizik, nereden indirilir ücretsiz matematik ve fizik kitapları, ücretsiz ve kayıt olmadan kitap okuyun matematik ve fizik, ders kitapları indir matematik ve fizik, ücretsiz e-kitaplar matematik ve fizik indirin, ücretsiz kitapların tamamını indirin, ücretsiz çevrimiçi kütüphane, en iyi e-kitaplar matematik ve fizik, matematik ve fizik kitaplarının çevrimiçi kütüphanesi, e-kitapları kayıt olmadan ücretsiz indirin, çevrimiçi kütüphane ücretsiz indir, ücretsiz kitaplar nereden indirilir, ücretsiz elektronik kütüphaneler, ücretsiz e-kitaplar, ücretsiz elektronik kütüphaneler, ücretsiz çevrimiçi kütüphane, ücretsiz kitap okumak, ücretsiz çevrimiçi kitaplar okumak, ücretsiz çevrimiçi okumak, çevrimiçi matematik ve fizik okumak için ilginç kitaplar, çevrimiçi matematik ve fizik kitapları okumak, çevrimiçi elektronik kütüphane matematik ve fizik, ücretsiz elektronik kitap kütüphanesi matematik ve fizik, okumak için çevrimiçi kütüphane, ücretsiz ve kayıt olmadan matematik ve fizik okuyun, bir matematik ve fizik kitabı bulun, matematik ve fizik kitap kataloğu, ücretsiz matematik ve fizik için çevrimiçi kitaplar indirin, İnternet kütüphanesi matematik ve fizik, kayıt olmadan ücretsiz matematik ve fizik kitapları indirin ücretsiz matematik ve fizik kitapları indirebilir, kitap indirebileceğiniz yerler, ücretsiz kitap indirme siteleri, çevrimiçi okuma, kütüphane okuma, kayıt olmadan ücretsiz çevrimiçi okunan kitaplar, kitap kütüphanesi, çevrimiçi ücretsiz kütüphane, çevrimiçi kütüphane ücretsiz okuma, kitap okuma ücretsiz ve kayıt olmadan, elektronik kütüphane kitapları ücretsiz indirebilir, çevrimiçi olarak ücretsiz okuyabilirsiniz.

,
2017 yılından bu yana, web sayfasının sol üst köşesindeki üst düğme olan cep telefonlarına yönelik web sitesinin mobil versiyonunu (kısaltılmış metin tasarımı, WAP teknolojisi) yeniliyoruz. Kişisel bilgisayar veya İnternet terminali aracılığıyla internete erişiminiz yoksa, cep telefonunuzu kullanarak web sitemizi ziyaret edebilir (kısaltılmış tasarım) ve gerekirse web sitesindeki verileri cep telefonunuzun hafızasına kaydedebilirsiniz. Kitapları ve makaleleri bilgisayarınıza kaydedin cep telefonu (Mobil İnternet) ve bunları telefonunuzdan bilgisayarınıza indirin. Kitapların cep telefonu aracılığıyla (telefon hafızasına) ve mobil arayüz aracılığıyla bilgisayarınıza rahatça indirilmesi. Hızlı İnternet gereksiz etiketler olmadan, ücretsiz (İnternet hizmetleri fiyatına) ve şifresiz. Materyal yalnızca bilgilendirme amaçlı sağlanmıştır. Web sitesindeki kitap dosyalarına ve makalelere doğrudan bağlantı verilmesi ve bunların üçüncü şahıslar tarafından satılması yasaktır.

Not. Forumlar, bloglar, web sitesi materyallerinden alıntı yapmak için kullanışlı bir metin bağlantısı olan html kodu, web sitemizdeki materyallerden alıntı yaparken kopyalanabilir ve kolayca web sayfalarınıza yapıştırılabilir. Materyal yalnızca bilgilendirme amaçlı sağlanmıştır. Ayrıca kitapları internet üzerinden cep telefonunuza da kaydedebilirsiniz (var mobil versiyon sitesi - sayfanın sol üst köşesindeki bağlantı) ve bunları telefonunuzdan bilgisayarınıza indirin. Kitap dosyalarına doğrudan bağlantı verilmesi yasaktır.

KAZAN TEKNİK ÜNİVERSİTESİ adını almıştır. A. N. Tupolev

Sh.I.GALIEV

MATEMATİKSEL MANTIK VE ALGORİTMA TEORİSİ

ÖĞRETİCİ

Kazan 2002

Galiev S. I. Matematiksel mantık ve algoritma teorisi. – Kazan: Adını taşıyan KSTU yayınevi. A. N. Tupolev. 2002. - 270 s.

ISBN 5-93629-031-X

Kılavuz aşağıdaki bölümleri içermektedir. Çözümleme yöntemi ve bunun PROLOG dilinde uygulanmasının unsurları da dahil olmak üzere uygulamalarla birlikte önerme ve yüklem mantığı. Klasik hesap (ifadeler ve yüklemler) ve klasik olmayan mantığın unsurları: üç değerli ve çok değerli mantık, modal, zamansal ve bulanık mantık. Algoritma teorisi: normal algoritmalar, Turing makineleri, özyinelemeli fonksiyonlar ve ilişkileri. Hesaplamalı karmaşıklık kavramı, çeşitli (karmaşıklık) problem sınıfları ve bu tür problemlerin örnekleri.

Tüm bölümler sağlanmıştır kontrol soruları ve alıştırmalar, seçenekler verilmiştir tipik görevler ve materyal ustalığının kendi kendini izlemesine yönelik testler.

Kılavuz, “Bilişim ve Bilgisayar Bilimleri” alanında 2201 uzmanlığındaki teknik üniversite öğrencilerine yöneliktir ve 2202 uzmanlığı ve bu alandaki diğer uzmanlıklar için kullanılabilir.

GİRİİŞ

Mantık genellikle kanıtlama ve çürütme yöntemleri bilimi olarak anlaşılır. Matematiksel mantık, matematiksel yöntemler kullanılarak geliştirilen mantıktır.

Kanıt ve çürütme yöntemlerini incelerken mantık, belirli bir argümandaki öncüllerin ve sonuçların içeriğiyle değil, öncelikle doğru sonuçların elde edilme biçimiyle ilgilenir. Örneğin aşağıdaki iki çıktıyı düşünün:

1. Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. Bu nedenle Sokrates ölümlüdür.

2. Bütün yavru kediler oynamayı sever. Mura bir kedi yavrusu. Sonuç olarak Mura oynamayı seviyor.

Bu sonuçların her ikisi de aynı biçime sahiptir: Tüm A'lar B'dir, C'ler A'dır; bu nedenle C, B'dir. Bu sonuçlar, içeriği ne olursa olsun, öncüllerin ve sonuçların kendi başlarına doğru ya da yanlış olup olmadığına bakılmaksızın, biçimleri nedeniyle doğrudur. Sistematik biçimlendirme ve kataloglama doğru yollar Akıl yürütme, mantığın temel görevlerinden biridir. Matematiksel aparat kullanılıyorsa ve araştırma öncelikle matematiksel akıl yürütmeye ayrılmışsa, o zaman bu mantık matematiksel mantıktır (biçimsel mantık). Bu tanım kesin (kesin) bir tanım değildir. Matematiksel mantığın konusunu ve yöntemini anlamak için onu incelemeye başlamak en iyisidir.

Matematiksel mantık uzun zaman önce şekillenmeye başladı. Fikirlerinin ve yöntemlerinin kökeni Antik Yunan, Antik Hindistan Ve Antik Çin yaklaşık 6. yüzyıldan itibaren. M.Ö e. Zaten bu dönemde bilim adamları, matematiksel deliller zincirini öyle bir zincir halinde düzenlemeye çalıştılar ki, bir halkadan diğerine geçiş hiçbir şüpheye yer bırakmayacak ve evrensel tanınma kazanacaktır. Bize ulaşan en eski el yazmalarında, matematiksel sunum tarzının “kanonu” sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Daha sonra büyük klasikler tarafından son tamamlanır: Aristoteles, Öklid, Arşimet. Bu yazarların ispat anlayışı bizimkinden farklı değildir.

Bağımsız bir bilim olarak mantık, Aristoteles'in (MÖ 384 - 322) çalışmalarından kaynaklanmaktadır. Büyük antik filozof Aristoteles ansiklopedik bir sistemleştirme gerçekleştiriyor eski bilgi o zamanlar mevcut bilimin tüm alanlarında. Aristoteles'in mantıksal çalışmaları esas olarak iki eserinde sunulmaktadır: Birinci Analitikler ve İkinci Analitikler. yaygın isim"Organon" (Bilgi aracı).

Özellikle dikkat edilmesi gerekenler büyük önem matematiksel mantığın oluşumu ve gelişimi için insanlık tarihindeki en parlak başarılardan biri, yani Öklid'in (MÖ 330 - 275) "Principia" eserinde geometrinin tam bir tümdengelim sistemine dönüştürülmesi. Sonraki yüzyıllarda felsefi ve matematiksel düşüncenin gelişiminin temelini oluşturan şey, hedefler ve yöntemler konusunda net bir farkındalığa sahip bu tümdengelimci yaklaşımdı.

Cebir (Boole cebiri) ve yine geometri (Öklid dışı geometrinin yaratılması - Lobaçevski - Gauss - Bolyai geometrisi) dahil olmak üzere diğer matematik disiplinlerindeki başarılar, mantığın oluşumu ve gelişimi için de büyük önem taşıyordu. Kısa inceleme Matematiksel mantığın oluşumunda bulunabilir.

Matematiksel mantığın oluşumuna ve gelişimine hem eski çağlardan, Orta Çağ'dan hem de sonraki zamanlardan pek çok bilim adamı katılmıştır.

Matematiksel mantığın temel ve uygulamalı önemi

Matematiksel mantığın temel önemi matematiğin gerekçelendirilmesidir (matematiğin temellerinin analizi).

Matematiksel mantığın uygulamalı değeri şu anda çok büyüktür. Matematiksel mantık aşağıdaki amaçlar için kullanılır:

akıllı sistemler de dahil olmak üzere dijital bilgisayarların ve diğer ayrık otomatların analizi ve sentezi (inşası);

doğal dil analizi için biçimsel ve makine dillerinin analizi ve sentezi;

sezgisel hesaplanabilirlik kavramının analizi ve resmileştirilmesi;

belirli türdeki problemlerin çözümü için mekanik prosedürlerin varlığının açıklığa kavuşturulması;

hesaplama karmaşıklığı problemlerinin analizi.

Ayrıca matematiksel mantığın dilbilim, ekonomi, psikoloji ve felsefedeki bir takım konularla yakından bağlantılı olduğu ortaya çıktı.

Bu kılavuz matematiksel mantığın ve algoritma teorisinin temel kavramlarını özetlemektedir. Kılavuzda sunulan materyal

devlete karşılık gelir eğitim standardı“Bilişim ve Bilgisayar Bilimleri” alanına yöneliktir ve bu alanda çeşitli uzmanlıklarda öğrenim gören öğrenciler için kullanılabilir.

Kılavuzu yazarken literatürden yararlanıldı ve elbette başka kaynaklardan da yararlanıldı. Referans listesi, meraklı ve talepkar bir öğrencinin incelemesi tavsiye edilen kitapları içerir.

Her bölümdeki kılavuz, teorik materyalin kendi kendine test edilmesine yönelik sorular ve problem çözme becerilerini geliştirmek ve sunulan konu hakkındaki bilgiyi derinleştirmek için tasarlanmış alıştırmalar içerir. Ayrıca kılavuz, malzeme uzmanlığının kendi kendine izlenmesine yönelik tipik görevlere ve testlere yönelik seçenekler içerir.

Federal Eğitim Ajansı

TOMSK DEVLET KONTROL SİSTEMLERİ VE RADYO ELEKTRONİK ÜNİVERSİTESİ (TUSUR)

Bilgi İşlem Otomasyonu Dairesi Başkanlığı

Onaylıyorum:

KAFA departman IDF

Profesör

Evet. Ekhlakov

"__" _________________2007

Yönergeler

uygulamaya pratik iş disiplinle

"Matematiksel mantık ve algoritma teorisi"

uzmanlık öğrencileri için 230102 –

"Otomatik bilgi işleme ve kontrol sistemleri"

Geliştiriciler:

Sanat. bölüm öğretmeni IDF

O. Peremitina

Tomsk – 2007

Pratik ders No. 1 “Önermesel cebir formülleri” 3

Pratik ders No. 2 “Önermesel cebir formüllerinin eşdeğer dönüşümleri” 10

Pratik ders No. 3 “Normal formül formları” 12

Pratik ders No. 4 “Mantıksal akıl yürütme” 14

Pratik ders No. 5 “Yüklem mantığının formülleri” 18

Pratik ders No. 6 “Boole fonksiyonları” 23

Pratik ders No. 7 “Kısmen özyinelemeli fonksiyonlar” 28

8 numaralı pratik ders “Turing makineleri” 34

Pratik ders No. 1 “Önermesel cebir formülleri”

İfadeler doktrini - ifadelerin cebiri veya mantığın cebiri - en basit mantıksal teoridir. Önermesel cebirin atom kavramı ifade - doğruluğu veya yanlışlığıyla ilgili bir ifadenin anlamlı olduğu bildirim niteliğinde bir cümle.

Doğru bir ifadeye örnek: “Dünya güneşin etrafında dönüyor.” Yanlış bir ifade örneği: "3 > 5". Her cümle bir ifade değildir; ifadelere soru ve ünlem cümleleri dahil değildir. “Yulaf lapası lezzetli bir yemektir” cümlesi bir ifade değildir çünkü doğru mu yanlış mı olduğu konusunda fikir birliğine varılamaz. "Mars'ta hayat var" cümlesi bir ifade olarak kabul edilmelidir, çünkü henüz kimse hangisi olduğunu bilmese de nesnel olarak ya doğru ya da yanlıştır.

Mantık çalışmasının konusu yalnızca ifadelerin doğruluk değerleri olduğundan, onlar için A, B, ... veya X,Y... harfleri tanıtılmıştır.

Her ifadenin ya doğru ya da yanlış olduğu kabul edilir. Kısa olması açısından doğru değer yerine 1, yanlış değer yerine 0 yazacağız.Örneğin X = “Dünya Güneş etrafında dönüyor” ve Y = “3 > 5”, X = 1 ve Y = 0. Bir ifade hem doğru hem de yanlış olamaz.

İfadeler basit veya bileşik olabilir. "Dünya Güneş etrafında döner" ve "3 > 5" ifadeleri basittir. Bileşik ifadeler, doğal (Rusça) dildeki bağlaçları kullanan basit ifadelerden oluşur DEĞİL, VE, VEYA, IF-THEN, THEN-AND-ONLY-THEN. İfadeler için harf gösterimleri kullanıldığında, bu bağlaçların yerini sembol olarak kabul edilebilecek özel matematiksel semboller alır. mantıksal işlemler.

Aşağıda, Tablo 1 bağlaçları belirtmek için sembol seçeneklerini ve karşılık gelen mantıksal işlemlerin adlarını göstermektedir.

İnkar (tersine çevirme) ifadeleri X ancak ve ancak şu durumda doğru olan bir ifadedir X yanlış (veya ile gösterilir) , "değil" yazıyor X” veya “bu doğru değil X”).

Bağlaç
iki ifade, ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğru olan bir ifadedir X Ve e. Bu mantıksal işlem ifadelerin “ve” bağlacı ile bağlanmasına karşılık gelir.

Ayrılık
iki ifade X Ve e Bir ifade ancak ve ancak her iki ifadenin de olması durumunda yanlış olarak adlandırılır X Ve e YANLIŞ. Günlük konuşma dilinde bu mantıksal işlem "veya" bağlacına karşılık gelir (özel "veya"ya değil).

Dolaylı olarak iki ifade X Ve e ancak ve ancak şu durumlarda yanlış olan bir ifadedir X doğru ama e– yanlış (belirtilen
; "okuuyor" X gerektirir e", "Eğer X, O e"). Bu işlemin işlenenlerinin özel isimleri vardır: X- paket, e- çözüm.

Denklik iki ifade X Ve e ancak ve ancak doğruluk değeri varsa doğru olan bir ifadedir X Ve e aynıdır (tanım:
).

Tablo 1. Mantıksal işlemler

Mantıksal işlemlerin işlenenleri yalnızca iki değer alabilir: 1 veya 0. Bu nedenle, her mantıksal işlem , &,,,, değerlere bağlı olarak işlem sonucunun değerini gösteren bir tablo kullanılarak kolayca belirtilebilir. işlenenlerden. Bu tabloya denir doğruluk tablosu (Tablo 2).

Tablo 2. Mantıksal işlemlerin doğruluk tablosu

Yukarıda tanımlanan mantıksal işlemler kullanılarak basit ifadelerden oluşturulabilir. önerme mantığı formülleri , çeşitli bileşik ifadeleri temsil eder. Bileşik bir ifadenin mantıksal anlamı, formülle ifade edilen ifadenin yapısına ve onu oluşturan temel ifadelerin mantıksal değerlerine bağlıdır.

İfadeleri ifade eden formüllerin sistematik çalışması için değişken ifadeler tanıtılmıştır. P, P 1 , P 2 , ..., P N, (0, 1) kümesinden değerler alarak.

Önerme mantığı formülü F (P 1 , P 2 ,..., P N) totoloji olarak adlandırılır veya gerçekle aynı , herhangi bir değer için değeri varsa P 1 , P 2 ,..., P N 1 (doğru) var. En az bir değişken listesi kümesi için doğru olarak değerlendirilen formüllere denir mümkün . Herhangi bir değişken değeri için false olarak değerlendirilen formüllere denir çelişkiler (aynı şekilde yanlış, imkansız).

11.1. Algoritma kavramı ve algoritma teorisi

Sezgisel olarak, bir algoritma, ayrık zamanda ortaya çıkan bir problemi sırayla çözme süreci olarak anlaşılır, böylece zamanın her bir sonraki anında, belirli bir yasaya göre, mevcut nesneler sisteminden bir algoritma nesneleri sistemi elde edilir. zamanın önceki anı. Sezgiseldir çünkü, kesin olarak konuşursak, algoritma kavramı tanımlanamayan bir küme kavramına benzer.

GOST 19781-74 uyarınca “Bilgisayar makineleri. Yazılım. Terimler ve tanımlar" algoritma- Bu, başlangıçtaki verilerin değiştirilmesinden istenen sonuca giden hesaplama sürecini tanımlayan kesin bir reçetedir. Bu durumda, bir algoritma uygulayıcısının - bu eylemleri "nasıl gerçekleştireceğini bilen" bir nesnenin - varlığı varsayılır.

“Algoritma” kelimesinin, kuralları ilk formüle eden, 13. yüzyılda Orta Asya (Özbek) matematikçisi Al Khorezmi (Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al Khorezmi al Medjusi) - Latince transkripsiyonda “Algoritma” adından geldiğine inanılıyor. (prosedür) ondalık sayı sisteminde dört aritmetik işlemi gerçekleştirmek için.

Hesaplamalar basit olduğu sürece algoritmalara özel bir ihtiyaç yoktu. Birden fazla adım adım prosedüre ihtiyaç duyulduğunda, algoritma teorisi ortaya çıktı. Ancak sorunlar daha da karmaşıklaştıkça bazılarının algoritmik olarak çözülemeyeceği ortaya çıktı. Bunlar, örneğin insanın "araç bilgisayarı" yani beyni tarafından çözülen sorunların çoğudur. Bu tür sorunların çözümü başka ilkelere dayanmaktadır - bu ilkeler yeni bir bilim - nöromatematik ve buna karşılık gelen teknik araçlar - nörobilgisayarlar tarafından kullanılmaktadır. Bu durumda öğrenme, deneme yanılma süreçleri uygulanır; yani şu anda yaptığımız şey budur.

Bir algoritmanın kalitesi onun özelliklerine (karakteristiklerine) göre belirlenir. Algoritmanın ana özellikleri şunları içerir:

1. Kütle karakteri. Algoritmanın bu türdeki tüm problemleri çözmeye uygun olabileceği varsayılmaktadır. Örneğin, doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistemi çözmek için kullanılan bir algoritma, keyfi sayıda denklemden oluşan bir sisteme uygulanabilir olmalıdır.

2. Yeterlik. Bu özellik, algoritmanın sonlu sayıda adımda bir sonuç üretmesi gerektiği anlamına gelir.

3. kesinlik. Algoritmada yer alan talimatlar kesin ve anlaşılır olmalıdır. Bu özellik, verilen başlangıç ​​verileriyle hesaplama sürecinin sonucunun belirsizliğini sağlar.

4. Ayrıklık. Bu özellik, algoritma tarafından açıklanan sürecin ve algoritmanın kendisinin ayrı temel aşamalara bölünebileceği anlamına gelir; bu, şüphesiz kullanıcı tarafından bir bilgisayarda gerçekleştirilebilir.

Bugün “dijital milenyum”dayız ve algoritmaların her türlü görevi yerine getirebileceği görülüyor. Birçok problemin algoritmik olarak çözülemeyeceği ortaya çıktı. Bunlar algoritmik olarak çözülemeyen problemlerdir.

Problemlerin algoritmik olarak çözülebilirliğini veya çözülemezliğini kanıtlamak için matematiksel olarak kesin ve kesin araçlara ihtiyaç vardır. Geçen yüzyılın 30'lu yıllarının ortalarında, algoritma kavramını resmileştirmeye yönelik girişimlerde bulunuldu ve çeşitli algoritma modelleri önerildi: özyinelemeli işlevler; “makineler” – Turing, Post; normal Markov algoritmaları.

Daha sonra bu ve diğer modellerin çözdüğü problem sınıflarının aynı olması anlamında eşdeğer olduğu bulunmuştur. Bu gerçeğe Church'ün tezi denir. Bu artık genel kabul görüyor. Algoritma kavramının resmi tanımı, ilk bilgisayarların geliştirilmesinden önce bile algoritma teorisinin geliştirilmesi için önkoşulları yarattı. Bilgisayar teknolojisindeki ilerleme, algoritma teorisinin daha da gelişmesini teşvik etti. Algoritma teorisi, problemlerin algoritmik çözülebilirliğini belirlemenin yanı sıra, adım sayısı (zaman karmaşıklığı) ve gerekli hafıza (uzay karmaşıklığı) açısından algoritmaların karmaşıklığını tahmin etmekle de ilgilidir ve aynı zamanda algoritmaların geliştirilmesiyle de ilgilenir. Bu anlamda verimli algoritmalar.

Temel adımları gerçekleştirme hızına ilişkin fiziksel açıdan herhangi bir makul varsayım altında bazı algoritmaları uygulamak, modern görüşlere göre Evrenin varlığından daha fazla zaman alabilir veya gezegeni oluşturan atomlardan daha fazla hafıza hücresi alabilir. Toprak.

Bu nedenle algoritma teorisinin bir diğer görevi, kombinatoryal algoritmalardaki seçeneklerin numaralandırılması sorununu çözmektir. Algoritmaların karmaşıklığını değerlendirmek ve etkili algoritmalar olarak adlandırılan algoritmalar oluşturmak, modern algoritma teorisinin en önemli görevlerinden biridir.

S. N. POZDNYAKOV S. V. RYBIN

öğretici

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

St. Petersburg Devlet Elektroteknik Üniversitesi "LETI"

S. N. POZDNYAKOV S. V. RYBIN

MATEMATİKSEL MANTIK VE ALGORİTMA TEORİSİ

St. Petersburg Yayınevi St. Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI"

UDC 510.6 BBK V12 P47

Pozdnyakov S. N., Rybin S. V. Matematiksel mantık ve algoritma teorisi: Ders kitabı. ödenek. St. Petersburg: St. Petersburg Elektroteknik Üniversitesi “LETI” yayınevi, 2004. 64 s.

Geçmişte ortaya çıkan yeni uygulamalar sayesinde ilginin arttığı matematiksel mantığın ana fikirleri, kavramları ve yöntemleri dikkate alınmaktadır. Son zamanlarda Bilgi teknolojilerinin gelişimi ile bağlantılı olarak.

Hem tam zamanlı öğrenciler hem de teknik üniversitelerin akşam ve yazışma fakülteleri için kullanılabilir.

Gözden geçirenler: departman matematiksel analiz St.Petersburg Devlet Üniversitesi; Doç. M. V. Dmitrieva (St. Petersburg Devlet Üniversitesi).

Üniversitenin Yayın ve Yayın Konseyi tarafından onaylandı

öğretim yardımı olarak

Algoritma teorisi gibi matematiksel mantık da bilgisayarların ortaya çıkışından çok önce ortaya çıktı. Onların ortaya çıkışı matematiğin iç problemleriyle, teorilerinin ve yöntemlerinin uygulanabilirliğinin sınırlarının incelenmesiyle bağlantılıydı.

İÇİNDE Şu anda, bu (birbiriyle ilişkili) teorilerin her ikisi de bilgisayar matematiği (bilgisayar bilimi) olarak adlandırılan alanda uygulamalı gelişme göstermiştir. Uygulama alanlarında kullanımlarının birkaç alanı şunlardır:

– uzman sistemlerin kullanımıçeşitli alanlardaki uzmanların faaliyetlerini simüle etmek için resmi mantıksal çıkarımlar;

– mikro devreleri tasarlarken Boole fonksiyonları teorisi kullanılır;

– programların test edilmesi, yapılarının mantıksal analizine dayanır;

– programların doğruluğunun kanıtı mantıksal çıkarım teorisine dayanmaktadır;

– algoritmik diller iki önemli mantık kavramını birbirine bağlar: dil kavramı ve algoritma kavramı;

– Teorem ispatının otomasyonu, mantık dersinde çalışılan çözümleme yöntemine dayanmaktadır.

İÇİNDE verildi ders kitabı hem listelenenlerin hem de diğer uygulamaların temelini oluşturan matematiksel mantığın temel fikirleri, kavramları ve yöntemleri sunulmaktadır.

1. İkili ilişkiler ve grafikler

1.1. Giriiş. Sorunun formülasyonu

İkili ilişkilere daha önce de rastlanmıştı okul kursu matematik Bu tür ilişkilerin örnekleri eşitsizlik, eşitlik, benzerlik, paralellik, bölünebilirlik vb. ilişkilerdir. İkili bir ilişki, her iki nesneyi, eğer nesneler bu ilişki içindeyse "evet", aksi halde "hayır" mantıksal değeriyle ilişkilendirir. Başka bir deyişle, nesne çiftleri kümesi iki alt kümeye bölünmüştür; ilk alt kümenin çiftleri belirli bir ilişki içindedir, ancak ikincinin çiftleri değildir. Bu özellik ikili ilişkinin tanımı için temel olarak kullanılabilir.

Tanım 1.1. Bir M kümesi verilsin. Bu kümenin M × M ile Kartezyen çarpımını ele alalım. Bir M × M kümesinin bir R alt kümesine, M kümesi üzerindeki R ikili ilişkisi denir. Eğer (x; y) çifti R kümesine aitse, x elemanının y elemanı ile R ilişkisi içinde olduğunu söyleriz ve xRy yazarız.

Örnek 1.1. Karşılaştırılabilirlik ilişkisini tanıtalım: R:x, y modulo m ile karşılaştırılabilir ancak ve ancak x ve y m'ye bölündüğünde aynı kalanlara sahipse. Yani x ≡ y (mod m) .

M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) kümesinde m = 3 durumu için tanıtılan R ilişkisini düşünün, o zaman

R ilişkisi bu tür çiftlerin kümesiyle tanımlanır:

Örnek 1.2. M = R – bir takım şeyleri ele alalım

gerçek sayılar veya başka bir deyişle gerçek doğrunun noktaları kümesi. O zaman M × M = R 2 koordinat düzlemindeki noktaların kümesidir. Eşitsizlik ilişkisi< определяется множеством парR = = {(x; y)|x < y} .

Alıştırma 1.1.

1. Reel sayılar kümesinde aşağıdaki ilişki verilir: xRy o zaman

ne zaman ve yalnızca sayılardan biri diğerinin iki katı olduğunda. Bu ilişkiyi tanımlayan bir dizi noktayı düzlem üzerine çizin.

2. M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) kümesinde bölünebilirlik ilişkisi şu şekilde verilir: xRy ancak ve ancak x, y'ye bölünebilirse. Kaç çift içeriyor?

bu tavır mı? Bu çiftleri listeleyin.

3. M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) kümesine eş asallık ilişkisini, yani xRy ancak ve ancak x ve y eş asal ise: D(x; y) = 1'i dahil edelim. Bu ilişki kaç çift içeriyor? Bunları listeleyin

1.2. İkili ilişkilerin özellikleri

Tanım 1.2. M kümesindeki R ikili ilişkisine denir

eğer bu kümenin her elemanı kendisiyle bir ilişki içindeyse dönüşlüdür: xRx x M .

Örnek 1.3.

1. Karşılaştırılabilirlik ilişkisi dönüşlüdür (herhangi bir doğal durum için) m ve herhangi bir tam sayı kümesinde).

2. Gerçel sayılar kümesindeki katı eşitsizlik ilişkisi dönüşlü değildir.

3. Bölünebilme ilişkisi dönüşlüdür (sıfır içermeyen herhangi bir tam sayı kümesinde).

Tanım 1.3. M kümesindeki R ikili ilişkisine denir

Bu kümenin tek bir elemanı kendisiyle ilişki içinde değilse yansıma önleyicidir: x M xRx olduğu doğru değildir.

Örnek 1.4.

1. Gerçel sayılar kümesindeki katı eşitsizlik ilişkisi yansıma karşıtıdır.

2. Karşılıklı asal ilişki, aşağıdakileri içermeyen herhangi bir tam sayı kümesinde yansıma önleyicidir: 1 ve −1, (1), (−1) ,(−1; 1) kümelerinde dönüşlüdür ve ne dönüşlü ne de yansıma önleyicidir

aksi takdirde.

Tanım 1.4. Bir M kümesi üzerindeki R ikili ilişkisine, her bir (x; y) çiftiyle birlikte ilişki aynı zamanda bir simetrik (y; x) çifti de içeriyorsa simetrik denir: x, y M xRy yRx.

Örnek 1.5.

1. Karşılaştırılabilirlik ilişkisi herhangi bir doğal sayı için simetriktir

2. Gerçel sayılar kümesindeki katı eşitsizlik ilişkisi simetrik değildir.

3. Bölünebilme ilişkisi yalnızca bir tane içermeyen ikili eş asal tamsayılar kümesinde simetriktir. Örneğin, bir dizi asal sayı üzerinde.

4. Eş asal ilişki herhangi bir tam sayı kümesinde simetriktir.

Tanım 1.5. M kümesindeki R ikili ilişkisine denir

İlişkiye simetrik olanıyla birlikte hiçbir çift dahil edilmiyorsa asimetriktir: x, y M, eğer xRy ise, o zaman yRx doğru değildir.

Örnek 1.6.

1. Gerçel sayılar kümesindeki katı eşitsizlik ilişkisi asimetriktir.

2. Bölünebilme ilişkisi sıfır içermeyen hiçbir tam sayı kümesinde asimetrik değildir.

Tanım 1.6. M kümesindeki R ikili ilişkisine denir

simetrik olanıyla birlikte ilişkiye farklı elemanlardan oluşan bir çift dahil edilmiyorsa antisimetriktir: x, y M ifxRy ve yRx tox = y.

Örnek 1.7.

1. Gerçel sayılar kümesindeki katı olmayan eşitsizlik ilişkisi antisimetriktir.

2. Bölünebilme ilişkisi sıfır içermeyen herhangi bir tam sayı kümesinde antisimetriktir.

Alıştırma 1.2.

1. Asimetrik bir ilişkinin her zaman yansıma karşıtı olduğu doğru mu? Kanıtla.

2. Simetrik bir ilişkinin her zaman yansımalı olduğu doğru mu? Bana daha önce göster.

3. Asimetrik bir ilişkinin her zaman antisimetrik olduğu doğru mu? Kanıtla.

4. Bir ilişkinin ancak ve ancak anti-yansımalı ve anti-simetrik olması durumunda asimetrik olduğu doğru mu? Kanıtla.

Tanım 1.7. Bir ikili ilişki R, eğer (x; y) çifti aynı zamanda (x, z) çiftini de içeriyorsa geçişlidir; yani x, y, x M, eğer xRy ve

M kümesine yRz , toxRz ilişkisinde u(y; z) denir.

Not 1.1. Geçişlilik özelliği ulaşılabilirlik ilişkisi ile iyi bir şekilde gösterilmektedir: eğer sivri noktaya x noktasından ulaşılabilirse ve z noktasına sivri noktadan ulaşılabilirse, o zaman z noktasına x noktasından ulaşılabilir.

Örnek 1.8.

1. Karşılaştırılabilirlik ilişkisi herhangi bir doğal durum için geçişlidir. m ve herhangi bir tam sayı kümesinde.

2. Katı (katı olmayan) eşitsizlik ilişkisi, gerçek sayıların herhangi bir alt kümesi üzerinde geçişlidir.

3. Bölünebilme ilişkisi sıfır içermeyen tamsayılar kümesinde geçişlidir.

4. Eş asal ilişki herhangi bir tamsayı kümesi üzerinde geçişli değildir. Örneğin, 2 c3'e göre aralarında asaldır, 3 c4'e göre aralarında asaldır, fakat 2 ve 4 aralarında asal değildir.

Alıştırma 1.3. Geçişli ve simetrik olduğu doğru mu?

Tutum her zaman refleksif midir? Kanıtla.

1.3. İlişkileri tanımlama yöntemleri

İkili bir ilişkiyi tanımlayan çiftlerin açık bir şekilde listelenmesine ek olarak, aşağıdakiler de mümkündür: aşağıdaki yöntemler ilişki ödevleri.

Doğrulama prosedürünü ayarlama.

Örnek 1.9.

1. Karşılıklı asallık ilişkisi en büyük değeri bulma prosedürü ile kontrol edilir. ortak bölen: Eğer D(x; y) = 1 ise(x; y) dahil edilir

karşılıklı basitlik ilişkisi.

2. Bölünebilirlik ilişkisi, kalanla bölme işlemiyle kontrol edilir: eğer x ≡ 0 (mod y) ise (x; y) bölünebilme ilişkisine dahil edilir.

3. Aynı prosedür, bölünürken kalanların eşitlik ilişkisini kontrol eder. m : eğer (x−y)≡0 (mod m) ise, bu durumda (x; y) ilişkiye dahil edilir.

Sonlu kümeler üzerindeki ilişkiler için (ayrık matematik için temel olan), ilişkileri belirlemek ve açıklamak için aşağıdaki yöntemler de kullanılır.

Bir bitişiklik matrisinin belirtilmesi. A boyutunda bir matris tanımlayalım

|M | × |M |, burada |M | – M kümesinin eleman sayısı. M kümesinin elemanlarını numaralandıralım. Bu durumda i eleman numarası j eleman numarasıyla (iRj) ilişki içindeyse aij = 1, aksi halde aij = 0 olur.

Örnek 1.10. M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) kümesindeki bölünebilirlik ilişkisinin komşuluk matrisi şuna benzer:

Grafiğe göre atama. Kümenin elemanları düzlemdeki noktalarla temsil edilir ve grafiğin köşe kümesini oluşturur. İlişkiler grafiğin yayları (kenarları) ile temsil edilir: eğer ilişkiye (x; y) dahil edilirse, x köşesinden y noktasına yönlendirilmiş bir yay çizilir.

Örnek 1.11. Modülo 3'teki karşılaştırılabilirlik ilişkisi grafiği

Bitişikliklerin bir listesini belirtme. Kümenin her elemanı için, onunla belirli bir ilişki içinde olan elemanlar listelenir.

Örnek 1.12. M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) kümesindeki eş asal bağıntı için komşulukların listesi şuna benzer:

İkili ilişkilerin özelliklerinin yorumunu onları tanımlayan grafik ve matrisler üzerinde verelim.

Teorem 1.1. Aşağıdaki ifadeler doğrudur.

1. Dönüşlü bir ilişkinin komşuluk matrisinin köşegeni birlerden oluşur.

2. Simetrik bir ilişkinin simetrik bir bitişiklik matrisi vardır

3. Dönüşlü ilişki grafiğinin her köşede döngüleri vardır.

4. Yay bağlantısıyla birlikte simetrik bir ilişkinin grafiği X

y ile, y'yi x'e bağlayan bir yay içerir.

5. Geçişli ilişki grafiği aşağıdaki özellik: eğer üstten x, yaylar boyunca hareket ederek y tepe noktasına ulaşabilirsiniz, o zaman grafiğin x'i y'ye doğrudan bağlayan bir yayın olması gerekir.

Açıklama 1.2. Simetrik için

döngüler genellikle gösterilmemiştir ve bu köşeleri birbirine bağlayan yönlendirilmiş yay çiftlerinin yerini tek - yönlendirilmemiş - yay almıştır.

Örneğin, Örnek 1.11'deki grafik, Şekil 1'de gösterilene benzeyecektir. 1.2.

ve yansımalı ilişkiler

Alıştırma 1.4.

1. Bitişiklik matrisinin özelliklerini tanımlayın: a) yansıma karşıtı tutum; b) asimetrik ilişki; c) antisimetrik aşınma; d) geçişli ilişki.

2. Grafiğin özelliklerini tanımlayın: a) yansıma önleyici tutum; b) asimetrik ilişki; c) antisimetrik ilişki.

1.4. Denklik ilişkisi

Tanım 1.8. Yeniden özelliklerine sahip ikili bir ilişki

Esneklik, simetri ve geçişliliğe eşdeğerlik ilişkisi denir.

Örnek 1.13. Karşılaştırılabilirlik ilişkisi (herhangi bir modüle göre)

bir denklik ilişkisidir.

Verilen bir eşdeğerlik ilişkisinde M kümesinin her bir elemanıyla, onunla birlikte olan tüm elemanları ilişkilendirelim: Mx = (y M | xRy). Aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 1.2. M x ve M y kümeleri ya kesişmiyor ya da aynı

Kanıt. Aynı sınıfın tüm elemanları birbirine eşdeğerdir; yani eğer x, y Mz, o zaman xRy. Aslında x, y Mz olsun, dolayısıyla xRz ve yRz olsun. R oranının simetrisine göre zRy'ye sahibiz. Daha sonra geçişlilik nedeniyle xRz ve zRy'den xRy'yi elde ederiz.