Teorem om det grunnleggende løsningssystemet. Grunnleggende løsningssystem

Gaussmetoden har en rekke ulemper: det er umulig å vite om systemet er konsistent eller ikke før alle transformasjonene som er nødvendige i Gaussmetoden er utført; Gauss sin metode egner seg ikke for systemer med bokstavkoeffisienter.

La oss vurdere andre metoder for å løse systemer lineære ligninger. Disse metodene bruker konseptet matriserangering og reduserer løsningen til evt felles system til løsningen av et system som Cramers regel gjelder for.

Eksempel 1. Finne generell løsning neste system lineære ligninger ved hjelp av det grunnleggende løsningssystemet gitt homogent system og en spesiell løsning på et heterogent system.

1. Lage en matrise EN og utvidet systemmatrise (1)

2. Utforsk systemet (1) for samvær. For å gjøre dette finner vi matrisenes rekker EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Hvis det viser seg at , så systemet (1) uforenlig. Hvis vi får det til , så er dette systemet konsekvent, og vi vil løse det. (Kompatibilitetsstudien er basert på Kronecker-Capelli-teoremet).

en. Vi finner rA.

Å finne rA, vil vi vurdere sekvensielt ikke-null moll av den første, andre, osv. rekkefølgen av matrisen EN og de mindreårige rundt dem.

M1=1≠0 (vi tar 1 fra øvre venstre hjørne av matrisen EN).

Vi grenser M1 den andre raden og den andre kolonnen i denne matrisen. . Vi fortsetter til grensen M1 den andre linjen og den tredje kolonnen..gif" width="37" height="20 src=">. Nå setter vi grensen for moll som ikke er null M2′ andre orden.

Vi har: (siden de to første kolonnene er like)

(siden andre og tredje linje er proporsjonale).

Det ser vi rA=2, a er basis-moll av matrisen EN.

b. Vi finner.

Ganske grunnleggende mindre M2′ matriser EN kantlinje med en kolonne med frie termer og alle rader (vi har bare den siste raden).

. Det følger av det M3′′ forblir grunnmoll i matrisen https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Fordi M2′- basis moll av matrisen EN systemer (2) , da er dette systemet ekvivalent med systemet (3) , som består av de to første likningene i systemet (2) (til M2′ er i de to første radene i matrise A).

(3)

Siden grunnfaget https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

I dette systemet er det to gratis ukjente ( x2 Og x4 ). Det er derfor FSR systemer (4) består av to løsninger. For å finne dem tildeler vi gratis ukjente (4) verdier først x2=1 , x4=0 , og så - x2=0 , x4=1 .

På x2=1 , x4=0 vi får:

.

Dette systemet har allerede det eneste løsning (den kan bli funnet ved å bruke Cramers regel eller en annen metode). Trekker vi den første fra den andre ligningen, får vi:

Hennes løsning vil være x1= -1 , x3=0 . Gitt verdiene x2 Og x4 , som vi ga, får vi den første grunnleggende løsning systemer (2) : .

Nå tror vi på (4) x2=0 , x4=1 . Vi får:

.

Vi løser dette systemet ved å bruke Cramers teorem:

.

Vi får den andre grunnleggende løsningen av systemet (2) : .

Løsninger β1 , β2 og sminke FSR systemer (2) . Da vil dens generelle løsning være

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Her C1 , C2 – vilkårlige konstanter.

4. La oss finne en privat løsning heterogent system(1) . Som i avsnitt 3 , i stedet for systemet (1) La oss vurdere et tilsvarende system (5) , som består av de to første likningene i systemet (1) .

(5)

La oss flytte de frie ukjente til høyre side x2 Og x4.

(6)

La oss gi gratis ukjente x2 Og x4 vilkårlige verdier, for eksempel x2=2 , x4=1 og legg dem inn (6) . La oss få systemet

Dette systemet har den eneste løsningen(siden det er bestemmende M2′0). Når vi løser det (ved å bruke Cramers teorem eller Gauss metode), får vi x1=3 , x3=3 . Gitt verdiene til de gratis ukjente x2 Og x4 , får vi spesiell løsning av et inhomogent system(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nå gjenstår det bare å skrive det ned generell løsning α av et inhomogent system(1) : det er lik summen privat løsning dette systemet og generell løsning av det reduserte homogene systemet (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dette betyr: (7)

6. Undersøkelse. For å sjekke om du løste systemet riktig (1) , trenger vi en generell løsning (7) erstatte inn (1) . Hvis hver ligning blir til identiteten ( C1 Og C2 må destrueres), så er løsningen funnet riktig.

Vi erstatter (7) for eksempel bare den siste ligningen i systemet (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Vi får: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Hvor –1=–1. Vi har en identitet. Vi gjør dette med alle de andre ligningene i systemet (1) .

Kommentar. Sjekken er vanligvis ganske tungvint. Følgende "delkontroll" kan anbefales: i den generelle løsningen av systemet (1) tilordne noen verdier til vilkårlige konstanter og erstatte den resulterende partielle løsningen bare i de forkastede ligningene (dvs. i disse ligningene fra (1) , som ikke var inkludert i (5) ). Hvis du får identiteter, da mer sannsynlig, systemløsning (1) funnet riktig (men en slik kontroll gir ikke en fullstendig garanti for korrekthet!). For eksempel, hvis i (7) sette C2=- 1 , C1=1, da får vi: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Setter vi inn i siste ligning av system (1), har vi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , dvs. –1=–1. Vi har en identitet.

Eksempel 2. Finn en generell løsning på et system med lineære ligninger (1) , som uttrykker de grunnleggende ukjente i form av gratis.

Løsning. Som i eksempel 1, komponer matriser EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> av disse matrisene. Nå forlater vi bare de likningene til systemet (1) , hvis koeffisienter er inkludert i denne grunnleggende minor (dvs. vi har de to første ligningene) og vurderer et system som består av dem, ekvivalent med system (1).

La oss overføre de frie ukjente til høyresiden av disse ligningene.

system (9) Vi løser etter Gauss-metoden, og ser på høyresidene som frie termer.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Alternativ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Alternativ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Alternativ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Alternativ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

For å forstå hva det er grunnleggende beslutningssystem du kan se en videoopplæring for det samme eksempelet ved å klikke. La oss nå gå videre til den faktiske beskrivelsen av alt nødvendig arbeid. Dette vil hjelpe deg å forstå essensen av dette problemet mer detaljert.

Hvordan finne det grunnleggende løsningssystemet til en lineær ligning?

La oss ta for eksempel følgende system med lineære ligninger:

La oss finne en løsning på dette lineært system ligninger Til å begynne med, vi du må skrive ut koeffisientmatrisen til systemet.

La oss transformere denne matrisen til en trekantet. Vi skriver om den første linjen uten endringer. Og alle elementene som er under $a_(11)$ må være nuller. For å lage en null i stedet for elementet $a_(21)$, må du trekke den første fra den andre linjen, og skrive forskjellen i den andre linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(31)$, må du trekke den første fra den tredje linjen og skrive forskjellen i den tredje linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(41)$, må du trekke den første multiplisert med 2 fra den fjerde linjen og skrive forskjellen i den fjerde linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(31)$, må du trekke den første multiplisert med 2 fra den femte linjen og skrive forskjellen i den femte linjen.

Vi skriver om første og andre linje uten endringer. Og alle elementene som er under $a_(22)$ må være nuller. For å lage en null i stedet for elementet $a_(32)$, må du trekke den andre multiplisert med 2 fra den tredje linjen og skrive forskjellen i den tredje linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(42)$, må du trekke den andre multiplisert med 2 fra den fjerde linjen og skrive forskjellen i den fjerde linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(52)$, må du trekke den andre multiplisert med 3 fra den femte linjen og skrive forskjellen i den femte linjen.

Det ser vi de tre siste linjene er like, så hvis du trekker den tredje fra den fjerde og femte, blir de null.

I følge denne matrisen skrive ned nytt system ligninger.

Vi ser at vi bare har tre lineært uavhengige ligninger, og fem ukjente, så det grunnleggende løsningssystemet vil bestå av to vektorer. Så vi vi må flytte de to siste ukjente til høyre.

Nå begynner vi å uttrykke de ukjente som er på venstre side gjennom de som er på høyre side. Vi starter med den siste ligningen, først uttrykker vi $x_3$, deretter erstatter vi resultatet i den andre ligningen og uttrykker $x_2$, og deretter inn i den første ligningen og her uttrykker vi $x_1$. Dermed uttrykte vi alle de ukjente som er på venstre side gjennom de ukjente som er på høyre side.

Så, i stedet for $x_4$ og $x_5$, kan vi erstatte alle tall og finne $x_1$, $x_2$ og $x_3$. Hvert femte av disse tallene vil være røttene til vårt opprinnelige ligningssystem. For å finne vektorene som er inkludert i FSR vi må erstatte 1 i stedet for $x_4$, og erstatte 0 i stedet for $x_5$, finne $x_1$, $x_2$ og $x_3$, og så omvendt $x_4=0$ og $x_5=1$.

Løsning av lineære systemer algebraiske ligninger(SLAE) er utvilsomt det viktigste temaet i lineær algebrakurset. Stort antall problemer fra alle grener av matematikken reduseres til å løse systemer av lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til denne artikkelen. Materialet til artikkelen er valgt og strukturert slik at du med dens hjelp kan

• hente optimal metode løsninger til systemet med lineære algebraiske ligninger,
• studere teorien om den valgte metoden,
• løse systemet med lineære ligninger ved å vurdere detaljerte løsninger på typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse av artikkelmaterialet.

Først gir vi alle nødvendige definisjoner, begreper og introduserer notasjoner.

Deretter vil vi vurdere metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en unik løsning. For det første vil vi fokusere på Cramer-metoden, for det andre vil vi vise matrisemetoden for å løse slike ligningssystemer, for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden) sekvensiell eliminering ukjente variabler). For å konsolidere teorien vil vi definitivt løse flere SLAE-er på forskjellige måter.

Etter dette vil vi gå videre til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av generell form, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen til systemet er entall. La oss formulere Kronecker-Capelli-teoremet, som lar oss etablere kompatibiliteten til SLAE-er. La oss analysere løsningen av systemer (hvis de er kompatible) ved å bruke konseptet med en basis-minor av en matrise. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene på eksemplene.

Vi vil definitivt dvele ved strukturen til den generelle løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. La oss gi konseptet med et grunnleggende system av løsninger og vise hvordan den generelle løsningen til en SLAE er skrevet ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet. For en bedre forståelse, la oss se på noen få eksempler.

Avslutningsvis vil vi vurdere likningssystemer som kan reduseres til lineære, samt ulike problemer i løsningen av hvilke SLAE-er oppstår.

Sidenavigering.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Vi vil vurdere systemer med p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler (p kan være lik n) av formen

Ukjente variabler, - koeffisienter (noen reelle eller komplekse tall), - frie ledd (også reelle eller komplekse tall).

Denne formen for opptak SLAE kalles koordinere.

I matriseform å skrive dette ligningssystemet har formen,
Hvor - systemets hovedmatrise, - en kolonnematrise med ukjente variabler, - en kolonnematrise med frie ledd.

Legger vi til en matrisekolonne med frie ledd til matrise A som (n+1)te kolonne, får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er en utvidet matrise merket med bokstaven T, og kolonnen med frie termer er atskilt med en vertikal linje fra de resterende kolonnene, det vil si,

Løse et system med lineære algebraiske ligninger kalt et sett med verdier av ukjente variabler som gjør alle likninger i systemet til identiteter. Matriseligning for gitte verdier av de ukjente variablene blir også en identitet.

Hvis et ligningssystem har minst én løsning, kalles det ledd.

Hvis et ligningssystem ikke har noen løsninger, kalles det ikke-ledd.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker; hvis det er mer enn én løsning, så – usikker.

Hvis de frie leddene til alle likningene i systemet er lik null , så kalles systemet homogen, ellers – heterogen.

Løse elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antallet ligninger i systemet er lik antallet ukjente variabler og determinanten for hovedmatrisen ikke er lik null, så vil vi kalle slike SLAEer elementær. Slike ligningssystemer har en unik løsning, og ved et homogent system er alle ukjente variabler lik null.

Vi begynte å studere slike SLAE-er i videregående skole. Når vi løste dem, tok vi en likning, uttrykte en ukjent variabel i form av andre og erstattet den i de resterende likningene, tok deretter den neste likningen, uttrykte den neste ukjente variabelen og erstattet den i andre likninger, og så videre. Eller de brukte addisjonsmetoden, det vil si at de la til to eller flere ligninger for å eliminere noen ukjente variabler. Vi vil ikke dvele ved disse metodene i detalj, siden de i hovedsak er modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er Cramer-metoden, matrisemetoden og Gauss-metoden. La oss sortere dem.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Anta at vi må løse et system med lineære algebraiske ligninger

hvor antall ligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, det vil si .

La være determinanten for hovedmatrisen til systemet, og - determinanter av matriser som er hentet fra A ved erstatning 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med denne notasjonen beregnes ukjente variabler ved å bruke formlene til Cramers metode som . Slik finner man løsningen på et system med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Eksempel.

Cramers metode .

Løsning.

Hovedmatrisen til systemet har formen . La oss beregne dens determinant (om nødvendig, se artikkelen):

Siden determinanten for hovedmatrisen til systemet ikke er null, har systemet en unik løsning som kan bli funnet med Cramers metode.

La oss komponere og beregne de nødvendige determinantene (vi får determinanten ved å erstatte den første kolonnen i matrise A med en kolonne med frie termer, determinanten ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne med frie termer, og ved å erstatte den tredje kolonnen i matrise A med en kolonne med frie termer) :

Finne ukjente variabler ved hjelp av formler :

Svare:

Den største ulempen med Cramers metode (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten ved å beregne determinanter når antallet ligninger i systemet er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke en invers matrise).

La et system med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform, der matrisen A har dimensjon n med n og dens determinant er ikke null.

Siden , matrise A er inverterbar, det vil si at det er en invers matrise. Hvis vi multipliserer begge sider av likheten med venstre, får vi en formel for å finne en matrisekolonne med ukjente variabler. Slik fikk vi en løsning på systemet med lineære algebraiske ligninger matrisemetoden.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger matrisemetoden.

Løsning.

La oss omskrive ligningssystemet i matriseform:

Fordi

så kan SLAE løses ved hjelp av matrisemetoden. Ved å bruke invers matrise løsningen på dette systemet kan finnes som .

La oss konstruere en invers matrise ved å bruke en matrise fra de algebraiske komplementene til elementene i matrise A (om nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen til en matrisekolonne med gratis medlemmer (om nødvendig, se artikkelen):

Svare:

eller i en annen notasjon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet når man finner løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved bruk av matrisemetoden, er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser av orden høyere enn tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på et system med n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består av sekvensiell eliminering av ukjente variabler: først ekskluderes x 1 fra alle likninger i systemet, starter fra den andre, deretter ekskluderes x 2 fra alle likninger, starter fra den tredje, og så videre, inntil bare den ukjente variabelen x n er igjen i den siste ligningen. Denne prosessen med å transformere systemligninger for å sekvensielt eliminere ukjente variabler kalles direkte gaussisk metode. Etter ferdigstillelse slag fremover ved bruk av Gauss-metoden blir x n funnet fra den siste ligningen, ved å bruke denne verdien beregnes x n-1 fra den nest siste ligningen, og så videre, x 1 blir funnet fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles invers av Gauss-metoden.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å bytte ut systemets likninger. La oss eliminere den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, og starter med den andre. For å gjøre dette, til den andre ligningen i systemet legger vi den første, multiplisert med , til den tredje ligningen legger vi den første, multiplisert med , og så videre, til den n-te ligningen legger vi den første, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og .

Vi ville ha kommet til det samme resultatet hvis vi hadde uttrykt x 1 i form av andre ukjente variabler i den første likningen av systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre likninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter fortsetter vi på lignende måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er markert i figuren

For å gjøre dette legger vi til den tredje likningen i systemet den andre, multiplisert med , til den fjerde likningen legger vi den andre, multiplisert med , og så videre, til den n-te likningen legger vi den andre, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi med å eliminere den ukjente x 3, og vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter den direkte progresjonen av Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra nå av starter vi omvendt slag Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste likningen som , ved å bruke den oppnådde verdien av x n finner vi x n-1 fra den nest siste likningen, og så videre finner vi x 1 fra den første likningen.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gauss metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje likningen i systemet. For å gjøre dette legger vi til begge sider av den andre og tredje ligningen de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med og med henholdsvis:

Nå eliminerer vi x 2 fra den tredje ligningen ved å legge til venstre og høyre side venstre og høyre side av den andre ligningen, multiplisert med:

Dette fullfører foroverslaget til Gauss-metoden.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og fullfører dermed det motsatte av Gauss-metoden.

Svare:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

I generell sak antall ligninger av systemet p sammenfaller ikke med antall ukjente variabler n:

Slike SLAE-er har kanskje ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendelig mange løsninger. Denne uttalelsen gjelder også for ligningssystemer hvis hovedmatrise er kvadratisk og entall.

Kronecker-Capelli teorem.

Før du finner en løsning på et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere kompatibiliteten. Svaret på spørsmålet når SLAE er kompatibelt og når det er inkonsekvent er gitt av Kronecker-Capelli teorem:
For at et likningssystem med n ukjente (p kan være lik n) skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til systemets hovedmatris er lik rangeringen til den utvidede matrisen, dvs. , Rangering(A)=Rank(T).

La oss vurdere, som et eksempel, anvendelsen av Kronecker-Capelli-teoremet for å bestemme kompatibiliteten til et system med lineære ligninger.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. La oss bruke metoden for å grense til mindreårige. Mindre av andre orden forskjellig fra null. La oss se på tredjeordens mindreårige som grenser til det:

Siden alle de grensende mindreårige av den tredje orden er lik null, er rangeringen til hovedmatrisen lik to.

I sin tur, rangeringen av den utvidede matrisen er lik tre, siden mindretallet er av tredje orden

forskjellig fra null.

Slik, Rang(A), derfor, ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet, kan vi konkludere med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er inkonsekvent.

Svare:

Systemet har ingen løsninger.

Så vi har lært å etablere inkonsistensen til et system ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.

Men hvordan finne en løsning på en SLAE hvis kompatibiliteten er etablert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med en basismoll av en matrise og et teorem om rangeringen til en matrise.

Mindre høyeste orden matrise A, forskjellig fra null, kalles grunnleggende.

Fra definisjonen av en basis minor følger det at rekkefølgen er lik rangeringen av matrisen. For en matrise A som ikke er null, kan det være flere basis-moll.

Tenk for eksempel på matrisen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden elementene i den tredje raden i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i den første og andre raden.

Følgende andreordens mindreårige er grunnleggende, siden de ikke er null

Mindreårige er ikke grunnleggende, siden de er lik null.

Matriserangeringsteorem.

Hvis rangeringen av en matrise av orden p til n er lik r, blir alle rad- (og kolonne-)elementer i matrisen som ikke utgjør den valgte basis-moll lineært uttrykt i form av de korresponderende rad- (og kolonneelementene) som danner basis mindre.

Hva forteller matriserangeringssetningen oss?

Hvis vi i henhold til Kronecker-Capelli-teoremet har etablert kompatibiliteten til systemet, velger vi hvilken som helst basis-minor av hovedmatrisen til systemet (rekkefølgen er lik r), og ekskluderer fra systemet alle ligninger som gjør det ikke utgjør den valgte basis mindreårige. SLAE oppnådd på denne måten vil være ekvivalent med den opprinnelige, siden de forkastede ligningene fortsatt er overflødige (ifølge matriserangsetningen er de en lineær kombinasjon av de gjenværende ligningene).

Som et resultat, etter å ha forkastet unødvendige ligninger av systemet, er to tilfeller mulige.

Hvis antall ligninger r i det resulterende systemet er lik antallet ukjente variabler, vil det være definitivt og den eneste løsningen kan finnes ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

.

Løsning.

Rangering av hovedmatrisen til systemet er lik to, siden minor er av andre orden forskjellig fra null. Utvidet matriserangering er også lik to, siden den eneste tredje ordens moll er null

og andreordens moll som er vurdert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på Kronecker-Capelli-teoremet kan vi hevde kompatibiliteten til det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden Rank(A)=Rank(T)=2.

Som basis mindre tar vi . Den er dannet av koeffisientene til den første og andre ligningen:


Den tredje ligningen til systemet deltar ikke i dannelsen av basisminor, så vi ekskluderer den fra systemet basert på teoremet om rangeringen av matrisen:


Dette er hvordan vi fikk et elementært system av lineære algebraiske ligninger. La oss løse det ved å bruke Cramers metode:


Svare:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Hvis antall ligninger r i den resulterende SLAE mindre antall ukjente variabler n, så lar vi på venstre side av likningene vilkårene som danner basismoll, og vi overfører de resterende leddene til høyresiden av likningene i systemet med motsatt fortegn.

De ukjente variablene (r av dem) som er igjen på venstre side av ligningene kalles hoved-.

Ukjente variabler (det er n - r-stykker) som er på høyresiden kalles gratis.

Nå tror vi at frie ukjente variabler kan ta vilkårlige verdier, mens de r viktigste ukjente variablene vil uttrykkes gjennom frie ukjente variabler på en unik måte. Deres uttrykk kan bli funnet ved å løse den resulterende SLAE ved å bruke Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

La oss se på det med et eksempel.

Eksempel.

Løs et system med lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

La oss finne rangeringen til hovedmatrisen til systemet ved å grense mindreårige. La oss ta en 1 1 = 1 som en ikke-null moll av første orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av andre orden som grenser til denne moll:


Slik fant vi en moll som ikke er null av andre orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av tredje orden:


Dermed er rangeringen av hovedmatrisen tre. Rangeringen til den utvidede matrisen er også lik tre, det vil si at systemet er konsistent.

Vi tar den funnet ikke-null moll av tredje orden som basis en.

For klarhets skyld viser vi elementene som danner basisminor:


Vi lar begrepene som er involvert i basis-moll på venstre side av systemligningene, og overfører resten med motsatte fortegn til høyre side:


La oss gi de frie ukjente variablene x 2 og x 5 vilkårlige verdier, det vil si at vi aksepterer , hvor er vilkårlige tall. I dette tilfellet vil SLAE ta formen


La oss løse det resulterende elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved å bruke Cramers metode:


Derfor,.

I svaret ditt, ikke glem å angi ledige ukjente variabler.

Svare:

Hvor er vilkårlige tall.

La oss oppsummere.

For å løse et system med generelle lineære algebraiske ligninger, bestemmer vi først dets kompatibilitet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Hvis rangeringen til hovedmatrisen ikke er lik rangeringen til den utvidede matrisen, konkluderer vi med at systemet er inkompatibelt.

Hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen, velger vi en basis-minor og forkaster likningene til systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte basis-minor.

Hvis rekkefølgen på basisminoren er lik antall ukjente variabler, har SLAE en unik løsning, som kan finnes med en hvilken som helst metode kjent for oss.

Hvis rekkefølgen til basisminor er mindre enn antall ukjente variabler, lar vi på venstre side av systemligningene vilkårene med de viktigste ukjente variablene, overføre de resterende leddene til høyre side og gi vilkårlige verdier til de frie ukjente variablene. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente variablene ved å bruke Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Gauss-metoden kan brukes til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten først å teste dem for kompatibilitet. Prosessen med sekvensiell eliminering av ukjente variabler gjør det mulig å trekke en konklusjon om både kompatibiliteten og inkompatibiliteten til SLAE, og hvis en løsning finnes, gjør den det mulig å finne den.

Fra et beregningsmessig synspunkt er Gauss-metoden å foretrekke.

Se den detaljert beskrivelse og analyserte eksempler i artikkelen Gauss-metoden for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Skrive en generell løsning på homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorer av det fundamentale løsningssystemet.

I denne delen skal vi snakke om samtidige homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger som har et uendelig antall løsninger.

La oss først ta for oss homogene systemer.

Grunnleggende system av løsninger homogent system av p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler er en samling av (n – r) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, hvor r er rekkefølgen til basis-moll av hovedmatrisen til systemet.

Hvis vi betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen SLAE som X (1) , er X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) søylematriser med dimensjon n med 1) , da er den generelle løsningen til dette homogene systemet representert som en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet med vilkårlig konstante koeffisienter C1, C2, ..., C (n-r), dvs. .

Hva betyr begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formelen setter alt mulige løsninger den opprinnelige SLAE, med andre ord, ved å ta ethvert sett med verdier av vilkårlige konstanter C 1, C 2, ..., C (n-r), ved å bruke formelen vil vi få en av løsningene til den opprinnelige homogene SLAE.

Derfor, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, kan vi definere alle løsninger av denne homogene SLAE som .

La oss vise prosessen med å konstruere et grunnleggende system av løsninger til en homogen SLAE.

Vi velger basis-moll for det opprinnelige systemet med lineære ligninger, ekskluderer alle andre ligninger fra systemet og overfører alle ledd som inneholder frie ukjente variabler til høyresiden av systemets ligninger med motsatte fortegn. La oss gi de frie ukjente variablene verdiene 1,0,0,...,0 og beregne de viktigste ukjente ved å løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på noen måte, for eksempel ved å bruke Cramer-metoden. Dette vil resultere i X (1) - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis vi gir de frie ukjente verdiene 0,1,0,0,...,0 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi tilordner verdiene 0.0,...,0.1 til de frie ukjente variablene og beregner de viktigste ukjente, får vi X (n-r) . På denne måten vil et grunnleggende system av løsninger til en homogen SLAE bli konstruert og dens generelle løsning kan skrives i formen .

For inhomogene systemer med lineære algebraiske ligninger, er den generelle løsningen representert i formen , hvor er den generelle løsningen av det tilsvarende homogene systemet, og er den spesielle løsningen av den opprinnelige inhomogene SLAE, som vi oppnår ved å gi de frie ukjente verdiene ​​0,0,…,0 og beregne verdiene til de viktigste ukjente.

La oss se på eksempler.

Eksempel.

Finn det grunnleggende løsningssystemet og den generelle løsningen til et homogent system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen av hovedmatrisen til homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangeringen til den utvidede matrisen. La oss finne rangeringen til hovedmatrisen ved å bruke metoden for å grense til mindreårige. Som en ikke-null moll av første orden tar vi element a 1 1 = 9 av hovedmatrisen til systemet. La oss finne den avgrensende moll som ikke er null av andre orden:

En mindreårig av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss gå gjennom tredjeordens mindreårige som grenser til den på leting etter en som ikke er null:

Alle tredje-ordens grensende mindreårige er lik null, derfor er rangeringen til hovedmatrisen og den utvidede matrisen lik to. La oss ta . For klarhets skyld, la oss merke oss elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen til den opprinnelige SLAE deltar ikke i dannelsen av basisminor, derfor kan den ekskluderes:

Vi lar begrepene som inneholder de viktigste ukjente på høyre side av ligningene, og overfører begrepene med frie ukjente til høyre side:

La oss konstruere et grunnleggende system av løsninger til det opprinnelige homogene systemet med lineære ligninger. Det grunnleggende løsningssystemet til denne SLAE består av to løsninger, siden den opprinnelige SLAE inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen på dens basisminor er lik to. For å finne X (1), gir vi de frie ukjente variablene verdiene x 2 = 1, x 4 = 0, så finner vi de viktigste ukjente fra ligningssystemet
.

La M 0 – sett med løsninger til et homogent system (4) av lineære ligninger.

Definisjon 6.12. Vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s, som er løsninger av et homogent system av lineære ligninger kalles grunnleggende sett med løsninger(forkortet FNR), if

1) vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s lineært uavhengig (dvs. ingen av dem kan uttrykkes i form av de andre);

2) enhver annen løsning til et homogent system av lineære ligninger kan uttrykkes i form av løsninger Med 1 ,Med 2 , …, med s.

Merk at hvis Med 1 ,Med 2 , …, med s– enhver f.n.r., så uttrykket k 1× Med 1 + k 2× Med 2 + … + k s× med s du kan beskrive hele settet M 0 løsninger til system (4), så heter det generell oversikt over systemløsningen (4).

Teorem 6.6. Ethvert ubestemt homogent system av lineære ligninger har et grunnleggende sett med løsninger.

Måten å finne det grunnleggende settet med løsninger er som følger:

Finn en generell løsning på et homogent system av lineære ligninger;

Bygg ( n – r) delvise løsninger av dette systemet, mens verdiene til de frie ukjente må danne en identitetsmatrise;

Skriv ut generelt syn løsninger inkludert i M 0 .

Eksempel 6.5. Finn et grunnleggende sett med løsninger for følgende system:

Løsning. La oss finne en generell løsning på dette systemet.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Det er fem ukjente i dette systemet ( n= 5), hvorav det er to hovedukjente ( r= 2), det er tre gratis ukjente ( n – r), det vil si at det grunnleggende løsningssettet inneholder tre løsningsvektorer. La oss bygge dem. Vi har x 1 og x 3 - viktigste ukjente, x 2 , x 4 , x 5 – gratis ukjente

Verdier av gratis ukjente x 2 , x 4 , x 5 danner identitetsmatrisen E tredje orden. Fikk den vektorene Med 1 ,Med 2 , Med 3 form f.n.r. av dette systemet. Da vil settet med løsninger av dette homogene systemet være M 0 = {k 1× Med 1 + k 2× Med 2 + k 3× Med 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

La oss nå finne ut betingelsene for eksistensen av ikke-nullløsninger av et homogent system av lineære ligninger, med andre ord betingelsene for eksistensen av et grunnleggende sett med løsninger.

Et homogent system av lineære ligninger har løsninger som ikke er null, det vil si at det er usikkert om

1) rangeringen av hovedmatrisen til systemet er mindre enn antallet ukjente;

2) i et homogent system av lineære ligninger er antallet ligninger mindre enn antallet ukjente;

3) hvis i et homogent system av lineære ligninger antall ligninger er lik antall ukjente, og determinanten til hovedmatrisen er lik null (dvs. | EN| = 0).

Eksempel 6.6. Ved hvilken parameterverdi en homogent system av lineære ligninger har ikke-null løsninger?

Løsning. La oss komponere hovedmatrisen til dette systemet og finne dets determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – EN– 4. Determinanten til denne matrisen er lik null ved en = –4.

Svare: –4.

7. Aritmetikk n-dimensjonalt vektorrom

Grunnleggende konsepter

I tidligere avsnitt har vi allerede møtt konseptet med et sett med reelle tall arrangert i en bestemt rekkefølge. Dette er en radmatrise (eller kolonnematrise) og en løsning på et system av lineære ligninger med n ukjent. Denne informasjonen kan oppsummeres.

Definisjon 7.1. n-dimensjonal aritmetisk vektor kalt et bestilt sett med n reelle tall.

Betyr EN= (a 1 , a 2 , …, a n), hvor en jegО R, jeg = 1, 2, …, n– generell oversikt over vektoren. Tall n ringte dimensjon vektorer og tall a jeg kalles hans koordinater.

For eksempel: EN= (1, –8, 7, 4, ) – femdimensjonal vektor.

Alt klart n-dimensjonale vektorer er vanligvis betegnet som Rn.

Definisjon 7.2. To vektorer EN= (a 1 , a 2 , …, a n) Og b= (b 1 , b 2 , …, b n) av samme dimensjon lik hvis og bare hvis deres korresponderende koordinater er like, dvs. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definisjon 7.3.Beløp to n-dimensjonale vektorer EN= (a 1 , a 2 , …, a n) Og b= (b 1 , b 2 , …, b n) kalles en vektor en + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).

Definisjon 7.4. Arbeidet reelt tall k til vektor EN= (a 1 , a 2 , …, a n) kalles en vektor k× EN = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definisjon 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) kalles null(eller null vektor).

Det er lett å kontrollere at handlingene (operasjonene) med å legge til vektorer og multiplisere dem med et reelt tall har følgende egenskaper: " en, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) en + b = b + en;

2) en + (b+ c) = (en + b) + c;

3) en + O = en;

4) en+ (–en) = O;

5) 1× en = en 10R;

6) k×( l× en) = l×( k× en) = (l× k)× en;

7) (k + l)× en = k× en + l× en;

8) k×( en + b) = k× en + k× b.

Definisjon 7.6. Mange Rn med operasjonene med å legge til vektorer og multiplisere dem med et reelt tall gitt på den kalles aritmetisk n-dimensjonalt vektorrom.

Vi vil fortsette å polere teknologien vår elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av tekniske teknikker, vil det være mange ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemets ligning er null. For eksempel:

Det er helt klart det et homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først av alt, det som fanger oppmerksomheten er den såkalte trivielt løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr uten et show-off. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ...Hvorfor slå rundt bushen, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe det til en trinnvis form. Vær oppmerksom på at her er det ikke nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med frie termer - uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.

Å dele den tredje linjen med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke det omvendte av Gauss-metoden er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svare:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare en triviell løsning, Hvis systemmatriserangering(i dette tilfellet 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet – 3 stykker).

La oss varme opp og stille inn radioen vår til bølgen av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

For å endelig konsolidere algoritmen, la oss analysere den endelige oppgaven:

Eksempel 7

Løs et homogent system, skriv svaret i vektorform.

Løsning: la oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

(1) Tegnet på den første linjen er endret. Nok en gang trekker jeg oppmerksomheten til en teknikk som har blitt møtt mange ganger, som lar deg forenkle den neste handlingen betydelig.

(1) Den første linjen ble lagt til 2. og 3. linje. Den første linjen, multiplisert med 2, ble lagt til den 4. linjen.

(3) De tre siste linjene er proporsjonale, to av dem er fjernet.

Som et resultat oppnås en standard trinnmatrise, og løsningen fortsetter langs det riflede sporet:

– grunnleggende variabler;
– frie variabler.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene i form av frie variabler. Fra den andre ligningen:

– bytt inn i den første ligningen:

Så den generelle løsningen er:

Siden det i eksemplet under vurdering er tre frie variabler, inneholder det fundamentale systemet tre vektorer.

La oss erstatte en trippel av verdier inn i den generelle løsningen og få en vektor hvis koordinater tilfredsstiller hver ligning i det homogene systemet. Og igjen, jeg gjentar at det er svært tilrådelig å sjekke hver mottatt vektor - det vil ikke ta mye tid, men det vil beskytte deg fullstendig mot feil.

For en trippel av verdier finn vektoren

Og til slutt for de tre vi får den tredje vektoren:

Svare: , Hvor

De som ønsker å unngå brøkverdier kan vurdere trillinger og få svar i tilsvarende form:

Apropos brøker. La oss se på matrisen oppnådd i oppgaven og la oss spørre oss selv: er det mulig å forenkle den videre løsningen? Tross alt, her uttrykte vi først grunnvariabelen gjennom brøker, deretter gjennom brøker grunnvariabelen, og jeg må si, denne prosessen var ikke den enkleste og ikke den mest behagelige.

Andre løsning:

Tanken er å prøve velg andre basisvariabler. La oss se på matrisen og legge merke til to i den tredje kolonnen. Så hvorfor ikke ha en null på toppen? La oss utføre enda en elementær transformasjon: