Definisjon av grunnleggende beslutningssystem. Hvordan finne en ikke-triviell og fundamental løsning på et system med lineære homogene ligninger

Vi vil fortsette å polere teknologien vår elementære transformasjoner på homogent system lineære ligninger .
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av tekniske teknikker, vil det være mange ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemets ligning er null. For eksempel:

Det er helt klart det et homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først av alt, det som fanger oppmerksomheten er den såkalte trivielt løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr uten et show-off. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ...Hvorfor slå rundt bushen, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe det til en trinnvis form. Vær oppmerksom på at her er det ikke nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med frie termer - uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.

Å dele den tredje linjen med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og søker omvendt slag Gauss sin metode er det enkelt å verifisere at løsningen er unik.

Svare:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare en triviell løsning, Hvis systemmatriserangering(i dette tilfellet 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet – 3 stykker).

La oss varme opp og stille inn radioen vår til bølgen av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

For å endelig konsolidere algoritmen, la oss analysere den endelige oppgaven:

Eksempel 7

Løs et homogent system, skriv svaret i vektorform.

Løsning: la oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

(1) Tegnet på den første linjen er endret. Nok en gang trekker jeg oppmerksomheten til en teknikk som har blitt møtt mange ganger, som lar deg forenkle den neste handlingen betydelig.

(1) Den første linjen ble lagt til 2. og 3. linje. Den første linjen, multiplisert med 2, ble lagt til den 4. linjen.

(3) De tre siste linjene er proporsjonale, to av dem er fjernet.

Som et resultat oppnås en standard trinnmatrise, og løsningen fortsetter langs det riflede sporet:

– grunnleggende variabler;
– frie variabler.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene i form av frie variabler. Fra den andre ligningen:

– bytt inn i den første ligningen:

Slik, generell løsning:

Siden det i eksemplet under vurdering er tre frie variabler, inneholder det fundamentale systemet tre vektorer.

La oss erstatte en trippel av verdier inn i den generelle løsningen og få en vektor hvis koordinater tilfredsstiller hver ligning i det homogene systemet. Og igjen, jeg gjentar at det er svært tilrådelig å sjekke hver mottatt vektor - det vil ikke ta mye tid, men det vil beskytte deg fullstendig mot feil.

For en trippel av verdier finn vektoren

Og til slutt for de tre vi får den tredje vektoren:

Svare: , Hvor

De som ønsker å unngå brøkverdier kan vurdere trillinger og få svaret i tilsvarende form:

Apropos brøker. La oss se på matrisen oppnådd i oppgaven og la oss spørre oss selv: er det mulig å forenkle den videre løsningen? Tross alt, her uttrykte vi først grunnvariabelen gjennom brøker, deretter gjennom brøker grunnvariabelen, og jeg må si, denne prosessen var ikke den enkleste og ikke den mest behagelige.

Andre løsning:

Tanken er å prøve velg andre basisvariabler. La oss se på matrisen og legge merke til to i den tredje kolonnen. Så hvorfor ikke ha en null på toppen? La oss utføre enda en elementær transformasjon:

For å forstå hva det er grunnleggende beslutningssystem du kan se en videoopplæring for det samme eksempelet ved å klikke. La oss nå gå videre til den faktiske beskrivelsen av alt nødvendig arbeid. Dette vil hjelpe deg å forstå essensen av dette problemet mer detaljert.

Hvordan finne det grunnleggende løsningssystemet til en lineær ligning?

La oss ta for eksempel følgende system med lineære ligninger:

La oss finne en løsning på dette lineært system ligninger Til å begynne med, vi du må skrive ut koeffisientmatrisen til systemet.

La oss transformere denne matrisen til en trekantet. Vi skriver om den første linjen uten endringer. Og alle elementene som er under $a_(11)$ må være nuller. For å lage en null i stedet for elementet $a_(21)$, må du trekke den første fra den andre linjen, og skrive forskjellen i den andre linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(31)$, må du trekke den første fra den tredje linjen og skrive forskjellen i den tredje linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(41)$, må du trekke den første multiplisert med 2 fra den fjerde linjen og skrive forskjellen i den fjerde linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(31)$, må du trekke den første multiplisert med 2 fra den femte linjen og skrive forskjellen i den femte linjen.

Vi skriver om første og andre linje uten endringer. Og alle elementene som er under $a_(22)$ må være nuller. For å lage en null i stedet for elementet $a_(32)$, må du trekke den andre multiplisert med 2 fra den tredje linjen og skrive forskjellen i den tredje linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(42)$, må du trekke den andre multiplisert med 2 fra den fjerde linjen og skrive forskjellen i den fjerde linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(52)$, må du trekke den andre multiplisert med 3 fra den femte linjen og skrive forskjellen i den femte linjen.

Det ser vi de tre siste linjene er like, så hvis du trekker den tredje fra den fjerde og femte, blir de null.

I følge denne matrisen skrive ned nytt system ligninger.

Vi ser at vi bare har tre lineært uavhengige ligninger, og fem ukjente, så det grunnleggende løsningssystemet vil bestå av to vektorer. Så vi vi må flytte de to siste ukjente til høyre.

Nå begynner vi å uttrykke de ukjente som er på venstre side gjennom de som er på høyre side. Vi starter med den siste ligningen, først uttrykker vi $x_3$, deretter erstatter vi resultatet i den andre ligningen og uttrykker $x_2$, og deretter inn i den første ligningen og her uttrykker vi $x_1$. Dermed uttrykte vi alle de ukjente som er på venstre side gjennom de ukjente som er på høyre side.

Så, i stedet for $x_4$ og $x_5$, kan vi erstatte alle tall og finne $x_1$, $x_2$ og $x_3$. Hvert femte av disse tallene vil være røttene til vårt opprinnelige ligningssystem. For å finne vektorene som er inkludert i FSR vi må erstatte 1 i stedet for $x_4$, og erstatte 0 i stedet for $x_5$, finne $x_1$, $x_2$ og $x_3$, og så omvendt $x_4=0$ og $x_5=1$.

La M 0 – sett med løsninger til et homogent system (4) av lineære ligninger.

Definisjon 6.12. Vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s, som er løsninger av et homogent system av lineære ligninger kalles grunnleggende sett med løsninger(forkortet FNR), if

1) vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s lineært uavhengig (dvs. ingen av dem kan uttrykkes i form av de andre);

2) enhver annen løsning til et homogent system av lineære ligninger kan uttrykkes i form av løsninger Med 1 ,Med 2 , …, med s.

Merk at hvis Med 1 ,Med 2 , …, med s– enhver f.n.r., så uttrykket k 1× Med 1 + k 2× Med 2 + … + k s× med s du kan beskrive hele settet M 0 løsninger til system (4), så heter det generell oversikt over systemløsningen (4).

Teorem 6.6. Ethvert ubestemt homogent system av lineære ligninger har et grunnleggende sett med løsninger.

Måten å finne det grunnleggende settet med løsninger er som følger:

Finn en generell løsning på et homogent system av lineære ligninger;

Bygg ( n – r) delvise løsninger av dette systemet, mens verdiene til de frie ukjente må danne en identitetsmatrise;

Skriv ut generelt syn løsninger inkludert i M 0 .

Eksempel 6.5. Finn et grunnleggende sett med løsninger neste system:

Løsning. La oss finne en generell løsning på dette systemet.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Det er fem ukjente i dette systemet ( n= 5), hvorav det er to hovedukjente ( r= 2), det er tre gratis ukjente ( n – r), det vil si at det grunnleggende løsningssettet inneholder tre løsningsvektorer. La oss bygge dem. Vi har x 1 og x 3 - viktigste ukjente, x 2 , x 4 , x 5 – gratis ukjente

Verdier av gratis ukjente x 2 , x 4 , x 5 danner identitetsmatrisen E tredje orden. Fikk den vektorene Med 1 ,Med 2 , Med 3 form f.n.r. av dette systemet. Da vil settet med løsninger av dette homogene systemet være M 0 = {k 1× Med 1 + k 2× Med 2 + k 3× Med 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

La oss nå finne ut betingelsene for eksistensen av ikke-nullløsninger av et homogent system av lineære ligninger, med andre ord betingelsene for eksistensen av et grunnleggende sett med løsninger.

Et homogent system av lineære ligninger har løsninger som ikke er null, det vil si at det er usikkert om

1) rangering av hovedmatrisen til systemet mindre antall ukjent;

2) i et homogent system av lineære ligninger er antallet ligninger mindre enn antallet ukjente;

3) hvis i et homogent system av lineære ligninger antall ligninger er lik antall ukjente, og determinanten til hovedmatrisen er lik null (dvs. | EN| = 0).

Eksempel 6.6. Ved hvilken parameterverdi en homogent system av lineære ligninger har ikke-null løsninger?

Løsning. La oss komponere hovedmatrisen til dette systemet og finne dets determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – EN– 4. Determinanten til denne matrisen er lik null ved en = –4.

Svare: –4.

7. Aritmetikk n-dimensjonalt vektorrom

Grunnleggende konsepter

I tidligere avsnitt har vi allerede møtt konseptet med et sett med reelle tall arrangert i en bestemt rekkefølge. Dette er en radmatrise (eller kolonnematrise) og en løsning på et system av lineære ligninger med n ukjent. Denne informasjonen kan oppsummeres.

Definisjon 7.1. n-dimensjonal aritmetisk vektor kalt et bestilt sett med n reelle tall.

Betyr EN= (a 1 , a 2 , …, a n), hvor en jegО R, jeg = 1, 2, …, n– generell oversikt over vektoren. Tall n ringte dimensjon vektorer og tall a jeg kalles hans koordinater.

For eksempel: EN= (1, –8, 7, 4, ) – femdimensjonal vektor.

Alt klart n-dimensjonale vektorer er vanligvis betegnet som Rn.

Definisjon 7.2. To vektorer EN= (a 1 , a 2 , …, a n) Og b= (b 1 , b 2 , …, b n) av samme dimensjon lik hvis og bare hvis deres korresponderende koordinater er like, dvs. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definisjon 7.3.Beløp to n-dimensjonale vektorer EN= (a 1 , a 2 , …, a n) Og b= (b 1 , b 2 , …, b n) kalles en vektor en + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).

Definisjon 7.4. Arbeidet reelt tall k til vektor EN= (a 1 , a 2 , …, a n) kalles en vektor k× EN = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definisjon 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) kalles null(eller null vektor).

Det er lett å kontrollere at handlingene (operasjonene) med å legge til vektorer og multiplisere dem med et reelt tall har følgende egenskaper: " en, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) en + b = b + en;

2) en + (b+ c) = (en + b) + c;

3) en + O = en;

4) en+ (–en) = O;

5) 1× en = en 10R;

6) k×( l× en) = l×( k× en) = (l× k)× en;

7) (k + l)× en = k× en + l× en;

8) k×( en + b) = k× en + k× b.

Definisjon 7.6. Mange Rn med operasjonene med å legge til vektorer og multiplisere dem med et reelt tall gitt på den kalles aritmetisk n-dimensjonalt vektorrom.

Formålet med tjenesten. Den elektroniske kalkulatoren er designet for å finne en ikke-triviell og grunnleggende løsning på SLAE. Den resulterende løsningen lagres i Word-fil(se eksempel på løsning).

Instruksjoner. Velg matrisedimensjon:

Egenskaper til systemer av lineære homogene ligninger

Teorem. Systemet i tilfellet m=n har ikke-triviell løsning hvis og bare hvis determinanten til dette systemet er lik null.

Teorem. Enhver lineær kombinasjon av løsninger til et system er også en løsning på det systemet.
Definisjon. Settet med løsninger til et system med lineære homogene ligninger kalles grunnleggende system av løsninger, hvis dette settet består av lineært uavhengige løsninger og enhver løsning til systemet er en lineær kombinasjon av disse løsningene.

Teorem. Hvis rangeringen r til systemmatrisen er mindre enn antallet n av ukjente, eksisterer det et grunnleggende system av løsninger som består av (n-r) løsninger.

Algoritme for å løse systemer av lineære homogene ligninger

1. Finne rangeringen til matrisen.
2. Vi velger grunnfaget. Vi skiller avhengige (grunnleggende) og frie ukjente.
3. Vi krysser ut de likningene til systemet hvis koeffisienter ikke er inkludert grunnleggende bifag, siden de er konsekvenser av de andre (ved teoremet på basis-moll).
4. Vi overfører vilkårene til ligningene som inneholder frie ukjente til høyre side. Som et resultat får vi et system av r likninger med r ukjente, ekvivalent med den gitte, hvis determinant ikke er null.
5. Vi løser det resulterende systemet ved å eliminere ukjente. Vi finner relasjoner som uttrykker avhengige variabler gjennom frie.
6. Hvis rangeringen av matrisen ikke er lik antall variabler, finner vi grunnleggende løsning systemer.
7. I tilfellet rang = n har vi en triviell løsning.

Eksempel. Finn grunnlaget for systemet av vektorer (a 1, a 2,...,a m), ranger og uttrykk vektorene basert på basisen. Hvis a 1 =(0,0,1,-1), og 2 =(1,1,2,0), og 3 =(1,1,1,1), og 4 =(3,2,1 ,4), og 5 =(2,1,0,3).
La oss skrive ned hovedmatrisen til systemet: