Ən sadə triqonometrik sinus tənlikləri. Triqonometrik tənliklər

Çoxlarını həll edərkən riyazi problemlər , xüsusilə 10-cu sinifdən əvvəl baş verənlər, məqsədə aparacaq həyata keçirilən hərəkətlərin sırası aydın şəkildə müəyyən edilir. Belə məsələlərə, məsələn, xətti və kvadrat tənliklər, xətti və kvadrat bərabərsizliklər, kəsr tənlikləri və kvadratiklərə endirən tənliklər. Qeyd olunan problemlərin hər birinin uğurla həlli prinsipi belədir: hansı növ problemin həll olunduğunu müəyyən etmək, nəticəyə gətirib çıxaracaq zəruri hərəkət ardıcıllığını yadda saxlamaq lazımdır. istədiyiniz nəticə, yəni. cavab verin və bu addımları izləyin.

Aydındır ki, müəyyən bir problemin həllində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, həll olunan tənliyin növünün nə dərəcədə düzgün müəyyən edilməsindən, onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığının nə qədər düzgün əks etdirilməsindən asılıdır. Təbii ki, ifa etmək bacarığına sahib olmaq lazımdır şəxsiyyət çevrilmələri və hesablama.

ilə vəziyyət fərqlidir triqonometrik tənliklər. Tənliyin triqonometrik olduğunu müəyyən etmək heç də çətin deyil. Düzgün cavaba səbəb olacaq hərəkətlərin ardıcıllığını təyin edərkən çətinliklər yaranır.

By görünüş tənlik, onun növünü müəyyən etmək bəzən çətin olur. Tənliyin növünü bilmədən bir neçə onlarla triqonometrik düsturdan düzgün birini seçmək demək olar ki, mümkün deyil.

Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün cəhd etməlisiniz:

1. tənliyə daxil olan bütün funksiyaları “eyni bucaqlara” gətirin;
2. tənliyi “eyni funksiyalara” gətirin;
3. açmaq sol tərəf faktorinq tənlikləri və s.

Gəlin nəzərdən keçirək triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsulları.

I. Ən sadə triqonometrik tənliklərə endirmə

Həll diaqramı

Addım 1. Ekspres triqonometrik funksiya məlum komponentlər vasitəsilə.

Addım 2. Düsturlardan istifadə edərək funksiya arqumentini tapın:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Addım 3. Naməlum dəyişəni tapın.

Misal.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Həll.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cavab: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Dəyişən dəyişdirmə

Həll diaqramı

Addım 1. Triqonometrik funksiyalardan birinə münasibətdə tənliyi cəbri formaya endirin.

Addım 2. Yaranan funksiyanı t dəyişəni ilə işarələyin (lazım olduqda, t-yə məhdudiyyətlər tətbiq edin).

Addım 3. Yaranan cəbr tənliyini yazın və həll edin.

Addım 4.Əks dəyişdirmə edin.

Addım 5.Ən sadə triqonometrik tənliyi həll edin.

Misal.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Həll.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Qoy sin (x/2) = t, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 və ya e = -3/2, |t| şərtini ödəmir ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cavab: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Tənlik sırasının azaldılması üsulu

Həll diaqramı

Addım 1. Dərəcəni azaltmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu tənliyi xətti ilə əvəz edin:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Addım 2. I və II üsullardan istifadə edərək yaranan tənliyi həll edin.

Misal.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Həll.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cavab: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen tənliklər

Həll diaqramı

Addım 1. Bu tənliyi formaya endirin

a) sin x + b cos x = 0 ( homojen tənlik birinci dərəcə)

və ya mənzərəyə

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Addım 2. Tənliyin hər iki tərəfini bölün

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

və tan x üçün tənliyi alın:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Addım 3. Məlum üsullardan istifadə edərək tənliyi həll edin.

Misal.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Həll.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) O zaman tg x = t olsun

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 və ya t = -4, yəni

tg x = 1 və ya tg x = -4.

Birinci tənlikdən x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Triqonometrik düsturlardan istifadə edərək tənliyin çevrilməsi üsulu

Həll diaqramı

Addım 1. Bütün mümkün triqonometrik düsturlardan istifadə edərək, bu tənliyi I, II, III, IV üsullarla həll olunan tənliyə endirin.

Addım 2. Alınan tənliyi məlum üsullardan istifadə edərək həll edin.

Misal.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Həll.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 və ya 2cos x + 1 = 0;

Birinci tənlikdən 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən cos x = -1/2.

Bizdə x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci tənlikdən x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Nəticədə x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Bacarıq və bacarıqların həlli triqonometrik tənliklərçox vacibdir, onların inkişafı həm şagird, həm də müəllim tərəfindən əhəmiyyətli səy tələb edir.

Triqonometrik tənliklərin həlli ilə stereometriyanın, fizikanın və s.-nin bir çox məsələləri bağlıdır.Belə məsələlərin həlli prosesi triqonometriyanın elementlərinin öyrənilməsi ilə əldə edilən bir çox bilik və bacarıqları özündə cəmləşdirir.

Triqonometrik tənliklər götürür mühüm yer riyaziyyatın tədrisi və ümumilikdə şəxsiyyətin inkişafı prosesində.

Hələ suallarınız var? Triqonometrik tənlikləri necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

“Get an A” video kursu sizə lazım olan bütün mövzuları ehtiva edir uğurla başa çatması 60-65 bal üçün riyaziyyat üzrə vahid dövlət imtahanı. Tamamilə bütün problemlər 1-13 Profil Vahid Dövlət İmtahanı riyaziyyat. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 bal toplayan tələbə, nə də humanitar elmlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Sürətli yollar Vahid Dövlət İmtahanının həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs 5-dən ibarətdir böyük mövzular, hər biri 2,5 saat. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. nəzəriyyə, istinad materialı, Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarının bütün növlərinin təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaqçı vərəqlər, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Həll üçün əsas mürəkkəb vəzifələr Vahid Dövlət İmtahanının 2 hissəsi.

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Sadə triqonometrik tənliklərin həlli"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

1C-dən 10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında dərsliklər və simulyatorlar
Həndəsədən məsələlərin həlli. Kosmosda tikinti üçün interaktiv tapşırıqlar
Proqram mühiti "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Triqonometrik tənliklər hansılardır?

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün iki əsas üsul.
4. Bircins triqonometrik tənliklər.
5. Nümunələr.

Triqonometrik tənliklər nədir?

Uşaqlar, biz artıq arksinüs, arkkosinus, arktangens və arkkotangenti öyrənmişik. İndi isə ümumi olaraq triqonometrik tənliklərə nəzər salaq.

Triqonometrik tənliklər triqonometrik funksiyanın işarəsi altında dəyişənin olduğu tənliklərdir.

Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli formasını təkrarlayaq:

1) |a|≤ 1 olarsa, cos(x) = a tənliyinin həlli var:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |a|≤ 1 olarsa, sin(x) = a tənliyinin həlli var:

3) Əgər |a| > 1, onda sin(x) = a və cos(x) = a tənliyinin həlli yoxdur 4) tg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arcctg(a)+ πk

Bütün düsturlar üçün k tam ədəddir

Ən sadə triqonometrik tənliklər aşağıdakı formada olur: T(kx+m)=a, T bəzi triqonometrik funksiyadır.

Tənlikləri həll edin: a) sin(3x)= √3/2

Həll:

A) 3x=t işarəsi verək, onda tənliyimizi yenidən aşağıdakı formada yazacağıq:

Bu tənliyin həlli belə olacaq: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dəyərlər cədvəlindən alırıq: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Dəyişənimizə qayıdaq: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Onda x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cavab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n tam ədəddir. (-1)^n – n-in gücünə mənfi bir.

Triqonometrik tənliklərin daha çox nümunələri.

Həll:

A) Bu dəfə birbaşa tənliyin köklərini hesablamağa keçək:

X/5= ± arkkos(1) + 2πk. Onda x/5= πk => x=5πk

Cavab: x=5πk, burada k tam ədəddir.

B) Bunu aşağıdakı formada yazırıq: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Biz bilirik ki: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cavab: x=2π/9 + πk/3, burada k tam ədəddir.

Tənlikləri həll edin: cos(4x)= √2/2. Və seqmentdəki bütün kökləri tapın.

Həll:

Biz qərar verəcəyik ümumi görünüş tənliyimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

İndi seqmentimizə hansı köklərin düşdüyünü görək. k-da k=0, x= π/16-da biz verilmiş seqmentdəyik.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ilə yenidən vururuq.
k=2 üçün x= π/16+ π=17π/16, lakin burada biz vurmadıq, bu o deməkdir ki, böyük k üçün biz də açıq şəkildə vurmayacağıq.

Cavab: x= π/16, x= 9π/16

İki əsas həll üsulu.

Tənliyi həll edək:

Həll:
Tənliyimizi həll etmək üçün yeni dəyişəni təqdim etmək üsulundan istifadə edəcəyik: t=tg(x).

Əvəzetmə nəticəsində əldə edirik: t 2 + 2t -1 = 0

Gəlin kökləri tapaq kvadrat tənlik: t=-1 və t=1/3

Onda tg(x)=-1 və tg(x)=1/3 olarsa, ən sadə triqonometrik tənliyi alırıq, onun köklərini tapaq.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Cavab: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Tənliyin həlli nümunəsi

Tənlikləri həll edin: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Həll:

Eynilikdən istifadə edək: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Tənliyimiz aşağıdakı formanı alacaq: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) əvəzini təqdim edək: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tənliyimizin həlli köklərdir: t=2 və t=-1/2

Onda cos(x)=2 və cos(x)=-1/2.

Çünki kosinus birdən böyük dəyərlər qəbul edə bilməz, onda cos(x)=2-nin kökü yoxdur.

cos(x)=-1/2 üçün: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cavab: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen triqonometrik tənliklər.

Formanın tənlikləri

ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər.

Birinci dərəcəli homojen triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu cos(x)-a bölün: Əgər varsa, kosinusla bölmək olmaz sıfıra bərabərdir, bunun belə olmadığına əmin olaq:
Qoy cos(x)=0, onda asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakin sinus və kosinus eyni vaxtda sıfıra bərabər deyil, bir ziddiyyət alırıq, beləliklə təhlükəsiz şəkildə bölmək olar. sıfırla.

Tənliyi həll edin:
Misal: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Həll:

Çıxaracağıq ümumi çarpan: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sonra iki tənliyi həll etməliyik:

Cos(x)=0 və cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 tənliyini nəzərdən keçirək tənliyimizi cos(x)-a bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cavab: x= π/2 + πk və x= -π/4+πk

İkinci dərəcəli homojen triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?
Uşaqlar, həmişə bu qaydalara əməl edin!

1. Baxın a əmsalı nəyə bərabərdir, əgər a=0 olarsa, onda tənliyimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formasını alacaq, bunun həlli nümunəsi əvvəlki slayddadır.

2. Əgər a≠0 olarsa, onda tənliyin hər iki tərəfini kosinusun kvadratına bölmək lazımdır, alırıq:

t=tg(x) dəyişənini dəyişib tənliyi alırıq:

Nümunə №3 həll edin

Tənliyin hər iki tərəfini kosinus kvadratına bölək:

t=tg(x) dəyişənini dəyişirik: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapaq: t=-3 və t=1

Onda: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cavab: x=-arctg(3) + πk və x= π/4+ πk

Nümunə №4 həll edin

Həll:
İfadəmizi çevirək:

Belə tənlikləri həll edə bilərik: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Cavab: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Nümunəni həll edin: 5

Həll:
İfadəmizi çevirək:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 əvəzini təqdim edək

Kvadrat tənliyimizin həlli köklər olacaq: t=-2 və t=1/2

Onda alırıq: tg(2x)=-2 və tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Cavab: x=-arctg(2)/2 + πk/2 və x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Müstəqil həll üçün problemlər.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Tənlikləri həll edin: sin(3x)= √3/2. Və [π/2 seqmentindəki bütün kökləri tapın; π].

3) Tənliyi həll edin: çarpayı 2 (x) + 2 çarpayı (x) + 1 =0

4) Tənliyi həll edin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tənliyi həll edin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tənliyi həll edin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda sorğu göndərdiyiniz zaman biz toplaya bilərik müxtəlif məlumatlar adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız daxil olmaqla E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, V sınaq və/və ya ictimai sorğular və ya sorğular əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.