ما هو الرقم العقلاني أو غير العقلاني؟ عدد غير نسبي

يمكن تمثيل جميع الأعداد النسبية ككسر مشترك. ينطبق هذا على الأعداد الصحيحة (على سبيل المثال، 12، -6، 0)، والكسور العشرية المحدودة (على سبيل المثال، 0.5؛ -3.8921)، والكسور العشرية الدورية اللانهائية (على سبيل المثال، 0.11(23)؛ -3 ،(87) )).

لكن أعداد عشرية غير دورية لانهائيةتمثل في النموذج الكسور العاديةمستحيل. هذا ما هم عليه أرقام غير منطقية(أي غير عقلاني). مثال على هذا الرقم هو الرقم π، والذي يساوي تقريبًا 3.14. ومع ذلك، لا يمكن تحديد ما يساويه بالضبط، لأنه بعد الرقم 4 هناك سلسلة لا نهاية لها من الأرقام الأخرى التي لا يمكن تمييز فترات التكرار فيها. علاوة على ذلك، على الرغم من أنه لا يمكن التعبير عن الرقم π بدقة، إلا أنه يحتوي على رقم محدد معنى هندسي. الرقم π هو نسبة طول أي دائرة إلى طول قطرها. وبالتالي، فإن الأعداد غير النسبية موجودة بالفعل في الطبيعة، تمامًا مثل الأعداد النسبية.

مثال آخر على الأعداد غير النسبية هو الجذور التربيعية للأعداد الموجبة. استخراج الجذور من بعض الأرقام يعطي قيمًا عقلانية، ومن أرقام أخرى - غير عقلانية. على سبيل المثال، √4 = 2، أي جذر 4 هو رقم منطقي. لكن √2، √5، √7 والعديد من الأرقام الأخرى تؤدي إلى أرقام غير نسبية، أي أنه لا يمكن استخلاصها إلا عن طريق التقريب، بالتقريب إلى منزلة عشرية معينة. وفي هذه الحالة يصبح الكسر غير دوري. أي أنه من المستحيل أن نقول بالضبط وبالتأكيد السبب يساوي الجذرمن هذه الأرقام.

إذن √5 هو رقم يقع بين الرقمين 2 و 3، حيث أن √4 = 2، و √9 = 3. يمكننا أيضًا استنتاج أن √5 أقرب إلى 2 منه إلى 3، نظرًا لأن √4 أقرب إلى √5 من √9 إلى √5. في الواقع، √5 ≈ 2.23 أو √5 ≈ 2.24.

أرقام غير منطقيةيتم الحصول عليها أيضًا في حسابات أخرى (وليس فقط عند استخراج الجذور)، ويمكن أن تكون سلبية.

فيما يتعلق بالأعداد غير النسبية، يمكننا القول أنه بغض النظر عن قطعة الوحدة التي نتخذها لقياس الطول الذي يعبر عنه مثل هذا الرقم، فلن نتمكن من قياسه بالتأكيد.

في العمليات الحسابية، يمكن للأعداد غير النسبية أن تشارك مع الأعداد النسبية. في الوقت نفسه، هناك عدد من الانتظام. على سبيل المثال، إذا كانت الأرقام النسبية فقط هي التي تدخل في عملية حسابية، فإن النتيجة تكون دائمًا عددًا نسبيًا. إذا شارك فقط غير العقلاني في العملية، فمن المستحيل أن نقول بشكل لا لبس فيه ما إذا كانت النتيجة ستكون عددًا عقلانيًا أم غير عقلاني.

على سبيل المثال، إذا قمت بضرب رقمين غير نسبيين √2 * √2، فستحصل على 2 - وهذا رقم نسبي. ومن ناحية أخرى، √2 * √3 = √6 عدد غير نسبي.

إذا كانت العملية الحسابية تتضمن أعدادًا نسبية وغير نسبية، فإن النتيجة ستكون غير نسبية. على سبيل المثال، 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

لماذا يعتبر √17 – 4 رقمًا غير نسبي؟ لنتخيل أننا حصلنا على رقم نسبي x. إذًا √17 = x + 4. لكن x + 4 عدد نسبي، لأننا افترضنا أن x عدد نسبي. الرقم 4 عدد نسبي أيضًا، لذا فإن x + 4 عدد نسبي. ومع ذلك، لا يمكن أن يكون العدد النسبي مساويًا للعدد غير النسبي √17. ولذلك، فإن الافتراض بأن √17 – 4 يعطي نتيجة منطقية غير صحيح. ستكون نتيجة العملية الحسابية غير منطقية.

ومع ذلك، هناك استثناء لهذه القاعدة. إذا ضربنا عددًا غير نسبي في 0، نحصل على العدد المنطقي 0.

لقد عرف علماء الرياضيات القدماء بالفعل عن قطعة طول الوحدة: فقد عرفوا، على سبيل المثال، عدم قابلية قياس القطر وضلع المربع، وهو ما يعادل عدم عقلانية الرقم.

غير العقلانية هي:

أمثلة على إثبات اللاعقلانية

جذر 2

لنفترض العكس: إنه عقلاني، أي أنه يتم تمثيله في شكل كسر غير قابل للاختزال، حيث و هي أعداد صحيحة. دعونا مربع المساواة المفترضة:

ويترتب على ذلك أنه حتى هو و . فليكن حيث يكون الكل. ثم

ولذلك، حتى يعني حتى و . لقد وجدنا ذلك و متساويين، مما يناقض عدم قابلية الاختزال للكسر. وهذا يعني أن الافتراض الأصلي كان غير صحيح، وهو عدد غير نسبي.

اللوغاريتم الثنائي للرقم 3

لنفترض العكس: إنه عقلاني، أي أنه يتم تمثيله ككسر حيث و هي أعداد صحيحة. منذ , ويمكن اختيارها لتكون إيجابية. ثم

ولكن حتى والغريب. نحصل على التناقض.

ه

قصة

تم تبني مفهوم الأعداد غير النسبية ضمنيًا من قبل علماء الرياضيات الهنود في القرن السابع قبل الميلاد، عندما اكتشف مانافا (حوالي 750 قبل الميلاد - حوالي 690 قبل الميلاد) أن الجذور التربيعية لبعض الأعداد الطبيعية، مثل 2 و61 لا يمكن التعبير عنها بشكل صريح .

عادةً ما يُنسب الدليل الأول على وجود الأعداد غير النسبية إلى هيباسوس ميتابونتوس (حوالي 500 قبل الميلاد)، وهو فيثاغوري وجد هذا الدليل من خلال دراسة أطوال أضلاع النجم الخماسي. في زمن فيثاغورس، كان يُعتقد أن هناك وحدة واحدة للطول، صغيرة بما فيه الكفاية وغير قابلة للتجزئة، والتي تدخل أي قطعة عددًا صحيحًا من المرات. ومع ذلك، جادل هيباسوس بأنه لا توجد وحدة واحدة للطول، لأن افتراض وجودها يؤدي إلى تناقض. وأظهر أنه إذا كان الوتر متساوي الساقين مثلث قائميحتوي على عدد صحيح من أجزاء الوحدة، فيجب أن يكون هذا الرقم فرديًا وزوجيًا. بدا الدليل كالتالي:

• يمكن التعبير عن نسبة طول الوتر إلى طول ساق المثلث القائم متساوي الساقين على النحو التالي أ:ب، أين أو بتم اختياره على أنه أصغر ما يمكن.
• وفقا لنظرية فيثاغورس: أ² = 2 ب².
• لأن أ- حتى، أيجب أن يكون زوجيًا (لأن مربع العدد الفردي سيكون فرديًا).
• بسبب ال أ:بغير القابل للاختزال بيجب أن يكون غريبا.
• لأن أحتى أننا نشير أ = 2ذ.
• ثم أ² = 4 ذ² = 2 ب².
• ب² = 2 ذ²، لذلك ب- حتى ذلك الحين بحتى.
• ومع ذلك، فقد ثبت ذلك بغريب. تناقض.

أطلق علماء الرياضيات اليونانيون على هذه النسبة اسم الكميات غير القابلة للقياس alogos(لا يوصف)، ولكن وفقا للأساطير لم يدفعوا الاحترام الواجب لهيباسوس. هناك أسطورة مفادها أن هيباسوس قام باكتشاف أثناء وجوده رحلة بحرية، وتم طرحه في البحر من قبل الفيثاغوريين الآخرين "لخلق عنصر من عناصر الكون ينكر العقيدة القائلة بأن جميع الكيانات في الكون يمكن اختزالها إلى أعداد صحيحة ونسبها". كان اكتشاف هيباسوس بمثابة تحدي لرياضيات فيثاغورس مشكلة خطيرةمما أدى إلى تدمير الافتراض الأساسي للنظرية بأكملها بأن الأعداد والأشياء الهندسية واحدة ولا يمكن فصلها.

أنظر أيضا

ملحوظات

ما هي الأرقام غير المنطقية؟ لماذا يطلق عليهم ذلك؟ أين يتم استخدامها وما هي؟ قليل من الناس يمكنهم الإجابة على هذه الأسئلة دون تفكير. ولكن في الواقع، فإن الإجابات عليها بسيطة للغاية، على الرغم من أنها ليست ضرورية للجميع وفي حالات نادرة جدًا

الجوهر والتسمية

الأعداد غير النسبية هي أعداد لا نهائية غير دورية، وترجع الحاجة إلى إدخال هذا المفهوم إلى حقيقة أنه لحل المشكلات الجديدة التي تنشأ، لم تعد المفاهيم الموجودة سابقًا للأعداد الحقيقية أو الحقيقية والأعداد الصحيحة والطبيعية والعقلانية كافية. على سبيل المثال، لحساب الكمية التي تساوي مربع 2، تحتاج إلى استخدام الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية. بالإضافة إلى ذلك، العديد من المعادلات البسيطة ليس لها حل دون تقديم مفهوم العدد غير العقلاني.

يتم الإشارة إلى هذه المجموعة بـ I. وكما هو واضح بالفعل، لا يمكن تمثيل هذه القيم ككسر بسيط، سيكون بسطه عددًا صحيحًا، وسيكون مقامه

ولأول مرة، بطريقة أو بأخرى، واجه علماء الرياضيات الهنود هذه الظاهرة في القرن السابع عندما اكتشفوا أنه لا يمكن الإشارة بوضوح إلى الجذور التربيعية لبعض الكميات. والدليل الأول على وجود مثل هذه الأعداد يُنسب إلى هيباسوس فيثاغورس الذي فعل ذلك أثناء دراسة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين. قدم بعض العلماء الآخرين الذين عاشوا قبل عصرنا مساهمة جدية في دراسة هذه المجموعة. إن إدخال مفهوم الأعداد غير المنطقية يستلزم مراجعة النظام الرياضي الحالي، ولهذا السبب فهي في غاية الأهمية.

أصل الاسم

إذا كانت النسبة المترجمة من اللاتينية هي "كسر"، "نسبة"، فإن البادئة "ir"
يعطي هذه الكلمة المعنى المعاكس. وبالتالي فإن اسم مجموعة هذه الأرقام يشير إلى أنه لا يمكن ربطها بعدد صحيح أو كسر ولها مكان منفصل. وهذا يتبع من جوهرها.

مكان في التصنيف العام

تنتمي الأعداد غير النسبية، إلى جانب الأعداد النسبية، إلى مجموعة الأعداد الحقيقية أو الحقيقية، والتي تنتمي بدورها إلى الأعداد المركبة. لا توجد مجموعات فرعية، ولكن هناك أنواع جبرية ومتعالية، والتي سيتم مناقشتها أدناه.

ملكيات

وبما أن الأعداد غير النسبية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن جميع خصائصها التي يتم دراستها في الحساب (وتسمى أيضًا القوانين الجبرية الأساسية) تنطبق عليها.

أ + ب = ب + أ (التبادلية)؛

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الترابط)؛

أ + (-أ) = 0 (وجود الرقم المقابل)؛

أب = با (القانون التبادلي)؛

(أ ب) ج = أ (ج) (التوزيع)؛

أ(ب+ج) = أب + أس (قانون التوزيع)؛

أ × 1/أ = 1 (وجود رقم مقلوب)؛

تتم المقارنة أيضًا وفقًا لـ الأنماط العامةوالمبادئ:

إذا كان أ > ب و ب > ج، ثم أ > ج (متعدية العلاقة) و. إلخ.

وبطبيعة الحال، يمكن تحويل جميع الأعداد غير النسبية باستخدام العمليات الحسابية الأساسية. لا أحد قواعد خاصةفي نفس الوقت لا.

بالإضافة إلى ذلك، تنطبق بديهية أرخميدس على الأعداد غير النسبية. تنص على أنه بالنسبة لأي كميتين a وb، فمن الصحيح أن نأخذ a كمصطلح كمية كافيةمرات، يمكن تجاوزها ب.

الاستخدام

على الرغم من أنك لا تصادفها كثيرًا في الحياة اليومية، إلا أنه لا يمكن حساب الأعداد غير المنطقية. هناك عدد كبير منهم، لكنهم غير مرئيين تقريبا. الأرقام غير المنطقية موجودة في كل مكان حولنا. من الأمثلة المألوفة لدى الجميع الرقم pi، الذي يساوي 3.1415926...، أو e، الذي هو أساس اللوغاريتم الطبيعي، 2.718281828... في الجبر وعلم المثلثات والهندسة، يجب استخدامها باستمرار. بالمناسبة، معنى مشهور"النسبة الذهبية"، أي نسبة الجزء الأكبر إلى الجزء الأصغر، والعكس أيضًا

ينتمي إلى هذه المجموعة. "الفضة" الأقل شهرة أيضًا.

وهي تقع على خط الأعداد بكثافة شديدة، بحيث أنه بين أي كميتين مصنفتين على أنهما عقلانيتان، من المؤكد أن تحدث كمية غير عقلانية.

لا يزال هناك الكثير من المشكلات التي لم يتم حلها المرتبطة بهذه المجموعة. هناك معايير مثل مقياس اللاعقلانية وطبيعية الرقم. يواصل علماء الرياضيات دراسة أهم الأمثلة لتحديد ما إذا كانوا ينتمون إلى مجموعة أو أخرى. على سبيل المثال، يُعتقد أن e عدد طبيعي، أي أن احتمال ظهور أرقام مختلفة في تدوينه هو نفسه. أما بالنسبة لـ pi، فلا تزال الأبحاث جارية بشأنه. مقياس اللاعقلانية هو قيمة توضح مدى إمكانية تقريب رقم معين بواسطة أرقام منطقية.

جبري ومتعالي

كما ذكرنا سابقًا، يتم تقسيم الأعداد غير المنطقية تقليديًا إلى أعداد جبرية ومتعالية. بشكل مشروط، لأنه، بالمعنى الدقيق للكلمة، يتم استخدام هذا التصنيف لتقسيم المجموعة C.

يخفي هذا التصنيف الأعداد المركبة، والتي تتضمن أرقامًا حقيقية أو حقيقية.

إذن، القيمة الجبرية هي القيمة التي تمثل جذر كثيرة الحدود التي لا تساوي الصفر تمامًا. على سبيل المثال، الجذر التربيعي 2 سيندرج ضمن هذه الفئة لأنه حل للمعادلة x 2 - 2 = 0.

جميع الأعداد الحقيقية الأخرى التي لا تستوفي هذا الشرط تسمى المتسامية. يتضمن هذا التنوع الأمثلة الأكثر شهرة والمذكورة بالفعل - الرقم pi وقاعدة اللوغاريتم الطبيعي e.

ومن المثير للاهتمام أن علماء الرياضيات لم يطوروا هذه الصفة ولا تلك في الأصل بهذه الصفة، وقد ثبت عدم عقلانيتها وتجاوزها بعد سنوات عديدة من اكتشافها. بالنسبة لباي، تم تقديم الدليل في عام 1882 وتم تبسيطه في عام 1894، منهيًا بذلك نقاشًا دام 2500 عام حول مشكلة تربيع الدائرة. لم تتم دراستها بالكامل بعد، لذلك لدى علماء الرياضيات الحديثين ما يجب العمل عليه. بالمناسبة، تم إجراء أول حساب دقيق إلى حد ما لهذه القيمة بواسطة أرخميدس. قبله، كانت جميع الحسابات تقريبية للغاية.

بالنسبة لـ e (رقم أويلر أو نابير)، تم العثور على دليل على سموه في عام 1873. يتم استخدامه في حل المعادلات اللوغاريتمية.

تتضمن الأمثلة الأخرى قيم الجيب وجيب التمام والظل لأي قيمة جبرية غير صفرية.

أحيانًا ما يؤدي تجريد المفاهيم الرياضية إلى قدر كبير من الانفصال الذي ينشأ عن فكرة لا إرادية: "لماذا كل هذا؟" ولكن، على الرغم من الانطباع الأول، فإن جميع النظريات والعمليات الحسابية والوظائف وما إلى ذلك. - لا شيء أكثر من الرغبة في إشباع الحاجات الأساسية. يمكن ملاحظة ذلك بشكل خاص في مثال ظهور مجموعات مختلفة.

بدأ كل شيء بظهور الأعداد الطبيعية. وعلى الرغم من أنه من غير المرجح أن يتمكن أي شخص الآن من الإجابة على مدى دقة ذلك، فمن المرجح أن تنمو أرجل ملكة العلوم من مكان ما في الكهف. هنا، عند تحليل عدد الجلود والأحجار ورجال القبائل، يكون لدى الشخص العديد من "الأرقام التي يجب إحصاؤها". وكان ذلك كافيا بالنسبة له. حتى مرحلة ما، بطبيعة الحال.

ثم كان لا بد من تقسيم الجلود والحجارة وإزالتها. هكذا نشأت الحاجة إلى العمليات الحسابية، ومعها العمليات العقلانية، والتي يمكن تعريفها على أنها كسر مثل m/n، حيث، على سبيل المثال، m هو عدد الجلود، وn هو عدد رجال القبائل.

يبدو أن الجهاز الرياضي المكتشف بالفعل يكفي للاستمتاع بالحياة. ولكن سرعان ما اتضح أن هناك حالات عندما لا تكون النتيجة عددًا صحيحًا فحسب، بل ليست حتى جزءًا! وفي الواقع، لا يمكن التعبير عن الجذر التربيعي لاثنين بأي طريقة أخرى باستخدام البسط والمقام. أو على سبيل المثال، الرقم الشهير Pi، الذي اكتشفه العالم اليوناني القديم أرخميدس، ليس عقلانيًا أيضًا. ومع مرور الوقت، أصبحت هذه الاكتشافات عديدة جدًا لدرجة أن جميع الأرقام التي لا يمكن "ترشيدها" تم دمجها ووصفها بأنها غير عقلانية.

ملكيات

تنتمي المجموعات التي تم تناولها سابقًا إلى مجموعة من المفاهيم الأساسية للرياضيات. وهذا يعني أنه لا يمكن تعريفها من خلال كائنات رياضية أبسط. ولكن يمكن القيام بذلك بمساعدة الفئات (من "العبارات" اليونانية) أو الافتراضات. وفي هذه الحالة كان من الأفضل الإشارة إلى خصائص هذه المجموعات.

o تحدد الأعداد غير النسبية قطع ديديكيند في مجموعة الأعداد النسبية التي لا تحتوي على رقم أكبر في الرقم الأدنى ولا تحتوي على رقم أصغر في الرقم العلوي.

o كل عدد متسامى غير عقلاني.

o كل عدد غير نسبي هو إما جبري أو متسامي.

o مجموعة الأرقام كثيفة في كل مكان على خط الأعداد: بين أي منها يوجد رقم غير نسبي.

o المجموعة غير قابلة للعد وهي مجموعة من فئة باير الثانية.

o هذه المجموعة مرتبة، أي أنه لكل رقمين منطقيين مختلفين a وb، يمكنك الإشارة إلى أي منهما أقل من الآخر.
o بين كل رقمين نسبيين مختلفين يوجد آخر على الأقلواحد، وبالتالي مجموعة لا حصر لها من الأعداد النسبية.

س عمليات حسابية(الجمع والضرب والقسمة) على أي رقمين نسبيين ممكنة دائمًا وتؤدي إلى رقم نسبي معين. والاستثناء هو القسمة على صفر، وهو أمر مستحيل.

o يمكن تمثيل كل رقم منطقي على النحو التالي: عدد عشري(دورية محدودة أو لا نهائية).

الأعداد الصحيحة

تعريف الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة موجبة. تُستخدم الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. هذه هي الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
صفر عدد طبيعي؟ لا، الصفر ليس عدداً طبيعياً.
كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة؟ هناك عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ ومن المستحيل تحديد ذلك، لأن هناك عددا لا حصر له من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن، نضيف الأعداد الطبيعية a وb:

حاصل ضرب الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن حاصل ضرب العددين الطبيعيين a وb:

ج هو دائما عدد طبيعي.

الفرق بين الأعداد الطبيعية ليس هناك دائما عدد طبيعي. فإذا كان الطرح أكبر من المطروح فإن الفرق بين الأعداد الطبيعية يكون عددا طبيعيا، وإلا فلا يكون.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية ليس دائمًا عددًا طبيعيًا. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث أن c عدد طبيعي، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b. في هذا المثال، a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، c هو حاصل القسمة.

المقسوم على عدد طبيعي هو عدد طبيعي يقبل به الرقم الأول القسمة على الكل.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على الواحد وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية الأولية لا تقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسها. ونعني هنا الانقسام بالكامل. مثال، أرقام 2؛ 3؛ 5؛ 7 لا يقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسه. هذه أرقام طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددا أوليا.

تسمى الأرقام الأكبر من الواحد وغير الأولية أرقامًا مركبة. أمثلة على الأعداد المركبة:

واحد لا يعتبر رقما مركبا.

مجموعة الأعداد الطبيعية هي واحد الأعداد الأوليةوالأرقام المركبة.

يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N.

خواص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

الخاصية النقابية للإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)؛

الخاصية التبادلية للضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أ ب) ج = أ (قبل الميلاد)؛

خاصية التوزيع للضرب

أ (ب + ج) = أب + أس؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية، الصفر، وأضداد الأعداد الطبيعية.

الأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة أرقام سلبية، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;...

يُشار إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد النسبية هي أعداد صحيحة وكسور.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

يتضح من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري دورته صفر.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي على شكل كسر m/n، حيث m عدد صحيح، نعدد طبيعي. لنتخيل الرقم 3,(6) من المثال السابق على أنه كسر.