Makatwiran o hindi makatwiran na numero. Mga numerong hindi makatwiran: ano ang mga ito at para saan ang mga ito
Ano ang mga irrational na numero? Bakit sila tinatawag na? Saan ginagamit ang mga ito at ano ang mga ito? Ilang tao ang makakasagot sa mga tanong na ito nang hindi nag-iisip. Ngunit sa katunayan, ang mga sagot sa kanila ay medyo simple, bagaman hindi lahat ay nangangailangan ng mga ito at sa napakabihirang mga sitwasyon
Kakanyahan at pagtatalaga
Hindi nakapangangatwiran numero kumakatawan sa walang katapusang non-periodic Ang pangangailangang ipakilala ang konseptong ito ay dahil sa katotohanan na upang malutas ang mga bagong umuusbong na problema ang dating umiiral na mga konsepto ng tunay o tunay, integer, natural at rational na mga numero ay hindi na sapat. Halimbawa, upang makalkula kung aling dami ang parisukat ng 2, kailangan mong gumamit ng mga non-periodic infinite decimal. Bilang karagdagan, maraming mga simpleng equation ay walang solusyon nang hindi ipinakilala ang konsepto ng isang hindi makatwiran na numero.
Ang set na ito ay tinutukoy bilang I. At, tulad ng malinaw na, ang mga halagang ito ay hindi maaaring katawanin bilang isang simpleng fraction, ang numerator kung saan ay isang integer, at ang denominator ay magiging
Sa kauna-unahang pagkakataon, sa isang paraan o iba pa, nakatagpo ang mga Indian mathematician ng hindi pangkaraniwang bagay na ito noong ika-7 siglo nang matuklasan na ang mga square root ng ilang mga dami ay hindi maaaring ipahiwatig nang tahasan. At ang unang patunay ng pagkakaroon ng naturang mga numero ay maiugnay sa Pythagorean Hippasus, na ginawa ito sa proseso ng pag-aaral ng isosceles kanang tatsulok. Ang ilang iba pang mga siyentipiko na nabuhay bago ang ating panahon ay gumawa ng isang seryosong kontribusyon sa pag-aaral ng set na ito. Ang pagpapakilala ng konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay nangangailangan ng rebisyon ng umiiral na sistema ng matematika, kaya naman napakahalaga ng mga ito.
pinagmulan ng pangalan
Kung ang ratio na isinalin mula sa Latin ay "fraction", "ratio", kung gayon ang prefix na "ir"
nagbibigay sa salitang ito ng kabaligtaran na kahulugan. Kaya, ang pangalan ng hanay ng mga numerong ito ay nagpapahiwatig na ang mga ito ay hindi maaaring maiugnay sa isang integer o fraction at magkaroon ng isang hiwalay na lugar. Ito ay sumusunod mula sa kanilang kakanyahan.
Ilagay sa pangkalahatang pag-uuri
Ang mga irrational na numero, kasama ang mga rational na numero, ay kabilang sa pangkat ng mga tunay o tunay na numero, na nabibilang naman sa mga kumplikadong numero. Walang mga subset, ngunit may mga algebraic at transendental na varieties, na tatalakayin sa ibaba.
Ari-arian
Dahil ang mga hindi makatwirang numero ay bahagi ng hanay ng mga tunay na numero, lahat ng kanilang mga katangian na pinag-aaralan sa aritmetika (tinatawag din silang mga pangunahing batas ng algebraic) ay nalalapat sa kanila.
a + b = b + a (commutativity);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativity);
a + (-a) = 0 (pagkakaroon ng kabaligtaran na numero);
ab = ba (commutative law);
(ab)c = a(bc) (distributivity);
a(b+c) = ab + ac (batas sa pamamahagi);
a x 1/a = 1 (pagkakaroon ng katumbas na numero);
Ang paghahambing ay ginawa din alinsunod sa pangkalahatang mga pattern at mga prinsipyo:
Kung a > b at b > c, pagkatapos ay a > c (transitivity ng kaugnayan) at. atbp.
Siyempre, ang lahat ng hindi makatwirang numero ay maaaring ma-convert gamit ang pangunahing arithmetic. wala mga espesyal na tuntunin sabay no.
Bilang karagdagan, ang Archimedes axiom ay nalalapat sa mga hindi makatwirang numero. Ito ay nagsasaad na para sa alinmang dalawang dami a at b totoo na, ang pagkuha ng a bilang isang termino sapat na dami beses, maaaring malampasan b.
Paggamit
Sa kabila ng katotohanan na hindi mo sila nakakaharap nang madalas sa pang-araw-araw na buhay, hindi mabibilang ang mga hindi makatwirang numero. Mayroong isang malaking bilang ng mga ito, ngunit sila ay halos hindi nakikita. Ang mga hindi makatwirang numero ay nasa paligid natin. Ang mga halimbawa na pamilyar sa lahat ay ang numerong pi, katumbas ng 3.1415926..., o e, na mahalagang batayan ng natural na logarithm, 2.718281828... Sa algebra, trigonometrya at geometry, ang mga ito ay kailangang gamitin palagi. Siya nga pala, sikat na kahulugan"gintong ratio", iyon ay, ang ratio ng parehong mas malaking bahagi sa mas maliit na bahagi, at vice versa, din
kabilang sa set na ito. Ang hindi gaanong kilalang "pilak" din.
Sa linya ng numero ang mga ito ay matatagpuan nang napakakapal, upang sa pagitan ng anumang dalawang dami na nauuri bilang makatwiran, isang hindi makatwiran ang tiyak na magaganap.
Marami pa ring hindi nalutas na problemang nauugnay sa set na ito. May mga pamantayan tulad ng sukatan ng irrationality at normalidad ng isang numero. Patuloy na pinag-aaralan ng mga mathematician ang pinakamahalagang halimbawa upang matukoy kung kabilang sila sa isang grupo o iba pa. Halimbawa, pinaniniwalaan na ang e ay isang normal na numero, ibig sabihin, ang posibilidad ng iba't ibang mga digit na lumilitaw sa notasyon nito ay pareho. Tungkol naman sa pi, patuloy pa rin ang pagsasaliksik tungkol dito. Ang sukat ng irrationality ay isang halaga na nagpapakita kung gaano kahusay ang isang naibigay na numero ay maaaring tantiyahin ng mga rational na numero.
Algebraic at transendental
Gaya ng nabanggit na, ang mga hindi makatwirang numero ay karaniwang nahahati sa algebraic at transendental. Sa kondisyon, dahil, mahigpit na pagsasalita, ang pag-uuri na ito ay ginagamit upang hatiin ang set C.
Itinatago ng pagtatalagang ito ang mga kumplikadong numero, na kinabibilangan ng tunay o tunay na mga numero.
Kaya, ang algebraic ay isang halaga na ugat ng isang polynomial na hindi magkaparehong katumbas ng zero. Halimbawa, Kuwadrado na ugat ng 2 ay mahuhulog sa kategoryang ito dahil ito ay isang solusyon sa equation x 2 - 2 = 0.
Ang lahat ng iba pang tunay na numero na hindi nakakatugon sa kundisyong ito ay tinatawag na transendental. Kasama sa iba't-ibang ito ang pinakasikat at nabanggit na mga halimbawa - ang numerong pi at ang base ng natural na logarithm e.
Kapansin-pansin, wala sa isa o sa isa pa ang orihinal na binuo ng mga mathematician sa kapasidad na ito; ang kanilang irrationality at transcendence ay napatunayan maraming taon pagkatapos ng kanilang pagtuklas. Para sa pi, ang patunay ay ibinigay noong 1882 at pinasimple noong 1894, na nagtatapos sa isang 2,500-taong debate tungkol sa problema ng pag-squaring ng bilog. Hindi pa rin ito lubusang pinag-aralan, kaya't ang mga modernong mathematician ay may dapat gawin. Sa pamamagitan ng paraan, ang unang medyo tumpak na pagkalkula ng halagang ito ay isinagawa ni Archimedes. Bago sa kanya, ang lahat ng mga kalkulasyon ay masyadong tinatayang.
Para sa e (Euler's o Napier's number), natagpuan ang patunay ng transcendence nito noong 1873. Ginagamit ito sa paglutas ng mga logarithmic equation.
Kasama sa iba pang mga halimbawa ang mga halaga ng sine, cosine, at tangent para sa anumang algebraic nonzero na halaga.
Ang pagiging abstract ng mga konsepto sa matematika kung minsan ay nagmumula sa napakaraming detatsment na ang pag-iisip ay hindi sinasadyang lumitaw: "Bakit para sa lahat ng ito?" Ngunit, sa kabila ng unang impresyon, lahat ng theorems, arithmetic operations, functions, atbp. - walang iba kundi ang pagnanais na matugunan ang mga pangunahing pangangailangan. Ito ay makikita lalo na malinaw sa halimbawa ng hitsura ng iba't ibang mga set.
Nagsimula ang lahat sa paglitaw ng mga natural na numero. At, kahit na hindi malamang na ngayon ay makakasagot ang sinuman kung gaano ito eksakto, malamang, ang mga binti ng reyna ng mga agham ay lumalaki mula sa isang lugar sa yungib. Dito, sinusuri ang bilang ng mga balat, bato at tribo, ang isang tao ay may maraming "bilang na mabibilang." At sapat na iyon para sa kanya. Hanggang sa isang punto, siyempre.
Pagkatapos ang mga balat at mga bato ay kailangang hatiin at alisin. Ito ay kung paano lumitaw ang pangangailangan para sa mga operasyon ng aritmetika, at kasama nila ang mga makatwiran, na maaaring tukuyin bilang isang fraction tulad ng m / n, kung saan, halimbawa, ang m ay ang bilang ng mga balat, n ay ang bilang ng mga kapwa tribo.
Tila sapat na ang natuklasang mathematical apparatus para masiyahan sa buhay. Ngunit sa lalong madaling panahon ay may mga kaso kung ang resulta ay hindi lamang isang integer, ngunit hindi kahit isang bahagi! At, sa katunayan, ang square root ng dalawa ay hindi maaaring ipahayag sa anumang iba pang paraan gamit ang numerator at denominator. O, halimbawa, ang kilalang numerong Pi, na natuklasan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Archimedes, ay hindi rin makatwiran. At sa paglipas ng panahon, ang mga naturang pagtuklas ay naging napakarami na ang lahat ng mga numero na hindi maaaring "mapangangatwiran" ay pinagsama at tinawag na hindi makatwiran.
Ari-arian
Ang mga set na itinuturing na mas maaga ay nabibilang sa isang hanay ng mga pangunahing konsepto ng matematika. Nangangahulugan ito na hindi sila matukoy sa pamamagitan ng mas simpleng mga bagay sa matematika. Ngunit ito ay maaaring gawin sa tulong ng mga kategorya (mula sa Griyegong "mga pahayag") o postulates. Sa kasong ito, pinakamahusay na ipahiwatig ang mga katangian ng mga set na ito.
o Ang mga hindi makatwirang numero ay tumutukoy sa mga pagbawas ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero na walang pinakamalaking numero sa mas mababang bilang at walang pinakamaliit na numero sa itaas.
o Bawat transendental na numero ay hindi makatwiran.
o Ang bawat hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
o Ang hanay ng mga numero ay siksik sa lahat ng dako sa linya ng numero: sa pagitan ng alinman ay mayroong isang hindi makatwirang numero.
o Ang set ay hindi mabilang at isang set ng pangalawang kategorya ng Baire.
o Nakaayos ang set na ito, ibig sabihin, para sa bawat dalawang magkaibang rational na numero a at b, maaari mong ipahiwatig kung alin ang mas mababa sa isa.
o Sa pagitan ng bawat dalawang magkaibang rational na numero ay may isa pa kahit na isa, at samakatuwid ay isang walang katapusang hanay ng mga rational na numero.
o Mga operasyon sa aritmetika(pagdaragdag, pagpaparami at paghahati) sa alinmang dalawang rational na numero ay laging posible at nagreresulta sa isang tiyak na rational na numero. Ang pagbubukod ay paghahati sa pamamagitan ng zero, na imposible.
o Ang bawat rational na numero ay maaaring katawanin bilang decimal(may hangganan o walang katapusang periodic).
Rational na numero– isang numero na kinakatawan ng isang ordinaryong fraction m/n, kung saan ang numerator m ay isang integer, at ang denominator n ay isang natural na numero. Ang anumang rational na numero ay maaaring katawanin bilang periodic infinite decimal fraction. Ang hanay ng mga rational na numero ay tinutukoy ng Q.
Kung ang isang tunay na numero ay hindi makatwiran, kung gayon ito ay hindi makatwiran na numero. Ang mga desimal na praksiyon na nagpapahayag ng mga hindi makatwirang numero ay walang katapusan at hindi pana-panahon. Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang tinutukoy ng malaking titik I.
Ang isang tunay na numero ay tinatawag algebraic, kung ito ang ugat ng ilang polynomial (non-zero degree) na may rational coefficients. Ang anumang hindi algebraic na numero ay tinatawag transendental.
Ilang pag-aari:
Ang hanay ng mga rational na numero ay matatagpuan sa lahat ng dako sa axis ng numero: sa pagitan ng alinmang dalawang magkaibang rational na numero ay mayroong kahit isang rational na numero (at samakatuwid ay isang walang katapusang hanay ng mga rational na numero). Gayunpaman, lumalabas na ang hanay ng mga makatwirang numero Q at ang hanay ng mga natural na numero N ay katumbas, iyon ay, ang isa-sa-isang pagsusulatan ay maaaring maitatag sa pagitan nila (lahat ng mga elemento ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring palitan ng numero) .
Ang set Q ng mga rational na numero ay sarado sa ilalim ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati, iyon ay, ang kabuuan, pagkakaiba, produkto at quotient ng dalawang rational na numero ay mga rational na numero din.
Ang lahat ng mga rational na numero ay algebraic (ang kabaligtaran ay mali).
Ang bawat tunay na transendental na numero ay hindi makatwiran.
Ang bawat hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay siksik sa lahat ng dako sa linya ng numero: sa pagitan ng alinmang dalawang numero ay mayroong isang hindi makatwiran na numero (at samakatuwid ay isang walang katapusang hanay ng mga hindi makatwiran na numero).
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi mabilang.
Kapag nilulutas ang mga problema, maginhawa, kasama ang hindi makatwirang numero a + b√ c (kung saan ang a, b ay mga rational na numero, c ay isang integer na hindi parisukat ng isang natural na numero), upang isaalang-alang ang "conjugate" na numero a – b√ c: kabuuan at produkto nito na may orihinal – mga rational na numero. Kaya ang a + b√ c at a – b√ c ay mga ugat quadratic equation na may mga integer coefficient.
Mga problema sa mga solusyon
1. Patunayan mo yan
a) numero √ 7;
b) numero ng log 80;
c) numero √ 2 + 3 √ 3;
ay hindi makatwiran.
a) Ipagpalagay natin na ang bilang na √ 7 ay makatwiran. Pagkatapos, mayroong coprime p at q na √ 7 = p/q, kung saan nakuha natin ang p 2 = 7q 2 . Dahil ang p at q ay relatibong prime, kung gayon ang p 2, at samakatuwid ang p ay mahahati sa 7. Pagkatapos p = 7k, kung saan ang k ay ilang natural na numero. Kaya q 2 = 7k 2 = pk, na sumasalungat sa katotohanan na ang p at q ay coprime.
Kaya, ang palagay ay mali, na nangangahulugan na ang numero √ 7 ay hindi makatwiran.
b) Ipagpalagay natin na ang bilang na log 80 ay makatwiran. Pagkatapos ay mayroong natural na p at q na ang log 80 = p/q, o 10 p = 80 q, kung saan nakakuha tayo ng 2 p–4q = 5 q–p. Isinasaalang-alang na ang mga numero 2 at 5 ay relatibong prime, nalaman namin na ang huling pagkakapantay-pantay ay posible lamang para sa p–4q = 0 at q–p = 0. Kung saan ang p = q = 0, na imposible, dahil ang p at q ay pinili maging natural.
Kaya, ang palagay ay mali, na nangangahulugan na ang numero ng lg 80 ay hindi makatwiran.
c) Tukuyin natin ang bilang na ito sa pamamagitan ng x.
Pagkatapos (x – √ 2) 3 = 3, o x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Matapos i-square ang equation na ito, nakita natin na dapat matugunan ng x ang equation
x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.
Ang mga nakapangangatwiran na ugat nito ay maaari lamang maging mga numero 1 at –1. Ang pagsuri ay nagpapakita na ang 1 at –1 ay hindi mga ugat.
Kaya, ang ibinigay na numero √ 2 + 3 √ 3 ay hindi makatwiran.
2. Alam na ang mga numerong a, b, √a –√b,– makatwiran. Patunayan mo yan √a at √b ay mga rational na numero din.
Tingnan natin ang trabaho
(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.
Numero √a +√b, na katumbas ng ratio ng mga numero a – b at √a –√b, ay rational, dahil ang quotient ng dalawang rational number ay isang rational number. Kabuuan ng dalawang rational na numero
½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a
- isang rational na numero, ang kanilang pagkakaiba,
½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,
ay isa ring rational na numero, na kung ano ang kailangang patunayan.
3. Patunayan na may mga positibong irrational na numero a at b kung saan ang bilang a b ay natural na numero.
4. Mayroon bang mga rasyonal na numerong a, b, c, d na nagbibigay-kasiyahan sa pagkakapantay-pantay
(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,
saan n ang natural na numero?
Kung ang pagkakapantay-pantay na ibinigay sa kondisyon ay nasiyahan, at ang mga numerong a, b, c, d ay makatwiran, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan din:
(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.
Ngunit 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapatunay na imposible ang orihinal na pagkakapantay-pantay.
Sagot: wala sila.
5. Kung ang mga segment na may haba a, b, c ay bumubuo ng isang tatsulok, kung gayon para sa lahat n = 2, 3, 4, . . . ang mga segment na may haba n √ a, n √ b, n √ c ay bumubuo rin ng isang tatsulok. Patunayan mo.
Kung ang mga segment na may haba a, b, c ay bumubuo ng isang tatsulok, kung gayon ang tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay ay nagbibigay
Samakatuwid mayroon kaming
(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,
N √ a + n √ b > n √ c.
Ang natitirang mga kaso ng pagsuri sa hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok ay itinuturing na katulad, kung saan ang konklusyon ay sumusunod.
6. Patunayan na ang infinite decimal fraction ay 0.1234567891011121314... (pagkatapos ng decimal point, lahat mga integer sa pagkakasunud-sunod) ay isang hindi makatwirang numero.
Tulad ng alam mo, ang mga rational na numero ay ipinahayag bilang mga decimal fraction, na may tuldok na nagsisimula sa isang tiyak na tanda. Samakatuwid, sapat na upang patunayan na ang bahaging ito ay hindi pana-panahon sa anumang palatandaan. Ipagpalagay na hindi ito ang kaso, at ang ilang sequence T ng n digit ay ang panahon ng fraction, simula sa ika-10 na lugar ng decimal. Malinaw na kabilang sa mga digit pagkatapos ng m-th sign ay mayroong mga hindi zero, samakatuwid mayroong isang hindi zero na digit sa pagkakasunud-sunod ng mga digit na T. Nangangahulugan ito na simula sa mth digit pagkatapos ng decimal point, sa alinmang n digit sa isang hilera ay mayroong hindi zero na digit. Gayunpaman, ang decimal notation ng fraction na ito ay dapat maglaman ng decimal notation ng numerong 100...0 = 10 k, kung saan ang k > m at k > n. Malinaw na ang entry na ito ay nangyayari sa kanan ng m-th digit at naglalaman ng higit sa n zero sa isang hilera. Kaya, nakakakuha tayo ng kontradiksyon na kumukumpleto sa patunay.
7. Nabigyan ng walang katapusang decimal fraction 0,a 1 a 2 ... . Patunayan na ang mga digit sa decimal notation nito ay maaaring muling ayusin upang ang resultang fraction ay magpahayag ng rational na numero.
Alalahanin na ang isang fraction ay nagpapahayag ng isang rational na numero kung at kung ito ay pana-panahon, simula sa isang tiyak na tanda. Hahatiin natin ang mga numero mula 0 hanggang 9 sa dalawang klase: sa unang klase ay isasama natin ang mga numerong iyon na lumilitaw sa orihinal na fraction sa isang tiyak na bilang ng beses, sa pangalawang klase isasama namin ang mga lumalabas sa orihinal na fraction isang walang katapusang bilang ng beses. Simulan natin ang pagsulat ng periodic fraction na maaaring makuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga numero. Una, pagkatapos ng zero at kuwit, isinusulat namin sa random na pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga numero mula sa unang klase - bawat isa nang maraming beses na lumilitaw sa notasyon ng orihinal na fraction. Ang mga unang digit ng klase na naitala ay mauuna sa tuldok sa fractional na bahagi ng decimal. Susunod, isulat natin ang mga numero mula sa pangalawang klase nang paisa-isa sa ilang pagkakasunud-sunod. Idedeklara namin ang kumbinasyong ito bilang isang tuldok at uulitin ito ng walang katapusang bilang ng beses. Kaya, isinulat namin ang kinakailangang periodic fraction na nagpapahayag ng isang tiyak na rational number.
8. Patunayan na sa bawat infinite decimal fraction ay mayroong sequence ng decimal na lugar ng arbitraryong haba, na nangyayari nang walang katapusan nang maraming beses sa decomposition ng fraction.
Hayaan ang m ay isang arbitraryong ibinigay na natural na numero. Hatiin natin ang infinite decimal fraction na ito sa mga segment na may m digit sa bawat isa. Magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga naturang segment. Sa kabila, iba't ibang sistema na binubuo ng m digit, mayroon lamang 10 m, ibig sabihin, isang may hangganang numero. Dahil dito, hindi bababa sa isa sa mga sistemang ito ay dapat na ulitin dito nang walang katapusan nang maraming beses.
Magkomento. Para sa mga numerong hindi makatwiran √ 2, π o e hindi rin natin alam kung aling digit ang inuulit nang walang hanggan nang maraming beses sa mga infinite decimal fraction na kumakatawan sa kanila, bagama't ang bawat isa sa mga numerong ito ay madaling mapapatunayang naglalaman ng hindi bababa sa dalawang magkaibang mga numero.
9. Patunayan sa elementarya na paraan na ang positibong ugat ng equation
ay hindi makatwiran.
Para sa x > 0 kaliwang bahagi ang equation ay tumataas sa x, at madaling makita na sa x = 1.5 ito ay mas mababa sa 10, at sa x = 1.6 ito ay higit sa 10. Samakatuwid, ang tanging positibong ugat ng equation ay nasa loob ng pagitan (1.5; 1.6 ).
Isulat natin ang ugat bilang isang irreducible fraction p/q, kung saan ang p at q ay ilang relatibong prime natural na numero. Pagkatapos sa x = p/q ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo:
p 5 + pq 4 = 10q 5,
mula sa kung saan sumusunod na ang p ay isang divisor ng 10, samakatuwid, ang p ay katumbas ng isa sa mga numero 1, 2, 5, 10. Gayunpaman, kapag nagsusulat ng mga fraction na may mga numerator 1, 2, 5, 10, agad nating napapansin na wala sa mga ito ang nahuhulog sa loob ng pagitan (1.5; 1.6).
Kaya, ang positibong ugat ng orihinal na equation ay hindi maaaring katawanin bilang karaniwang fraction, na nangangahulugang ito ay isang hindi makatwirang numero.
10. a) Mayroon bang tatlong puntos A, B at C sa eroplano na para sa anumang punto X ang haba ng kahit isa sa mga segment na XA, XB at XC ay hindi makatwiran?
b) Ang mga coordinate ng vertices ng tatsulok ay makatwiran. Patunayan na ang mga coordinate ng gitna ng circumcircle nito ay makatwiran din.
c) Mayroon bang ganoong globo kung saan mayroong eksaktong isang makatwirang punto? (Ang rational point ay isang punto kung saan ang lahat ng tatlong Cartesian coordinate ay mga rational number.)
a) Oo, mayroon sila. Hayaang C ang midpoint ng segment AB. Pagkatapos XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Kung ang bilang na AB 2 ay hindi makatwiran, kung gayon ang mga numerong XA, XB at XC ay hindi maaaring magkasabay.
b) Hayaang (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) at (a 3 ; b 3) ang mga coordinate ng vertices ng triangle. Ang mga coordinate ng gitna ng circumscribed na bilog ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation:
(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,
(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.
Madaling suriin na ang mga equation na ito ay linear, na nangangahulugan na ang solusyon sa sistema ng mga equation na isinasaalang-alang ay makatwiran.
c) Ang ganitong globo ay umiiral. Halimbawa, isang globo na may equation
(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.
Ang puntong O na may mga coordinate (0; 0; 0) ay isang makatwirang punto na nakahiga sa globo na ito. Ang natitirang mga punto ng globo ay hindi makatwiran. Patunayan natin.
Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: hayaan ang (x; y; z) ay isang makatwirang punto ng globo, naiiba sa punto O. Malinaw na ang x ay iba sa 0, dahil para sa x = 0 mayroong tanging desisyon(0; 0; 0), na hindi interesado sa amin ngayon. Buksan natin ang mga bracket at ipahayag ang √ 2:
x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2
√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),
na hindi maaaring mangyari sa rational x, y, z at irrational √ 2. Kaya, ang O(0; 0; 0) ay ang tanging makatwirang punto sa globo na isinasaalang-alang.
Mga problemang walang solusyon
1. Patunayan na ang bilang
\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]
ay hindi makatwiran.
2. Para sa anong mga integer na m at n ang pagkakapantay-pantay (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n pinanghahawakan?
3. Mayroon bang numero a na ang mga numerong a – √ 3 at 1/a + √ 3 ay mga integer?
4. Maaari bang maging miyembro ang mga numero 1, √ 2, 4 (hindi kinakailangang magkatabi) ng isang pag-unlad ng aritmetika?
5. Patunayan na para sa anumang natural na numero n ang equation (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 ay walang solusyon sa mga rational na numero (x; y).
Kahulugan ng isang hindi makatwirang numero
Ang mga irrational na numero ay ang mga numerong iyon na sa decimal notation ay kumakatawan sa walang katapusang non-periodic decimal fraction.
Kaya, halimbawa, ang mga numerong nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng mga natural na numero ay hindi makatwiran at hindi mga parisukat ng natural na mga numero. Ngunit hindi lahat ng hindi makatwirang numero ay nakuha sa pamamagitan ng pagkuha parisukat na ugat, dahil ang bilang na "pi" na nakuha ng dibisyon ay hindi rin makatwiran, at malamang na hindi mo ito makuha kapag sinusubukan mong kunin ang square root ng isang natural na numero.
Mga katangian ng mga hindi makatwirang numero
Hindi tulad ng mga numerong isinulat bilang infinite decimal, ang mga irrational na numero lang ang isinusulat bilang non-periodic infinite decimal.
Ang kabuuan ng dalawang di-negatibong irrational na numero ay maaaring maging isang rational na numero.
Ang mga irrational na numero ay tumutukoy sa mga seksyon ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero, sa mas mababang uri na walang Malaking numero, at sa itaas ay walang kulang.
Anumang tunay na transendental na numero ay hindi makatwiran.
Ang lahat ng hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero sa isang linya ay makapal na matatagpuan, at sa pagitan ng alinman sa dalawa sa mga numero nito ay tiyak na mayroong isang hindi makatwiran na numero.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay walang hanggan, hindi mabilang at isang hanay ng ika-2 kategorya.
Kapag nagsasagawa ng anumang operasyong aritmetika sa mga rational na numero, maliban sa paghahati ng 0, ang resulta ay isang rational na numero.
Kapag nagdadagdag ng rational number sa isang irrational na numero, ang resulta ay palaging isang irrational na numero.
Kapag nagdadagdag ng mga hindi makatwirang numero, maaari tayong magkaroon ng rational na numero.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi pantay.
Ang mga numero ay hindi makatwiran
Minsan medyo mahirap sagutin ang tanong kung ang isang numero ay hindi makatwiran, lalo na sa mga kaso kung saan ang numero ay nasa anyo ng isang decimal fraction o sa anyo ng isang numerical expression, root o logarithm.
Samakatuwid, hindi magiging labis na malaman kung aling mga numero ang hindi makatwiran. Kung susundin natin ang kahulugan ng mga irrational na numero, alam na natin na ang mga rational na numero ay hindi maaaring maging hindi makatwiran.
Ang mga hindi makatwirang numero ay hindi:
Una, lahat ng natural na numero;
Pangalawa, integers;
Pangatlo, ordinaryong fraction;
Pang-apat, iba't ibang magkakahalo na numero;
Ikalima, ito ay walang katapusang periodic decimal fraction.
Bilang karagdagan sa lahat ng nasa itaas, ang isang hindi makatwirang numero ay hindi maaaring maging anumang kumbinasyon ng mga rational na numero na ginagawa ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika, tulad ng +, -, , :, dahil sa kasong ito ang resulta ng dalawang rational na numero ay magiging isang rational na numero.
Ngayon tingnan natin kung aling mga numero ang hindi makatwiran:
Alam mo ba ang tungkol sa pagkakaroon ng isang fan club kung saan ang mga tagahanga ng mahiwagang mathematical phenomenon na ito ay naghahanap ng higit at higit pang impormasyon tungkol sa Pi, na sinusubukang i-unravel ang misteryo nito? Maaaring maging miyembro ng club na ito ang sinumang tao na nakakaalam ng tiyak na bilang ng Pi number pagkatapos ng decimal point;
Alam mo ba na sa Germany, sa ilalim ng proteksyon ng UNESCO, mayroong Castadel Monte palace, salamat sa mga proporsyon kung saan maaari mong kalkulahin ang Pi. Inialay ni Haring Frederick II ang buong palasyo sa bilang na ito.
Ito ay lumabas na sinubukan nilang gamitin ang numerong Pi sa pagtatayo ng Tore ng Babel. Ngunit sa kasamaang-palad, ito ay humantong sa pagbagsak ng proyekto, dahil sa oras na iyon ang eksaktong pagkalkula ng halaga ng Pi ay hindi sapat na pinag-aralan.
Ang mang-aawit na si Kate Bush sa kanyang bagong disc ay nag-record ng isang kanta na tinatawag na "Pi", kung saan isang daan at dalawampu't apat na numero mula sa sikat na serye ng numero 3, 141…..
Ang materyal sa artikulong ito ay nagbibigay ng paunang impormasyon tungkol sa hindi nakapangangatwiran numero. Una ay ibibigay natin ang kahulugan ng mga hindi makatwirang numero at ipaliwanag ito. Sa ibaba ay nagbibigay kami ng mga halimbawa ng hindi makatwiran na mga numero. Sa wakas, tingnan natin ang ilang mga diskarte sa pag-alam kung ang isang ibinigay na numero ay hindi makatwiran o hindi.
Pag-navigate sa pahina.
Kahulugan at mga halimbawa ng hindi makatwiran na mga numero
Kapag nag-aaral ng mga desimal, hiwalay naming isinaalang-alang ang mga walang katapusan na di-pana-panahong mga decimal. Ang mga nasabing fraction ay lumalabas kapag sinusukat ang mga decimal na haba ng mga segment na hindi matutumbasan ng isang unit segment. Napansin din namin na ang mga walang katapusang non-periodic decimal fraction ay hindi maaaring i-convert sa ordinaryong mga fraction (tingnan ang pag-convert ng mga ordinaryong fraction sa decimal at vice versa), samakatuwid, ang mga numerong ito ay hindi mga rational na numero, kinakatawan nila ang tinatawag na mga irrational na numero.
Kaya pumunta kami sa kahulugan ng mga irrational na numero.
Kahulugan.
Tinatawag ang mga numerong kumakatawan sa walang katapusang non-periodic decimal fraction sa decimal notation hindi nakapangangatwiran numero.
Ang tinig na kahulugan ay nagpapahintulot sa amin na magbigay mga halimbawa ng mga irrational na numero. Halimbawa, ang infinite non-periodic decimal fraction 4.10110011100011110000... (ang bilang ng mga isa at mga zero ay tumataas ng isa sa bawat pagkakataon) ay isang hindi makatwirang numero. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa ng isang hindi makatwirang numero: −22.353335333335... (ang bilang ng tatlo na naghihiwalay sa mga walo ay tataas ng dalawa sa bawat pagkakataon).
Dapat tandaan na ang mga hindi makatwiran na numero ay medyo bihirang makita sa anyo ng walang katapusang non-periodic decimal fraction. Karaniwang matatagpuan ang mga ito sa anyo , atbp., pati na rin sa anyo ng mga espesyal na inilagay na titik. Ang pinakasikat na mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero sa notasyong ito ay ang arithmetic square root ng dalawa, ang numerong "pi" π=3.141592..., ang numerong e=2.718281... at gintong numero.
Ang mga hindi makatwirang numero ay maaari ding tukuyin sa mga tuntunin ng tunay na mga numero, na pinagsasama ang mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero.
Kahulugan.
Hindi nakapangangatwiran numero ay mga tunay na numero na hindi mga rational na numero.
Ang numerong ito ba ay hindi makatwiran?
Kapag ang isang numero ay ibinigay hindi bilang isang decimal fraction, ngunit bilang ilang ugat, logarithm, atbp., kung gayon ang pagsagot sa tanong kung ito ay hindi makatwiran ay medyo mahirap sa maraming mga kaso.
Walang alinlangan, kapag sinasagot ang tanong na ibinibigay, ito ay lubhang kapaki-pakinabang na malaman kung aling mga numero ang hindi makatwiran. Mula sa kahulugan ng mga hindi makatwirang numero, sumusunod na ang mga hindi makatwirang numero ay hindi mga makatwirang numero. Kaya, ang mga hindi makatwirang numero ay HINDI:
- may hangganan at walang katapusan na periodic decimal fraction.
Gayundin, ang anumang komposisyon ng mga rational na numero na konektado ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika (+, −, ·, :) ay hindi isang irrational na numero. Ito ay dahil ang kabuuan, pagkakaiba, produkto at quotient ng dalawang rational na numero ay isang rational na numero. Halimbawa, ang mga halaga ng mga expression at mga rational na numero. Dito ay napapansin natin na kung ang mga expression na ito ay naglalaman ng isang solong irrational na numero sa mga rational na numero, kung gayon ang halaga ng buong expression ay magiging isang hindi makatwiran na numero. Halimbawa, sa expression ang numero ay hindi makatwiran, at ang natitirang mga numero ay makatwiran, samakatuwid ito ay isang hindi makatwiran na numero. Kung ito ay isang rational na numero, kung gayon ang rationality ng numero ay susunod, ngunit ito ay hindi makatwiran.
Kung ang expression na tumutukoy sa numero ay naglalaman ng ilang hindi makatwiran na mga numero, root sign, logarithms, trigonometriko function, mga numerong π, e, atbp., pagkatapos ay kinakailangan upang patunayan ang irrationality o rationality ng isang naibigay na numero sa bawat tiyak na kaso. Gayunpaman, may ilang mga resulta na nakuha na maaaring magamit. Ilista natin ang mga pangunahing.
Napatunayan na ang isang kth na ugat ng isang integer ay isang rational na numero lamang kung ang numero sa ilalim ng ugat ay ang kth na kapangyarihan ng isa pang integer; sa ibang mga kaso, ang naturang ugat ay tumutukoy sa isang hindi makatwiran na numero. Halimbawa, ang mga numero at ay hindi makatwiran, dahil walang integer na ang parisukat ay 7, at walang integer na ang pagtaas sa ikalimang kapangyarihan ay nagbibigay ng numerong 15. At ang mga numero ay hindi makatwiran, dahil at .
Tulad ng para sa logarithms, kung minsan ay posible na patunayan ang kanilang irrationality gamit ang paraan ng kontradiksyon. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang log 2 3 ay isang hindi makatwirang numero.
Ipagpalagay natin na ang log 2 3 ay isang rational na numero, hindi isang hindi makatwiran, iyon ay, maaari itong katawanin bilang isang ordinaryong fraction m/n. at hayaan kaming isulat ang sumusunod na chain of equalities: . Ang huling pagkakapantay-pantay ay imposible, dahil sa kaliwang bahagi nito kakaibang numero, at sa kanang bahagi – kahit. Kaya't dumating kami sa isang kontradiksyon, na nangangahulugan na ang aming palagay ay naging mali, at pinatunayan nito na ang log 2 3 ay isang hindi makatwirang numero.
Tandaan na ang lna para sa anumang positibo at hindi isang rational a ay isang hindi makatwirang numero. Halimbawa, at mga hindi makatwirang numero.
Napatunayan din na ang bilang na e a para sa anumang di-zero na rasyonal a ay hindi makatwiran, at ang bilang na π z para sa anumang hindi-zero na integer z ay hindi makatwiran. Halimbawa, ang mga numero ay hindi makatwiran.
Ang mga hindi makatwiran na numero ay ang mga trigonometric function din na sin, cos, tg at ctg para sa anumang rational at non-zero na halaga ng argumento. Halimbawa, ang sin1 , tan(−4) , cos5,7 ay mga hindi makatwirang numero.
May iba pang napatunayang resulta, ngunit lilimitahan namin ang aming sarili sa mga nakalista na. Dapat ding sabihin na kapag pinatutunayan ang mga resulta sa itaas, ang teorya na nauugnay sa algebraic na mga numero At transendental na mga numero.
Sa konklusyon, tandaan namin na hindi kami dapat gumawa ng padalus-dalos na mga konklusyon tungkol sa hindi makatwiran ng mga ibinigay na numero. Halimbawa, tila halata na ang isang hindi makatwirang numero sa isang hindi makatwirang antas ay isang hindi makatwiran na numero. Gayunpaman, hindi ito palaging nangyayari. Upang kumpirmahin ang nakasaad na katotohanan, ipinakita namin ang antas. Ito ay kilala na - ay isang hindi makatwiran na numero, at napatunayan din na - ay isang hindi makatwiran na numero, ngunit ito ay isang makatwirang numero. Maaari ka ring magbigay ng mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero, ang kabuuan, pagkakaiba, produkto at kusyente nito ay mga rational na numero. Bukod dito, hindi pa napapatunayan ang rationality o irrationality ng mga numerong π+e, π−e, π·e, π π, π e at marami pang iba.
Bibliograpiya.
- Mathematics. Ika-6 na baitang: pang-edukasyon. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.