Số hữu tỉ hoặc vô tỉ. Số vô tỷ: chúng là gì và dùng để làm gì

Số vô tỷ là gì? Tại sao họ được gọi như vậy? Chúng được sử dụng ở đâu và chúng là gì? Rất ít người có thể trả lời những câu hỏi này mà không cần suy nghĩ. Nhưng trên thực tế, câu trả lời cho chúng khá đơn giản, mặc dù không phải ai cũng cần đến chúng và trong những tình huống rất hiếm gặp.

Bản chất và tên gọi

Số vô tỉ biểu diễn vô hạn không tuần hoàn Sự cần thiết phải đưa ra khái niệm này là do thực tế là để giải quyết các vấn đề mới nổi, các khái niệm hiện có trước đây về số thực hay số thực, số nguyên, số tự nhiên và số hữu tỷ không còn đủ nữa. Ví dụ: để tính đại lượng nào là bình phương của 2, bạn cần sử dụng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ngoài ra, nhiều phương trình đơn giản cũng không có nghiệm nếu không đưa ra khái niệm số vô tỉ.

Tập hợp này được ký hiệu là I. Và, như đã rõ, các giá trị này không thể được biểu diễn dưới dạng phân số đơn giản, tử số của nó sẽ là số nguyên và mẫu số sẽ là

Lần đầu tiên, bằng cách này hay cách khác, các nhà toán học Ấn Độ gặp phải hiện tượng này vào thế kỷ thứ 7 khi người ta phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số đại lượng không thể biểu thị một cách rõ ràng. Và bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của những con số như vậy được cho là của Pythagore Hippasus, người đã làm điều này trong quá trình nghiên cứu các hạt cân tam giác vuông. Một số nhà khoa học khác sống trước thời đại chúng ta đã có đóng góp nghiêm túc cho việc nghiên cứu bộ này. Sự ra đời của khái niệm số vô tỷ kéo theo sự xem xét lại hệ thống toán học hiện có, đó là lý do tại sao chúng lại quan trọng đến vậy.

nguồn gốc của tên

Nếu tỷ lệ dịch từ tiếng Latin là “phân số”, “tỷ lệ”, thì tiền tố “ir”
mang lại cho từ này ý nghĩa ngược lại. Do đó, tên của tập hợp các số này cho biết rằng chúng không thể tương quan với một số nguyên hoặc phân số và có một vị trí riêng biệt. Điều này xuất phát từ bản chất của họ.

Xếp vào bảng phân loại chung

Số vô tỷ, cùng với số hữu tỷ, thuộc nhóm số thực hoặc nhóm số thực, sau đó thuộc nhóm số phức. Không có tập hợp con, nhưng có các đa tạp đại số và siêu việt, sẽ được thảo luận dưới đây.

Của cải

Vì các số vô tỷ là một phần của tập hợp số thực nên tất cả các tính chất được nghiên cứu trong số học (chúng còn được gọi là các định luật đại số cơ bản) đều áp dụng cho chúng.

a + b = b + a (tính giao hoán);

(a + b) + c = a + (b + c) (tính kết hợp);

a + (-a) = 0 (tồn tại số đối diện);

ab = ba (luật giao hoán);

(ab)c = a(bc) (độ phân phối);

a(b+c) = ab + ac (luật phân phối);

a x 1/a = 1 (tồn tại số nghịch đảo);

Việc so sánh cũng được thực hiện theo mẫu chung và nguyên tắc:

Nếu a > b và b > c thì a > c (tính bắc cầu của hệ thức) và. vân vân.

Tất nhiên, tất cả các số vô tỷ đều có thể được chuyển đổi bằng số học cơ bản. Không có quy tắc đặc biệtđồng thời không.

Ngoài ra, tiên đề Archimedes còn áp dụng cho số vô tỉ. Nó phát biểu rằng với hai đại lượng a và b bất kỳ, phát biểu sau đây là đúng: coi a là một số hạng Số lượng đủ lần, có thể được vượt qua b.

Cách sử dụng

Mặc dù thực tế là bạn không gặp chúng thường xuyên trong cuộc sống hàng ngày nhưng những con số vô tỷ không thể đếm được. Có một số lượng lớn trong số họ, nhưng chúng gần như vô hình. Những con số vô tỷ luôn ở xung quanh chúng ta. Các ví dụ quen thuộc với mọi người là số pi, bằng 3,1415926..., hay e, về cơ bản là cơ số của logarit tự nhiên, 2,718281828... Trong đại số, lượng giác và hình học, chúng phải được sử dụng liên tục. Nhân tiện, ý nghĩa nổi tiếng"tỷ lệ vàng", nghĩa là tỷ lệ của cả phần lớn hơn và phần nhỏ hơn và ngược lại

thuộc về bộ này. Loại “bạc” ít được biết đến hơn.

Trên trục số, chúng nằm rất dày đặc, do đó giữa hai đại lượng bất kỳ được phân loại là hữu tỷ chắc chắn sẽ xảy ra một đại lượng vô tỷ.

Vẫn còn rất nhiều vấn đề chưa được giải quyết liên quan đến bộ này. Có những tiêu chí như thước đo độ vô tỉ và tính quy phạm của một số. Các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu những ví dụ quan trọng nhất để xác định xem chúng thuộc nhóm này hay nhóm khác. Ví dụ, người ta tin rằng e là một số bình thường, nghĩa là xác suất xuất hiện các chữ số khác nhau trong ký hiệu của nó là như nhau. Đối với pi, nghiên cứu vẫn đang được tiến hành. Thước đo độ vô tỷ là một giá trị cho thấy một số đã cho có thể được xấp xỉ bằng số hữu tỷ tốt đến mức nào.

Đại số và siêu việt

Như đã đề cập, số vô tỷ thường được chia thành đại số và siêu việt. Có điều kiện, vì nói đúng ra, phân loại này được sử dụng để chia tập hợp C.

Ký hiệu này ẩn số phức, bao gồm số thực hoặc số thực.

Vì vậy, đại số là một giá trị là nghiệm của một đa thức không bằng 0. Ví dụ, Căn bậc hai của 2 sẽ thuộc loại này vì nó là nghiệm của phương trình x 2 - 2 = 0.

Tất cả các số thực khác không thỏa mãn điều kiện này được gọi là số thực siêu việt. Sự đa dạng này bao gồm các ví dụ nổi tiếng nhất và đã được đề cập - số pi và cơ số logarit tự nhiên e.

Điều thú vị là cả cái này lẫn cái kia đều không được các nhà toán học phát triển theo khả năng này; tính phi lý và tính siêu việt của chúng đã được chứng minh nhiều năm sau khi chúng được phát hiện. Đối với số pi, cách chứng minh được đưa ra vào năm 1882 và được đơn giản hóa vào năm 1894, kết thúc cuộc tranh luận kéo dài 2.500 năm về bài toán bình phương đường tròn. Nó vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ, vì vậy các nhà toán học hiện đại còn nhiều việc phải làm. Nhân tiện, phép tính khá chính xác đầu tiên về giá trị này được thực hiện bởi Archimedes. Trước anh, mọi tính toán đều quá gần đúng.

Với e (số Euler hoặc Napier), bằng chứng về sự siêu việt của nó được tìm thấy vào năm 1873. Nó được sử dụng trong việc giải các phương trình logarit.

Các ví dụ khác bao gồm các giá trị của sin, cos và tang cho bất kỳ giá trị đại số nào khác 0.

Tính trừu tượng của các khái niệm toán học đôi khi tỏa ra sự tách biệt đến mức bất giác nảy sinh ý nghĩ: “Tất cả những thứ này để làm gì?” Nhưng, bất chấp ấn tượng đầu tiên, tất cả các định lý, phép tính số học, hàm số, v.v. - không gì khác hơn là mong muốn thỏa mãn những nhu cầu cơ bản. Điều này có thể được thấy đặc biệt rõ ràng trong ví dụ về sự xuất hiện của các bộ khác nhau.

Tất cả bắt đầu với sự xuất hiện của các số tự nhiên. Và, mặc dù bây giờ khó có ai có thể trả lời chính xác nó như thế nào, nhưng rất có thể, đôi chân của nữ hoàng khoa học đã mọc ra từ đâu đó trong hang động. Ở đây, phân tích số lượng da, đá và bộ lạc, một người có rất nhiều “con số cần đếm”. Và thế là đủ với anh ấy. Tất nhiên là cho đến một thời điểm nào đó.

Sau đó, da và đá phải được chia ra và mang đi. Đây là lý do nảy sinh nhu cầu về các phép tính số học và cùng với chúng là các phép tính hữu tỉ, có thể được định nghĩa là một phân số như m/n, trong đó, ví dụ, m là số lượng da, n là số lượng đồng bào.

Có vẻ như bộ máy toán học đã được phát hiện đã khá đủ để tận hưởng cuộc sống. Nhưng hóa ra có những trường hợp kết quả không những không phải là số nguyên mà thậm chí không phải là phân số! Và thực sự, căn bậc hai của 2 không thể được biểu diễn theo bất kỳ cách nào khác bằng cách sử dụng tử số và mẫu số. Hoặc, ví dụ, số Pi nổi tiếng do nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Archimedes phát hiện cũng không hợp lý. Và theo thời gian, những khám phá như vậy ngày càng nhiều đến mức tất cả những con số không thể “hợp lý hóa” đều được gộp lại và gọi là số vô tỷ.

Của cải

Các tập hợp được xem xét trước đây thuộc về một tập hợp các khái niệm cơ bản của toán học. Điều này có nghĩa là chúng không thể được định nghĩa thông qua các đối tượng toán học đơn giản hơn. Nhưng điều này có thể được thực hiện với sự trợ giúp của các phạm trù (từ “tuyên bố” tiếng Hy Lạp) hoặc các định đề. Trong trường hợp này, tốt nhất là chỉ ra các thuộc tính của các bộ này.

o Số vô tỷ xác định các vết cắt Dedekind trong tập hợp các số hữu tỷ không có số lớn nhất ở số dưới và không có số nhỏ nhất ở số trên.

o Mọi số siêu việt đều là số vô tỉ.

o Mọi số vô tỷ đều là số đại số hoặc số siêu việt.

o Tập hợp số dày đặc ở khắp mọi nơi trên trục số: giữa bất kỳ số nào có một số vô tỷ.

o Tập hợp không đếm được và là tập hợp thuộc loại Baire thứ hai.

o Tập hợp này có thứ tự, nghĩa là với mỗi hai số hữu tỷ a và b khác nhau, bạn có thể chỉ ra số nào nhỏ hơn số kia.
o Giữa hai số hữu tỉ khác nhau luôn có một số hữu tỉ khác ít nhất một, và do đó là một tập hợp vô hạn các số hữu tỷ.

ồ Các phép tính toán học(cộng, nhân và chia) đối với hai số hữu tỉ bất kỳ luôn luôn có thể thực hiện được và dẫn đến một số hữu tỉ nhất định. Ngoại lệ là chia cho 0, điều này là không thể.

o Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân(hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn).

Số hữu tỉ– một số được biểu thị bằng phân số thông thường m/n, trong đó tử số m là số nguyên và mẫu số n là số tự nhiên. Bất kỳ số hữu tỷ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân vô hạn định kỳ. Tập hợp các số hữu tỉ ký hiệu là Q.

Nếu một số thực không phải là số hữu tỉ thì nó là số vô tỉ. Phân số thập phân biểu thị số vô tỷ là vô hạn và không tuần hoàn. Tập hợp số vô tỷ thường được ký hiệu bằng chữ I in hoa.

Số thực được gọi là đại số, nếu nó là nghiệm của một đa thức nào đó (bậc khác 0) với các hệ số hữu tỉ. Mọi số không đại số đều được gọi là siêu việt.

Một số tài sản:

Tập hợp các số hữu tỷ được đặt dày đặc ở khắp mọi nơi trên trục số: giữa hai số hữu tỷ khác nhau bất kỳ có ít nhất một số hữu tỷ (và do đó là một tập hợp vô hạn các số hữu tỷ). Tuy nhiên, hóa ra tập hợp số hữu tỷ Q và tập hợp số tự nhiên N là tương đương nhau, nghĩa là có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa chúng (tất cả các phần tử của tập hợp số hữu tỷ có thể được đánh số lại) .

Tập Q các số hữu tỉ đóng trong các phép cộng, trừ, nhân, chia, tức là tổng, hiệu, tích và thương của hai số hữu tỉ cũng là số hữu tỉ.

Tất cả các số hữu tỷ đều là đại số (điều ngược lại là sai).

Mọi số siêu việt thực đều là số vô tỷ.

Mọi số vô tỷ đều là số đại số hoặc số siêu việt.

Tập hợp các số vô tỷ dày đặc ở khắp mọi nơi trên trục số: giữa hai số bất kỳ có một số vô tỷ (và do đó có một tập hợp vô hạn các số vô tỷ).

Tập hợp các số vô tỷ không đếm được.

Khi giải các bài toán, thuận tiện cùng với số vô tỉ a + b√ c (trong đó a, b là các số hữu tỉ, c là số nguyên không phải là bình phương của số tự nhiên), ta xét số “liên hợp” a – b√ c: tổng và tích của nó với số gốc – số hữu tỉ. Vậy a + b√ c và a – b√ c là nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên.

Vấn đề với giải pháp

1. Chứng minh rằng

a) số √ 7;

b) nhật ký số 80;

c) số √ 2 + 3 √ 3;

là vô lý.

a) Giả sử số √ 7 là số hữu tỉ. Khi đó, tồn tại p và q nguyên tố cùng nhau sao cho √ 7 = p/q, từ đó ta thu được p 2 = 7q 2 . Vì p và q là nguyên tố cùng nhau nên p 2, và do đó p chia hết cho 7. Khi đó p = 7k, trong đó k là một số tự nhiên nào đó. Do đó q 2 = 7k 2 = pk, điều này mâu thuẫn với thực tế rằng p và q là nguyên tố cùng nhau.

Vì vậy, giả định là sai, có nghĩa là số √ 7 là số vô tỷ.

b) Giả sử log số 80 là số hữu tỉ. Khi đó có p và q tự nhiên sao cho log 80 = p/q, hoặc 10 p = 80 q, từ đó ta thu được 2 p–4q = 5 q–p. Xét rằng các số 2 và 5 là nguyên tố cùng nhau, chúng ta thấy rằng đẳng thức cuối cùng chỉ có thể xảy ra với p–4q = 0 và q–p = 0. Do đó p = q = 0, điều này là không thể, vì p và q được chọn để được tự nhiên.

Vì vậy, giả định là sai, có nghĩa là số lg 80 là số vô tỷ.

c) Hãy ký hiệu số này bằng x.

Khi đó (x – √ 2) 3 = 3, hoặc x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Sau khi bình phương phương trình này, ta thấy x phải thỏa mãn phương trình

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.

Gốc hữu tỷ của nó chỉ có thể là số 1 và –1. Kiểm tra cho thấy 1 và –1 không phải là nghiệm.

Vậy số đã cho √ 2 + 3 √ 3 ​​​​là số vô tỷ.

2. Biết rằng các số a, b, √a –√b,- hợp lý. Chứng minh rằng √a và √b cũng là những số hữu tỉ.

Chúng ta hãy nhìn vào công việc

(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.

Con số √a +√b, bằng tỉ số của các số a – b và √a –√b, là hữu tỉ vì thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ. Tổng của hai số hữu tỉ

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

- một số hữu tỉ, hiệu của chúng,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

cũng là một số hữu tỉ cần chứng minh.

3. Chứng minh tồn tại các số vô tỷ dương a và b sao cho số a b là số tự nhiên.

4. Có tồn tại các số hữu tỉ a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

ở đâu n là số tự nhiên?

Nếu đẳng thức cho ở điều kiện được thỏa mãn và các số a, b, c, d là hữu tỉ thì đẳng thức đó cũng được thỏa mãn:

(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Nhưng 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Điều mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng đẳng thức ban đầu là không thể.

Trả lời: chúng không tồn tại.

5. Nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c tạo thành một tam giác thì với mọi n = 2, 3, 4, . . . các đoạn có độ dài n √ a, n √ b, n √ c cũng tạo thành một tam giác. Chứng minh điều đó.

Nếu các đoạn có độ dài a, b, c tạo thành một tam giác thì bất đẳng thức tam giác cho

Vì vậy chúng tôi có

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ c.

Các trường hợp còn lại kiểm tra bất đẳng thức tam giác được xét tương tự, từ đó rút ra kết luận.

6. Chứng minh phân số thập phân vô hạn là 0,1234567891011121314... (sau dấu thập phân, tất cả số nguyên theo thứ tự) là số vô tỉ.

Như bạn đã biết, số hữu tỷ được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân, có dấu chấm bắt đầu từ một dấu nhất định. Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng phân số này không tuần hoàn theo bất kỳ dấu nào là đủ. Giả sử trường hợp này không xảy ra và một số dãy T có n chữ số là dấu chấm của phân số, bắt đầu từ chữ số thập phân thứ m. Rõ ràng là trong số các chữ số sau dấu thứ m có những chữ số khác 0, do đó trong dãy chữ số T có một chữ số khác 0. Điều này có nghĩa là bắt đầu từ chữ số thứ m sau dấu thập phân, trong số n chữ số bất kỳ trong một hàng đều có một chữ số khác 0. Tuy nhiên, ký hiệu thập phân của phân số này phải chứa ký hiệu thập phân của số 100...0 = 10 k, trong đó k > m và k > n. Rõ ràng là mục này xuất hiện ở bên phải chữ số thứ m và chứa nhiều hơn n số 0 liên tiếp. Như vậy, ta thu được điều mâu thuẫn để hoàn thành chứng minh.

7. Cho một phân số thập phân vô hạn 0,a 1 a 2 ... . Chứng minh rằng các chữ số trong ký hiệu thập phân của nó có thể được sắp xếp lại sao cho phân số thu được biểu thị một số hữu tỉ.

Hãy nhớ rằng một phân số biểu diễn một số hữu tỉ khi và chỉ khi nó tuần hoàn, bắt đầu từ một dấu nào đó. Chúng ta sẽ chia các số từ 0 đến 9 thành hai lớp: trong lớp thứ nhất, chúng ta bao gồm những số xuất hiện trong phân số ban đầu với số lần hữu hạn, trong lớp thứ hai, chúng ta bao gồm những số xuất hiện trong phân số ban đầu với số lượng vô hạn lần. Hãy bắt đầu viết một phân số tuần hoàn có thể thu được từ số ban đầu bằng cách sắp xếp lại các số. Đầu tiên, sau số 0 và dấu phẩy, chúng ta viết theo thứ tự ngẫu nhiên tất cả các số từ lớp đầu tiên - mỗi số nhiều lần như nó xuất hiện trong ký hiệu của phân số ban đầu. Các chữ số hạng nhất được ghi sẽ đứng trước dấu chấm trong phần phân số của số thập phân. Tiếp theo, chúng ta hãy viết lần lượt các số của lớp thứ hai theo thứ tự nào đó. Chúng ta sẽ khai báo sự kết hợp này là một khoảng thời gian và lặp lại nó vô số lần. Vì vậy, chúng tôi đã viết ra phần tuần hoàn cần thiết biểu thị một số hữu tỷ nhất định.

8. Chứng minh rằng trong mọi phân số thập phân vô hạn đều tồn tại một dãy chữ số thập phân có độ dài tùy ý, xuất hiện vô số lần trong quá trình phân tích phân số đó.

Cho m là một số tự nhiên tùy ý. Chúng ta hãy chia phần thập phân vô hạn này thành các phân đoạn có m chữ số trong mỗi phân số. Sẽ có vô số các phân đoạn như vậy. Mặt khác, hệ thống khác nhau gồm m chữ số thì chỉ có 10 m, tức là một số hữu hạn. Do đó, ít nhất một trong các hệ thống này phải được lặp lại ở đây vô số lần.

Bình luận. Đối với các số vô tỷ √ 2, π hoặc e chúng ta thậm chí không biết chữ số nào được lặp lại vô số lần trong các phân số thập phân vô hạn đại diện cho chúng, mặc dù mỗi số này có thể dễ dàng được chứng minh là có chứa ít nhất hai chữ số khác nhau như vậy.

9. Chứng minh một cách cơ bản rằng nghiệm dương của phương trình

là vô lý.

Với x > 0 bên trái phương trình tăng theo x và dễ dàng thấy rằng tại x = 1,5 thì nó nhỏ hơn 10 và tại x = 1,6 thì nó lớn hơn 10. Do đó, nghiệm dương duy nhất của phương trình nằm trong khoảng (1,5; 1,6) ).

Chúng ta hãy viết căn thức dưới dạng phân số tối giản p/q, trong đó p và q là một số số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Khi đó tại x = p/q phương trình sẽ có dạng sau:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

từ đó suy ra p là ước số của 10 nên p bằng một trong các số 1, 2, 5, 10. Tuy nhiên, khi viết phân số có tử số 1, 2, 5, 10, ta nhận thấy ngay rằng không ai trong số chúng nằm trong khoảng (1,5; 1,6).

Vì vậy, nghiệm dương của phương trình ban đầu không thể được biểu diễn dưới dạng phân số chung, tức là số vô tỉ.

10. a) Có ba điểm A, B và C trên mặt phẳng sao cho với mọi điểm X độ dài của ít nhất một trong các đoạn XA, XB và XC là vô tỷ?

b) Tọa độ các đỉnh của tam giác là hợp lý. Chứng minh rằng tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của nó cũng hữu tỉ.

c) Có một hình cầu như vậy mà trên đó có đúng một điểm hữu tỉ không? (Điểm hữu tỉ là điểm mà cả ba tọa độ Descartes đều là số hữu tỉ.)

a) Có, chúng tồn tại. Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Khi đó XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Nếu số AB 2 là số vô tỉ thì các số XA, XB, XC không thể cùng lúc hữu tỉ.

b) Gọi (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) và (a 3 ; b 3) là tọa độ các đỉnh của tam giác. Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp nó được cho bởi hệ phương trình:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

Dễ dàng kiểm tra xem các phương trình này có tuyến tính hay không, điều đó có nghĩa là nghiệm của hệ phương trình đang xét là hợp lý.

c) Có một quả cầu như vậy. Ví dụ, một hình cầu có phương trình

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Điểm O có tọa độ (0; 0; 0) là điểm hữu tỉ nằm trên mặt cầu này. Các điểm còn lại của hình cầu là vô tỉ. Hãy chứng minh điều đó.

Giả sử điều ngược lại: cho (x; y; z) là một điểm hữu tỉ của mặt cầu, khác với điểm O. Rõ ràng là x khác 0, vì với x = 0 thì tồn tại quyết định duy nhất(0; 0; 0), điều này hiện không được chúng tôi quan tâm. Hãy mở ngoặc và biểu thị √ 2:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

điều này không thể xảy ra với x, y, z hữu tỷ và vô tỉ √ 2. Vì vậy, O(0; 0; 0) là điểm hữu tỉ duy nhất trên mặt cầu đang xét.

Những vấn đề không có giải pháp

1. Chứng minh rằng số

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

là vô lý.

2. Với những số nguyên nào m và n thì đẳng thức (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n giữ nguyên?

3. Có số a nào sao cho các số a – √ 3 và 1/a + √ 3 là số nguyên không?

4. Các số 1, √ 2, 4 có thể là thành viên (không nhất thiết phải liền kề) của một cấp số cộng không?

5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n phương trình (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 không có nghiệm nào là số hữu tỉ (x; y).

Định nghĩa số vô tỷ

Số vô tỷ là những số có ký hiệu thập phân biểu thị vô số phân số thập phân không tuần hoàn.

Vì vậy, ví dụ, các số thu được bằng cách lấy căn bậc hai của các số tự nhiên là số vô tỷ và không phải là bình phương của các số tự nhiên. Nhưng không phải tất cả các số vô tỷ đều thu được bằng cách trích xuất căn bậc hai, bởi vì số “pi” thu được bằng phép chia cũng là số vô tỷ và bạn khó có thể đạt được số đó khi cố gắng trích căn bậc hai của một số tự nhiên.

Tính chất của số vô tỉ

Không giống như các số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn, chỉ có các số vô tỷ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tổng của hai số vô tỉ không âm có thể là một số hữu tỉ.
Các số vô tỷ xác định các phần Dedekind trong tập hợp các số hữu tỷ, thuộc lớp thấp hơn không có số lượng lớn, và ở phía trên không có ít hơn.
Bất kỳ số siêu việt thực sự là số vô tỷ.
Tất cả các số vô tỷ đều là đại số hoặc siêu việt.
Tập hợp các số vô tỷ trên một dòng nằm ở vị trí dày đặc và giữa hai số bất kỳ của nó chắc chắn phải có một số vô tỷ.
Tập hợp các số vô tỷ là vô hạn, không đếm được và là tập hợp loại 2.
Khi thực hiện bất kỳ phép tính số học nào trên số hữu tỉ, ngoại trừ phép chia cho 0, kết quả sẽ là số hữu tỉ.
Khi cộng một số hữu tỉ vào một số vô tỉ thì kết quả luôn là một số vô tỉ.
Khi cộng các số vô tỉ, chúng ta có thể thu được một số hữu tỉ.
Tập hợp các số vô tỷ không chẵn.

Những con số không phải là vô lý

Đôi khi khá khó để trả lời câu hỏi liệu một số có phải là số vô tỷ hay không, đặc biệt trong trường hợp số đó ở dạng phân số thập phân hoặc ở dạng biểu thức số, căn bậc hai hoặc logarit.

Vì vậy, sẽ không thừa khi biết những con số nào không phải là số vô tỷ. Nếu chúng ta tuân theo định nghĩa về số vô tỷ thì chúng ta đã biết rằng số hữu tỷ không thể là số vô tỷ.

Số vô tỷ không phải là:

Đầu tiên, tất cả các số tự nhiên;
Thứ hai, số nguyên;
Thứ ba, phân số thông thường;
Thứ tư, các hỗn số khác nhau;
Thứ năm, đây là những phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Ngoài tất cả những điều trên, số vô tỷ không thể là bất kỳ tổ hợp nào của các số hữu tỷ được thực hiện bằng các dấu của phép tính số học, chẳng hạn như +, -, , :, vì trong trường hợp này kết quả của hai số hữu tỷ cũng sẽ là một số hữu tỉ.

Bây giờ hãy xem những con số nào là vô tỷ:

Bạn có biết về sự tồn tại của một câu lạc bộ người hâm mộ, nơi những người hâm mộ hiện tượng toán học bí ẩn này đang tìm kiếm ngày càng nhiều thông tin về Pi, cố gắng làm sáng tỏ bí ẩn của nó? Bất kỳ ai thuộc lòng một số số Pi nhất định sau dấu thập phân đều có thể trở thành thành viên của câu lạc bộ này;

Bạn có biết rằng ở Đức, dưới sự bảo vệ của UNESCO, có cung điện Castadel Monte, nhờ tỷ lệ mà bạn có thể tính được số Pi. Vua Frederick II đã dành toàn bộ cung điện cho con số này.

Hóa ra họ đã cố gắng sử dụng số Pi để xây dựng Tháp Babel. Nhưng thật không may, điều này đã dẫn đến sự sụp đổ của dự án, vì vào thời điểm đó việc tính toán chính xác giá trị của Pi chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Ca sĩ Kate Bush trong chiếc đĩa mới của mình đã thu âm một bài hát tên là “Pi”, trong đó có 124 con số từ câu chuyện nổi tiếng dãy số 3, 141…..

Tài liệu trong bài viết này cung cấp thông tin ban đầu về số vô tỉ. Đầu tiên chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa về số vô tỷ và giải thích nó. Dưới đây chúng tôi đưa ra ví dụ về số vô tỷ. Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét một số phương pháp để tìm hiểu xem một số đã cho có phải là số vô tỷ hay không.

Điều hướng trang.

Định nghĩa và ví dụ về số vô tỷ

Khi nghiên cứu số thập phân, chúng tôi đã xem xét riêng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Các phân số như vậy phát sinh khi đo độ dài thập phân của các phân đoạn không thể so sánh được với một phân đoạn đơn vị. Chúng tôi cũng lưu ý rằng các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn không thể chuyển đổi thành phân số thông thường (xem chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại), do đó, những số này không phải là số hữu tỷ, chúng đại diện cho cái gọi là số vô tỷ.

Vì vậy chúng tôi đến định nghĩa số vô tỉ.

Sự định nghĩa.

Các số biểu thị phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn theo ký hiệu thập phân được gọi là số vô tỉ.

Định nghĩa lồng tiếng cho phép chúng tôi đưa ra ví dụ về số vô tỉ. Ví dụ: phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn 4.10110011100011110000... (số lượng hàng đơn vị và số 0 tăng lên một đơn vị mỗi lần) là một số vô tỷ. Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ khác về số vô tỷ: −22,353335333335... (số lượng ba phần ngăn cách số tám tăng thêm hai mỗi lần).

Cần lưu ý rằng các số vô tỷ khá hiếm khi được tìm thấy ở dạng phân số thập phân không định kỳ vô tận. Chúng thường được tìm thấy ở dạng , v.v., cũng như ở dạng các chữ cái được nhập đặc biệt. Các ví dụ nổi tiếng nhất về số vô tỷ trong ký hiệu này là căn bậc hai số học của 2, số “pi” π=3,141592..., số e=2,718281... và số vàng.

Số vô tỷ cũng có thể được định nghĩa theo số thực, kết hợp số hữu tỷ và số vô tỷ.

Sự định nghĩa.

Số vô tỉ là các số thực không hữu tỉ.

Con số này có phi lý không?

Khi một số được đưa ra không phải dưới dạng phân số thập phân mà dưới dạng một số căn, logarit, v.v., thì trong nhiều trường hợp, việc trả lời câu hỏi liệu nó có phải là số vô tỷ hay không là khá khó khăn.

Không còn nghi ngờ gì nữa, khi trả lời câu hỏi đặt ra, việc biết những con số nào không phải là số vô tỷ sẽ rất hữu ích. Từ định nghĩa về số vô tỉ thì số vô tỉ không phải là số hữu tỉ. Vì vậy, số vô tỷ KHÔNG phải là:

• phân số thập phân tuần hoàn hữu hạn và vô hạn.

Ngoài ra, bất kỳ thành phần nào của số hữu tỷ được kết nối bằng dấu của phép tính số học (+, −, ·, :) đều không phải là số vô tỷ. Điều này là do tổng, hiệu, tích và thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ. Ví dụ: các giá trị của biểu thức và là số hữu tỉ. Ở đây chúng tôi lưu ý rằng nếu các biểu thức như vậy chứa một số vô tỷ duy nhất trong số các số hữu tỷ thì giá trị của toàn bộ biểu thức sẽ là một số vô tỷ. Ví dụ, trong biểu thức số là số vô tỉ và các số còn lại là số hữu tỉ nên nó là số vô tỉ. Nếu nó là một số hữu tỷ thì tính hợp lý của số đó sẽ tuân theo, nhưng nó không phải là số hữu tỷ.

Nếu biểu thức xác định số chứa một số số vô tỷ, dấu căn, logarit, hàm lượng giác, các số π, e, v.v. thì cần phải chứng minh tính vô tỉ hoặc hữu tỉ của một số cho trước trong mỗi Trường hợp cụ thể. Tuy nhiên, có một số kết quả đã thu được có thể được sử dụng. Hãy liệt kê những cái chính.

Người ta đã chứng minh rằng căn bậc thứ k của một số nguyên chỉ là số hữu tỷ nếu số nằm dưới căn số đó là lũy thừa thứ k của một số nguyên khác; trong các trường hợp khác, căn bậc đó chỉ định một số vô tỷ. Ví dụ, các số và là vô tỷ, vì không có số nguyên nào có bình phương bằng 7, và không có số nguyên nào nâng lũy ​​thừa thứ năm sẽ bằng 15. Và những con số này không phải là số vô tỷ, vì và .

Đối với logarit, đôi khi có thể chứng minh tính vô tỉ của chúng bằng phương pháp phản chứng. Ví dụ: hãy chứng minh rằng log 2 3 là một số vô tỷ.

Giả sử rằng log 2 3 là một số hữu tỷ, không phải là số vô tỷ, nghĩa là nó có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường m/n. và cho phép chúng ta viết chuỗi đẳng thức sau: . Đẳng thức cuối cùng là không thể, vì ở vế trái của nó số lẻ, và ở vế phải – chẵn. Vì vậy, chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả định của chúng ta hóa ra là không chính xác, và điều này chứng tỏ rằng log 2 3 là một số vô tỷ.

Lưu ý rằng lna với mọi số hữu tỉ dương và không một số a là một số vô tỉ. Ví dụ, và là những số vô tỷ.

Người ta cũng chứng minh rằng số e a đối với mọi số hữu tỉ a khác 0 là số vô tỷ, và số π z đối với mọi số nguyên z khác 0 là số vô tỷ. Ví dụ, các con số là vô tỷ.

Các số vô tỉ cũng là các hàm lượng giác sin, cos, tg và ctg cho bất kỳ giá trị hữu tỉ và khác 0 nào của đối số. Ví dụ: sin1 , tan(−4) , cos5,7 là các số vô tỷ.

Có những kết quả khác đã được chứng minh, nhưng chúng tôi sẽ giới hạn ở những kết quả đã được liệt kê. Cũng cần phải nói rằng khi chứng minh các kết quả trên, lý thuyết gắn với số đại số Và số siêu việt.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng không nên đưa ra kết luận vội vàng về tính vô tỷ của các con số đã cho. Ví dụ, có vẻ hiển nhiên rằng một số vô tỉ ở mức độ vô tỉ là một số vô tỉ. Tuy nhiên, đây không phải là luôn luôn như vậy. Để xác nhận thực tế đã nêu, chúng tôi trình bày mức độ. Được biết - là số vô tỉ và người ta cũng đã chứng minh rằng - là số vô tỉ nhưng là số hữu tỉ. Bạn cũng có thể đưa ra ví dụ về số vô tỉ, tổng, hiệu, tích và thương của chúng là số hữu tỉ. Hơn nữa, tính hợp lý hay vô lý của các số π+e, π−e, π·e, π π, π e và nhiều số khác vẫn chưa được chứng minh.

Thư mục.

• Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.