Ang pangunahing katangian ng isang fraction. Mga tuntunin

Sa matematika Iba't ibang uri ang mga numero ay pinag-aralan mula noong sila ay nagsimula. Umiiral malaking bilang ng set at subset ng mga numero. Kabilang sa mga ito ang mga integer, rational, irrational, natural, even, odd, complex at fractional. Ngayon ay susuriin natin ang impormasyon tungkol sa huling hanay - mga fractional na numero.

Kahulugan ng mga fraction

Ang mga fraction ay mga numerong binubuo ng isang integer na bahagi at mga fraction ng isang yunit. Tulad ng mga integer, mayroong walang katapusang bilang ng mga fraction sa pagitan ng dalawang integer. Sa matematika, ang mga operasyong may mga fraction ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng sa mga integer at natural na mga numero. Ito ay medyo simple at maaaring matutunan sa ilang mga aralin.

Ang artikulo ay nagpapakita ng dalawang uri

Mga karaniwang fraction

Ang mga ordinaryong fraction ay ang integer na bahagi a at dalawang numero na nakasulat sa pamamagitan ng fraction line b/c. Ang mga karaniwang fraction ay maaaring maging lubhang maginhawa kung ang fractional na bahagi ay hindi maaaring katawanin sa rational decimal form. Bilang karagdagan, ito ay mas maginhawa upang magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika sa pamamagitan ng fractional line. Itaas na bahagi ay tinatawag na numerator, ang mas mababang isa ay ang denominator.

Mga operasyong may ordinaryong fraction: mga halimbawa

Ang pangunahing katangian ng isang fraction. Sa pagpaparami ng numerator at denominator sa parehong numero na hindi zero, ang resulta ay isang numero na katumbas ng ibinigay na isa. Ang katangian ng isang fraction ay perpektong nakakatulong upang dalhin ang denominator para sa karagdagan (ito ay tatalakayin sa ibaba) o upang paikliin ang fraction, na ginagawang mas maginhawa para sa pagbibilang. a/b = a*c/b*c. Halimbawa, 36/24 = 6/4 o 9/13 = 18/26

Pagbawas sa isang karaniwang denominator. Upang makuha ang denominator ng isang fraction, kailangan mong ipakita ang denominator sa anyo ng mga kadahilanan, at pagkatapos ay i-multiply sa mga nawawalang numero. Halimbawa, 7/15 at 12/30; 7/5*3 at 12/5*3*2. Nakikita natin na ang mga denominator ay nagkakaiba ng dalawa, kaya pinarami natin ang numerator at denominator ng unang bahagi ng 2. Nakukuha natin ang: 14/30 at 12/30.

Mga compound fraction- mga ordinaryong fraction na may naka-highlight na buong bahagi. (A b/c) Upang kumatawan sa compound fraction bilang common fraction, kailangan mong i-multiply ang numero sa harap ng fraction sa denominator, at pagkatapos ay idagdag ito sa numerator: (A*c + b)/c.

Mga operasyon sa aritmetika na may mga fraction

Magiging magandang ideya na isaalang-alang lamang ang mga kilalang operasyon ng aritmetika kapag nagtatrabaho sa mga fractional na numero.

Pagdagdag at pagbawas. Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction ay kasingdali ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga buong numero, maliban sa isang kahirapan - ang pagkakaroon ng isang fraction line. Kapag nagdadagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mo lamang idagdag ang mga numerator ng parehong mga fraction; Halimbawa: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Kung ang mga denominador ng dalawang fraction ay magkaibang numero una kailangan mong dalhin ang mga ito sa isang karaniwang punto (kung paano gawin ito ay tinalakay sa itaas). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Ang pagbabawas ay sumusunod sa eksaktong parehong prinsipyo: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Pagpaparami at paghahati. Mga aksyon na may mga fraction, nangyayari ang multiplikasyon ayon sa sa sumusunod na prinsipyo: ang mga numerator at denominator ay hiwalay na pinarami. SA pangkalahatang pananaw Ang multiplication formula ay ganito ang hitsura: a/b *c/d = a*c/b*d. Bilang karagdagan, habang nagpaparami ka, maaari mong bawasan ang fraction sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga katulad na salik mula sa numerator at denominator. Sa madaling salita, ang numerator at denominator ay nahahati sa parehong numero: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Upang hatiin ang isang ordinaryong fraction sa isa pa, kailangan mong baguhin ang numerator at denominator ng divisor at i-multiply ang dalawang fraction ayon sa prinsipyong tinalakay kanina: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

Mga desimal

Ang mga desimal ay ang mas sikat at madalas na ginagamit na bersyon mga fractional na numero. Mas madaling isulat ang mga ito sa isang linya o ipakita ang mga ito sa isang computer. Ang istraktura ng isang decimal ay ang mga sumusunod: una ang buong numero ay nakasulat, at pagkatapos, pagkatapos ng decimal point, ang fractional na bahagi ay nakasulat. Sa kanilang core, ang mga decimal ay mga composite fraction, ngunit ang kanilang fractional na bahagi ay kinakatawan ng isang numero na hinati sa isang multiple ng 10. Dito nagmula ang kanilang pangalan. Ang mga operasyong may mga decimal fraction ay katulad ng mga operasyong may mga integer, dahil ang mga ito ay nakasulat din sa sistema ng decimal na numero. Gayundin, hindi tulad ng mga ordinaryong fraction, ang mga decimal ay maaaring hindi makatwiran. Nangangahulugan ito na maaari silang maging walang hanggan. Ang mga ito ay nakasulat tulad nito: 7, (3). Ang sumusunod na entry ay mababasa: pitong punto tatlo, tatlong ikasampu sa isang yugto.

Mga pangunahing operasyon na may mga decimal na numero

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal. Ang pagtatrabaho sa mga fraction ay hindi mas mahirap kaysa sa paggawa ng buong natural na mga numero. Ang mga patakaran ay ganap na katulad sa mga ginagamit kapag nagdaragdag o nagbabawas ng mga natural na numero. Maaari silang mabilang bilang isang haligi sa parehong paraan, ngunit kung kinakailangan, palitan ang mga nawawalang lugar ng mga zero. Halimbawa: 5.5697 - 1.12. Upang maisagawa ang pagbabawas ng column, kailangan mong i-equalize ang bilang ng mga numero pagkatapos ng decimal point: (5.5697 - 1.1200). Kaya, hindi magbabago ang numerical value at mabibilang sa isang column.

Ang mga operasyong may mga decimal fraction ay hindi maisagawa kung ang isa sa mga ito ay may hindi makatwirang anyo. Upang gawin ito, kailangan mong i-convert ang parehong mga numero sa mga ordinaryong fraction, at pagkatapos ay gamitin ang mga pamamaraan na inilarawan nang mas maaga.

Pagpaparami at paghahati. Ang pagpaparami ng mga decimal ay katulad ng pagpaparami ng mga natural na fraction. Maaari din silang i-multiply sa isang column, nang simple, nang hindi binibigyang pansin ang kuwit, at pagkatapos ay paghiwalayin ng kuwit sa huling halaga ang parehong bilang ng mga digit bilang ang kabuuang pagkatapos ng decimal point ay nasa dalawang decimal fraction. Halimbawa, 1.5 * 2.23 = 3.345. Ang lahat ay napaka-simple, at hindi dapat maging sanhi ng mga paghihirap kung na-master mo na ang pagpaparami ng mga natural na numero.

Ang dibisyon ay pareho din ng dibisyon ng mga natural na numero, ngunit may bahagyang paglihis. Upang hatiin sa isang decimal na numero sa isang column, kailangan mong itapon ang decimal point sa divisor at i-multiply ang dibidendo sa bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa divisor. Pagkatapos ay isagawa ang paghahati tulad ng sa mga natural na numero. Kapag hindi kumpleto ang paghahati, maaari kang magdagdag ng mga zero sa dibidendo sa kanan, at magdagdag din ng zero sa sagot pagkatapos ng decimal point.

Mga halimbawa ng mga operasyon na may mga decimal. Ang mga desimal ay isang napaka-maginhawang tool para sa mga kalkulasyon ng aritmetika. Pinagsasama nila ang kaginhawahan ng mga natural na numero, buong numero, at ang katumpakan ng mga fraction. Bilang karagdagan, medyo madaling i-convert ang ilang mga fraction sa iba. Ang mga operasyong may mga fraction ay hindi naiiba sa mga operasyong may natural na mga numero.

1. Pagdaragdag: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. Pagbabawas: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. Pagpaparami: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. Dibisyon: 3.6: 0.6 = 6

Gayundin, ang mga decimal ay angkop para sa kumakatawan sa mga porsyento. Kaya, 100% = 1; 60% = 0.6; at vice versa: 0.659 = 65.9%.

Iyon lang ang kailangan mong malaman tungkol sa mga fraction. Sinuri ng artikulo ang dalawang uri ng mga fraction - ordinaryo at decimal. Ang parehong ay medyo simple upang kalkulahin, at kung ganap mong pinagkadalubhasaan ang mga natural na numero at operasyon sa kanila, maaari mong ligtas na simulan ang pag-aaral ng mga fraction.

Maliit na bahagi- isang numero na binubuo ng isang integer na bilang ng mga fraction ng isang yunit at kinakatawan sa anyo: a/b

Numerator ng fraction (a)- ang numerong matatagpuan sa itaas ng fraction line at nagpapakita ng bilang ng mga bahagi kung saan hinati ang unit.

Fraction denominator (b)- isang numero na matatagpuan sa ilalim ng fraction line at nagpapakita kung ilang bahagi ang nahahati sa unit.

2. Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

3. Mga operasyon sa aritmetika sa itaas ordinaryong fraction

3.1. Pagdaragdag ng mga ordinaryong fraction

3.2. Pagbabawas ng mga fraction

3.3. Pagpaparami ng mga karaniwang fraction

3.4. Paghahati ng mga fraction

4. Mga katumbas na numero

5. Mga desimal

6. Mga operasyon sa aritmetika sa mga decimal

6.1. Pagdaragdag ng mga Decimal

6.2. Pagbabawas ng mga Decimal

6.3. Pagpaparami ng mga Decimal

6.4. Desimal na dibisyon

#1. Ang pangunahing katangian ng isang fraction

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong numero na hindi katumbas ng zero, makakakuha ka ng isang fraction na katumbas ng ibinigay na isa.

3/7=3*3/7*3=9/21, ibig sabihin, 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - ito ang hitsura ng pangunahing katangian ng isang fraction.

Sa madaling salita, nakakakuha tayo ng fraction na katumbas ng ibinigay sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati ng numerator at denominator ng orihinal na fraction ng pareho. natural na numero.

Kung ad=bc, pagkatapos ay dalawang fraction a/b =c /d ay itinuturing na pantay.

Halimbawa, ang mga fraction na 3/5 at 9/15 ay magiging pantay, dahil 3*15=5*9, ibig sabihin, 45=45

Pagbawas ng isang fraction ay ang proseso ng pagpapalit ng fraction kung saan ang bagong fraction ay katumbas ng orihinal, ngunit may mas maliit na numerator at denominator.

Nakaugalian na bawasan ang mga fraction batay sa pangunahing katangian ng fraction.

Halimbawa, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (ang numerator at denominator ay hinati sa numero 3, sa pamamagitan ng 5 at sa pamamagitan ng 15).

Irreducible fraction ay isang fraction ng anyo 3/4 ​ ​ , kung saan ang numerator at denominator ay magkapareho mga pangunahing numero. Ang pangunahing layunin ng pagbawas ng isang fraction ay upang gawing hindi mababawasan ang fraction.

2. Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Upang magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mong:

1) i-factor ang denominator ng bawat fraction sa prime factor;

2) multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa mga nawawala

mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng pangalawang denominator;

3) i-multiply ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa mga nawawalang salik mula sa unang pagpapalawak.

Mga Halimbawa: Bawasan ang mga fraction sa isang common denominator.

I-factor natin ang mga denominator sa mga simpleng salik: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

I-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa nawawalang factor 5 mula sa pangalawang pagpapalawak.

numerator at denominator ng fraction sa nawawalang mga salik 3 at 2 mula sa unang pagpapalawak.

= , 90 – karaniwang denominator ng mga fraction.

3. Mga operasyong aritmetika sa mga ordinaryong fraction

3.1. Pagdaragdag ng mga ordinaryong fraction

a) Kung ang mga denominator ay pareho, ang numerator ng unang fraction ay idinaragdag sa numerator ng pangalawang fraction, na iniiwan ang denominator na pareho. Tulad ng makikita mo sa halimbawa:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Para sa iba't ibang denominator, ang mga fraction ay unang binabawasan sa isang karaniwang denominator, at pagkatapos ay idinaragdag ang mga numerator ayon sa tuntunin a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Pagbabawas ng mga fraction

a) Kung ang mga denamineytor ay magkapareho, ibawas ang numerator ng pangalawang bahagi mula sa numerator ng unang bahagi, na iiwan ang denominator na pareho:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Kung ang mga denominator ng mga praksiyon ay magkaiba, pagkatapos ay ang mga praksiyon ay dadalhin muna sa isang karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay ang mga aksyon ay paulit-ulit tulad ng sa punto a).

3.3. Pagpaparami ng mga karaniwang fraction

Ang pagpaparami ng mga fraction ay sumusunod sa sumusunod na panuntunan:

a/b*c/d=a*c/b*d,

ibig sabihin, hiwalay nilang pinaparami ang mga numerator at denominator.

Halimbawa:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Paghahati ng mga fraction

Ang mga fraction ay nahahati sa sumusunod na paraan:

a/b:c/d=a*d/b*c,

ibig sabihin, ang fraction a/b ay pinarami ng kabaligtaran na bahagi ng ibinigay na isa, iyon ay, pinarami ng d/c.

Halimbawa: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Mga katumbas na numero

Kung a*b=1, pagkatapos ay ang bilang b ay katumbas na numero para sa bilang a.

Halimbawa: para sa bilang 9 ang kapalit ay 1/9 ​ ​ , mula noong 9*1/9 = 1 , para sa numero 5 - ang kabaligtaran na numero 1/5 ​ ​ , dahil 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Mga desimal

Decimal ay isang wastong fraction na ang denominator ay katumbas ng 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Halimbawa: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Ang mga maling may denominator ay nakasulat sa parehong paraan 10^n o magkahalong numero.

Halimbawa: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Ang anumang ordinaryong fraction na may denominator na isang divisor ng isang tiyak na kapangyarihan ng 10 ay kinakatawan bilang isang decimal fraction.

isang changer, na isang divisor ng isang tiyak na kapangyarihan ng numero 10.

Halimbawa: Ang 5 ay isang divisor ng 100, kaya ito ay isang fraction 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Mga operasyong aritmetika sa mga decimal

6.1. Pagdaragdag ng mga Decimal

Upang magdagdag ng dalawang decimal fraction, kailangan mong ayusin ang mga ito upang mayroong magkaparehong mga digit sa ilalim ng bawat isa at isang kuwit sa ilalim ng kuwit, at pagkatapos ay idagdag ang mga fraction tulad ng mga ordinaryong numero.

6.2. Pagbabawas ng mga Decimal

Ginagawa ito sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag.

6.3. Pagpaparami ng mga Decimal

Kapag nagpaparami decimal na mga numero Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ibinigay na numero, hindi binibigyang pansin ang mga kuwit (tulad ng mga natural na numero), at sa resultang sagot, ang isang kuwit sa kanan ay naghihiwalay ng maraming mga numero tulad ng pagkatapos ng decimal point sa parehong mga kadahilanan sa kabuuan.

I-multiply natin ang 2.7 sa 1.3. Meron kami 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Pinaghihiwalay namin ang dalawang digit sa kanan gamit ang kuwit (ang una at pangalawang numero ay may isang digit pagkatapos ng decimal point; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Bilang resulta nakukuha namin 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Kung ang resultang resulta ay naglalaman ng mas kaunting mga digit kaysa sa kailangang paghiwalayin ng kuwit, ang mga nawawalang zero ay nakasulat sa harap, halimbawa:

Upang i-multiply sa 10, 100, 1000, kailangan mong ilipat ang decimal point 1, 2, 3 digit sa kanan (kung kinakailangan, ang isang tiyak na bilang ng mga zero ay itinalaga sa kanan).

Halimbawa: 1.47\cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Desimal na dibisyon

Ang paghahati ng decimal fraction sa natural na numero ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng paghahati ng natural na numero sa natural na numero. Ang kuwit sa quotient ay inilalagay pagkatapos makumpleto ang paghahati ng buong bahagi.

Kung ang integer na bahagi ng dibidendo mas mababa sa divisor, pagkatapos ang sagot ay lumabas na mga zero integer, halimbawa:

Tingnan natin ang paghahati ng decimal sa decimal. Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 2.576 sa 1.12. Una sa lahat, i-multiply natin ang dibidendo at divisor ng fraction sa pamamagitan ng 100, ibig sabihin, ilipat ang decimal point sa kanan sa dibidendo at divisor sa pamamagitan ng maraming mga numero tulad ng mayroon sa divisor pagkatapos ng decimal point (sa sa halimbawang ito ng dalawa). Pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang fraction 257.6 sa natural na numero 112, iyon ay, ang problema ay nabawasan sa kaso na isinasaalang-alang na:

Ito ay nangyayari na ang huling resulta ay hindi palaging nakuha decimal kapag hinahati ang isang numero sa isa pa. Ang resulta ay isang infinite decimal fraction. Sa ganitong mga kaso, lumipat tayo sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Ang operasyong ito ay mas maganda kaysa sa karagdagan-pagbawas! Dahil mas madali. Bilang paalala, upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang mga numerator (ito ang magiging numerator ng resulta) at ang mga denominator (ito ang magiging denominator). Yan ay:

Halimbawa:

Ang lahat ay sobrang simple. At mangyaring huwag maghanap ng isang karaniwang denominator! Hindi na siya kailangan dito...

Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong baligtarin pangalawa(ito ay mahalaga!) fraction at i-multiply ang mga ito, i.e.:

Halimbawa:

Kung makakita ka ng multiplication o division na may mga integer at fraction, okay lang. Tulad ng karagdagan, gumawa kami ng isang fraction mula sa isang buong numero na may isa sa denominator - at magpatuloy! Halimbawa:

Sa mataas na paaralan, madalas mong kailangang harapin ang tatlong-kuwento (o kahit apat na palapag!) na mga praksyon. Halimbawa:

Paano ko gagawing disente ang fraction na ito? Oo, napakasimple! Gumamit ng two-point division:

Ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa pagkakasunud-sunod ng dibisyon! Hindi tulad ng pagpaparami, ito ay napakahalaga dito! Siyempre, hindi natin malito ang 4:2 o 2:4. Ngunit madaling magkamali sa tatlong palapag na bahagi. Pakitandaan halimbawa:

Sa unang kaso (expression sa kaliwa):

Sa pangalawa (expression sa kanan):

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? 4 at 1/9!

Ano ang tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng paghahati? Alinman sa may mga bracket, o (tulad dito) na may haba ng mga pahalang na linya. Paunlarin ang iyong mata. At kung walang mga bracket o gitling, tulad ng:

pagkatapos ay hatiin at paramihin sa pagkakasunud-sunod, mula kaliwa hanggang kanan!

At napakasimple din at mahalagang teknik. Sa mga aksyon na may mga degree, magiging kapaki-pakinabang ito sa iyo! Hatiin natin ang isa sa anumang fraction, halimbawa, sa 13/15:

Nabaligtad na ang shot! At ito ay palaging nangyayari. Kapag hinahati ang 1 sa anumang fraction, ang resulta ay parehong fraction, baligtad lamang.

Iyon lang para sa mga operasyon na may mga fraction. Ang bagay ay medyo simple, ngunit nagbibigay ito ng higit sa sapat na mga error. Tandaan praktikal na payo, at magkakaroon ng mas kaunti sa kanila (mga error)!

Mga praktikal na tip:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang katumpakan at pagkaasikaso! Hindi ito mga pangkalahatang salita, hindi magandang hangarin! Ito ay isang matinding pangangailangan! Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa Unified State Exam bilang isang ganap na gawain, nakatutok at malinaw. Mas mainam na magsulat ng dalawang dagdag na linya sa iyong draft kaysa magulo kapag gumagawa ng mga kalkulasyon sa isip.

2. Sa mga halimbawa na may iba't ibang uri fractions - pumunta sa ordinaryong fractions.

3. Binabawasan namin ang lahat ng fraction hanggang sa huminto ang mga ito.

4. Binabawasan namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryo gamit ang paghahati sa pamamagitan ng dalawang puntos (sinusunod namin ang pagkakasunud-sunod ng paghahati!).

5. Hatiin ang isang yunit sa pamamagitan ng isang fraction sa iyong ulo, ibalik lamang ang fraction.

Narito ang mga gawain na dapat mong tapusin. Ang mga sagot ay ibinibigay pagkatapos ng lahat ng mga gawain. Gamitin ang mga materyales sa paksang ito at mga praktikal na tip. Tantyahin kung gaano karaming mga halimbawa ang iyong nalutas nang tama. Unang beses! Nang walang calculator! At gumawa ng tamang konklusyon...

Tandaan - ang tamang sagot ay natanggap mula sa pangalawa (lalo na sa pangatlo) oras ay hindi binibilang! Ganyan ang malupit na buhay.

Kaya, solve sa exam mode ! Ito pala ay paghahanda para sa Unified State Exam. Nalulutas namin ang halimbawa, suriin ito, lutasin ang susunod. Napagpasyahan namin ang lahat - sinuri muli mula sa una hanggang sa huli. Ngunit lamang Pagkatapos tingnan ang mga sagot.

Kalkulahin:

Nakapagdesisyon ka na ba?

Naghahanap kami ng mga sagot na tumutugma sa iyo. Sinadya kong isulat ang mga ito nang magulo, malayo sa tukso, kumbaga... Heto, ang mga sagot, na nakasulat na may semicolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ngayon gumawa kami ng mga konklusyon. Kung naging maayos ang lahat, masaya ako para sa iyo! Mga pangunahing kalkulasyon na may mga fraction - hindi ang iyong problema! Maaari kang gumawa ng mas seryosong mga bagay. Kung hindi...

Kaya mayroon kang isa sa dalawang problema. O pareho nang sabay-sabay.) Kakulangan ng kaalaman at (o) kawalan ng pansin. Pero ito malulutas Mga problema.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga halimbawa na may mga fraction ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika. marami naman iba't ibang uri mga equation na may mga fraction. Sa ibaba ay detalyadong mga tagubilin para sa paglutas ng mga halimbawa ng ganitong uri.

Paano malutas ang mga halimbawa na may mga praksyon - pangkalahatang mga patakaran

Upang malutas ang mga halimbawa na may mga fraction ng anumang uri, ito man ay karagdagan, pagbabawas, pagpaparami o paghahati, kailangan mong malaman ang mga pangunahing panuntunan:

• Upang magdagdag ng mga fractional expression na may parehong denominator (ang denominator ay ang numero sa ibaba ng fraction, ang numerator sa itaas), kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho.
• Upang ibawas ang pangalawang fractional expression (na may parehong denominator) mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho.
• Upang magdagdag o magbawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mong hanapin ang pinakamababang common denominator.
• Upang makahanap ng fractional na produkto, kailangan mong i-multiply ang mga numerator at denominator, at, kung maaari, bawasan.
• Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, i-multiply mo ang unang fraction sa pangalawang fraction na binaligtad.

Paano malutas ang mga halimbawa na may mga fraction - pagsasanay

Panuntunan 1, halimbawa 1:

Kalkulahin ang 3/4 +1/4.

Ayon sa Rule 1, kung ang dalawa (o higit pang) fraction ay may parehong denominator, idagdag mo lang ang kanilang mga numerator. Nakukuha namin ang: 3/4 + 1/4 = 4/4. Kung ang isang fraction ay may parehong numerator at denominator, ang fraction ay magiging 1.

Sagot: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Panuntunan 2, halimbawa 1:

Kalkulahin: 3/4 – 1/4

Gamit ang rule number 2, para malutas ang equation na ito kailangan mong ibawas ang 1 sa 3 at iwanan ang denominator na pareho. Nakakuha kami ng 2/4. Dahil ang dalawang 2 at 4 ay maaaring bawasan, binabawasan namin at nakakuha ng 1/2.

Sagot: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Panuntunan 3, Halimbawa 1

Kalkulahin: 3/4 + 1/6

Solusyon: Gamit ang 3rd rule, makikita natin ang pinakamababang common denominator. Ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay ang bilang na nahahati sa mga denominator ng lahat ng fractional na expression sa halimbawa. Kaya, kailangan nating hanapin ang pinakamababang numero na mahahati sa parehong 4 at 6. Ang numerong ito ay 12. Isinulat namin ang 12 bilang denominator. 3 sa numerator *3 at + sign. Hatiin ang 12 sa denominator ng pangalawang bahagi, makakakuha tayo ng 2, i-multiply ang 2 sa 1, isulat ang 2*1 sa numerator. Kaya, nakakakuha tayo ng bagong fraction na may denominator na katumbas ng 12 at isang numerator na katumbas ng 3*3+2*1=11. 11/12.

Sagot: 11/12

Panuntunan 3, Halimbawa 2:

Kalkulahin ang 3/4 – 1/6. Ang halimbawang ito ay halos kapareho sa nauna. Ginagawa namin ang lahat ng parehong mga hakbang, ngunit sa numerator sa halip na + sign, nagsusulat kami ng minus sign. Nakukuha namin ang: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Sagot: 7/12

Panuntunan 4, Halimbawa 1:

Kalkulahin: 3/4 * 1/4

Gamit ang ikaapat na panuntunan, pinarami namin ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa at ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa. 3*1/4*4 = 3/16.

Sagot: 3/16

Panuntunan 4, Halimbawa 2:

Kalkulahin ang 2/5 * 10/4.

Maaaring bawasan ang fraction na ito. Sa kaso ng isang produkto, ang numerator ng unang fraction at ang denominator ng pangalawa at ang numerator ng pangalawang fraction at ang denominator ng una ay kinansela.

2 ang nagkansela mula sa 4. 10 ang nagkansela mula sa 5. Nakukuha namin ang 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Sagot: 2/5 * 10/4 = 1

Panuntunan 5, Halimbawa 1:

Kalkulahin: 3/4: 5/6

Gamit ang ika-5 panuntunan, nakukuha natin ang: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Binabawasan namin ang fraction ayon sa prinsipyo ng nakaraang halimbawa at makakuha ng 9/10.

Sagot: 9/10.

Paano lutasin ang mga halimbawa na may mga fraction - fractional equation

Ang mga fractional equation ay mga halimbawa kung saan ang denominator ay naglalaman ng hindi alam. Upang malutas ang naturang equation, kailangan mong gumamit ng ilang mga patakaran.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

Lutasin ang equation 15/3x+5 = 3

Tandaan natin na hindi mo maaaring hatiin sa zero, i.e. hindi dapat zero ang halaga ng denominator. Kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa, dapat itong ipahiwatig. Para sa layuning ito, mayroong isang OA (pinahihintulutang hanay ng halaga).

Kaya 3x+5 ≠ 0.
Kaya naman: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Sa x = 5/3 ang equation ay walang solusyon.

Nang maipahiwatig ang ODZ, sa pinakamahusay na posibleng paraan magpasya ibinigay na equation ay mag-alis ng mga fraction. Upang gawin ito, ipinakita muna namin ang lahat ng mga non-fractional na halaga bilang isang fraction, sa kasong ito ang numero 3. Nakukuha namin ang: 15/(3x+5) = 3/1. Upang mapupuksa ang mga fraction kailangan mong i-multiply ang bawat isa sa kanila sa pinakamababang common denominator. Sa kasong ito, magiging (3x+5)*1. Sequencing:

1. I-multiply ang 15/(3x+5) sa (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Buksan ang mga bracket: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Ginagawa namin ang parehong sa kanang bahagi mga equation: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Equate namin kaliwa at kanang bahagi: 45x + 75 = 9x +15
5. Ilipat ang mga X sa kaliwa, mga numero sa kanan: 36x = – 50
6. Hanapin ang x: x = -50/36.
7. Binabawasan namin ang: -50/36 = -25/18

Sagot: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Paano lutasin ang mga halimbawa na may mga fraction - fractional inequalities

Ang mga fractional inequalities ng uri (3x-5)/(2-x)≥0 ay nalulutas gamit ang number axis. Tingnan natin ang halimbawang ito.

Sequencing:

• Itinutumbas namin ang numerator at denominator sa zero: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Gumuhit kami ng isang axis ng numero, isinusulat ang mga nagresultang halaga dito.
• Gumuhit ng bilog sa ilalim ng halaga. Mayroong dalawang uri ng mga bilog - puno at walang laman. Ang isang punong bilog ay nangangahulugan na binigay na halaga ay kasama sa hanay ng mga solusyon. Ang isang walang laman na bilog ay nagpapahiwatig na ang halagang ito ay hindi kasama sa lugar ng solusyon.
• Dahil hindi maaaring maging ang denominator katumbas ng zero, sa ilalim ng ika-2 magkakaroon ng walang laman na bilog.

• Upang matukoy ang mga palatandaan, pinapalitan namin ang anumang numerong mas malaki sa dalawa sa equation, halimbawa 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. ang halaga ay negatibo, na nangangahulugang nagsusulat kami ng minus sa itaas ng lugar pagkatapos ng dalawa. Pagkatapos ay palitan ang X ng anumang halaga ng pagitan mula 5/3 hanggang 2, halimbawa 1. Negatibo muli ang halaga. Sumulat kami ng isang minus. Ulitin namin ang parehong sa lugar na matatagpuan hanggang sa 5/3. Pinapalitan namin ang anumang numerong mas mababa sa 5/3, halimbawa 1. Muli, minus.

• Dahil interesado kami sa mga halaga ng x kung saan ang expression ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0, at walang ganoong mga halaga (may mga minus sa lahat ng dako), ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay walang solusyon, iyon ay, x = Ø (isang walang laman na hanay).

Sagot: x = Ø

hindi kilalang numero.

hindi kilalang numero.

tapos ito pala ay 100. Hanapin ang numero.

499*. Kung dagdagan mo ang isang hindi kilalang numero ng 2/3 nito, makakakuha ka ng 60. Anong numero ito?

Hanapin ang hindi kilalang numero.

_____________________________________________________________

501. 1) Ang ani ng patatas na may square-cluster planting ay nasa average na 150 centners kada 1 ektarya, at sa conventional planting ang halagang ito. Gaano karaming patatas ang maaaring anihin mula sa isang lugar na 15 ektarya kung ang patatas ay itinanim gamit ang square-cluster method?

2) Ang isang makaranasang manggagawa ay gumawa ng 18 bahagi sa loob ng 1 oras, at ang isang walang karanasan na manggagawa ay gumawa ng 2/3 ng halagang ito. Ilang bahagi pa ang kayang gawin ng isang may karanasang manggagawa sa loob ng 7 oras na araw?

502. 1) Ang mga pioneer ay nakolekta sa loob tatlong araw 56 kg ng iba't ibang buto. Sa unang araw, 3/14 ng kabuuang halaga ang nakolekta, sa pangalawa - isa at kalahating beses pa, at sa ikatlong araw - ang natitirang butil. Ilang kilo ng buto ang nakolekta ng mga pioneer sa ikatlong araw?

2) Kapag ang paggiling ng trigo, ang resulta ay: harina 4/5 ng kabuuang halaga ng trigo, semolina - 40 beses na mas mababa kaysa sa harina, at ang natitira ay bran. Gaano karaming harina, semolina at bran ang hiwalay na ginawa kapag naggigiling ng 3 toneladang trigo?

503. 1) Tatlong garahe ang kayang tumanggap ng 460 sasakyan. Ang bilang ng mga kotse na kasya sa unang garahe ay 3/4 ng bilang ng mga kotse na kasya sa pangalawa, at sa ikatlong garahe ito ay 1 1/2 beses mas maraming sasakyan kaysa sa una. Ilang sasakyan ang kasya sa bawat garahe?

2) Ang isang pabrika na may tatlong workshop ay gumagamit ng 6,000 manggagawa. Sa ikalawang pagawaan ay may 1 1/2 beses na mas kaunting manggagawa kaysa sa una, at ang bilang ng mga manggagawa sa ikatlong pagawaan ay 5/6 ng bilang ng mga manggagawa sa ikalawang pagawaan. Ilang manggagawa ang mayroon sa bawat pagawaan?

504. 1) Una 2/5, pagkatapos ay 1/3 ng kabuuang kerosene ay ibinuhos mula sa isang tangke na may kerosene, at pagkatapos ay 8 tonelada ng kerosene ang nanatili sa tangke. Magkano ang kerosene sa tangke sa simula?

2) Ang mga siklista ay nakikipagkarera sa loob sa loob ng tatlo araw. Sa unang araw ay sakop nila ang 4/15 ng buong paglalakbay, sa pangalawang 2/5, at sa ikatlong araw ang natitirang 100 km. Gaano kalayo ang nilakbay ng mga siklista sa loob ng tatlong araw?

505. 1) Nakipaglaban ang icebreaker sa field ng yelo sa loob ng tatlong araw. Sa unang araw ay tinakpan niya ang 1/2 ng buong distansya, sa ikalawang araw ay 3/5 ng natitirang distansya, at sa ikatlong araw ang natitirang 24 km. Hanapin ang haba ng landas na sakop ng icebreaker sa loob ng tatlong araw.

2) Tatlong grupo ng mga mag-aaral ang nagtanim ng mga puno. Ang unang detatsment ay nagtanim ng 7/20 ng lahat ng puno, ang pangalawa ay 5/8 ng natitirang mga puno, at ang pangatlo ay ang natitirang 195 na puno. Ilang puno ang kabuuang itinanim ng tatlong pangkat?

506 . 1) Ang isang combine harvester ay nag-ani ng trigo mula sa isang plot sa tatlong araw. Sa unang araw, nag-ani siya mula sa 5/18 ng buong lugar ng plot, sa ikalawang araw mula sa 7/13 ng natitirang lugar, at sa ikatlong araw mula sa natitirang lugar ng 30 1/2 ektarya. Sa karaniwan, 20 sentimo ng trigo ang naaani mula sa bawat ektarya. Gaano karaming trigo ang naani sa buong lugar?

2) Sa unang araw, sinakop ng mga kalahok sa rally ang 3/11 ng buong ruta, sa ikalawang araw 7/20 ng natitirang ruta, sa ikatlong araw 5/13 ng bagong nalalabi, at sa ikaapat na araw ang natitira. 320 km. Gaano katagal ang ruta ng rally?

507. 1) Sa unang araw ang kotse ay sumasakop sa 3/8 ng buong distansya, sa ikalawang araw 15/17 ng kung ano ang sakop nito sa una, at sa ikatlong araw ang natitirang 200 km. Gaano karaming gasolina ang natupok kung ang isang kotse ay kumonsumo ng 1 3/5 kg ng gasolina para sa 10 km?

2) Ang lungsod ay binubuo ng apat na distrito. 4/13 ng lahat ng residente ng lungsod ay nakatira sa unang distrito, 5/6 ng mga residente ng unang distrito ay nakatira sa pangalawa, 4/11 ng mga residente ng unang dalawang distrito na pinagsama ay nakatira sa ikatlo, at 18 libo ang mga tao ay nakatira sa ikaapat na distrito. Gaano karaming tinapay ang kailangan ng buong populasyon ng lungsod sa loob ng 3 araw, kung sa karaniwan ay kumonsumo ng 500 g bawat araw ang isang tao?

508. 1) Ang turista ay lumakad sa unang araw 10/31 ng buong paglalakbay, sa pangalawang 9/10 ng kanyang nilakaran sa unang araw, at sa pangatlo - ang natitirang bahagi ng paglalakbay, at sa ikatlong araw ay lumakad siya. 12 km higit pa kaysa sa ikalawang araw. Ilang kilometro ang nilakad ng turista sa bawat tatlong araw?

2) Sinakop ng kotse ang buong ruta mula sa lungsod A hanggang sa lungsod B sa loob ng tatlong araw. Sa unang araw ang kotse ay sumasakop sa 7/20 ng buong distansya, sa pangalawang 8/13 ng natitirang distansya, at sa ikatlong araw ang sasakyan ay sumasakop ng 72 km na mas mababa kaysa sa unang araw. Ano ang distansya sa pagitan ng lungsod A at B?

509 . 1) Ang Executive Committee ay naglaan ng lupa sa mga manggagawa ng tatlong pabrika para sa mga plot ng hardin. Ang unang halaman ay inilaan 9/25 ng kabuuang bilang ng mga plots, ang pangalawang halaman 5/9 ng bilang ng mga plots na inilaan para sa una, at ang pangatlo - ang natitirang mga plots. Ilang kabuuang plot ang inilaan sa mga manggagawa ng tatlong pabrika, kung ang unang pabrika ay inilaan ng 50 mas kaunting plot kaysa sa ikatlo?

2) Ang eroplano ay naghatid ng shift ng mga manggagawa sa taglamig sa istasyon ng polar mula sa Moscow sa loob ng tatlong araw. Sa unang araw ay lumipad siya ng 2/5 ng buong distansya, sa pangalawang 5/6 ng distansya na kanyang tinakpan sa unang araw, at sa ikatlong araw ay lumipad siya ng 500 km na mas mababa kaysa sa ikalawang araw. Gaano kalayo ang paglipad ng eroplano sa loob ng tatlong araw?

510 . 1) Ang planta ay nagkaroon ng tatlong workshop. Ang bilang ng mga manggagawa sa unang pagawaan ay 2/5 ng lahat ng manggagawa sa planta; sa pangalawang pagawaan mayroong 1 1/2 beses na mas kaunting mga manggagawa kaysa sa una, at sa ikatlong pagawaan ay mayroong 100 mas maraming manggagawa kaysa sa pangalawa. Ilang manggagawa ang nasa pabrika?

2) Kasama sa kolektibong sakahan ang mga residente ng tatlong magkakalapit na nayon. Ang bilang ng mga pamilya sa unang nayon ay 3/10 ng lahat ng pamilya sa kolektibong sakahan; sa pangalawang nayon ang bilang ng mga pamilya ay 1 1/2 beses na mas malaki kaysa sa una, at sa ikatlong nayon ang bilang ng mga pamilya ay 420 mas mababa kaysa sa pangalawa. Ilang pamilya ang nasa kolektibong bukid?

511 . 1) Naubos ng artel ang 1/3 ng stock nito ng mga hilaw na materyales sa unang linggo, at 1/3 ng natitira sa ikalawang linggo. Gaano karaming hilaw na materyal ang natitira sa artel kung sa unang linggo ang pagkonsumo ng mga hilaw na materyales ay 3/5 tonelada higit pa kaysa sa ikalawang linggo?

2) Sa imported na karbon, 1/6 nito ay ginugol para sa pagpainit ng bahay sa unang buwan, at 3/8 ng natitira sa ikalawang buwan. Gaano karaming karbon ang natitira para sa pagpainit ng bahay kung sa ikalawang buwan ay 1 3/4 tonelada ang natupok kaysa sa unang buwan?

512 . 3/5 ng kabuuang lupain ng kolektibong sakahan ay inilalaan para sa paghahasik ng butil, 13/36 ng natitira ay inookupahan ng mga hardin ng gulay at parang, ang natitirang bahagi ng lupain ay kagubatan, at ang nahasik na lugar ng kolektibong bukid ay 217 ektarya mas maraming lugar kagubatan, 1/3 ng lupain na inilaan para sa mga pananim na butil ay nahasik ng rye, at ang natitira ay may trigo. Ilang ektarya ng lupa ang inihasik ng kolektibong bukid ng trigo at ilan sa rye?

513. 1) Ang ruta ng tram ay 14 3/8 km ang haba. Sa kahabaan ng rutang ito, ang tram ay gumagawa ng 18 paghinto, na gumagastos sa average na hanggang 1 1/6 minuto bawat hintuan. Ang average na bilis ng tram sa buong ruta ay 12 1/2 km kada oras. Gaano katagal bago makumpleto ng tram ang isang biyahe?

2) Ruta ng bus 16 km. Sa rutang ito ang bus ay gumagawa ng 36 na paghinto, 3/4 min bawat isa. sa karaniwan bawat isa. Ang average na bilis ng bus ay 30 km bawat oras. Gaano katagal ang bus para sa isang ruta?

514*. 1) Alas-6 na ng gabi. Anong bahagi ng araw ang natitira at anong bahagi ang binubuo ng nakaraang bahagi ng araw?

2) Ang isang bapor ay naglalakbay sa distansya sa pagitan ng dalawang lungsod na may agos sa loob ng 3 araw. at bumalik sa parehong distansya sa loob ng 4 na araw. Ilang araw lulutang ang mga balsa sa ibaba ng agos mula sa isang lungsod patungo sa isa pa?

516 . Hanapin ang average mga numero ng aritmetika:

Ilang kilometro ang karaniwang nilalakad niya kada oras?

519. 1) Nakumpleto ng driver ng traktor ang gawain ng pag-aararo ng lupa sa loob ng tatlong araw. Sa unang araw niya

inararo ba ng tsuper ng traktor ang lupa sa isang araw?

2) Isang grupo ng mga mag-aaral, na gumagawa ng tatlong araw na paglalakbay sa turista, ay patungo sa una

ang mga mag-aaral ba ay gumagalaw araw-araw?

520. 1) Tatlong pamilya ang nakatira sa bahay. Ang unang pamilya ay may 3 ilaw na bombilya upang ilawan ang apartment, ang pangalawa ay may 4 at ang pangatlo ay may 5 ilaw na bombilya. Magkano ang dapat bayaran ng bawat pamilya para sa kuryente kung ang lahat ng lamp ay pareho, at ang kabuuang singil sa kuryente (para sa buong bahay) ay 7 1/5 rubles?

2) Isang polisher ang nagpapakinis ng mga sahig sa isang bahay kung saan nakatira ang tatlong pamilya. Ang unang pamilya ay may tirahan

2 kuskusin. 08 kop. Magkano ang binayaran ng bawat pamilya?

Sa karaniwan, ang mga patatas na nakolekta mula sa bawat bush?

2) Kung susumahin mo ang mga numerong nagpapahayag ng lapad ng Tatar at Kerch Straits

bawat kipot?

2) Mga Isla Bagong mundo, Sakhalin at Severnaya Zemlya magkasamang sumasakop sa lugar

mga nakalistang isla?

lugar ng pangatlo. Ano ang lugar ng pangalawang silid?

araw. Ilang oras ang biyahe ng siklista sa ikalawang araw ng kompetisyon?

bawat piraso ng bakal?

cereal, pagkatapos ay magkakaroon ng pantay na dami ng cereal sa parehong mga kahon. Magkano ang cereal sa bawat kahon?

sa bawat kahon?

Ano ang bilis ng daloy ng ilog?

529 . 1) Mayroong 110 mga kotse sa dalawang garahe, at sa isa sa mga ito ay may 1 1/5 beses na higit pa kaysa sa isa. Ilang sasakyan ang nasa bawat garahe?

____________________________________________________________

530 . 1) Ang isang haluang metal na binubuo ng tanso at pilak ay tumitimbang ng 330 g Ang bigat ng tanso sa haluang ito

Hanapin ang mga numerong ito.

Hanapin ang mga numerong ito.

mga mag-aaral sa isang klase ayon sa listahan, kung mayroong 20 mas maraming tao ang naroroon kaysa lumiban?

Ilang taon ang anak mo?

535 . Ang denominator ng isang fraction ay 11 yunit na mas malaki kaysa sa numerator nito. Ano ang katumbas ng fraction kung ito

№ 536-№ 537 pasalita.

pangalawang numero?

numero? Anong bahagi ng pangalawang numero ang una?

boy, ay pantay-pantay sa bilang - ang bilang ng mga kabute na nakolekta ng pangalawang lalaki. Ilang kabute ang nakolekta ng bawat batang lalaki?

2) Ang institusyon ay gumagamit ng 27 tao. Ilang lalaki at ilang babae ang nagtatrabaho?

540*. Tatlong lalaki ang bumili ng volleyball. Tukuyin ang kontribusyon ng bawat batang lalaki, alam

pangatlong lalaki mas maraming kontribusyon ang una para sa 64 kopecks.

pangalawang numero.

_______________________________________

542 .1) Magagawa ng unang pangkat ang ilang trabaho sa loob ng 36 na araw, at ang pangalawa sa loob ng 45 araw. Sa ilang araw ang parehong mga koponan, nagtutulungan, makumpleto ang trabahong ito?

2) Sinasaklaw ng pampasaherong tren ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod sa loob ng 10 oras, at sinasaklaw ng freight train ang distansyang ito sa loob ng 15 oras. Ang parehong mga tren ay umalis sa mga lungsod na ito sa parehong oras patungo sa isa't isa. Ilang oras kaya sila magkikita?

parehong lungsod sa parehong oras patungo sa isa't isa? (Paikot na sagot sa pinakamalapit na 1 oras.)

2) Dalawang nakamotorsiklo ang sabay-sabay na umalis mula sa dalawang lungsod patungo sa isa't isa. Ang isang nakamotorsiklo ay maaaring maglakbay sa buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito sa loob ng 6 na oras, at isa pa sa loob ng 5 oras. Ilang oras pagkatapos ng pag-alis magkikita ang mga nakamotorsiklo? (Paikot na sagot sa pinakamalapit na 1 oras.)

544 . 1) Tatlong kotse na may iba't ibang kapasidad na nagdadala ng ilang kargamento,

nagtatrabaho nang hiwalay: ang una - para sa 10 oras, ang pangalawa - para sa 12 oras. at ang pangatlo - sa loob ng 15 oras. Ilang oras kaya nilang ihatid ang parehong kargamento na nagtutulungan?

2) Dalawang tren ang sabay-sabay na umaalis sa dalawang istasyon patungo sa isa't isa: ang unang tren

ilang oras pagkaalis ng tren magkikita ba sila?

545 . 1) Dalawang gripo ang konektado sa bathtub. Sa pamamagitan ng isa sa mga ito ay maaaring punan ang bathtub

buksan ang dalawang gripo nang sabay-sabay?

2) Dapat i-type muli ng dalawang makinilya ang manuskrito. Ang unang typist ay maaaring gumanap

mga typists kung sabay sabay silang nagtatrabaho?

546. 1) Ang pool ay napuno ng unang tubo sa loob ng 5 oras, at sa pamamagitan ng pangalawang tubo maaari itong mawalan ng laman sa loob ng 6 na oras. Ilang oras mapupuno ang buong pool kung sabay na bubuksan ang mga tubo?

Indikasyon: Sa isang oras, ang pool ay napupuno sa (1/5 - 1/6) ng kapasidad nito.

2) Dalawang traktora ang nag-araro sa bukid sa loob ng 6 na oras. Ang unang traktor, na nagtatrabaho nang mag-isa, ay maaaring mag-araro sa patlang na ito sa loob ng 15 oras. Ilang oras ang aabutin ng pangalawang traktor upang araruhin ang bukid na ito, na nagtatrabaho nang mag-isa?

547 *. Dalawang tren ang sabay-sabay na umaalis sa dalawang istasyon patungo sa isa't isa at nagkikita 18 oras pagkatapos ng kanilang pag-alis. Gaano katagal ang ikalawang tren upang masakop ang distansya sa pagitan ng mga istasyon kung ang unang tren ay sumasaklaw sa distansyang ito sa loob ng 1 araw 21 oras?

548 *. Ang pool ay puno ng dalawang tubo. Una ang unang tubo ay binuksan, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng

nagtutulungan, napuno ang pool. Tukuyin ang kapasidad ng pool kung 200 balde ng tubig kada oras ang ibinuhos sa pangalawang tubo.

______________________________________________________________________________

Leningrad 650 km?

2) Mula sa kolektibong bukid hanggang sa lungsod 24 km. Isang trak ang umalis sa kolektibong bukid at bumiyahe ng 1 km

sa kalahati ng bilis ng isang trak. Gaano katagal pagkaalis ng siklista sa trak?

Ilang oras pagkatapos umalis ang pedestrian ay aabutan siya ng siklista?

Gaano katagal aabutin ng mabilis na tren para makahabol sa freight train?

551 . 1) Mula sa dalawang kolektibong sakahan na dinaraanan ng daan patungo sa sentrong pangrehiyon, umalis kami

distansya sa pagitan ng mga kolektibong bukid.

mas mataas na bilis ng tren. Ilang oras pagkatapos ng pag-alis ay aabutan ng eroplano ang tren?

552 . 1) Ang distansya sa pagitan ng mga lungsod sa tabi ng ilog ay 264 km. Ang barko ay naglakbay sa ganitong distansya

Mayroon bang bangka sa bawat hintuan?

554 . Mula sa Leningrad hanggang Kronstadt sa 12 ng tanghali. ang araw na umalis ang bapor at pinagdaanan ang lahat

una. Anong oras nagkita ang dalawang barko?

555 . Ang tren ay kailangang sumaklaw sa layo na 630 km sa loob ng 14 na oras. Nasakop ang 2/3 ng distansyang ito, siya ay pinigil ng 1 oras 10 minuto. Sa anong bilis niya dapat ipagpatuloy ang kanyang paglalakbay upang marating ang kanyang destinasyon nang walang pagkaantala?

556 . Sa 4:20 a.m. umaga isang freight train ang umalis sa Kyiv papuntang Odessa na may average

kung ang distansya sa pagitan ng Kiev at Odessa ay 663 km?

557* . Ang orasan ay nagpapakita ng tanghali. Gaano katagal ang oras at minutong mga kamay upang magkasabay?

_____________________________________

ang paaralan ay may 420 na mas kaunting mga mag-aaral kaysa sa pangalawa. Ilan ang mga estudyante sa tatlong paaralan?

559. 1) Dalawang pinagsamang operator ang nagtrabaho sa parehong lugar. Matapos alisin ang isang combine harvester

ektarya ng higit sa pangalawa. Sa karaniwan, 32 1/2 quintals ng butil ang giniik mula sa bawat ektarya. Ilang sentimo ng butil ang pinagsama ng bawat operator na giniik?

at ang una ay may 2 rubles. 25 kopecks higit pa sa pangalawa. Binayaran ng lahat ang kalahati ng halaga ng device. Magkano ang pera ng lahat?

560. 1) Mula sa lungsod A hanggang sa lungsod B, ang distansya sa pagitan nila ay 215 km, napunta Kotse sa bilis na 50 km kada oras. Kasabay nito, isang trak ang umalis sa lungsod B patungo sa lungsod A. Ilang kilometro ang nilakbay ng sasakyan bago magkita

2) Sa pagitan ng mga lungsod A at B 210 km. Isang pampasaherong sasakyan ang umalis sa lungsod A patungo sa lungsod B. Kasabay nito, isang trak ang umalis sa lungsod B patungo sa lungsod A. Ilang kilometro ang nilakbay ng trak bago nakasalubong ang pampasaherong sasakyan, kung ang pampasaherong sasakyan ay bumibiyahe sa bilis na 48 km bawat oras, at

561. Ang kolektibong sakahan ay umani ng trigo at rye. 20 ektarya pa ang nahasik ng trigo kaysa

Iniwan niya ang tinapay upang matugunan ang kanyang mga pangangailangan. Ilang biyahe ang kailangang gawin ng dalawang toneladang trak upang ma-export ang tinapay na ibinebenta sa estado?

562. Ang rye at harina ng trigo ay dinala sa panaderya. Timbang harina umabot sa 3/5 ng bigat ng harina ng rye, at 4 na toneladang higit pang harina ng rye ang dinala kaysa harina ng trigo. Magkano ang trigo at kung magkano tinapay ng rye ay iluluto ng panaderya mula dito

ang unang dalawang araw na magkasama. Hanapin ang haba ng highway sa pagitan ng mga kolektibong bukid.

______________________________________________________________

564 . Punan libreng lugar sa mesa kung saan S- lugar ng parihaba, A- ang base ng parihaba, a h- taas (lapad) ng parihaba.

Hanapin ang perimeter at lugar ng site.

perimeter at lugar ng site.

lugar ng isang parihaba.

567.

567. Kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na ipinapakita sa Figure 30 sa pamamagitan ng paghahati sa mga ito sa mga parihaba at paghahanap ng mga sukat ng parihaba sa pamamagitan ng pagsukat.

beans. Gaano karaming mga buto ang kailangan para maghasik ng plot kung 1 centner ang naihasik sa bawat 1 ektarya?

2) Isang ani ng trigo na 25 quintal bawat ektarya ang nakolekta mula sa isang parihabang bukid. Gaano karaming trigo ang naani mula sa buong bukid kung ang haba ng bukid ay 800 m at ang lapad ay 3/8 ng haba nito?

Ang lugar ay inookupahan ng mga gusali. Tukuyin ang lugar ng lupa sa ilalim ng mga gusali.

Plano ng collective farm na magtanim ng hardin. Gaano karaming mga puno ang itatanim sa hardin na ito kung ang isang karaniwang lugar na 36 metro kuwadrado ay kinakailangan para sa bawat puno? m?

571 . 1) Para sa normal na pag-iilaw ng araw ng isang silid, kinakailangan na ang lugar

2) Gamit ang kondisyon ng nakaraang problema, alamin kung may sapat na ilaw sa iyong silid-aralan.

2) Ang woodpile ng kahoy na panggatong ay may hugis ng isang parihabang parallelepiped, ang mga sukat nito ay

sa pool.

574 . Kailangang magtayo ng bakod sa paligid ng isang hugis-parihaba na piraso ng lupa, 75 m ang haba at 45 m ang lapad. Ilang metro kubiko ng mga tabla ang dapat pumasok sa pagtatayo nito kung

________________________________________________________________________________

575. 1) Anong anggulo ang ginagawa ng mga kamay ng minuto at oras sa alas-13? sa 15 o'clock? sa 17 o'clock? sa 21 o'clock? sa 23:30?

2) Ilang degree ang liliko nito? kamay ng oras sa loob ng 2 oras? 5 o'clock? 8 o'clock? 30 minuto.?

mga bilog?

576. 1) Gamit ang protractor, gumuhit ng: a) tamang anggulo; b) isang anggulo ng 30°; c) isang anggulo ng 60°; d) anggulo ng 150°; e) isang anggulo ng 55°.

2) Gamit ang isang protractor, sukatin ang mga anggulo ng figure at hanapin ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng bawat figure (Fig. 31).

577 . Sundin ang mga hakbang:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" – 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) Ang kalahating bilog ay nahahati sa dalawang arko, ang isa ay 100º na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang laki ng bawat arko.

2) Ang kalahating bilog ay nahahati sa dalawang arko, ang isa ay 15° mas mababa kaysa sa isa. Hanapin ang laki ng bawat arko.

3) Ang kalahating bilog ay nahahati sa dalawang arko, ang isa ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang laki ng bawat arko.

4) Ang kalahating bilog ay nahahati sa dalawang arko, ang isa ay 5 beses na mas maliit kaysa sa isa. Hanapin ang laki ng bawat arko.

___________________________________________________________________________

579. 1) Ang diagram na "Population Literacy sa USSR" (Fig. 32) ay nagpapakita ng bilang ng mga taong marunong bumasa at sumulat sa bawat daang tao ng populasyon. Batay sa data sa diagram at sa sukat nito, tukuyin ang bilang ng mga lalaking marunong magbasa at magbasa para sa bawat isa sa mga ipinahiwatig na taon.

2) Gamit ang data mula sa diagram na "Mga sugo ng Sobyet sa kalawakan" (Larawan 33), lumikha ng mga gawain.

580. 1) Ayon sa pie chart na "Pang-araw-araw na gawain para sa isang mag-aaral sa ikalimang baitang" (Larawan 34), punan ang talahanayan at sagutin ang mga tanong: anong bahagi ng araw ang inilalaan sa pagtulog? para sa takdang aralin? sa paaralan?

2) Bumuo ng pie chart tungkol sa iyong pang-araw-araw na gawain.