Formuły korzeniowe. Właściwości korzeni

Lekcja i prezentacja na ten temat:
„Właściwości pierwiastka kwadratowego. Wzory. Przykłady rozwiązań, problemy z odpowiedziami”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Interaktywny podręcznik „Geometria w 10 minut” dla klasy 8
Kompleks edukacyjny „1C: Szkoła. Geometria, klasa 8”

Właściwości pierwiastka kwadratowego

Właściwość 1. Pierwiastek kwadratowy iloczynu dwóch liczb nieujemnych jest równy iloczynowi pierwiastki kwadratowe z tych liczb: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Zwyczajowo jest udowadniać dowolne właściwości, zróbmy to.
Niech $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Następnie musimy udowodnić, że $x=y*z$.
Podnieśmy każde wyrażenie do kwadratu.
Jeśli $\sqrt(a*b)=x$, to $a*b=x^2$.
Jeśli $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, to podnosząc oba wyrażenia do kwadratu, otrzymamy: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, czyli $x^2=(y*z)^2$. Jeśli kwadraty dwóch liczb nieujemnych są równe, to same liczby są równe i właśnie to należy udowodnić.

Z naszej własności wynika, że ​​np. $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Uwaga 1. Właściwość jest również prawdziwa w przypadku, gdy pod pierwiastkiem znajdują się więcej niż dwa czynniki nieujemne.
Własność 2. Jeśli $a≥0$ i $b>0$, to zachodzi równość: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Oznacza to, że pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.
Dowód.
Skorzystajmy z tabeli i krótko udowodnijmy naszą własność.

Przykłady wykorzystania własności pierwiastków kwadratowych

Rozwiązanie.
Możemy oczywiście wziąć kalkulator, pomnożyć wszystkie liczby poniżej pierwiastka i wykonać operację pierwiastkowania. A jeśli nie masz pod ręką kalkulatora, co w takim razie zrobić?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495 $.
Odpowiedź: 495.

Przykład 2. Oblicz: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Rozwiązanie.
Przedstawmy liczbę pierwiastkową jako ułamek niewłaściwy: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Skorzystajmy z własności 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dolara
Odpowiedź: 3.4.

Przykład 3.
Oblicz: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Rozwiązanie.
Możemy ocenić nasze wyrażenie bezpośrednio, ale prawie zawsze można je uprościć. Spróbujmy to zrobić.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Zatem $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Odpowiedź: 32.

Chłopaki, pamiętajcie, że nie ma wzorów na operacje dodawania i odejmowania wyrażeń pierwiastkowych, a wyrażenia przedstawione poniżej nie są poprawne.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Przykład 4.
Oblicz: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Rozwiązanie.
Przedstawione powyżej właściwości działają zarówno od lewej do prawej, jak i do środka odwrotna kolejność, to jest:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Korzystając z tego, rozwiążmy nasz przykład.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Odpowiedź: a) 16; b) 2.

Własność 3. Jeśli $а≥0$ i n – liczba naturalna, wówczas zachodzi równość: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Na przykład. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ i tak dalej.

Przykład 5.
Oblicz: $\sqrt(129600)$.

Rozwiązanie.
Przedstawiona nam liczba jest dość duża, rozłóżmy ją na czynniki pierwsze.
Otrzymaliśmy: $129600=5^2*2^6*3^4$ lub $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360 dolarów.
Odpowiedź: 360.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Powierzchnia kwadratowej działki wynosi 81 dm². Znajdź jego stronę. Załóżmy, że długość boku kwadratu wynosi X decymetry. Następnie powierzchnia działki wynosi X² decymetry kwadratowe. Ponieważ zgodnie z warunkiem powierzchnia ta wynosi 81 dm² X² = 81. Długość boku kwadratu jest liczbą dodatnią. Liczba dodatnia, której kwadrat wynosi 81, to liczba 9. Przy rozwiązywaniu zadania należało znaleźć liczbę x, której kwadrat wynosi 81, czyli rozwiązać równanie X² = 81. To równanie ma dwa pierwiastki: X 1 = 9 i X 2 = - 9, ponieważ 9² = 81 i (- 9)² = 81. Obie liczby 9 i - 9 nazywane są pierwiastkami kwadratowymi z 81.

Zauważ, że jeden z pierwiastków kwadratowych X= 9 jest liczbą dodatnią. Nazywa się to arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 81 i oznacza się √81, więc √81 = 9.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy A.

Na przykład liczby 6 i - 6 są pierwiastkami kwadratowymi z liczby 36. Jednak liczba 6 jest arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 36, ponieważ 6 jest liczbą nieujemną, a 6² = 36. Liczba - 6 nie jest liczbą pierwiastek arytmetyczny.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A oznaczone następująco: √ A.

Znak nazywa się znakiem arytmetycznym pierwiastek kwadratowy; A- zwane wyrażeniem radykalnym. Wyrażenie √ A Czytać w ten sposób: arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A. Na przykład √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. W przypadkach, gdy jest to jasne o czym mówimy o pierwiastku arytmetycznym, mówią krótko: „pierwiastek kwadratowy z A«.

Czynność znajdowania pierwiastka kwadratowego z liczby nazywa się pierwiastkiem kwadratowym. To działanie jest odwrotnością kwadratury.

Możesz podnieść dowolną liczbę do kwadratu, ale nie możesz wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z żadnej liczby. Na przykład nie można wyodrębnić pierwiastka kwadratowego z liczby - 4. Jeśli taki pierwiastek istniał, to oznaczając go literą X, otrzymalibyśmy niepoprawną równość x² = - 4, ponieważ po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, a po prawej liczba ujemna.

Wyrażenie √ A ma sens tylko wtedy ≥ 0. Definicję pierwiastka kwadratowego można w skrócie zapisać jako: √ ≥ 0, (√A)² = A. Równość (√ A)² = A ważne dla ≥ 0. Zatem, aby zapewnić pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej A równa się B, tj. w tym, że √ A =B, musisz sprawdzić, czy spełnione są dwa następujące warunki: b ≥ 0, B² = A.

Pierwiastek kwadratowy ułamka

Obliczmy. Zauważ, że √25 = 5, √36 = 6 i sprawdźmy, czy zachodzi równość.

Ponieważ i , to równość jest prawdziwa. Więc, .

Twierdzenie: Jeśli A≥ 0 i B> 0, czyli pierwiastek ułamka równy pierwiastkowi z licznika podzielonego przez pierwiastek z mianownika. Należy udowodnić, że: i .

Od √ A≥0 i √ B> 0, zatem .

O własności podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi i definicji pierwiastka kwadratowego twierdzenie zostało udowodnione. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oblicz, korzystając ze sprawdzonego twierdzenia .

Drugi przykład: Udowodnij to , Jeśli A ≤ 0, B < 0. .

Inny przykład: Oblicz.

.

Konwersja pierwiastka kwadratowego

Usunięcie mnożnika spod znaku pierwiastka. Niech zostanie podane wyrażenie. Jeśli A≥ 0 i B≥ 0, to korzystając z twierdzenia o pierwiastku iloczynowym możemy napisać:

Ta transformacja nazywa się usunięciem czynnika ze znaku pierwiastka. Spójrzmy na przykład;

Oblicz o godz X= 2. Bezpośrednie podstawienie X= 2 w wyrażeniu radykalnym prowadzi do skomplikowanych obliczeń. Obliczenia te można uprościć, usuwając najpierw czynniki spod znaku pierwiastka: . Podstawiając teraz x = 2, otrzymujemy:.

Tak więc, usuwając czynnik spod znaku pierwiastka, radykalne wyrażenie jest reprezentowane w postaci iloczynu, w którym jeden lub więcej czynników jest kwadratami liczb nieujemnych. Następnie zastosuj twierdzenie o pierwiastku iloczynu i wyjmij pierwiastek z każdego czynnika. Rozważmy przykład: Uprość wyrażenie A = √8 + √18 - 4√2, usuwając czynniki w pierwszych dwóch wyrazach spod znaku pierwiastka, otrzymamy: Podkreślamy tę równość ważne tylko wtedy, gdy A≥ 0 i B≥ 0. jeśli A < 0, то .

Matematyka powstała, gdy człowiek stał się świadomy siebie i zaczął pozycjonować się jako autonomiczna jednostka świata. Chęć mierzenia, porównywania, liczenia tego, co Cię otacza – to właśnie leży u podstaw jednego z nich nauki podstawowe nasze dni. Początkowo były to cząstki elementarnej matematyki, które umożliwiały powiązanie liczb z ich wyrażeniami fizycznymi, później wnioski zaczęto przedstawiać jedynie teoretycznie (ze względu na ich abstrakcję), ale po pewnym czasie, jak to ujął jeden z naukowców, „ matematyka osiągnęła szczyt złożoności, kiedy zniknęły z niej wszystkie liczby”. Pojęcie „pierwiastka kwadratowego” pojawiło się w czasach, gdy można było je łatwo wesprzeć danymi empirycznymi, wykraczającymi poza płaszczyznę obliczeń.

Gdzie wszystko się zaczęło

Pierwsza wzmianka o korzeniu, czyli w tej chwili oznaczane jako √, zostało odnotowane w pracach matematyków babilońskich, którzy położyli podwaliny pod współczesną arytmetykę. Oczywiście niewiele przypominały one obecną formę – naukowcy tamtych lat jako pierwsi używali nieporęcznych tabletów. Ale w drugim tysiącleciu p.n.e. mi. Wyprowadzili przybliżony wzór obliczeniowy, który pokazał, jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy. Poniższe zdjęcie przedstawia kamień, na którym babilońscy naukowcy wyrzeźbili proces wyprowadzania √2 i okazał się on na tyle poprawny, że rozbieżność w odpowiedzi stwierdzono jedynie do dziesiątego miejsca po przecinku.

Ponadto pierwiastka używano, gdy trzeba było znaleźć bok trójkąta, pod warunkiem, że znane były dwa pozostałe. Cóż, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie ma ucieczki od wyodrębnienia pierwiastka.

Wraz z dziełami babilońskimi przedmiot artykułu badano także w chińskim dziele „Matematyka w dziewięciu księgach” i starożytni Grecy doszli do wniosku, że każda liczba, z której nie można wydobyć pierwiastka bez reszty, daje irracjonalny wynik .

Pochodzenie tego terminu wiąże się z arabskim przedstawieniem liczby: starożytni naukowcy wierzyli, że kwadrat dowolnej liczby wyrasta z korzenia, jak roślina. Po łacinie to słowo brzmi jak radix (można prześledzić wzór - wszystko, co ma znaczenie „korzeń”, jest zgodne, czy to rzodkiewka, czy zapalenie korzeni).

Naukowcy kolejnych pokoleń podchwycili ten pomysł, określając go mianem Rx. Na przykład w XV wieku, aby wskazać, że wzięto pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby a, napisano R 2 a. Zwykły nowoczesny widok„tyk” √ pojawił się dopiero w XVII wieku za sprawą Rene Descartesa.

Nasze dni

W kategoriach matematycznych pierwiastek kwadratowy z liczby y to liczba z, której kwadrat jest równy y. Innymi słowy, z 2 =y jest równoważne √y=z. Jednakże tę definicję istotne tylko dla pierwiastek arytmetyczny, ponieważ implikuje nieujemną wartość wyrażenia. Innymi słowy, √y=z, gdzie z jest większe lub równe 0.

W przypadek ogólny, który służy do określenia pierwiastka algebraicznego, wartość wyrażenia może być dodatnia lub ujemna. Zatem, w związku z tym, że z 2 =y i (-z) 2 =y, mamy: √y=±z lub √y=|z|.

Ponieważ miłość do matematyki wzrosła wraz z rozwojem nauki, istnieją różne przejawy sympatii do niej, które nie wyrażają się w suchych obliczeniach. Na przykład oprócz tak interesujących zjawisk jak Dzień Pi obchodzone są również święta pierwiastka kwadratowego. Obchodzone są dziewięć razy na sto lat i są ustalane przez do następującej zasady: liczby wskazujące w kolejności dzień i miesiąc muszą być pierwiastkiem kwadratowym roku. Zatem następnym razem będziemy obchodzić to święto 4 kwietnia 2016 r.

Własności pierwiastka kwadratowego z ciała R

Prawie wszystkie wyrażenia matematyczne mają podstawę geometryczną, a √y, które definiuje się jako bok kwadratu o polu y, nie uszło temu losowi.

Jak znaleźć pierwiastek liczby?

Istnieje kilka algorytmów obliczeniowych. Najprostszym, ale jednocześnie dość uciążliwym, jest zwykłe obliczenie arytmetyczne, które wygląda następująco:

1) od liczby, której pierwiastka potrzebujemy, liczby nieparzyste są kolejno odejmowane - aż reszta na wyjściu będzie mniejsza niż odjęta lub parzysta równy zeru. Liczba ruchów ostatecznie stanie się pożądaną liczbą. Na przykład obliczenie pierwiastka kwadratowego z 25:

Następna liczba nieparzysta to 11, reszta to: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Dla takich przypadków istnieje rozwinięcie szeregu Taylora:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdzie n przyjmuje wartości od 0 do

+∞ i |y|≤1.

Graficzne przedstawienie funkcji z=√y

Rozważmy elementarną funkcję z=√y na ciele liczb rzeczywistych R, gdzie y jest większe lub równe zero. Jej harmonogram wygląda następująco:

Krzywa rośnie od początku i koniecznie przecina punkt (1; 1).

Własności funkcji z=√y na ciele liczb rzeczywistych R

1. Dziedziną definicji rozważanej funkcji jest przedział od zera do plus nieskończoności (wliczając zero).

2. Zakres wartości rozważanej funkcji to przedział od zera do plus nieskończoności (znowu uwzględniane jest zero).

3. Funkcja przyjmuje wartość minimalną (0) dopiero w punkcie (0; 0). Nie ma wartości maksymalnej.

4. Funkcja z=√y nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

5. Funkcja z=√y nie jest okresowa.

6. Istnieje tylko jeden punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y z osiami współrzędnych: (0; 0).

7. Punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y jest jednocześnie zerem tej funkcji.

8. Funkcja z=√y stale rośnie.

9. Funkcja z=√y przyjmuje tylko wartości dodatnie, dlatego jej wykres zajmuje pierwszy kąt współrzędnych.

Opcje wyświetlania funkcji z=√y

W matematyce, aby ułatwić obliczanie wyrażeń złożonych, czasami używa się potęgi zapisu pierwiastka kwadratowego: √y=y 1/2. Ta opcja jest wygodna na przykład przy podnoszeniu funkcji do potęgi: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Metoda ta jest również dobrą reprezentacją różniczkowania z całkowaniem, ponieważ dzięki niej pierwiastek kwadratowy jest reprezentowany jako zwykła funkcja potęgowa.

A w programowaniu zastąpienie symbolu √ jest kombinacją liter sqrt.

Warto zauważyć, że w tym obszarze pierwiastek kwadratowy jest bardzo poszukiwany, ponieważ jest częścią większości wzorów geometrycznych niezbędnych do obliczeń. Sam algorytm zliczania jest dość skomplikowany i opiera się na rekurencji (funkcji, która wywołuje samą siebie).

Pierwiastek kwadratowy ze złożonego ciała C

W zasadzie to właśnie temat tego artykułu zainspirował odkrycie pola liczb zespolonych C, ponieważ matematyków dręczyło pytanie o uzyskanie pierwiastka parzystego z liczby ujemnej. Tak powstała jednostka urojona i, która charakteryzuje się bardzo interesującą właściwością: jej kwadrat wynosi -1. Dzięki temu równania kwadratowe zostały rozwiązane nawet z ujemnym dyskryminatorem. W C te same właściwości są istotne dla pierwiastka kwadratowego, co w R, z tą tylko różnicą, że usunięto ograniczenia dotyczące wyrażenia radykalnego.

Formuły korzeniowe. Właściwości pierwiastków kwadratowych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w Sekcja specjalna 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Na poprzedniej lekcji zorientowaliśmy się co to jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, które z nich istnieją receptury na korzenie jakie są właściwości korzeni i co można z tym wszystkim zrobić.

Wzory pierwiastków, właściwości pierwiastków i zasady pracy z pierwiastkami- to w zasadzie to samo. Istnieje zaskakująco niewiele wzorów na pierwiastki kwadratowe. Co z pewnością mnie cieszy! A raczej możesz napisać wiele różnych formuł, ale do praktycznej i pewnej pracy z korzeniami wystarczą tylko trzy. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wiele osób myli trzy formuły rdzeniowe, tak…

Zacznijmy od najprostszego. Oto ona:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.