Главното својство на дропка. Правила

Во математиката Различни видовибројките се проучувани уште од нивното основање. Постои голем број намножества и подмножества на броеви. Меѓу нив се цели броеви, рационални, ирационални, природни, парни, непарни, сложени и дробни. Денес ќе анализираме информации за последното множество - дробни броеви.

Дефиниција на дропки

Дропките се броеви кои се состојат од цел број дел и дропки на единица. Исто како цели броеви, има бесконечен број на дропки помеѓу два цели броеви. Во математиката, операциите со дропки се изведуваат на ист начин како и со цели броеви и природни броеви. Тоа е прилично едноставно и може да се научи во неколку лекции.

Во написот се претставени два вида

Заеднички дропки

Обични дропки се цел број а и два броја запишани преку дропската права b/c. Вообичаените дропки можат да бидат исклучително удобни ако фракциониот дел не може да се претстави во рационална децимална форма. Покрај тоа, попогодно е да се вршат аритметички операции преку фракционата линија. Горниот делсе нарекува броител, долниот е именителот.

Операции со обични дропки: примери

Главното својство на дропка. Намножејќи ги броителот и именителот со истиот број кој не е нула, резултатот е број еднаков на дадениот. Ова својство на дропка совршено помага да се обезбеди именител за собирање (ова ќе се дискутира подолу) или да се скрати дропка и да се направи поудобно за броење. a/b = a*c/b*c. На пример, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Намалување на заеднички именител.За да го добиете именителот на дропка, треба да го претставите именителот во форма на множители, а потоа да се помножите со броевите што недостасуваат. На пример, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Гледаме дека именителот се разликува за два, па броителот и именителот на првата дропка ги множиме со 2. Добиваме: 14/30 и 12/30.

Сложени фракции- обични дропки со истакнат целиот дел. (A b/c) За да претставите сложена дропка како заедничка дропка, треба да го помножите бројот пред дропката со именителот, а потоа да го соберете со броителот: (A*c + b)/c.

Аритметички операции со дропки

Би било добра идеја да се земат предвид добро познатите аритметички операции само кога се работи со дробни броеви.

Собирање и одземање.Собирањето и одземањето на дропки е исто толку лесно како и собирањето и одземањето на цели броеви, освен за една тешкотија - присуство на дропка линија. Кога се собираат дропки со ист именител, потребно е само да се соберат броителите на двете дропки. На пример: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Ако именители на две дропки се различни броевипрво треба да ги доведете до заедничка точка (како да го направите ова беше дискутирано погоре). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Одземањето го следи токму истиот принцип: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Множење и делење. Акциисо дропки се јавува множење според на следниот принцип: броителите и именителот се множат посебно. ВО општ погледФормулата за множење изгледа вака: a/b *c/d = a*c/b*d. Дополнително, како што се множите, можете да ја намалите дропката со елиминирање на слични фактори од броителот и именителот. Со други зборови, броителот и именителот се делат со ист број: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

За да поделите една обична дропка со друга, треба да ги смените броителот и именителот на делителот и да помножите две дропки според принципот дискутиран претходно: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/ 11 * 25 = 1/5

Децимали

Децималите се попопуларна и најчесто користена верзија дробни броеви. Полесно е да ги запишете на линија или да ги претставите на компјутер. Структурата на децималната е следна: прво се запишува целиот број, а потоа по децималната точка се запишува дробниот дел. Во нивното јадро, децималите се композитни дропки, но нивниот дробен дел е претставен со број поделен со множител од 10. Оттука доаѓа нивното име. Операциите со децимални дропки се слични на операциите со цели броеви, бидејќи тие исто така се запишани во декадниот броен систем. Исто така, за разлика од обичните дропки, децималите можат да бидат ирационални. Ова значи дека тие можат да бидат бесконечни. Тие се напишани вака: 7, (3). Следниот запис гласи: седум точки три, три десетинки во период.

Основни операции со децимални броеви

Собирање и одземање децимали.Работата со дропки не е потешка од работата со цели природни броеви. Правилата се апсолутно слични на оние што се користат при собирање или одземање на природни броеви. Тие можат да се сметаат за колона на ист начин, но доколку е потребно, заменете ги местата што недостасуваат со нули. На пример: 5,5697 - 1,12. За да извршите одземање колона, треба да го изедначите бројот на броеви по децималната точка: (5,5697 - 1,1200). Значи, нумеричката вредност нема да се промени и може да се брои во колона.

Операции со децимални дропки не можат да се извршат ако една од нив има ирационална форма. За да го направите ова, треба да ги претворите двата броја во обични дропки, а потоа да ги користите техниките опишани претходно.

Множење и делење.Множењето децимали е слично на множењето природни дропки. Тие, исто така, може да се множат во колона, едноставно, без да се обрнува внимание на запирката, а потоа да се одделат со запирка во конечната вредност ист број цифри како и вкупниот број откако децималната точка е во две децимални дропки. На пример, 1,5 * 2,23 = 3,345. Сè е многу едноставно и не треба да предизвикува потешкотии ако веќе сте го совладале множењето на природните броеви.

Поделбата е исто како и поделбата на природните броеви, но со мало отстапување. За да се подели со децимален број со колона, треба да ја отфрлите децималната точка во делителот и да ја помножите дивидендата со бројот на цифри по децималната точка во делителот. Потоа изврши делење како со природните броеви. Кога се делите нецелосно, можете да додадете нули на дивидендата од десната страна, а исто така да додадете нула на одговорот по децималната точка.

Примери на операции со децимали.Децималите се многу погодна алатка за аритметички пресметки. Тие ја комбинираат практичноста на природните броеви, цели броеви и прецизноста на дропките. Покрај тоа, доста е лесно да се претворат некои фракции во други. Операциите со дропки не се разликуваат од операциите со природни броеви.

1. Додаток: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Одземање: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Множење: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Поделба: 3,6: 0,6 = 6

Исто така, децималите се погодни за претставување на проценти. Значи, 100% = 1; 60% = 0,6; и обратно: 0,659 = 65,9%.

Тоа е се што треба да знаете за дропките. Статијата испитуваше два вида дропки - обични и децимални. И двете се прилично едноставни за пресметување и ако целосно сте ги совладале природните броеви и операциите со нив, можете безбедно да започнете да учите дропки.

Дропка- број кој се состои од цел број на дропки на единица и е претставен во форма: а/б.

Броител на дропка (а)- бројот што се наоѓа над линијата на дропка и го покажува бројот на акции на кои е поделена единицата.

Именителот на дропка (б)- број кој се наоѓа под линијата на дропка и покажува на колку делови е поделена единицата.

2. Намалување на дропките на заеднички именител

3. Аритметички операциипогоре обични дропки

3.1. Собирање на обични дропки

3.2. Одземање на дропки

3.3. Множење на заеднички дропки

3.4. Делење дропки

4. Реципрочни броеви

5. Децимали

6. Аритметички операции на децимали

6.1. Додавање децимали

6.2. Одземање децимали

6.3. Множење децимали

6.4. Децимална поделба

#1. Главното својство на дропка

Ако броителот и именителот на дропка се помножат или поделат со ист број кој не е еднаков на нула, се добива дропка еднаква на дадената.

3/7=3*3/7*3=9/21, односно 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - вака изгледа главното својство на дропка.

Со други зборови, добиваме дропка еднаква на дадената со множење или делење на броителот и именителот на првобитната дропка со истиот природен број.

Ако реклама = п.н.е, тогаш две дропки a/b =c /d се сметаат за еднакви.

На пример, дропките 3/5 и 9/15 ќе бидат еднакви, бидејќи 3*15=5*9, односно 45=45

Намалување на дропкае процес на замена на дропка во која новата дропка е еднаква на првобитната, но со помал броител и именител.

Вообичаено е да се намалуваат дропките врз основа на основното својство на дропката.

На пример, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (броителот и именителот се делат со бројот 3, со 5 и со 15).

Нередуцирана дропкае дел од формата 3/4 ​ ​ , каде што броителот и именителот се меѓусебни примарни броеви. Главната цел на намалување на дропка е да се направи дропка нередуцирана.

2. Намалување на дропките на заеднички именител

За да донесете две дропки до заеднички именител, треба:

1) множете го именителот на секоја дропка во прости множители;

2) броителот и именителот на првата дропка помножете ги со оние што недостасуваат

фактори од проширувањето на вториот именител;

3) броителот и именителот на втората дропка помножете ги со факторите што недостасуваат од првото проширување.

Примери: Намали ги дропките на заеднички именител.

Да ги факторизираме именителот во едноставни фактори: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Помножете ги броителот и именителот на дропката со факторот 5 што недостасува од второто проширување.

броител и именител на дропката во множителите 3 и 2 што недостасуваат од првото проширување.

= , 90 – заеднички именител на дропките.

3. Аритметички операции на обични дропки

3.1. Собирање на обични дропки

а) Ако именителот се исти, броителот на првата дропка се додава на броителот на втората дропка, оставајќи го именителот ист. Како што можете да видите во примерот:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) За различни именители, дропките прво се сведуваат на заеднички именител, а потоа броителите се собираат според правилото а):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Одземање на дропки

а) Ако именителот се исти, одземете го броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, оставајќи го именителот ист:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Ако именителите на дропките се различни, тогаш прво дропките се сведуваат на заеднички именител, а потоа се повторуваат чекорите како во точката а).

3.3. Множење на заеднички дропки

Множењето на дропките го почитува следново правило:

a/b*c/d=a*c/b*d,

односно одделно ги множат броителите и именителот.

На пример:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Делење дропки

Дропките се делат на следниов начин:

a/b:c/d=a*d/b*c,

односно дропката a/b се множи со инверзната дропка на дадената, односно се множи со d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Реципрочни броеви

Ако a*b=1,тогаш бројот b е реципрочен бројза бројот а.

Пример: за бројот 9 реципрочно е 1/9 ​ ​ , од 9*1/9 = 1 , за бројот 5 - инверзниот број 1/5 ​ ​ , бидејќи 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Децимали

Децималнае правилна дропка чиј именител е еднаков на 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

На пример: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

На ист начин се пишуваат и неточните со именител 10^nили мешани броеви.

На пример: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Секоја обична дропка со именител кој е делител на одреден степен од 10 е претставена како децимална дропка.

менувач, кој е делител на одреден степен на бројот 10.

Пример: 5 е делител на 100, значи е дропка 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Аритметички операции на децимали

6.1. Додавање децимали

За да додадете две децимални дропки, треба да ги распоредите така што да има идентични цифри една под друга и запирка под запирка, а потоа да ги соберете дропките како обични броеви.

6.2. Одземање децимали

Се изведува на ист начин како додавање.

6.3. Множење децимали

При множење децимални броевиДоволно е да се помножат дадените броеви, не обрнувајќи внимание на запирки (како природните броеви), а при добиениот одговор, запирка од десната страна издвојува онолку цифри колку што има после децималната точка во двата фактора вкупно.

Ајде да помножиме 2,7 со 1,3. Ние имаме 27\cточка 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Одделуваме две цифри од десната страна со запирка (првиот и вториот број имаат една цифра по децималната точка; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Како резултат добиваме 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ако добиениот резултат содржи помалку цифри отколку што треба да се одделат со запирка, тогаш нулите што недостасуваат се напишани пред, на пример:

За да се помножите со 10, 100, 1000, треба да ја преместите децималната точка 1, 2, 3 цифри надесно (доколку е потребно, одреден број нули се доделуваат десно).

На пример: 1,47\cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Децимална поделба

Делењето децимална дропка со природен број се врши на ист начин како и делењето на природен број со природен број. Запирката во количник се става откако ќе се заврши делењето на целиот дел.

Ако целобројниот дел од дивидендата помал од делител, тогаш одговорот излегува дека е нула цели броеви, на пример:

Ајде да погледнеме како делиме децимална со децимала. Да речеме дека треба да се подели 2.576 со 1.12. Најпрво, да ги помножиме дивидендата и делителот на дропката со 100, односно да ја поместиме децималната точка надесно во дивидендата и делителот за онолку цифри колку што има во делителот по децималната точка (во во овој примерод двајца). Потоа треба да ја поделите дропот 257,6 со природниот број 112, односно проблемот се сведува на веќе разгледаниот случај:

Се случува конечниот резултат да не се добива секогаш децималнакога се дели еден број со друг. Резултатот е бесконечна децимална дропка. Во такви случаи, преминуваме на обични дропки.

На пример, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Множење и делење дропки.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Оваа операција е многу поубава од собирање-одземање! Затоа што е полесно. За потсетување, за да помножите дропка со дропка, треба да ги помножите броителите (ова ќе биде броител на резултатот) и именители (ова ќе биде именителот). Тоа е:

На пример:

Сè е исклучително едноставно. И ве молам не барајте заеднички именител! Не ти треба овде...

За да се подели дропка со дропка, треба да се врати назад второ(ова е важно!) дропка и помножи ги, т.е.

На пример:

Ако наидете на множење или делење со цели броеви и дропки, во ред е. Како и со собирањето, правиме дропка од цел број со еден во именителот - и одиме напред! На пример:

Во средно училиште, честопати треба да се занимавате со дропки од три ката (па дури и четирикатни!). На пример:

Како можам да направам оваа дропка да изгледа пристојно? Да, многу едноставно! Користете поделба во две точки:

Но, не заборавајте за редоследот на поделба! За разлика од множењето, ова е многу важно овде! Се разбира, нема да мешаме 4:2 или 2:4. Но, лесно е да се направи грешка во фракција од три ката. Забележете на пример:

Во првиот случај (израз лево):

Во вториот (израз на десната страна):

Дали ја чувствувате разликата? 4 и 1/9!

Што го одредува редоследот на делење? Или со загради, или (како овде) со должина на хоризонтални линии. Развијте го вашето око. И ако нема загради или цртички, како:

потоа дели и множи по ред, од лево кон десно!

И, исто така, многу едноставно и важна техника. Во акции со степени, тоа ќе ви биде толку корисно! Ајде да поделиме еден со која било дропка, на пример, со 13/15:

Истрелот се превртел! И ова секогаш се случува. Кога се дели 1 со која било дропка, резултатот е иста дропка, само наопаку.

Толку за операции со дропки. Работата е прилично едноставна, но дава повеќе од доволно грешки. Забелешка практични совети, и ќе ги има помалку (грешки)!

Практични совети:

1. Најважно кога работите со фракциони изрази е точноста и внимателноста! Ова не се општи зборови, не се добри желби! Ова е страшна потреба! Направете ги сите пресметки на Единствениот државен испит како полноправна задача, фокусирана и јасна. Подобро е да напишете две дополнителни линии во нацртот отколку да се збркате кога правите ментални пресметки.

2. Во примери со различни типовидропки - оди на обични дропки.

3. Ги намалуваме сите фракции додека не застанат.

4. Дробните изрази на повеќе нивоа ги намалуваме на обични користејќи делење преку две точки (го следиме редоследот на делење!).

5. Поделете единица со дропка во вашата глава, едноставно превртувајќи ја дропот.

Еве кои задачи дефинитивно треба да ги решите. Одговорите се даваат по сите задачи. Користете ги материјалите на оваа тема и практични совети. Проценете колку примери сте успеале да решите правилно. Првиот пат! Без калкулатор! И донесете правилни заклучоци...

Запомнете - точниот одговор е добиено од второто (особено третото) време не се брои!Таков е суровиот живот.

Значи, решаваат во режим на испит ! Патем, ова е веќе подготовка за обединет државен испит. Го решаваме примерот, го проверуваме, го решаваме следниот. Решивме сè - повторно проверено од прво до последно. Но само Потоапогледнете ги одговорите.

Пресметајте:

Дали одлучивте?

Бараме одговори кои одговараат на вашите. Намерно ги запишав неред, далеку од искушенија, демек... Еве ги одговорите напишани со точка-запирка.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Сега извлекуваме заклучоци. Ако сè успеа, среќен сум за вас! Основни пресметкисо дропки - не е ваш проблем! Можете да правите посериозни работи. Ако не...

Значи, имате еден од двата проблеми. Или и двете одеднаш.) Недостиг на знаење и (или) невнимание. Но, ова решлив Проблеми.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Примерите со дропки се еден од основните елементи на математиката. Има многу различни типовиравенки со дропки. Подолу е детални инструкцииза решавање на примери од овој тип.

Како се решаваат примери со дропки - општи правила

За да решите примери со дропки од кој било тип, било да е тоа собирање, одземање, множење или делење, треба да ги знаете основните правила:

• За да додадете фракциони изрази со ист именител (именителот е бројот на дното на дропката, броителот на врвот), треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот ист.
• За да се одземе втор фракционо израз (со ист именител) од една дропка, треба да ги одземе нивните броители и да го остави именителот ист.
• За да собирате или одземете дропки со различни именители, треба да го најдете најмалиот заеднички именител.
• За да најдете дробен производ, треба да ги помножите броителите и именителот и, ако е можно, да намалите.
• За да се подели дропка со дропка, се множи првата дропка со втората дропка обратна.

Како се решаваат примери со дропки - вежбајте

Правило 1, пример 1:

Пресметај 3/4 +1/4.

Според правилото 1, ако две (или повеќе) дропки имаат ист именител, едноставно ги додавате нивните броители. Добиваме: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ако една дропка има ист броител и именител, дропката ќе биде еднаква на 1.

Одговор: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Пресметајте: 3/4 – 1/4

Користејќи го правилото број 2, за да ја решите оваа равенка треба да одземете 1 од 3 и да го оставите именителот ист. Добиваме 2/4. Бидејќи две 2 и 4 можат да се намалат, намалуваме и добиваме 1/2.

Одговор: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Пресметај: 3/4 + 1/6

Решение: Користејќи го третото правило, го наоѓаме најмалиот заеднички именител. Најмал заеднички именител е бројот што е делив со именители на сите дропски изрази во примерот. Така, треба да го најдеме минималниот број што ќе биде делив и со 4 и со 6. Овој број е 12. Поделете 12 со именителот на првата дропка. 3 во броителот *3 и знакот +. Поделете 12 со именителот на втората дропка, добиваме 2, помножете 2 со 1, напишете 2 * 1 во броителот. Значи, добиваме нова дропка со именител еднаков на 12 и броител еднаков на 3*3+2*1=11. 11/12.

Одговор: 12.11

Правило 3, Пример 2:

Пресметајте 3/4 – 1/6. Овој пример е многу сличен на претходниот. Ги правиме сите исти чекори, но во броителот наместо знакот +, пишуваме знак минус. Добиваме: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Одговор: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Пресметајте: 3/4 * 1/4

Користејќи го четвртото правило, го множиме именителот на првата дропка со именителот на втората и броителот на првата дропка со броителот на втората. 3*1/4*4 = 3/16.

Одговор: 16.3

Правило 4, Пример 2:

Пресметајте 2/5 * 10/4.

Оваа фракција може да се намали. Во случај на производ, броителот на првата дропка и именителот на втората и броителот на втората дропка и именителот на првата се поништуваат.

2 откажува од 4. 10 откажува од 5. Добиваме 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

Одговор: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Пресметајте: 3/4: 5/6

Користејќи го 5-тото правило, добиваме: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Дропката ја намалуваме според принципот на претходниот пример и добиваме 9/10.

Одговор: 9/10.

Како се решаваат примери со дропки - дробни равенки

Дробните равенки се примери каде што именителот содржи непозната. За да решите таква равенка, треба да користите одредени правила.

Ајде да погледнеме на пример:

Решете ја равенката 15/3x+5 = 3

Да потсетиме дека не можете да делите со нула, т.е. вредноста на именителот не смее да биде нула. При решавање на такви примери, тоа мора да се наведе. За таа цел, постои ОА (дозволена вредност опсег).

Значи 3x+5 ≠ 0.
Оттука: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

На x = 5/3 равенката едноставно нема решение.

Откако го посочи ОДЗ, на најдобар можен начинодлучи дадена равенкаќе се ослободи од дропките. За да го направите ова, прво ги прикажуваме сите нефракциони вредности како дропка, во овој случај бројот 3. Добиваме: 15/(3x+5) = 3/1. За да се ослободите од дропките, треба да ја помножите секоја од нив со најмал заеднички именител. Во овој случај ќе биде (3x+5)*1. Секвенционирање:

1. Помножете 15/(3x+5) со (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Отворете ги заградите: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Ние го правиме истото со десна странаравенки: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Изедначуваме лево и десна страна: 45x + 75 = 9x +15
5. Поместете ги X-овите налево, броевите надесно: 36x = – 50
6. Најдете x: x = -50/36.
7. Намалуваме: -50/36 = -25/18

Одговор: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Како се решаваат примери со дропки - дробни неравенки

Дробните неравенки од типот (3x-5)/(2-x)≥0 се решаваат со помош на бројната оска. Да го погледнеме овој пример.

Секвенционирање:

• Ги изедначуваме броителот и именителот на нула: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Ние цртаме бројна оска, пишувајќи ги добиените вредности на неа.
• Нацртајте круг под вредноста. Постојат два вида кругови - пополнети и празни. Пополнет круг значи тоа дадена вредносте вклучен во палетата на решенија. Празен круг покажува дека оваа вредност не е вклучена во опсегот на решенија.
• Бидејќи именителот не може да биде еднаква на нула, под 2-ри ќе има празен круг.

• За да ги одредиме знаците, заменуваме кој било број поголем од два во равенката, на пример 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. вредноста е негативна, што значи дека по двете запишуваме минус над областа. Потоа заменете за X која било вредност од интервалот од 5/3 до 2, на пример 1. Вредноста е повторно негативна. Ние пишуваме минус. Истото го повторуваме и со површината лоцирана до 5/3. Заменуваме кој било број помал од 5/3, на пример 1. Повторно, минус.

• Бидејќи ние сме заинтересирани за вредностите на x при кои изразот ќе биде поголем или еднаков на 0, а нема такви вредности (секаде има минуси), оваа неравенка нема решение, односно x = Ø (празен сет).

Одговор: x = Ø

непознат број.

непознат број.

тогаш излегува дека е 100. Најдете го бројот.

499*. Ако зголемите непознат број за 2/3 од него, ќе добиете 60. Кој број е ова?

Најдете го непознатиот број.

_____________________________________________________________

501. 1) Приносот на компирот при садење во квадратни кластери е во просек 150 центи по хектар, а со конвенционално садење оваа количина. Колку повеќе компири може да се соберат од површина од 15 хектари ако се садат компири со методот на квадратни кластери?

2) Искусен работник произвел 18 делови за 1 час, а неискусен работник произвел 2/3 од оваа сума. Уште колку делови може да произведе искусен работник во 7-часовен ден?

502. 1) Пионерите собрани во рамките три дена 56 кг различни семиња. Првиот ден се собраа 3/14 од вкупната количина, вториот - еден и пол пати повеќе, а третиот - остатокот од зрното. Колку килограми семки собраа пионерите на третиот ден?

2) При мелењето на пченицата резултатот бил: брашно 4/5 од вкупната количина на пченица, гриз - 40 пати помалку од брашното, а остатокот е трици. Колку брашно, гриз и трици посебно се произведени при мелење 3 тони пченица?

503. 1) Три гаражи можат да сместат 460 автомобили. Бројот на автомобили што се вклопуваат во првата гаража е 3/4 од бројот на автомобили што се вклопуваат во втората, а во третата гаража е 1 1/2 пати повеќе автомобилиотколку во првиот. Колку автомобили има во секоја гаража?

2) Фабрика со три работилници вработува 6.000 работници. Во втората работилница има 1 1/2 пати помалку работници отколку во првата, а бројот на работници во третата работилница е 5/6 од бројот на работници во втората работилница. Колку работници има во секоја работилница?

504. 1) Прво 2/5, потоа 1/3 од вкупниот керозин се истуриле од резервоар со керозин, а потоа во резервоарот останале 8 тони керозин. Колку керозин имаше првично во резервоарот?

2) Велосипедистите се тркаа внатре во рок од триденови. Првиот ден поминаа 4/15 од целото патување, вториот 2/5, а третиот ден преостанатите 100 км. Колку пат поминале велосипедистите за три дена?

505. 1) Мразокршачот три дена се бореше низ леденото поле. Првиот ден помина 1/2 од целото растојание, вториот ден 3/5 од преостанатото растојание, а третиот ден преостанатите 24 километри. Најдете ја должината на патеката што ја покрива мразокршачот за три дена.

2) Три групи ученици засадија дрвца. Првиот одред засади 7/20 од сите дрвја, вториот 5/8 од останатите дрвја, а третиот преостанатите 195 дрвја. Колку дрвја вкупно засадија трите тима?

506 . 1) Комбајн собра пченица од една парцела за три дена. Првиот ден жнееше од 18/5 од целата површина на парцелата, вториот ден од 13/7 од преостанатата површина, а третиот ден од преостанатата површина од 30 1/2. хектари. Од секој хектар во просек се собирале по 20 центи пченица. Колку пченица е собрана на целата област?

2) Првиот ден учесниците на релито поминаа 3/11 од целата рута, вториот ден 7/20 од преостанатата рута, третиот ден 5/13 од новиот остаток, а четвртиот ден преостанатиот 320 км. Колку е долга рутата на релито?

507. 1) Првиот ден автомобилот помина 3/8 од целото растојание, вториот ден 15/17 од она што го помина првиот, а третиот ден преостанатите 200 км. Колку бензин се потрошил ако автомобилот троши 1 3/5 кг бензин на 10 км?

2) Градот се состои од четири области. 4/13 од сите жители на градот живеат во првата област, 5/6 од жителите на првата област живеат во втората, 4/11 од жителите на првите две области заедно живеат во третата, а 18 илјади луѓето живеат во четвртата област. Колку леб му е потребно на целото население на градот за 3 дена, ако просечно еден човек консумира 500 гр дневно?

508. 1) Туристот пешачеше првиот ден 10/31 од целото патување, на вториот 9/10 од она што го одеше првиот ден, а на третиот - остатокот од патувањето, а третиот ден пешачеше. 12 километри повеќе од вториот ден. Колку километри пешачеше туристот во секој од трите дена?

2) Автомобилот ја помина целата рута од градот А до градот Б за три дена. Првиот ден автомобилот помина 7/20 од целото растојание, вториот 8/13 од преостанатото растојание, а третиот ден автомобилот помина 72 километри помалку од првиот ден. Колку е растојанието помеѓу градовите А и Б?

509 . 1) Извршниот комитет им додели земјиште на работниците од три фабрики за градинарски парцели. На првиот погон му беа доделени 9/25 од вкупниот број парцели, на вториот погон 5/9 од бројот на парцелите доделени за првата, а на третиот - на останатите парцели. Колку вкупно парцели биле доделени на работниците од три фабрики, ако на првата фабрика и биле доделени 50 парцели помалку од третата?

2) Авионот испорача смена на зимски работници во поларна станицаод Москва за три дена. Првиот ден прелетал 2/5 од целото растојание, вториот 5/6 од растојанието што го поминал првиот ден, а третиот ден прелетал 500 километри помалку од вториот ден. Колку летал авионот за три дена?

510 . 1) Фабриката имаше три работилници. Бројот на работници во првата работилница е 2/5 од сите работници во фабриката; во втората работилница има 1 1/2 пати помалку работници отколку во првата, а во третата работилница има 100 работници повеќе од втората. Колку работници има во фабриката?

2) Во колективната фарма се вклучени жители од три соседни села. Бројот на семејства во првото село е 3/10 од сите семејства на колективната фарма; во второто село бројот на семејства е 1 1/2 пати поголем од првото, а во третото село бројот на семејства е за 420 помали од второто. Колку семејства има на колективната фарма?

511 . 1) Артел потроши 1/3 од залихите на суровини во првата недела, а 1/3 од остатокот во втората недела. Колку суровина останува во артел ако во првата недела потрошувачката на суровини била 3/5 тони повеќе отколку во втората недела?

2) Од увезениот јаглен, 1/6 од него се потрошиле за затоплување на куќата во првиот месец, а 3/8 од остатокот во вториот месец. Колку јаглен останува за загревање на куќата ако во вториот месец се потрошиле 1 3/4 тони повеќе отколку во првиот месец?

512 . 3/5 од вкупното земјиште на колективната фарма е наменето за сеидба на жито, 13/36 од остатокот е окупирано со зеленчукови градини и ливади, остатокот од земјиштето е шума, а засеаната површина на колективната фарма е 217 хектари повеќе површинашуми, 1/3 од земјиштето наменето за житни култури се сее со 'рж, а остатокот со пченица. Колку хектари земја посеа колективната фарма со пченица, а колку со 'рж?

513. 1) Трамвајската траса е долга 14 3/8 km. По оваа рута, трамвајот прави 18 застанувања, трошејќи во просек до 1 1/6 минута по застанување. Просечната брзина на трамвајот по целата траса е 12 1/2 км на час. Колку време е потребно за трамвај да заврши едно патување?

2) Автобуска линија 16 км. По оваа рута автобусот прави 36 постојки, по 3/4 мин. во просек секој. Просечната брзина на автобусот е 30 километри на час. Колку време трае автобусот за една релација?

514*. 1) 6 часот е навечер. Кој дел од денот останува и кој дел го сочинува изминатиот дел од денот?

2) Пароброд го поминува растојанието помеѓу два града со струја за 3 дена. и назад истото растојание за 4 дена. Колку дена сплавовите ќе лебдат низводно од еден град во друг?

516 . Најдете го просекот аритметички броеви:

Колку километри просечно пешачеше на час?

519. 1) Трактористот ја заврши задачата за орање на земјата за три дена. На првиот ден тој

дали трактористот ја изора земјата за еден ден?

2) Група ученици, правејќи тридневно туристичко патување, беа на пат кон првиот

дали учениците беа во движење секој ден?

520. 1) Во куќата живеат три семејства. Првото семејство има 3 сијалици за осветлување на станот, второто има 4 и третото има 5 сијалици. Колку треба секое семејство да плати за струја ако сите светилки беа исти, а вкупната сметка за струја (за целата куќа) беше 7 1/5 рубли?

2) Полирач ги полирал подовите во куќа во која живееле три семејства. Првото семејство имало простор за живеење

2 Бришење. 08 коп. Колку платило секое семејство?

Во просек, компири собрани од секоја грмушка?

2) Ако ги соберете бројките што ја изразуваат ширината на Татарскиот и Керченскиот Проток

секој теснец?

2) Острови Нова Земја, Сахалин и Севернаја Землија заедно ја окупираат областа

наведени острови?

областа на третата. Колкава е површината на втората соба?

ден. Колку часа патувал велосипедистот на вториот ден од натпреварувањето?

секое парче железо?

житарки, тогаш во двете кутии ќе има еднакви количини житарки. Колку житарки има во секоја кутија?

во секоја кутија?

Која е брзината на речниот тек?

529 . 1) Во две гаражи има 110 автомобили, а во едната има 1 1/5 пати повеќе отколку во другата. Колку автомобили има во секоја гаража?

____________________________________________________________

530 . 1) Легура која се состои од бакар и сребро тежи 330 g Тежината на бакарот во оваа легура

Најдете ги овие бројки.

Најдете ги овие бројки.

ученици во паралелка според списокот, ако има 20 повеќе присутни отколку отсутни?

колку години има твојот син?

535 . Именителот на дропка е за 11 единици поголем од неговиот броител. На што е еднаква дропката ако

№ 536-№ 537 усно.

втор број?

број? Кој дел од вториот број е првиот?

момче, се нумерички еднакви - бројот на печурки собрани од второто момче. Колку печурки собра секое момче?

2) Во институцијата се вработени 27 лица. Колку мажи, а колку жени работат?

540*. Три момчиња купија одбојка. Определете го придонесот на секое момче, знаејќи

трето момче поголем придонеспрвиот за 64 копејки.

втор број.

_______________________________________

542 .1) Првиот тим може да заврши некоја работа за 36 дена, а вториот за 45 дена. За колку дена двата тима, работејќи заедно, ќе ја завршат оваа работа?

2) Патнички воз го поминува растојанието меѓу два града за 10 часа, а товарниот воз го поминува ова растојание за 15 часа. И двата воза тргнаа од овие градови во исто време еден кон друг. За колку часа ќе се сретнат?

двата града во исто време еден кон друг? (Заокружете го одговорот до најблискиот 1 час.)

2) Двајца мотоциклисти заминаа истовремено од два града еден кон друг. Еден мотоциклист може да го помине целото растојание меѓу овие градови за 6 часа, а друг за 5 часа. Колку часа по поаѓањето ќе се сретнат мотоциклистите? (Заокружете го одговорот до најблискиот 1 час.)

544 . 1) Три автомобили со различна носивост можат да пренесат одреден товар,

работи одделно: првиот - за 10 часа, вториот - за 12 часа. а третиот - за 15 часа. Колку часа можат да превезуваат ист товар работејќи заедно?

2) Два воза заминуваат од две станици истовремено еден кон друг: првиот воз

часови по тргнувањето на возот ќе се сретнат?

545 . 1) Две чешми се поврзани со кадата. Преку една од нив може да се наполни кадата

ги отвори двете чешми одеднаш?

2) Двајца дактилографи мора повторно да го напишат ракописот. Првата дактилографка може да настапи

дактилографи ако работат истовремено?

546. 1) Базенот се полни со првата цевка за 5 часа, а преку втората цевка може да се испразни за 6 часа. За колку часа ќе се наполни целиот базен ако двете цевки се отворат истовремено?

Индикација: За еден час базенот се полни до (1/5 - 1/6) од неговиот капацитет.

2) Два трактори ја изораа полето за 6 часа. Првиот трактор, работејќи сам, можеше да го изора ова поле за 15 часа. Колку часа би му биле потребни на втор трактор да го изора ова поле, работејќи сам?

547 *. Два воза заминуваат од две станици истовремено еден кон друг и се среќаваат 18 часа по нивното поаѓање. Колку време му е потребно на вториот воз да го помине растојанието помеѓу станиците ако првиот воз го помине ова растојание за 1 ден и 21 час?

548 *. Базенот е исполнет со две цевки. Прво беше отворена првата цевка, а потоа преку

работејќи заедно, базенот се наполни. Определете го капацитетот на базенот ако низ втората цевка се истураат 200 кофи вода на час.

______________________________________________________________________________

Ленинград 650 км?

2) Од колективната фарма до градот 24 км. Камион ја напушта колективната фарма и патува 1 км внатре

со половина брзина од камион. Колку долго по заминувањето велосипедистот ќе се сретне со камионот?

Колку часа по заминувањето на пешакот ќе го престигне велосипедистот?

Колку време ќе му треба на брзиот воз за да го стигне товарниот воз?

551 . 1) Од двете колективни фарми низ кои минува патот до регионалниот центар тргнавме

растојание помеѓу колективните фарми.

поголема брзина на возот. Колку часа по полетувањето авионот ќе го стигне возот?

552 . 1) Растојанието помеѓу градовите покрај реката е 264 km. Бродот го поминал ова растојание

Имаше ли брод на секоја станица?

554 . Од Ленинград до Кронштат во 12 часот. денот кога паробродот тргна и помина низ се

прво Во кое време се сретнале двата брода?

555 . Возот морал да помине растојание од 630 километри за 14 часа. Откако помина 2/3 од ова растојание, тој беше задржан 1 час и 10 минути. Со која брзина треба да го продолжи патувањето за без одлагање да стигне до својата дестинација?

556 . Во 04:20 часот. утро товарен воз тргна од Киев за Одеса со просек

ако растојанието помеѓу Киев и Одеса е 663 км?

557* . Часовникот покажува пладне. Колку време ќе биде потребно за да се поклопат стрелките на час и минута?

_____________________________________

училиштето има 420 ученици помалку од второто. Колку ученици има во трите училишта?

559. 1) Два комбајнери работеа во иста област. Откако ќе се отстрани еден комбајн

хектари повеќе од вториот. Во просек од секој хектар се вртеле 32 1/2 квинтали жито. Колку центи жито млатеше секој оператор?

а првиот имаше 2 рубли. 25 копејки повеќе од вториот. Секој плати половина од цената на уредот. Колку пари им остануваат на сите?

560. 1) Од градот А до градот Б, растојанието меѓу нив е 215 км, отиде коласо брзина од 50 километри на час. Во исто време, камион тргна од градот Б кон градот А. Колку километри помина автомобилот пред средбата

2) Помеѓу градовите А и Б 210 км. Патнички автомобил тргна од градот А кон градот Б. Во исто време, камион тргна од градот Б кон градот А. Колку километри поминал камионот пред да се сретне со патничкиот автомобил, ако патничкиот автомобил се движел со брзина од 48 километри на час, и

561. Колективната фарма собираше пченица и 'рж. Со пченица се посеани 20 хектари повеќе отколку

Лебот го остави за да си ги задоволи потребите. Колку патувања требаше да направат камионите од два тона за да го извезат продадениот леб во државата?

562. Во пекарата биле донесени 'рж и пченично брашно. Тежина пченично брашноизнесуваше 3/5 од тежината на 'ржаното брашно, а донесено е 4 тони повеќе 'ржано брашно од пченичното брашно. Колку пченица и колку ржан лебќе ги пече пекарата од ова

првите два дена заедно. Најдете ја должината на автопатот помеѓу колективните фарми.

______________________________________________________________

564 . Пополнете слободни меставо табелата каде што С- површина на правоаголникот, А- основата на правоаголникот, а ч- висина (ширина) на правоаголникот.

Најдете го периметарот и површината на локацијата.

периметар и површина на локацијата.

областа на правоаголникот.

567.

567. Пресметајте ги плоштините на фигурите прикажани на слика 30 така што ќе ги делите на правоаголници и ќе ги најдете димензиите на правоаголникот со мерење.

грав. Колку семиња биле потребни за да се посее парцелата ако се сее 1 центар на 1 хектар?

2) Собрана е жетва на пченица од 25 квинтали по хектар од правоаголна нива. Колку пченица е собрана од целата нива ако должината на нивата е 800 m, а ширината е 3/8 од нејзината должина?

Областа е окупирана од згради. Одредете ја површината на земјиштето под зградите.

Колективната фарма планира да засади градина. Колку дрвја ќе бидат засадени во оваа градина ако за секое дрво е потребна просечна површина од 36 квадратни метри? м?

571 . 1) За нормално дневна светлина на просторијата, потребно е областа

2) Користејќи ја состојбата од претходниот проблем, дознајте дали има доволно светлина во вашата училница.

2) Дрвниот куп од огревно дрво има форма на правоаголен паралелепипед, чии димензии се

во базенот.

574 . Потребно е да се изгради ограда околу правоаголно парче земја, долга 75 метри и широка 45 метри. Колку кубни метри табли треба да влезат во неговата конструкција ако

________________________________________________________________________________

575. 1) Каков агол прават стрелките на минута и час во 13 часот? во 15 часот? во 17 часот? во 21 часот? во 23:30?

2) Колку степени ќе се сврти? часовникза 2 часа? 5 часот? 8 часот? 30 мин.?

кругови?

576. 1) Со транспортер нацртајте: а) прав агол; б) агол од 30°; в) агол од 60°; г) агол од 150°; д) агол од 55°.

2) Користејќи транспортер, измерете ги аглите на сликата и пронајдете го збирот на сите агли на секоја фигура (сл. 31).

577 . Следете ги овие чекори:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" - 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е 100º поголем од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

2) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е за 15 ° помал од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

3) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е двојно поголем од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

4) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е 5 пати помал од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

___________________________________________________________________________

579. 1) Дијаграмот „Писменост на населението во СССР“ (сл. 32) го прикажува бројот на писмени луѓе на сто луѓе од населението. Врз основа на податоците од дијаграмот и неговата скала, определете го бројот на писмени мажи и жени за секоја од посочените години.

2) Користејќи ги податоците од дијаграмот „Советски пратеници во вселената“ (сл. 33), креирајте задачи.

580. 1) Според шемата со пити „Дневна рутина за ученик од петто одделение“ (сл. 34), пополнете ја табелата и одговорете на прашањата: кој дел од денот е наменет за спиење? за домашна работа? на школо?

2) Направете пита шема за вашата дневна рутина.