Pierwiastek kwadratowy. Kompleksowy przewodnik (2019)

Właściwości pierwiastki kwadratowe

Do tej pory wykonaliśmy pięć operacji arytmetycznych na liczbach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie i były aktywnie wykorzystywane w obliczeniach różne właściwości te operacje, na przykład a + b = b + a, аn-bn = (аb)n, itd.

W tym rozdziale wprowadzono nową operację - pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej. Aby z powodzeniem z niego skorzystać, należy zapoznać się z właściwościami tej operacji, co zrobimy w tej sekcji.

Dowód. Wprowadźmy następującą notację: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Równość" width="120" height="25 id=">!}.

Dokładnie w ten sposób sformułowamy następne twierdzenie.

(Krótkie sformułowanie, wygodniejsze w praktyce: pierwiastek ułamka jest równy ułamkowi pierwiastków lub pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.)

Tym razem podamy jedynie krótkie podsumowanie dowodu, a Ty spróbujesz poczynić odpowiednie komentarze podobne do tych, które złożyły się na istotę dowodu Twierdzenia 1.

Uwaga 3. Oczywiście ten przykład można rozwiązać inaczej, szczególnie jeśli masz pod ręką mikrokalkulator: pomnóż liczby 36, 64, 9, a następnie weź pierwiastek kwadratowy z powstałego iloczynu. Zgodzisz się jednak, że rozwiązanie zaproponowane powyżej wygląda bardziej kulturowo.

Uwaga 4. W pierwszej metodzie obliczenia przeprowadziliśmy „od ręki”. Drugi sposób jest bardziej elegancki:
złożyliśmy wniosek formuła a2 - b2 = (a - b) (a + b) i skorzystaliśmy z własności pierwiastków kwadratowych.

Uwaga 5. Niektóre „gorące głowy” czasami oferują to „rozwiązanie” do przykładu 3:

To oczywiście nie jest prawdą: widzisz - wynik nie jest taki sam jak w przykładzie 3. Faktem jest, że nie ma własności https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Zadanie" width="148" height="26 id=">!} Istnieją tylko właściwości związane z mnożeniem i dzieleniem pierwiastków kwadratowych. Bądź ostrożny i ostrożny, nie kieruj się pobożnymi życzeniami.

Kończąc ten akapit, zwróćmy uwagę na jeszcze jedną rzecz, dość prostą i jednocześnie ważna własność:
jeśli a > 0 i n - liczba naturalna , To

Konwersja wyrażeń zawierających operację pierwiastka kwadratowego

Do tej pory wykonywaliśmy jedynie przekształcenia racjonalne wyrażenia, wykorzystując w tym celu zasady działania na wielomianach i ułamki algebraiczne, skrócone wzory na mnożenie itp. W tym rozdziale przedstawiliśmy nowa operacja- operacja ekstrakcji pierwiastka kwadratowego; ustaliliśmy to

gdzie, przypomnijmy, a, b są liczbami nieujemnymi.

Korzystanie z nich formuły, można wykonywać różne przekształcenia wyrażeń zawierających operację pierwiastka kwadratowego. Przyjrzyjmy się kilku przykładom i we wszystkich przypadkach założymy, że zmienne przyjmują tylko wartości nieujemne.

Przykład 3. Wpisz mnożnik pod pierwiastkiem kwadratowym:

Przykład 6. Uprość wyrażenie Rozwiązanie. Wykonajmy przekształcenia sekwencyjne:

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz żądanie na stronie, możemy je zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu i adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe umożliwiają nam kontakt z Tobą i informowanie Cię o tym unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, V test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Lekcja i prezentacja na ten temat:
„Właściwości pierwiastka kwadratowego. Wzory. Przykłady rozwiązań, problemy z odpowiedziami”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Interaktywny podręcznik „Geometria w 10 minut” dla klasy 8
Kompleks edukacyjny „1C: Szkoła. Geometria, klasa 8”

Właściwości pierwiastka kwadratowego

Właściwość 1. Pierwiastek kwadratowy z iloczynu dwóch liczb nieujemnych równa się iloczyn pierwiastków kwadratowych tych liczb: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Zwyczajowo jest udowadniać dowolne właściwości, zróbmy to.
Niech $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Następnie musimy udowodnić, że $x=y*z$.
Podnieśmy każde wyrażenie do kwadratu.
Jeśli $\sqrt(a*b)=x$, to $a*b=x^2$.
Jeśli $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, to podnosząc oba wyrażenia do kwadratu, otrzymamy: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, czyli $x^2=(y*z)^2$. Jeśli kwadraty dwóch liczb nieujemnych są równe, to same liczby są równe i właśnie to należało udowodnić.

Z naszej własności wynika, że ​​np. $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Uwaga 1. Właściwość jest również prawdziwa w przypadku, gdy pod pierwiastkiem znajdują się więcej niż dwa czynniki nieujemne.
Własność 2. Jeśli $a≥0$ i $b>0$, to zachodzi równość: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Oznacza to, że pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.
Dowód.
Skorzystajmy z tabeli i krótko udowodnijmy naszą własność.

Przykłady wykorzystania własności pierwiastków kwadratowych

Rozwiązanie.
Możemy oczywiście wziąć kalkulator, pomnożyć wszystkie liczby poniżej pierwiastka i wykonać operację wyciągnięcia pierwiastka. A jeśli nie masz pod ręką kalkulatora, co w takim razie zrobić?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495 $.
Odpowiedź: 495.

Przykład 2. Oblicz: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Rozwiązanie.
Przedstawmy liczbę pierwiastkową jako ułamek niewłaściwy: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Skorzystajmy z własności 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dolara
Odpowiedź: 3.4.

Przykład 3.
Oblicz: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Rozwiązanie.
Możemy ocenić nasze wyrażenie bezpośrednio, ale prawie zawsze można je uprościć. Spróbujmy to zrobić.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Zatem $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Odpowiedź: 32.

Chłopaki, pamiętajcie, że nie ma wzorów na operacje dodawania i odejmowania wyrażeń pierwiastkowych, a wyrażenia przedstawione poniżej nie są poprawne.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Przykład 4.
Oblicz: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Rozwiązanie.
Przedstawione powyżej właściwości działają zarówno od lewej do prawej, jak i do środka odwrotna kolejność, to jest:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Korzystając z tego, rozwiążmy nasz przykład.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Odpowiedź: a) 16; b) 2.

Własność 3. Jeśli $а≥0$ i n jest liczbą naturalną, to zachodzi równość: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Na przykład. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ i tak dalej.

Przykład 5.
Oblicz: $\sqrt(129600)$.

Rozwiązanie.
Przedstawiona nam liczba jest dość duża, rozłóżmy ją na czynniki pierwsze.
Otrzymaliśmy: $129600=5^2*2^6*3^4$ lub $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360 dolarów.
Odpowiedź: 360.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Formuły korzeniowe. Właściwości pierwiastków kwadratowych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Na poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, czym jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, które z nich istnieją receptury na korzenie jakie są właściwości korzeni i co można z tym wszystkim zrobić.

Wzory pierwiastków, właściwości pierwiastków i zasady pracy z pierwiastkami- to w zasadzie to samo. Istnieje zaskakująco niewiele wzorów na pierwiastki kwadratowe. Co z pewnością mnie cieszy! A raczej możesz napisać wiele różnych formuł, ale do praktycznej i pewnej pracy z korzeniami wystarczą tylko trzy. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wiele osób myli trzy formuły rdzeniowe, tak…

Zacznijmy od najprostszego. Oto ona:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.