عدد عقلاني أو غير عقلاني. الأرقام غير المنطقية: ما هي وفيم تستخدم؟

ما هي الأرقام غير المنطقية؟ لماذا يطلق عليهم ذلك؟ أين يتم استخدامها وما هي؟ قليل من الناس يمكنهم الإجابة على هذه الأسئلة دون تفكير. ولكن في الواقع، فإن الإجابات عليها بسيطة للغاية، على الرغم من أنها ليست ضرورية للجميع وفي حالات نادرة جدًا

الجوهر والتسمية

أرقام غير منطقيةتمثل لا نهائية غير دورية ترجع الحاجة إلى إدخال هذا المفهوم إلى حقيقة أنه لحل المشكلات الناشئة الجديدة، لم تعد المفاهيم الموجودة سابقًا للأعداد الحقيقية أو الحقيقية والأعداد الصحيحة والطبيعية والعقلانية كافية. على سبيل المثال، لحساب الكمية التي تساوي مربع 2، تحتاج إلى استخدام الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية. بالإضافة إلى ذلك، العديد من المعادلات البسيطة ليس لها حل دون تقديم مفهوم العدد غير العقلاني.

يتم الإشارة إلى هذه المجموعة بـ I. وكما هو واضح بالفعل، لا يمكن تمثيل هذه القيم ككسر بسيط، سيكون بسطه عددًا صحيحًا، وسيكون مقامه

ولأول مرة، بطريقة أو بأخرى، واجه علماء الرياضيات الهنود هذه الظاهرة في القرن السابع عندما اكتشفوا أنه لا يمكن الإشارة بوضوح إلى الجذور التربيعية لبعض الكميات. والدليل الأول على وجود مثل هذه الأعداد ينسب إلى فيثاغورس هيباسوس الذي فعل ذلك أثناء دراسة متساوي الساقين مثلث قائم. قدم بعض العلماء الآخرين الذين عاشوا قبل عصرنا مساهمة جدية في دراسة هذه المجموعة. إن إدخال مفهوم الأعداد غير المنطقية يستلزم مراجعة النظام الرياضي الحالي، ولهذا السبب فهي في غاية الأهمية.

أصل الاسم

إذا كانت النسبة المترجمة من اللاتينية هي "كسر"، "نسبة"، فإن البادئة "ir"
يعطي هذه الكلمة المعنى المعاكس. وبالتالي فإن اسم مجموعة هذه الأرقام يشير إلى أنه لا يمكن ربطها بعدد صحيح أو كسر ولها مكان منفصل. وهذا يتبع من جوهرها.

مكان في التصنيف العام

تنتمي الأعداد غير النسبية، إلى جانب الأعداد النسبية، إلى مجموعة الأعداد الحقيقية أو الحقيقية، والتي تنتمي بدورها إلى الأعداد المركبة. لا توجد مجموعات فرعية، ولكن هناك أنواع جبرية ومتعالية، والتي سيتم مناقشتها أدناه.

ملكيات

وبما أن الأعداد غير النسبية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن جميع خصائصها التي يتم دراستها في الحساب (وتسمى أيضًا القوانين الجبرية الأساسية) تنطبق عليها.

أ + ب = ب + أ (التبادلية)؛

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الترابط)؛

أ + (-أ) = 0 (وجود الرقم المقابل)؛

أب = با (القانون التبادلي)؛

(أ ب) ج = أ (ج) (التوزيع)؛

أ(ب+ج) = أب + أس (قانون التوزيع)؛

أ × 1/أ = 1 (وجود رقم مقلوب)؛

تتم المقارنة أيضًا وفقًا لـ الأنماط العامةوالمبادئ:

إذا كان أ > ب و ب > ج، ثم أ > ج (متعدية العلاقة) و. إلخ.

وبطبيعة الحال، يمكن تحويل جميع الأعداد غير النسبية باستخدام العمليات الحسابية الأساسية. لا أحد قواعد خاصةفي نفس الوقت لا.

بالإضافة إلى ذلك، تنطبق بديهية أرخميدس على الأعداد غير النسبية. تنص على أنه بالنسبة لأي كميتين a وb، فمن الصحيح أن نأخذ a كمصطلح كمية كافيةمرات، يمكن تجاوزها ب.

الاستخدام

على الرغم من أنك لا تصادفها كثيرًا في الحياة اليومية، إلا أنه لا يمكن حساب الأعداد غير المنطقية. هناك عدد كبير منهم، لكنهم غير مرئيين تقريبا. الأرقام غير المنطقية موجودة في كل مكان حولنا. من الأمثلة المألوفة لدى الجميع الرقم pi، الذي يساوي 3.1415926...، أو e، وهو في الأساس أساس اللوغاريتم الطبيعي، 2.718281828... في الجبر وعلم المثلثات والهندسة، يجب استخدامها باستمرار. بالمناسبة، معنى مشهور"النسبة الذهبية"، أي نسبة الجزء الأكبر إلى الجزء الأصغر، والعكس أيضًا

ينتمي إلى هذه المجموعة. "الفضة" الأقل شهرة أيضًا.

وهي تقع على خط الأعداد بكثافة شديدة، بحيث أنه بين أي كميتين مصنفتين على أنهما عقلانيتان، من المؤكد أن تحدث كمية غير عقلانية.

لا يزال هناك الكثير من المشكلات التي لم يتم حلها المرتبطة بهذه المجموعة. هناك معايير مثل مقياس اللاعقلانية وطبيعية الرقم. يواصل علماء الرياضيات دراسة أهم الأمثلة لتحديد ما إذا كانوا ينتمون إلى مجموعة أو أخرى. على سبيل المثال، يُعتقد أن e عدد طبيعي، أي أن احتمال ظهور أرقام مختلفة في تدوينه هو نفسه. أما بالنسبة لـ pi، فلا تزال الأبحاث جارية بشأنه. مقياس اللاعقلانية هو قيمة توضح مدى إمكانية تقريب رقم معين بواسطة أرقام منطقية.

جبري ومتعالي

كما ذكرنا سابقًا، يتم تقسيم الأعداد غير المنطقية تقليديًا إلى أعداد جبرية ومتعالية. بشكل مشروط، لأنه، بالمعنى الدقيق للكلمة، يتم استخدام هذا التصنيف لتقسيم المجموعة C.

يخفي هذا التصنيف الأعداد المركبة، والتي تتضمن أرقامًا حقيقية أو حقيقية.

إذن، القيمة الجبرية هي القيمة التي تمثل جذر كثيرة الحدود التي لا تساوي الصفر تمامًا. على سبيل المثال، الجذر التربيعي 2 سيندرج ضمن هذه الفئة لأنه حل للمعادلة x 2 - 2 = 0.

جميع الأعداد الحقيقية الأخرى التي لا تستوفي هذا الشرط تسمى المتسامية. يتضمن هذا التنوع الأمثلة الأكثر شهرة والمذكورة بالفعل - الرقم pi وقاعدة اللوغاريتم الطبيعي e.

ومن المثير للاهتمام أن علماء الرياضيات لم يطوروا هذه الصفة ولا تلك في الأصل بهذه الصفة، وقد ثبت عدم عقلانيتها وتجاوزها بعد سنوات عديدة من اكتشافها. بالنسبة لباي، تم تقديم الدليل في عام 1882 وتم تبسيطه في عام 1894، منهيًا بذلك نقاشًا دام 2500 عام حول مشكلة تربيع الدائرة. لم تتم دراستها بالكامل بعد، لذلك لدى علماء الرياضيات الحديثين ما يجب العمل عليه. بالمناسبة، تم إجراء أول حساب دقيق إلى حد ما لهذه القيمة بواسطة أرخميدس. قبله، كانت جميع الحسابات تقريبية للغاية.

بالنسبة لـ e (رقم أويلر أو نابير)، تم العثور على دليل على سموه في عام 1873. يتم استخدامه في حل المعادلات اللوغاريتمية.

تتضمن الأمثلة الأخرى قيم الجيب وجيب التمام والظل لأي قيمة جبرية غير صفرية.

إن تجريد المفاهيم الرياضية ينبعث في بعض الأحيان من قدر كبير من الانفصال الذي ينشأ عنه الفكر بشكل لا إرادي: "لماذا كل هذا؟" ولكن، على الرغم من الانطباع الأول، فإن جميع النظريات والعمليات الحسابية والوظائف وما إلى ذلك. - لا شيء أكثر من الرغبة في إشباع الحاجات الأساسية. يمكن ملاحظة ذلك بشكل خاص في مثال ظهور مجموعات مختلفة.

بدأ كل شيء بظهور الأعداد الطبيعية. وعلى الرغم من أنه من غير المرجح أن يتمكن أي شخص الآن من الإجابة على مدى دقة ذلك، فمن المرجح أن تنمو أرجل ملكة العلوم من مكان ما في الكهف. هنا، عند تحليل عدد الجلود والأحجار ورجال القبائل، يكون لدى الشخص العديد من "الأرقام التي يجب إحصاؤها". وكان ذلك كافيا بالنسبة له. حتى مرحلة ما، بطبيعة الحال.

ثم كان لا بد من تقسيم الجلود والحجارة وإزالتها. هكذا نشأت الحاجة إلى العمليات الحسابية، ومعها العمليات العقلانية، والتي يمكن تعريفها على أنها كسر مثل m/n، حيث، على سبيل المثال، m هو عدد الجلود، وn هو عدد رجال القبائل.

يبدو أن الجهاز الرياضي المكتشف بالفعل يكفي للاستمتاع بالحياة. ولكن سرعان ما اتضح أن هناك حالات عندما لا تكون النتيجة عددًا صحيحًا فحسب، بل ليست حتى جزءًا! وفي الواقع، لا يمكن التعبير عن الجذر التربيعي لاثنين بأي طريقة أخرى باستخدام البسط والمقام. أو على سبيل المثال، الرقم الشهير Pi، الذي اكتشفه العالم اليوناني القديم أرخميدس، ليس عقلانيًا أيضًا. ومع مرور الوقت، أصبحت هذه الاكتشافات عديدة جدًا لدرجة أن جميع الأرقام التي لا يمكن "ترشيدها" تم دمجها ووصفها بأنها غير عقلانية.

ملكيات

تنتمي المجموعات التي تم تناولها سابقًا إلى مجموعة من المفاهيم الأساسية للرياضيات. وهذا يعني أنه لا يمكن تعريفها من خلال كائنات رياضية أبسط. ولكن يمكن القيام بذلك بمساعدة الفئات (من "العبارات" اليونانية) أو الافتراضات. وفي هذه الحالة كان من الأفضل الإشارة إلى خصائص هذه المجموعات.

o تحدد الأعداد غير النسبية قطع ديديكيند في مجموعة الأعداد النسبية التي لا تحتوي على رقم أكبر في الرقم الأدنى ولا تحتوي على رقم أصغر في الرقم العلوي.

o كل عدد متسامى غير عقلاني.

o كل عدد غير نسبي هو إما جبري أو متسامي.

o مجموعة الأرقام كثيفة في كل مكان على خط الأعداد: بين أي منها يوجد رقم غير نسبي.

o المجموعة غير قابلة للعد وهي مجموعة من فئة باير الثانية.

o هذه المجموعة مرتبة، أي أنه لكل رقمين منطقيين مختلفين a وb، يمكنك الإشارة إلى أي منهما أقل من الآخر.
o بين كل رقمين نسبيين مختلفين يوجد آخر على الأقلواحد، وبالتالي مجموعة لا حصر لها من الأعداد النسبية.

س عمليات حسابية(الجمع والضرب والقسمة) على أي رقمين نسبيين ممكنة دائمًا وتؤدي إلى رقم نسبي معين. والاستثناء هو القسمة على صفر، وهو أمر مستحيل.

o يمكن تمثيل كل رقم منطقي على النحو التالي: عدد عشري(دورية محدودة أو لا نهائية).

رقم منطقي- رقم يمثله كسر عادي m/n، حيث البسط m عدد صحيح، والمقام n عدد طبيعي. يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر عشري دوري لا نهائي. يُشار إلى مجموعة الأعداد العقلانية بالرمز Q.

إذا كان العدد الحقيقي غير نسبي، فهو كذلك عدد غير نسبي. الكسور العشرية التي تعبر عن أرقام غير منطقية هي لا نهائية وغير دورية. يُشار عادةً إلى مجموعة الأرقام غير النسبية بالحرف الكبير I.

يتم استدعاء رقم حقيقي جبري، إذا كان جذرًا لبعض كثيرات الحدود (درجة غير الصفر) ذات معاملات عقلانية. يتم استدعاء أي رقم غير جبري متسام.

بعض الخصائص:

توجد مجموعة الأعداد النسبية في كل مكان بكثافة على محور الأعداد: بين أي رقمين نسبيين مختلفين يوجد رقم نسبي واحد على الأقل (وبالتالي مجموعة لا حصر لها من الأعداد النسبية). ومع ذلك، اتضح أن مجموعة الأعداد النسبية Q ومجموعة الأعداد الطبيعية N متكافئة، أي أنه يمكن إنشاء مراسلات واحد لواحد بينهما (يمكن إعادة ترقيم جميع عناصر مجموعة الأعداد النسبية) .

يتم إغلاق مجموعة Q من الأرقام العقلانية تحت الجمع والطرح والضرب والقسمة، أي أن المجموع والفرق والمنتج وحاصل رقمين منطقيين هي أيضًا أرقام منطقية.

جميع الأعداد النسبية جبرية (والعكس خطأ).

كل عدد متسامي حقيقي غير منطقي.

كل عدد غير نسبي هو إما جبري أو متسامي.

مجموعة الأعداد غير النسبية كثيفة في كل مكان على خط الأعداد: بين أي رقمين يوجد رقم غير نسبي (وبالتالي مجموعة لا حصر لها من الأعداد غير النسبية).

مجموعة الأعداد غير المنطقية غير قابلة للعد.

عند حل المشكلات، من الملائم، إلى جانب العدد غير النسبي a + b√ c (حيث a، b أرقام نسبية، وc عدد صحيح ليس مربعًا لعدد طبيعي)، أن نأخذ في الاعتبار الرقم "المرافق" a – ب√ج: مجموعها وحاصل ضربها بالأعداد النسبية الأصلية. إذًا a + b√ c وa – b√ c هما جذور معادلة من الدرجة الثانيةمع معاملات صحيحة.

مشاكل مع الحلول

1. أثبت ذلك

أ) الرقم √ 7؛

ب) السجل رقم 80؛

ج) العدد √ 2 + 3 √ 3؛

غير عقلاني.

أ) لنفترض أن العدد √ 7 عدد نسبي. ثم هناك coprime p و q بحيث √ 7 = p/q، ومن هنا نحصل على p 2 = 7q 2 . بما أن p وq أوليان نسبيًا، فإن p 2، وبالتالي p يقبل القسمة على 7. ثم p = 7k، حيث k هو عدد طبيعي ما. وبالتالي q 2 = 7k 2 = pk، وهو ما يتناقض مع حقيقة أن p و q هما coprime.

إذن، الافتراض خاطئ، مما يعني أن الرقم √ 7 غير نسبي.

ب) لنفترض أن الرقم log 80 عدد نسبي. ثم هناك p وq طبيعيان بحيث يكون log 80 = p/q، أو 10 p = 80 q، ومنه نحصل على 2 p–4q = 5 q–p. بالنظر إلى أن الرقمين 2 و5 أوليان نسبيًا، نجد أن المساواة الأخيرة ممكنة فقط بالنسبة لـ p–4q = 0 وq–p = 0. ومن هنا p = q = 0، وهو أمر مستحيل، حيث يتم اختيار p وq أن تكون طبيعية.

إذن، الافتراض خاطئ، مما يعني أن الرقم lg 80 غير نسبي.

ج) دعونا نشير إلى هذا الرقم بـ x.

ثم (x – √ 2) 3 = 3، أو x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). وبعد تربيع هذه المعادلة نجد أن x يجب أن تحقق المعادلة

س 6 - 6س 4 - 6س 3 + 12س 2 - 36س + 1 = 0.

جذورها العقلانية يمكن أن تكون فقط الأرقام 1 و -1. يُظهر الفحص أن 1 و-1 ليسا جذورًا.

إذن، العدد المعطى √ 2 + 3 √ 3 ​​غير نسبي.

2. من المعروف أن الأعداد أ، ب، √أ –√ب،- عاقِل. اثبت ذلك √أ و √بهي أيضا أرقام عقلانية.

دعونا نلقي نظرة على العمل

(√ أ – √ ب)·(√ أ + √ ب) = أ – ب.

رقم √أ +√ب،وهي تساوي نسبة الأرقام أ - ب و √أ –√ب،عدد نسبي، لأن حاصل قسمة عددين نسبيين هو عدد نسبي. مجموع رقمين عقلانيين

½ (√ أ + √ ب) + ½ (√ أ – √ ب) = √ أ

- عدد الرشيد، الفرق بينهما،

½ (√ أ + √ ب) – ½ (√ أ – √ ب) = √ ب,

وهو أيضًا عدد نسبي، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

3. أثبت أن هناك أعدادًا غير نسبية موجبة a وb حيث أن الرقم a b هو عدد طبيعي.

4. هل هناك أرقام نسبية أ، ب، ج، د تحقق المساواة

(أ + ب √ 2 ) 2n + (ج + د√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

حيث n هو عدد طبيعي؟

إذا تحققت المساواة المعطاة في الشرط، وكانت الأعداد a، b، c، d نسبية، فإن المساواة تتحقق أيضًا:

(أ-ب √ 2 ) 2n + (ج – د√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

لكن 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. التناقض الناتج يثبت أن المساواة الأصلية مستحيلة.

الجواب: لا وجود لهم.

5. إذا كانت القطع ذات الأطوال a، b، c تشكل مثلثًا، فإن n لكل شيء = 2، 3، 4، . . . المقاطع ذات الأطوال n √ a، n √ b، n √ c تشكل أيضًا مثلثًا. اثبت ذلك.

إذا كانت الأجزاء ذات الأطوال a، b، c تشكل مثلثًا، فإن متباينة المثلث تعطينا

لذلك لدينا

(ن √ أ + ن √ ب) ن > أ + ب > ج = (ن √ ج) ن,

ن √ أ + ن √ ب > ن √ ج.

يتم النظر بالمثل في باقي حالات التحقق من متباينة المثلث، والتي يتبعها الاستنتاج.

6. أثبت أن الكسر العشري اللانهائي هو 0.1234567891011121314... (بعد العلامة العشرية، الكل الأعداد الصحيحةبالترتيب) هو عدد غير منطقي.

كما تعلم، يتم التعبير عن الأرقام العقلانية على شكل كسور عشرية لها فترة تبدأ من علامة معينة. ولذلك يكفي إثبات أن هذا الكسر ليس دوريا في أي إشارة. لنفترض أن هذا ليس هو الحال، وأن بعض التسلسلات T المكونة من أرقام n هي فترة الكسر، بدءًا من العلامة العشرية m. من الواضح أنه من بين الأرقام التي بعد علامة m-th هناك أرقام غير صفرية، وبالتالي يوجد رقم غير صفري في تسلسل الأرقام T. هذا يعني أنه بدءًا من الرقم mth بعد العلامة العشرية، من بين أي أرقام n في الصف يوجد رقم غير الصفر. ومع ذلك، يجب أن يحتوي التدوين العشري لهذا الكسر على التدوين العشري للرقم 100...0 = 10 k، حيث k > m و k > n. من الواضح أن هذا الإدخال يقع على يمين الرقم m ويحتوي على أكثر من n من الأصفار على التوالي. وبذلك نحصل على التناقض الذي يكمل الدليل.

7. بالنظر إلى كسر عشري لا نهائي 0,a 1 a 2 ... . أثبت أن الأرقام الموجودة في تدوينها العشري يمكن إعادة ترتيبها بحيث يعبر الكسر الناتج عن رقم نسبي.

تذكر أن الكسر يعبر عن رقم نسبي إذا وفقط إذا كان دوريًا، بدءًا من علامة معينة. سنقوم بتقسيم الأعداد من 0 إلى 9 إلى فئتين: في الدرجة الأولى نقوم بتضمين تلك الأرقام التي تظهر في الكسر الأصلي عدداً لا نهائياً من المرات، في الدرجة الثانية نقوم بتضمين تلك الأرقام التي تظهر في الكسر الأصلي عدداً لا نهائياً من مرات. لنبدأ بكتابة الكسر الدوري الذي يمكن الحصول عليه من الأصل عن طريق إعادة ترتيب الأرقام. أولاً، بعد الصفر والفاصلة، نكتب جميع الأرقام من الدرجة الأولى بترتيب عشوائي - كل منها عدة مرات كما تظهر في تدوين الكسر الأصلي. أرقام الدرجة الأولى المسجلة سوف تسبق الفترة في الجزء الكسري من العلامة العشرية. بعد ذلك، دعونا نكتب الأرقام من الصف الثاني واحدًا تلو الآخر وبترتيب ما. وسوف نعلن أن هذا الجمع هو فترة ونكرره عدد لا نهائي من المرات. وهكذا، قمنا بكتابة الكسر الدوري المطلوب الذي يعبر عن رقم نسبي معين.

8. أثبت أنه في كل كسر عشري لا نهائي يوجد سلسلة من المنازل العشرية ذات الطول التعسفي، والتي تحدث عدة مرات بلا حدود في تحلل الكسر.

دع m يكون رقمًا طبيعيًا بشكل تعسفي. دعونا نقسم هذا الكسر العشري اللانهائي إلى أجزاء تحتوي كل منها على أرقام m. سيكون هناك عدد لا حصر له من هذه القطاعات. على الجانب الآخر، أنظمة مختلفةيتكون من أرقام m، ولا يوجد سوى 10 m، أي عدد منتهٍ. وبالتالي، يجب تكرار واحد على الأقل من هذه الأنظمة هنا عدة مرات بلا حدود.

تعليق. للأعداد غير النسبية √ 2، π أو هنحن لا نعرف حتى أي رقم يتكرر بشكل لا نهائي عدة مرات في الكسور العشرية اللانهائية التي تمثلها، على الرغم من أنه يمكن بسهولة إثبات أن كل رقم من هذه الأرقام يحتوي على رقمين مختلفين على الأقل.

9. أثبت بطريقة أولية أن الجذر الموجب للمعادلة

غير عقلاني.

ل س> 0 الجهه اليسرىالمعادلة تزداد مع x، ومن السهل أن نرى أنه عند x = 1.5 يكون أقل من 10، وعند x = 1.6 يكون أكثر من 10. لذلك، فإن الجذر الموجب الوحيد للمعادلة يقع داخل الفترة (1.5؛ 1.6) ).

دعونا نكتب الجذر في صورة كسر غير قابل للاختزال p/q، حيث p وq عبارة عن أعداد طبيعية أولية نسبيًا. ثم عند x = p/q ستأخذ المعادلة الشكل التالي:

ص 5 + بك 4 = 10ف 5،

ويترتب على ذلك أن p هو المقسوم على 10، وبالتالي، p يساوي أحد الأرقام 1، 2، 5، 10. ومع ذلك، عند كتابة الكسور ذات البسط 1، 2، 5، 10، نلاحظ على الفور أن ولا يقع أي منها داخل الفاصل الزمني (1.5؛ 1.6).

لذا، لا يمكن تمثيل الجذر الموجب للمعادلة الأصلية على هذا النحو جزء مشتركمما يعني أنه عدد غير نسبي.

10. أ) هل توجد ثلاث نقاط A وB وC على المستوى بحيث يكون طول أي نقطة X على الأقل من القطع XA وXB وXC غير منطقي؟

ب) إحداثيات رؤوس المثلث نسبية. أثبت أن إحداثيات مركز دائرتها المحيطة عقلانية أيضًا.

ج) هل توجد مثل هذه الكرة التي توجد فيها نقطة عقلانية واحدة بالضبط؟ (النقطة المنطقية هي النقطة التي تكون فيها الإحداثيات الديكارتية الثلاثة أرقامًا منطقية.)

أ) نعم، هي موجودة. دع C تكون نقطة منتصف القطعة AB. ثم XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. إذا كان الرقم AB 2 غير نسبي، فإن الأرقام XA وXB وXC لا يمكن أن تكون نسبية في نفس الوقت.

ب) لتكن (أ 1 ؛ ب 1) و (أ 2 ؛ ب 2) و (أ 3 ؛ ب 3) إحداثيات رؤوس المثلث. يتم إعطاء إحداثيات مركز دائرتها المحددة بواسطة نظام المعادلات:

(س – أ 1) 2 + (ص – ب 1) 2 = (س – أ 2) 2 + (ص – ب 2) 2،

(س – أ 1) 2 + (ص – ب 1) 2 = (س – أ 3) 2 + (ص – ب 3) 2.

ومن السهل التحقق من أن هذه المعادلات خطية، مما يعني أن حل نظام المعادلات قيد النظر عقلاني.

ج) مثل هذا المجال موجود. على سبيل المثال، المجال مع المعادلة

(س – √ 2 ) 2 + ص 2 + ض 2 = 2.

النقطة O ذات الإحداثيات (0؛ 0؛ 0) هي نقطة منطقية تقع على هذه الكرة. النقاط المتبقية من الكرة غير عقلانية. دعونا نثبت ذلك.

لنفترض العكس: لنفترض أن (x; y; z) نقطة منطقية للكرة، مختلفة عن النقطة O. ومن الواضح أن x تختلف عن 0، لأنه بالنسبة لـ x = 0 هناك القرار الوحيد(0; 0; 0)، وهو ما لا يهمنا الآن. دعونا نفتح الأقواس ونعبر عن √ 2:

س 2 – 2√ 2 س + 2 + ص 2 + ض 2 = 2

√ 2 = (س 2 + ص 2 + ض 2)/(2س)،

والذي لا يمكن أن يحدث مع العقلاني x، y، z وغير العقلاني √ 2. لذا، O(0; 0; 0) هي النقطة المنطقية الوحيدة في الكرة قيد النظر.

مشاكل بدون حلول

1. إثبات أن الرقم

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

غير عقلاني.

2. ما هي الأعداد الصحيحة m و n التي تنطبق عليها المساواة (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n؟

3. هل يوجد رقم بحيث تكون الأرقام a – √ 3 و 1/a + √ 3 أعدادًا صحيحة؟

4. هل يمكن للأرقام 1، √ 2، 4 أن تكون أعضاء (ليست بالضرورة متجاورة) في متوالية حسابية؟

5. أثبت أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي n، فإن المعادلة (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 ليس لها حلول في الأعداد النسبية (x; y).

تعريف العدد غير العقلاني

الأرقام غير المنطقية هي تلك الأرقام التي تمثل في التدوين العشري كسورًا عشرية غير دورية لا نهاية لها.

لذلك، على سبيل المثال، الأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق أخذ الجذر التربيعي للأعداد الطبيعية هي أرقام غير منطقية وليست مربعات للأعداد الطبيعية. ولكن لا يتم الحصول على جميع الأرقام غير المنطقية عن طريق الاستخراج الجذور التربيعيةلأن الرقم "pi" الذي تم الحصول عليه عن طريق القسمة هو أيضًا غير منطقي، ومن غير المرجح أن تحصل عليه عند محاولة استخراج الجذر التربيعي لعدد طبيعي.

خصائص الأعداد غير النسبية

على عكس الأرقام المكتوبة ككسور عشرية لا نهائية، فإن الأعداد غير النسبية فقط هي التي تكتب ككسور عشرية لا نهائية غير دورية.
مجموع رقمين غير نسبيين غير سالبين يمكن أن يصبح في النهاية رقمًا نسبيًا.
تحدد الأرقام غير العقلانية أقسام Dedekind في مجموعة الأرقام العقلانية، في الطبقة الدنيا التي لا تحتوي على عدد كبيروفي العلوي ليس أقل.
أي عدد متسامي حقيقي هو غير منطقي.
جميع الأعداد غير النسبية إما جبرية أو متسامية.
مجموعة الأعداد غير النسبية الموجودة على خط ما تقع في مكان كثيف، ومن المؤكد أن يكون هناك عدد غير نسبي بين أي رقمين منها.
مجموعة الأعداد غير المنطقية لا نهائية وغير قابلة للعد وهي مجموعة من الفئة الثانية.
عند إجراء أي عملية حسابية على الأعداد النسبية، باستثناء القسمة على 0، ستكون النتيجة عددًا نسبيًا.
عند إضافة رقم نسبي إلى رقم غير نسبي، تكون النتيجة دائمًا رقمًا غير نسبي.
عند جمع أرقام غير نسبية، يمكن أن نحصل في النهاية على رقم نسبي.
مجموعة الأعداد غير المنطقية ليست زوجية.

الأرقام ليست غير عقلانية

في بعض الأحيان يكون من الصعب جدًا الإجابة على سؤال ما إذا كان الرقم غير نسبي، خاصة في الحالات التي يكون فيها الرقم على شكل كسر عشري أو على شكل تعبير رقمي أو جذر أو لوغاريتم.

لذلك، لن يكون من غير الضروري معرفة الأرقام غير المنطقية. إذا اتبعنا تعريف الأعداد غير النسبية، فإننا نعلم بالفعل أن الأعداد النسبية لا يمكن أن تكون غير منطقية.

الأعداد غير المنطقية ليست:

أولًا، جميع الأعداد الطبيعية؛
ثانياً، الأعداد الصحيحة؛
ثالثا، الكسور العادية؛
رابعا، الأعداد الكسرية المتنوعة؛
خامسًا، هذه كسور عشرية دورية لا حصر لها.

بالإضافة إلى كل ما سبق، لا يمكن أن يكون العدد غير النسبي أي مجموعة من الأعداد النسبية التي تتم بواسطة إشارات العمليات الحسابية، مثل +، -،، :، حيث أنه في هذه الحالة ستكون نتيجة الرقمين النسبيين أيضًا عدد عقلاني.

الآن دعونا نرى ما هي الأرقام غير المنطقية:

هل تعلم بوجود نادي المعجبين حيث يبحث عشاق هذه الظاهرة الرياضية الغامضة عن المزيد والمزيد من المعلومات حول Pi، محاولين كشف سرها؟ يمكن لأي شخص يحفظ عددًا معينًا من أرقام Pi بعد العلامة العشرية أن يصبح عضوًا في هذا النادي؛

هل تعلم أنه يوجد في ألمانيا، تحت حماية اليونسكو، قصر Castadel Monte، الذي بفضل نسبه يمكنك حساب Pi. وخصص الملك فريدريك الثاني القصر بأكمله لهذا الرقم.

اتضح أنهم حاولوا استخدام الرقم Pi في بناء برج بابل. لكن لسوء الحظ، أدى ذلك إلى انهيار المشروع، لأنه في ذلك الوقت لم تتم دراسة الحساب الدقيق لقيمة Pi بشكل كافٍ.

سجلت المغنية كيت بوش في قرصها الجديد أغنية بعنوان "Pi" فيها مائة وأربعة وعشرون رقما من الأغنية الشهيرة سلسلة أرقام 3, 141…..

توفر المواد الواردة في هذه المقالة معلومات أولية عنها أرقام غير منطقية. أولاً سنقدم تعريف الأعداد غير النسبية ونشرحها. فيما يلي نعطي أمثلة على الأعداد غير المنطقية. أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بعض الطرق لمعرفة ما إذا كان رقم معين غير نسبي أم لا.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الأعداد غير النسبية

عند دراسة الكسور العشرية، أخذنا في الاعتبار بشكل منفصل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية. تنشأ مثل هذه الكسور عند قياس الأطوال العشرية للمقاطع التي لا يمكن قياسها مع قطعة الوحدة. لاحظنا أيضًا أنه لا يمكن تحويل الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية إلى كسور عادية (انظر تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية والعكس)، وبالتالي فإن هذه الأرقام ليست أرقامًا نسبية، فهي تمثل ما يسمى بالأرقام غير المنطقية.

لذلك نأتي إلى تعريف الأعداد غير النسبية.

تعريف.

تسمى الأرقام التي تمثل كسورًا عشرية غير دورية لا نهائية بالتدوين العشري أرقام غير منطقية.

التعريف الصوتي يسمح لنا أن نعطي أمثلة على الأعداد غير المنطقية. على سبيل المثال، الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 4.10110011100011110000... (يزداد عدد الآحاد والأصفار بمقدار واحد في كل مرة) هو رقم غير منطقي. لنعطي مثالاً آخر لعدد غير نسبي: −22.353335333335... (عدد الثلاثات التي تفصل بين الثمانية يزداد بمقدار اثنين في كل مرة).

تجدر الإشارة إلى أن الأرقام غير المنطقية نادرًا ما توجد في شكل كسور عشرية غير دورية لا نهاية لها. وعادة ما يتم العثور عليها في النموذج وما إلى ذلك، وكذلك في شكل رسائل تم إدخالها خصيصًا. وأشهر الأمثلة على الأعداد غير النسبية في هذا الترميز هي الجذر التربيعي الحسابي لاثنين، والرقم "باي" π=3.141592...، والرقم e=2.718281... و الرقم الذهبي.

يمكن أيضًا تعريف الأعداد غير المنطقية من خلال الأعداد الحقيقية، التي تجمع بين الأعداد النسبية وغير المنطقية.

تعريف.

أرقام غير منطقيةهي أعداد حقيقية وليست أعدادا عقلانية.

هل هذا الرقم غير منطقي؟

عندما يتم تقديم رقم ليس ككسر عشري، ولكن كجذر أو لوغاريتم وما إلى ذلك، فإن الإجابة على سؤال ما إذا كان غير عقلاني أمر صعب للغاية في كثير من الحالات.

مما لا شك فيه أنه عند الإجابة على السؤال المطروح، من المفيد جدًا معرفة الأعداد غير المنطقية. ويترتب على تعريف الأعداد غير النسبية أن الأعداد غير النسبية ليست أرقامًا منطقية. وبالتالي، فإن الأعداد غير المنطقية ليست:

• الكسور العشرية الدورية المحدودة وغير المحدودة.

كما أن أي تركيبة من الأعداد النسبية المرتبطة بإشارات العمليات الحسابية (+، −، ·، :) ليست عددًا غير نسبي. وذلك لأن المجموع والفرق والحاصل وحاصل رقمين نسبيين هو عدد نسبي. على سبيل المثال، قيم التعبيرات هي أرقام عقلانية. نلاحظ هنا أنه إذا كانت هذه التعبيرات تحتوي على رقم غير نسبي واحد بين الأعداد النسبية، فإن قيمة التعبير بأكمله ستكون رقمًا غير نسبي. على سبيل المثال، في التعبير، الرقم غير نسبي، والأرقام المتبقية نسبية، وبالتالي فهو رقم غير نسبي. ولو كان عدداً رشيداً لتبعه رشيد العدد، لكنه ليس عدداً رشيداً.

إذا كان التعبير الذي يحدد الرقم يحتوي على عدة أرقام غير نسبية، وعلامات الجذر، واللوغاريتمات، الدوال المثلثية، الأرقام π، e، وما إلى ذلك، فمن المطلوب إثبات عدم عقلانية أو عقلانية رقم معين في كل منها حالة محددة. ومع ذلك، هناك عدد من النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل والتي يمكن استخدامها. دعونا ندرج أهمها.

لقد ثبت أن الجذر رقم k لعدد صحيح هو رقم نسبي فقط إذا كان الرقم الموجود تحت الجذر هو القوة k لعدد صحيح آخر؛ وفي حالات أخرى، يحدد هذا الجذر رقمًا غير نسبي. على سبيل المثال، الأعداد و غير نسبية، إذ لا يوجد عدد صحيح مربعه 7، ولا يوجد عدد صحيح رفعه إلى القوة الخامسة يعطي العدد 15. والأرقام ليست غير عقلانية، منذ و .

أما اللوغاريتمات فمن الممكن في بعض الأحيان إثبات عدم عقلانيتها باستخدام طريقة التناقض. على سبيل المثال، دعونا نثبت أن السجل 2 3 هو عدد غير نسبي.

لنفترض أن log 2 3 هو عدد نسبي، وليس عددًا غير نسبي، أي أنه يمكن تمثيله ككسر عادي m/n. واسمح لنا بكتابة سلسلة المساواة التالية: . المساواة الأخيرة مستحيلة، لأنه على جانبها الأيسر عدد فرديوعلى الجانب الأيمن – حتى. وبذلك وصلنا إلى تناقض، مما يعني أن افتراضنا تبين أنه غير صحيح، وهذا يثبت أن log 2 3 هو عدد غير نسبي.

لاحظ أن lna لأي عدد موجب وغير نسبي واحد a هو عدد غير نسبي. على سبيل المثال، و هي أرقام غير عقلانية.

وثبت أيضًا أن الرقم e a لأي عدد غير صفري a غير نسبي، وأن الرقم π z لأي عدد صحيح غير صفر z هو غير نسبي. على سبيل المثال، الأرقام غير عقلانية.

الأعداد غير النسبية هي أيضًا الدوال المثلثية sin وcos وtg وctg لأي قيمة نسبية وغير صفرية للوسيطة. على سبيل المثال، sin1 , tan(−4) , cos5,7 هي أرقام غير منطقية.

هناك نتائج أخرى مثبتة، لكننا سنقتصر على تلك المذكورة بالفعل. وينبغي أن يقال أيضا أنه عند إثبات النتائج المذكورة أعلاه، فإن النظرية المرتبطة بها الأعداد الجبريةو أرقام متعالية.

في الختام، نلاحظ أنه لا ينبغي لنا أن نتوصل إلى استنتاجات متسرعة بشأن عدم عقلانية الأرقام المعطاة. على سبيل المثال، يبدو من الواضح أن العدد غير العقلاني إلى درجة غير عقلانية هو عدد غير عقلاني. ومع ذلك، هذا ليس هو الحال دائما. ولتأكيد الحقيقة المذكورة، نقدم الدرجة. ومعلوم أن - عدد غير نسبي، وقد ثبت أيضاً أن - عدد غير نسبي، ولكنه عدد نسبي. يمكنك أيضًا إعطاء أمثلة على الأعداد غير النسبية، والتي يكون مجموعها وفرقها وحاصل ضربها وحاصلها أرقامًا منطقية. علاوة على ذلك، فإن عقلانية أو عدم عقلانية الأرقام π+e، π−e، π·e، π π، π e والعديد من الأرقام الأخرى لم يتم إثباتها بعد.

فهرس.

• الرياضيات.الصف السادس: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [ن. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22، المراجعة. - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.