Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction: mga panuntunan, mga halimbawa. Pagdaragdag ng mga algebraic fraction

Mga ordinaryong fraction.

Pagdaragdag ng mga algebraic fraction

Tandaan!

Maaari ka lamang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator!

Hindi ka maaaring magdagdag ng mga fraction nang walang mga conversion

Maaari kang magdagdag ng mga fraction

Kapag nagdaragdag ng mga algebraic fraction na may mga katulad na denominator:

1. ang numerator ng unang fraction ay idinagdag sa numerator ng pangalawang fraction;
2. ang denominator ay nananatiling pareho.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga algebraic fraction.

Dahil ang denominator ng parehong fraction ay "2a", nangangahulugan ito na ang mga fraction ay maaaring idagdag.

Idagdag natin ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at iwanan ang denominator na pareho. Kapag nagdaragdag ng mga fraction sa nagresultang numerator, ipinapakita namin ang mga katulad.

Pagbabawas ng mga algebraic fraction

Kapag binabawasan ang mga algebraic fraction na may katulad na denominator:

1. Ang numerator ng pangalawang fraction ay ibinabawas sa numerator ng unang fraction.
2. ang denominator ay nananatiling pareho.

Mahalaga!

Siguraduhing isama ang buong numerator ng fraction na iyong binabawasan sa panaklong.

Kung hindi, magkakamali ka sa mga palatandaan kapag binubuksan ang mga bracket ng fraction na iyong binabawasan.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagbabawas ng mga algebraic fraction.

Dahil ang parehong algebraic fraction ay may denominator na "2c", nangangahulugan ito na ang mga fraction na ito ay maaaring ibawas.

Ibawas ang numerator ng pangalawang fraction “(a − b)” mula sa numerator ng unang fraction na “(a + d)”. Huwag kalimutang ilagay sa panaklong ang numerator ng fraction na iyong binabawasan. Kapag nagbubukas ng mga panaklong, ginagamit namin ang panuntunan para sa pagbubukas ng mga panaklong.

Pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang common denominator

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Kailangan mong magdagdag ng mga algebraic fraction.

Ang mga fraction ay hindi maaaring idagdag sa form na ito dahil mayroon silang iba't ibang denominator.

Bago magdagdag ng mga algebraic fraction, dapat na sila ay dalhin sa isang karaniwang denominador.

Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang common denominator ay halos kapareho sa mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction sa isang common denominator. .

Bilang resulta, dapat tayong makakuha ng polynomial na hahatiin nang walang natitira sa bawat isa sa mga nakaraang denominador ng mga fraction.

Upang bawasan ang mga algebraic fraction sa isang common denominator kailangan mong gawin ang mga sumusunod.

1. Nagtatrabaho kami sa mga numerical coefficient. Tinutukoy namin ang LCM (least common multiple) para sa lahat ng numerical coefficient.
2. Nagtatrabaho kami sa mga polynomial. Tinukoy namin ang lahat ng iba't ibang polynomial sa pinakadakilang kapangyarihan.
3. Ang produkto ng numerical coefficient at lahat ng iba't ibang polynomial sa pinakamalalaking kapangyarihan ang magiging common denominator.
4. Tukuyin kung ano ang kailangan mo para i-multiply ang bawat algebraic fraction para makakuha ng common denominator.

Bumalik tayo sa ating halimbawa.

Isaalang-alang ang mga denominator na "15a" at "3" ng parehong mga fraction at maghanap ng isang karaniwang denominator para sa mga ito.

1. Nagtatrabaho kami sa mga numerical coefficient. Hanapin ang LCM (ang least common multiple ay isang numero na nahahati sa bawat numerical coefficient na walang natitira). Para sa "15" at "3" ito ay "15".
2. Nagtatrabaho kami sa mga polynomial. Kinakailangang ilista ang lahat ng polynomial sa pinakadakilang kapangyarihan. Sa mga denominador na "15a" at "5" ay mayroon lamang
   isang monomial - "a".
3. I-multiply natin ang LCM mula sa hakbang 1 "15" at ang monomial na "a" mula sa hakbang 2. Nakukuha namin ang "15a". Ito ang magiging common denominator.
4. Para sa bawat fraction, itatanong natin sa ating sarili ang tanong: "Ano ang dapat nating i-multiply ng denominator ng fraction na ito upang makakuha ng "15a"?"

Tingnan natin ang unang bahagi. Ang fraction na ito ay mayroon nang denominator na "15a," na nangangahulugang hindi na ito kailangang i-multiply sa anumang bagay.

Tingnan natin ang pangalawang bahagi. Itanong natin ang tanong: "Ano ang kailangan mong i-multiply ang "3" para makakuha ng "15a"?" Ang sagot ay "5a".

Kapag binabawasan ang isang fraction sa isang karaniwang denominator, i-multiply sa "5a" parehong numerator at denominator.

Ang isang pinaikling notasyon para sa pagbabawas ng isang algebraic fraction sa isang karaniwang denominator ay maaaring isulat gamit ang "mga bahay".

Upang gawin ito, isaisip ang karaniwang denominator. Sa itaas ng bawat fraction sa itaas na "sa bahay" isinusulat namin kung ano ang pinaparami namin sa bawat isa sa mga fraction.

Ngayon na ang mga fraction ay may parehong denominator, ang mga fraction ay maaaring idagdag.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Isaalang-alang ang mga denominator na “(x − y)” at “(x + y)” ng parehong mga fraction at hanapin ang karaniwang denominator para sa kanila.

Mayroon kaming dalawang magkaibang polynomial sa mga denominador na "(x − y)" at "(x + y)". Ang kanilang produkto ang magiging common denominator, i.e. Ang “(x − y)(x + y)” ay ang karaniwang denominator.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction gamit ang pinaikling mga multiplication formula

Sa ilang mga halimbawa, ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon ay dapat gamitin upang bawasan ang mga algebraic fraction sa isang karaniwang denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga algebraic fraction, kung saan kakailanganin nating gamitin ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat.

Sa unang algebraic fraction ang denominator ay "(p 2 − 36)". Malinaw, ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula ay maaaring ilapat dito.

Pagkatapos mabulok ang polynomial "(p 2 − 36)" sa produkto ng polynomials
"(p + 6)(p − 6)" malinaw na ang polynomial na "(p + 6)" ay inuulit sa mga fraction. Nangangahulugan ito na ang karaniwang denominator ng mga praksyon ay magiging produkto ng mga polynomial na "(p + 6)(p − 6)".

upang bumuo ng kakayahang magsagawa ng mga operasyon (pagdaragdag at pagbabawas) na may mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, batay sa panuntunan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator;

Kagamitan: Demonstration material.

Mga gawain para sa pag-update ng kaalaman:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator.

Upang magdagdag o magbawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mong:

1. Bawasan ang mga fraction na ito sa kanilang pinakamababang common denominator.
2. Idagdag o ibawas ang mga resultang fraction.

2) Isang algorithm para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang karaniwang denominator.

1. Maghanap tayo ng mga karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction: ito ang magiging mga produkto ng mga salik na iyon na nasa karaniwan (bago) denominator, ngunit wala sa lumang denominator.

3) Mga pamantayan para sa independiyenteng trabaho na may self-test:

3) Card para sa yugto ng pagmuni-muni.

1. Malinaw sa akin ang paksang ito.
2. Alam ko kung paano maghanap ng mga karagdagang salik para sa bawat fraction.
3. Makakahanap ako ng mga bagong numerator para sa bawat fraction.
4. Ang lahat ay nagtrabaho para sa akin kapag nagtatrabaho nang nakapag-iisa.
5. Naunawaan ko ang dahilan ng pagkakamaling nagawa ko sa malayang gawain.
6. Nasiyahan ako sa aking trabaho sa klase.

SA PANAHON NG MGA KLASE

1. Pagpapasya sa sarili para sa aktibidad.

Mga layunin sa yugto:

1. Pagsasama ng mga mag-aaral sa mga aktibidad na pang-edukasyon: pagpapatuloy ng paglalakbay sa buong bansa "Algebraic expressions".
2. Pagtukoy sa nilalaman ng aralin: pagpapatuloy sa paggawa ng mga algebraic fraction.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 1:

Magandang umaga, guys! Ipinagpapatuloy namin ang aming kapana-panabik na paglalakbay sa bansang "Algebraic Expressions".

Sinong “mga naninirahan” sa bansa ang nakilala natin sa mga nakaraang aralin? (Na may mga algebraic na expression.)

Ano ang maaari nating gawin sa mga pamilyar na algebraic na expression? (Pagdagdag at pagbawas.)

Alin katangian na tampok algebraic fractions na alam na natin kung paano magdagdag at magbawas? (Nagdaragdag at nagbawas kami ng mga fraction na may parehong denominator.)

Tama. Ngunit naiintindihan nating lahat na ang mga kasanayan sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga algebraic fraction na may parehong denominator ay hindi sapat. Ano pa sa tingin mo ang kailangan nating matutunang gawin? (Magsagawa ng mga operasyon na may mga fraction na may iba't ibang denominator.)

Magaling! Itutuloy ba natin ang ating paglalakbay? (Oo!)

2. Pag-update ng kaalaman at pagtatala ng mga kahirapan sa mga aktibidad.

Mga layunin sa yugto:

1. Upang i-update ang kaalaman tungkol sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction na may parehong denominator, mga paraan ng pagkalkula ng isip.
2. Itala ang kahirapan.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 2:

Mayroong ilang mga halimbawa sa pisara para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction:

5) -=-==.

Hinihiling sa mga mag-aaral na ipahayag nang malakas ang kanilang mga solusyon.

Sa unang halimbawa, ang mga lalaki ay madaling magbigay ng tamang sagot, na naaalala ang algorithm para sa pagsasagawa ng mga aksyon na may mga algebraic fraction na may parehong denominator.

Kapag nakapagbigay na ng komento sa halimbawa Blg. 2, ang guro ay tumutuon sa halimbawa Blg. 2:

Guys, tingnan kung ano ang kawili-wili sa halimbawa No. 2? (Hindi lang kami nagsagawa ng mga operasyon na may mga algebraic fraction na may parehong denominator, ngunit binawasan din ang resultang algebraic fraction: inalis namin ang minus sign sa mga bracket, at sa numerator at denominator ay nakakuha kami ng magkaparehong mga salik, kung saan binawasan namin ang resulta. .)

Napakabuti na hindi mo nakalimutan na ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nalalapat hindi lamang sa mga ordinaryong fraction, kundi pati na rin sa mga algebraic fraction!

Sino ang magkokomento sa solusyon sa sumusunod na tatlong halimbawa para sa lahat?

Malamang, magkakaroon ng isang mag-aaral na madaling malutas ang halimbawa No.

Ano ang ginamit mo upang malutas ang halimbawa Blg. 3? (Nakatulong sa akin ang algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator.)

Paano ka talaga kumilos? (Binawasan ko ang mga algebraic fraction sa pinakamababang common denominator na 15 at pagkatapos ay idinagdag ko ang mga ito.)

Kahanga-hanga! Paano natin ginagawa ang huling dalawang halimbawa?

Pagdating sa susunod na dalawang halimbawa, inaayos ng mga lalaki (bawat isa para sa kanyang sarili) ang kahirapan na lumitaw.

Ang mga salita ng mga mag-aaral ay ganito:

Nahihirapan akong kumpletuhin ang mga halimbawa 4–5, dahil sa harap ko ay mga algebraic fraction, hindi na may mga "magkaparehong" denominator, at ang iba't ibang denominator na ito ay kinabibilangan ng mga variable (Blg. 4), at sa No. 5 ay may mga literal na expression sa mga denominador!..."

Ang sagot sa mga gawain 4–5 ay hindi pa natatanggap.

3. Pagtukoy sa lokasyon at mga sanhi ng kahirapan at pagtatakda ng mga layunin para sa aktibidad.

Mga layunin sa yugto:

1. Itala ang katangi-tangi ari-arian ng trabaho na nagdulot ng kahirapan sa mga gawaing pang-edukasyon.
2. Bumuo ng layunin at paksa ng aralin.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 3:

Guys? Saan nagmula ang kahirapan? (Sa mga halimbawa 4–5.)

Bakit, kapag nilulutas ang mga ito, hindi ka handang talakayin ang desisyon at magbigay ng sagot? (Dahil ang mga algebraic fraction na iminungkahi sa mga gawaing ito ay may magkakaibang denominator, at pamilyar kami sa algorithm para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga algebraic fraction na may parehong denominator.

Ano pa ba ang kailangan nating gawin? (Kailangan mong matutunan kung paano magdagdag at magbawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.)

Sumasang-ayon ako sa iyo. Paano natin mabubuo ang paksa ng ating aralin ngayon? (Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator.)

Ang paksa ng aralin ay isinulat sa kuwaderno.

4. Paggawa ng isang proyekto para makaahon sa kahirapan.

Layunin ng entablado:

1. Ang pagbuo ng mga bata ng isang bagong paraan ng pagkilos.
2. Pag-aayos ng isang algorithm para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang karaniwang denominator.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 4:

Anong layunin ang itatakda natin para sa ating sarili sa klase ngayon? (Matutong magdagdag at magbawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator.)

Paano maging? (Upang gawin ito, dapat tayong bumuo ng isang algorithm para sa karagdagang trabaho sa mga algebraic fraction.)

Ano ang kailangan nating makabuo upang makamit ang layunin ng aralin? (Isang algorithm para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang common denominator, upang maaari tayong magtrabaho ayon sa karaniwang tuntunin para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.)

Ang gawain ay maaaring ayusin sa mga pangkat; bawat pangkat ay bibigyan ng isang papel at isang marker. Ang mga mag-aaral ay maaaring magmungkahi ng kanilang sariling mga bersyon ng algorithm sa anyo ng isang listahan ng mga hakbang. 5 minuto ang inilaan para sa trabaho. Ang mga grupo ay nagpo-post ng kanilang mga opsyon para sa isang algorithm o panuntunan, at pagkatapos ay sinusuri ang bawat opsyon.

Malamang, ang isa sa mga mag-aaral ay talagang gagawa ng pagkakatulad ng kanilang algorithm sa algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator: una, dinadala nila ang mga fraction sa isang karaniwang denominator gamit ang kaukulang karagdagang mga kadahilanan, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang nagreresultang mga fraction na may parehong denominator.

Kasunod nito, ipapakita ang isang pagpipilian. Maaaring ganito:

1. Isinasaalang-alang namin ang lahat ng mga denominador.
2. Mula sa unang denominator ay isinusulat namin ang produkto ng lahat ng mga kadahilanan nito, mula sa natitirang mga denominator ay itinatalaga namin ang nawawalang mga kadahilanan sa produktong ito. Ang magreresultang produkto ay ang karaniwang (bago) denominator.
3. Maghanap tayo ng mga karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction: ito ang magiging mga produkto ng mga salik na iyon na nasa bagong denominator, ngunit wala sa lumang denominator.
4. Maghanap tayo ng bagong numerator para sa bawat fraction: ito ang magiging produkto ng lumang numerator at karagdagang salik.
5. Isulat natin ang bawat fraction na may bagong numerator at isang karaniwang (bago) denominator.

Well, ilapat natin ang ating panuntunan para kumpletuhin ang mga hindi nalutas na iminungkahing gawain. Ang bawat gawain (4, 5) ay isa-isang binibigkas ng ilang estudyante sa klase, at itinatala ng guro ang solusyon sa pisara.

Ikaw at ako ay mga henyo lang! Gumawa kami ng algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator. Sa pamamagitan ng magkasanib na pagsisikap, naalis namin ang kahirapan, dahil mayroon na kaming isang tunay na "gabay" (algorithm) sa hindi kilalang bansa ng "Algebraic Fractions"!

5. Pangunahing konsolidasyon sa panlabas na pananalita.

Layunin ng entablado:

1. Sanayin ang kakayahang bawasan ang mga algebraic fraction sa isang karaniwang denominator.
2. Ayusin ang pagbigkas ng pinag-aralan na nilalaman ng panuntunan-algorithm sa panlabas na pagsasalita.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 5:

Guys, alam na alam nating lahat na ang pagtingin at pag-alam lamang ng "mapa ng lugar" ay hindi isang paglalakbay. Ano ang dapat nating gawin para mas malaliman ang mundo ng mga algebraic fraction? (Dapat nating lutasin ang mga halimbawa, at sa pangkalahatan ay magsanay sa paglutas ng mga halimbawa, upang pagsama-samahin ang ating bagong algorithm.)

Ganap na tama. Samakatuwid, iminumungkahi kong simulan ang aming pananaliksik.

Binibigkas ng mag-aaral ang plano para sa kanyang solusyon, itinutuwid ng guro kung may mga pagkakamaling nagawa.

Ito ay halos ganito ang tunog:

Dapat tayong pumili ng isang numero na mahahati sa parehong 2 at 5. Ito ang numerong 10. Pagkatapos ay pipiliin natin ang mga variable sa antas na kailangan natin. Kaya ang aming bagong denominator ay magiging 10xy. Pumili kami ng mga karagdagang multiplier. Sa unang fraction: 5y, sa pangalawa: 2x. Pinaparami namin ang mga napiling karagdagang salik sa bawat lumang numerator. Kumuha kami ng mga algebraic fraction na may magkaparehong denominator at nagsasagawa ng pagbabawas ayon sa panuntunang pamilyar na sa amin.

Nalulugod ako. At ngayon ang aming malaking koponan ay mahahati sa mga pares, at ipagpapatuloy namin ang aming kawili-wiling landas.

Blg. 133 (a, d). Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho nang pares, na pinag-uusapan ang solusyon sa isa't isa:

a) +=+= =;

d) +=+= =.

6. Pansariling gawain na may sariling pagsubok.

Mga layunin sa yugto:

1. Magsagawa ng malayang gawain.
2. Magsagawa ng self-test gamit ang ready-made self-test standard.
3. Itatala ng mga mag-aaral ang mga paghihirap, tutukuyin ang mga sanhi ng mga pagkakamali, at itatama ang mga pagkakamali.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 6:

Maingat kong pinanood ang iyong trabaho at napag-isipan na ang bawat isa sa inyo ay handa na mag-isa na mag-isip tungkol sa mga paraan at maghanap ng mga solusyon sa mga halimbawa sa aming paksa ngayon. Samakatuwid, nag-aalok ako sa iyo ng isang maliit na independiyenteng gawain, pagkatapos makumpleto kung saan bibigyan ka ng isang pamantayan na may tamang solusyon at sagot.

No. 134 (a, b): magsagawa ng trabaho ayon sa mga opsyon.

Matapos makumpleto ang trabaho, isinasagawa ang isang karaniwang pagsusuri. Kapag sinusuri ang mga solusyon, markahan ng mga mag-aaral ang "+" para sa tamang solusyon, "?" hindi ang tamang desisyon. Maipapayo sa mga mag-aaral na nagkamali na ipaliwanag ang dahilan kung bakit hindi nila natapos ang gawain.

Ang mga pagkakamali ay sinusuri at itinatama.

Kaya, anong mga paghihirap ang naranasan mo sa daan? (Nagkamali ako sa pagpapalawak ng mga panaklong, na pinangungunahan ng minus sign.)

Ano ang dahilan nito? (Dahil lamang sa kapabayaan, ngunit mas magiging maingat ako sa hinaharap!)

Ano pa ang tila mahirap? (Mahirap ba para sa akin na makahanap ng karagdagang mga kadahilanan para sa mga fraction?)

Tiyak na kailangan mong pag-aralan ang punto 3 ng algorithm nang mas detalyado upang ang gayong problema ay hindi lumitaw sa hinaharap!

Mayroon bang iba pang mga paghihirap? (At hindi ako nagdala ng mga ganoong termino).

At ito ay maaaring maayos. Kapag nagawa mo na ang lahat ng posible gamit ang bagong algorithm, kailangan mong tandaan ang materyal na iyong pinag-aralan nang matagal na ang nakalipas. Sa partikular, ang pagdadala ng mga katulad na termino, o pagbabawas ng mga fraction, atbp.

7. Pagsasama ng bagong kaalaman sa sistema ng kaalaman.

Ang layunin ng yugto: upang ulitin at pagsama-samahin ang algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator na natutunan sa aralin.

8. Pagninilay ng aralin.

Ang layunin ng yugto: upang magtala ng bagong nilalaman, suriin ang sariling mga aktibidad.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto 8:

Anong layunin ang itinakda natin sa simula ng aralin? (Matutong magdagdag at magbawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.)

Ano ang aming naisip upang makamit ang layunin? (Algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator.)

Ano pa ang ginamit namin para dito? (Isinalang namin ang mga denominator, pinili ang LCM para sa mga coefficient, at karagdagang mga kadahilanan para sa mga numerator.)

Ngayon kumuha ng ilang kulay na panulat o felt-tip pen at markahan ng "+" ang mga pahayag na sinasang-ayunan mo ang katotohanan:

Ang bawat mag-aaral ay may card na may mga parirala. Markahan at ipakita ng mga bata sa guro.

Magaling!

Takdang-Aralin: talata 4 (textbook); No. 126, 127 (aklat ng problema).

Sa artikulong ito susuriin natin nang detalyado pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction. Magsimula tayo sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may mga katulad na denominator. Pagkatapos nito, isusulat namin ang kaukulang panuntunan para sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Sa konklusyon, ipapakita namin kung paano magdagdag ng algebraic fraction na may polynomial at kung paano ibawas ang mga ito. Ayon sa tradisyon, ibibigay namin ang lahat ng impormasyon na may mga tipikal na halimbawa na nagpapaliwanag sa bawat hakbang ng proseso ng solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Kapag ang mga denominador ay pareho

Ang mga prinsipyo ay dinadala sa algebraic fractions. Alam natin na kapag nagdadagdag at nagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may katulad na denominator, ang mga numerator nito ay idinaragdag o ibinabawas, ngunit ang denominator ay nananatiling pareho. Halimbawa, at .

Nabuo nang katulad panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may mga katulad na denominator: Upang magdagdag o magbawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator, kailangan mong idagdag o ibawas ang mga numerator ng mga fraction nang naaayon, na iniiwan ang denominator na hindi nagbabago.

Sumusunod mula sa panuntunang ito na bilang resulta ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga algebraic fraction, isang bagong algebraic fraction (sa isang partikular na kaso, isang polynomial, monomial o numero) ay nakuha.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng aplikasyon ng nakasaad na tuntunin.

Halimbawa.

Hanapin ang kabuuan ng mga algebraic fraction At .

Solusyon.

Kailangan nating magdagdag ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator. Sinasabi sa atin ng panuntunan na kailangan nating idagdag ang mga numerator ng mga fraction na ito, ngunit iwanan ang denominator na pareho. Kaya, pinagsama namin ang mga polynomial na matatagpuan sa mga numerator: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga orihinal na fraction ay katumbas ng .

Sa pagsasagawa, ang solusyon ay karaniwang isinulat nang maikli sa anyo ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa lahat ng mga aksyon na isinagawa. Sa aming kaso, ang maikling bersyon ng solusyon ay:

Sagot:

.

Tandaan na kung, bilang isang resulta ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga algebraic fraction, isang reducible fraction ay nakuha, pagkatapos ay ipinapayong bawasan ito.

Halimbawa.

Ibawas ang mga praksiyon sa mga algebraic na praksiyon.

Solusyon.

Dahil ang mga denominator ng algebraic fraction ay pantay, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawa mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho: .

Madaling makita na posibleng bawasan ang isang algebraic fraction. Para magawa ito, binabago namin ang denominator nito sa pamamagitan ng pag-apply square difference formula. Meron kami.

Sagot:

.

Ang tatlo at tatlo ay idinaragdag o ibinabawas sa eksaktong parehong paraan. malaking dami mga algebraic fraction na may katulad na denominator. Halimbawa, .

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator

Alalahanin natin kung paano natin idinaragdag at ibinabawas ang mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator: dinadala muna natin ang mga ito sa isang common denominator, at pagkatapos ay idinaragdag natin ang mga fraction na ito na may parehong denominator. Halimbawa, o .

May katulad panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator:

• una, ang lahat ng mga fraction ay binabawasan sa isang karaniwang denominator;
• pagkatapos kung saan ang mga resultang fraction na may parehong denominator ay idinagdag at ibinabawas.

Para sa matagumpay na aplikasyon ang nakasaad na tuntunin, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa pagbabawas ng algebraic fractions sa isang karaniwang denominator. Ito ang gagawin natin.

Pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang common denominator.

Ang pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang common denominator ay isang magkaparehong pagbabago ng orihinal na mga fraction, kung saan ang mga denominator ng lahat ng fraction ay magiging pareho. Maginhawang gamitin ang sumusunod algorithm para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang karaniwang denominator:

• Una, matatagpuan ang karaniwang denominator ng mga algebraic fraction;
• Susunod, ang mga karagdagang salik ay tinutukoy para sa bawat isa sa mga praksiyon, kung saan ang karaniwang denamineytor ay hinahati sa mga denamineytor ng orihinal na mga praksiyon;
• sa wakas, ang mga numerator at denominator ng orihinal na algebraic na mga praksiyon ay pinarami ng kaukulang karagdagang mga salik.

Halimbawa.

Magbigay ng mga algebraic fraction At sa isang common denominator.

Solusyon.

Una, tukuyin natin ang karaniwang denominator ng mga algebraic fraction. Upang gawin ito, i-factor ang mga denominator ng lahat ng mga fraction: 2 a 3 −4 a 2 =2 a 2 (a−2), 3 a 2 −6 a=3 a (a−2) at 4 a 5 −16 a 3 =4 a 3 (a−2) (a+2). Mula dito makikita natin ang karaniwang denominator 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Ngayon simulan natin ang paghahanap ng mga karagdagang salik. Upang gawin ito, hinahati namin ang karaniwang denominator sa denominator ng unang bahagi (ito ay maginhawa upang kunin ang pagpapalawak nito), mayroon kaming 12 a 3 (a−2) (a+2):(2 a 2 (a−2))=6 a (a+2). Kaya, ang karagdagang salik para sa unang bahagi ay 6·a·(a+2) . Katulad nito, nakakahanap kami ng mga karagdagang salik para sa pangalawa at pangatlong fraction: 12 a 3 (a−2) (a+2):(3 a (a−2))=4 a 2 (a+2) At 12 a 3 (a−2) (a+2):(4 a 3 (a−2) (a+2))=3.

Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng orihinal na mga fraction sa pamamagitan ng kaukulang karagdagang mga kadahilanan:

Kinukumpleto nito ang pagbabawas ng orihinal na algebraic fraction sa isang karaniwang denominator. Kung kinakailangan, ang mga resultang fraction ay maaaring ma-convert sa anyo ng mga algebraic fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng polynomial at monomials sa mga numerator at denominator.

Kaya, inayos namin ang pagbabawas ng mga algebraic fraction sa isang karaniwang denominator. Handa na kami ngayon na magsagawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may hindi katulad na mga denominator. Oo, halos nakalimutan ka naming bigyan ng babala: maginhawang iwanan ang karaniwang denominator na ipinakita sa anyo ng isang produkto hanggang sa huling sandali - maaaring kailanganin mong bawasan ang bahagi na nakuha pagkatapos ng pagdaragdag o pagbabawas.

Halimbawa.

Magsagawa ng pagdaragdag ng mga algebraic fraction at .

Solusyon.

Malinaw, ang orihinal na mga fraction ay may iba't ibang denominator, kaya upang maisagawa ang kanilang karagdagan, kailangan mo munang bawasan ang mga ito sa isang karaniwang denominator. Upang gawin ito, i-factor ang mga denominator: x 2 +x=x·(x+1) , at x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , dahil ang mga ugat ng square trinomial Ang x 2 + 3 x+2 ay ang mga numerong −1 at −2. Mula dito makikita natin ang karaniwang denominator, mayroon itong anyong x·(x+1)·(x+2) . Kung gayon ang karagdagang salik ng unang bahagi ay magiging x+2, at ang pangalawang bahagi ay magiging x.

Kaya, at.

Ang natitira na lang ay idagdag ang mga fraction na binawasan sa isang common denominator:

Ang resultang fraction ay maaaring mabawasan. Sa katunayan, kung aalisin mo ang dalawa sa mga bracket sa numerator, makikita mo karaniwang multiplier x+1, kung saan ang fraction ay nababawasan: .

Sa wakas, kinakatawan namin ang resultang fraction bilang isang algebraic, kung saan pinapalitan namin ang produkto sa denominator ng polynomial: .

Bumuo tayo ng isang maikling solusyon na isinasaalang-alang ang lahat ng ating pangangatwiran:

Sagot:

.

At isa pang punto: bago magdagdag o magbawas ng mga algebraic fraction, ipinapayong baguhin muna ang mga ito upang pasimplehin (kung, siyempre, may posibilidad).

Halimbawa.

Magsagawa ng pagbabawas ng mga algebraic fraction at .

Solusyon.

Magsagawa tayo ng ilang pagbabagong-anyo ng mga algebraic fraction, marahil ay pasimplehin nila ang proseso ng solusyon. Upang magsimula, kunin natin ang mga numerical coefficient ng mga variable sa denominator mula sa mga bracket: At . Ito ay kawili-wili na - ang karaniwang kadahilanan ng mga denominador ng mga fraction ay naging nakikita.

Sasaklawin ng araling ito ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may mga katulad na denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Ang kakayahang gumawa ng mga fraction na may katulad na denominador ay isa sa mga batong panulok sa pag-aaral ng mga alituntunin ng pagtatrabaho sa mga algebraic fraction. Sa partikular, ang pag-unawa sa paksang ito ay magpapadali sa pag-master ng higit pa mahirap na paksa- pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator, at susuriin din ang ilang karaniwang mga halimbawa.

Panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fractions mula sa one-on-to-you -mi know-me-na-te-la-mi (ito ay kasabay ng analogous rule para sa ordinaryong shot-beats): Iyon ay para sa karagdagan o pagkalkula ng al-geb-ra-i-che-skih fractions na may one-to-you know-me-on-the-la-mi kailangan -ho-di-mo-compile ng kaukulang al-geb-ra-i-che-sum ng mga numero, at ang sign-me-na-tel ay umalis nang walang anuman.

Naiintindihan namin ang panuntunang ito kapwa para sa halimbawa ng mga ordinaryong ven-draws at para sa halimbawa ng al-geb-ra-i-che-draws. hit.

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga ordinaryong fraction

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon

Idagdag natin ang bilang ng mga fraction, at iwanan ang sign na pareho. Pagkatapos nito, binubulok namin ang numero at nag-sign in sa mga simpleng multiplicity at kumbinasyon. Kunin natin: .

Tandaan: isang karaniwang error na pinapayagan kapag nilulutas ang mga katulad na uri ng mga halimbawa, para sa -klu-cha-et-sya sa sumusunod na posibleng solusyon: . Ito ay isang malaking pagkakamali, dahil ang tanda ay nananatiling pareho sa orihinal na mga fraction.

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon

Ang isang ito ay hindi naiiba sa nauna: .

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga algebraic fraction

Mula sa ordinaryong dro-beats, lumipat tayo sa al-geb-ra-i-che-skim.

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon: gaya ng nabanggit na sa itaas, ang komposisyon ng al-geb-ra-i-che-fractions ay hindi naiiba sa salitang katulad ng karaniwang mga shot-fight. Samakatuwid, ang paraan ng solusyon ay pareho: .

Halimbawa 4. Ikaw ang fraction: .

Solusyon

You-chi-ta-nie ng al-geb-ra-i-che-skih fractions mula sa karagdagan lamang sa pamamagitan ng ang katunayan na sa numero pi-sy-va-et-sya pagkakaiba sa bilang ng mga ginamit na fractions. kaya lang .

Halimbawa 5. Ikaw ang fraction: .

Solusyon: .

Halimbawa 6. Pasimplehin: .

Solusyon: .

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunang sinusundan ng pagbabawas

Sa isang fraction na may parehong kahulugan sa resulta ng compounding o pagkalkula, mga kumbinasyon ay posible nia. Bilang karagdagan, hindi mo dapat kalimutan ang tungkol sa ODZ ng al-geb-ra-i-che-skih fractions.

Halimbawa 7. Pasimplehin: .

Solusyon: .

Kung saan . Sa pangkalahatan, kung ang ODZ ng mga paunang fraction ay tumutugma sa ODZ ng kabuuan, maaari itong alisin (pagkatapos ng lahat, ang fraction ay nasa sagot, ay hindi rin iiral kasama ang kaukulang makabuluhang pagbabago). Ngunit kung ang ODZ ng mga ginamit na fraction at ang sagot ay hindi tugma, kung gayon ang ODZ ay kailangang ipahiwatig.

Halimbawa 8. Pasimplehin: .

Solusyon: . Kasabay nito, y (ang ODZ ng mga paunang fraction ay hindi nag-tutugma sa ODZ ng resulta).

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Upang magdagdag at magbasa ng mga al-geb-ra-i-che-fraction na may iba't ibang know-me-on-the-la-mi, ginagawa namin ang ana-lo -giyu gamit ang ordinary-ven-ny fractions at inilipat ito sa al-geb -ra-i-che-fractions.

Tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa para sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Tandaan natin ang mga tuntunin sa pagdaragdag ng mga fraction. Upang magsimula sa isang fraction, kinakailangan upang dalhin ito sa isang karaniwang tanda. Sa papel na ginagampanan ng isang pangkalahatang tanda para sa mga ordinaryong fraction, kumilos ka hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOK) mga paunang palatandaan.

Kahulugan

Ang pinakamaliit na numero, na hinati sa parehong oras sa mga numero at.

Upang mahanap ang NOC, kailangan mong hatiin ang kaalaman sa mga simpleng hanay, at pagkatapos ay piliin ang lahat ng marami, na kasama sa dibisyon ng parehong mga palatandaan.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang dalawa at dalawang tatlo: .

Matapos mahanap ang pangkalahatang kaalaman, kinakailangan para sa bawat isa sa mga fraction na makahanap ng kumpletong multiplicity resident (sa katunayan, sa katunayan, upang ibuhos ang karaniwang sign sa sign ng kaukulang fraction).

Pagkatapos ang bawat fraction ay pinarami ng kalahating buong kadahilanan. Kumuha tayo ng ilang mga praksyon mula sa kapareho mong alam, dagdagan ang mga ito at basahin ang mga ito.-napag-aralan sa mga nakaraang aralin.

Kain tayo: .

Sagot:.

Tingnan natin ngayon ang komposisyon ng al-geb-ra-i-che-fractions na may iba't ibang palatandaan. Ngayon tingnan natin ang mga fraction at tingnan kung mayroong anumang mga numero.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Al-go-ritmo ng desisyon ab-so-lyut-ngunit ana-lo-gi-chen sa naunang halimbawa. Madaling kunin ang karaniwang tanda ng mga ibinigay na fraction: at mga karagdagang multiplier para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

So, pormahan natin al-go-ritmo ng pagdaragdag at pagkalkula ng mga al-geb-ra-i-che-skih fraction na may iba't ibang mga palatandaan:

1. Hanapin ang pinakamaliit na karaniwang tanda ng fraction.

2. Maghanap ng mga karagdagang multiplier para sa bawat isa sa mga fraction (sa katunayan, ang karaniwang tanda ng sign ay binibigyan ng -th fraction).

3. Hanggang-sa-maraming mga numero sa kaukulang up-to-full multiplicity.

4. Magdagdag o magkalkula ng mga fraction, gamit ang right-of-minor na mga karagdagan at pagkalkula ng mga fraction na may parehong kaalaman -me-na-te-la-mi.

Ngayon tingnan natin ang isang halimbawa na may mga fraction, sa tanda kung saan mayroong mga titik na you -nia.

Mga tulong sa pag-unlad at pang-edukasyon sa online na tindahan na "Integral"
Manwal para sa aklat-aralin na Muravin G.K. Isang manwal para sa aklat-aralin ni Makarychev Yu.N.

Ano ang algebraic fraction?

Ang isang algebraic fraction ay isang expression ng form: $\frac(P)(Q)$.

saan:
Ang P ay ang numerator ng algebraic fraction.
Ang Q ay ang denominator ng isang algebraic fraction.

Narito ang mga halimbawa ng algebraic fractions:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Mga pangunahing katangian ng mga algebraic fraction

Ang pagbabagong ito ay tinatawag kung hindi man magkapareho. Ito ay ginagamit upang bawasan ang isang algebraic (at hindi lamang) na expression sa isang mas simpleng anyo, at ang pagtatrabaho sa expression na ito ay magiging mas maginhawa.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Ari-arian 2.
Ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring hatiin sa parehong numero (alinman sa monomial o polynomial). Bilang resulta, makakakuha tayo ng parehong fraction, ngunit ipinakita sa ibang anyo.

Tulad ng sa kaso ng multiplikasyon, ito magkatulad na pagbabago resort upang kumatawan sa isang fraction sa higit pa sa simpleng anyo at gawing mas madali ang trabaho.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator

Pangkalahatang tuntunin:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Pasimplehin ang expression:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na inilarawan sa itaas, iyon ay, idinaragdag namin ang mga numerator, at isulat ang karaniwang denominator.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa.
Kalkulahin:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Tandaan!
Para sa dalawang algebraic fraction, maaari kang pumili ng maraming karaniwang denominator hangga't gusto mo. Ngunit upang gawing simple ang mga kalkulasyon, kailangan mong piliin ang pinakasimpleng posible.