Kuidas teha kindlaks, kas sirged ristuvad. Joonte suhteline asukoht ruumis

Oi-oi-oi-oi... no see on karm, nagu loeks ta endale lauset ette =) Küll aga aitab hiljem lõõgastumisest, seda enam, et täna ostsin vastavad tarvikud. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirge suhteline asukoht

Seda siis, kui publik laulab kooris kaasa. Kaks sirgjoont võivad:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Palun pea meeles matemaatiline märk ristmikel, juhtub seda väga sageli. Tähistus tähendab, et sirge lõikub joonega punktis .

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas arv “lambda”, mille puhul võrdsused on täidetud

Vaatleme sirgeid ja loome vastavatest koefitsientidest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage –1-ga (muuda märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid 2 võrra lõigates saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid on võrdelised: , Aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on üsna ilmne, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed st “lambda” väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saate kasutada äsja käsitletud lahendusskeemi. Muide, see meenutab väga vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmi, mida me klassis vaatasime Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektorite alused. Kuid on ka tsiviliseeritud pakend:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule siltidega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgivad edasi, otse Kashchei Surematu juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on paralleelsed või langevad kokku. Siin ei ole vaja determinanti kokku lugeda.

On ilmne, et tundmatute koefitsiendid on proportsionaalsed ja .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame nende vektorite koordinaatidest koosneva determinandi:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või kattuvad.

Proportsionaalsuskoefitsienti “lambda” on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab see võrrand(Üldiselt rahuldab seda iga number).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Üsna pea õpite (või isegi olete juba õppinud) suuliselt arutatud probleemi mõne sekundiga sõna otseses mõttes lahendama. Sellega seoses ei näe ma mõtet millegi eest pakkuda sõltumatu otsus, on parem panna geomeetrilisse vundamendisse veel üks oluline tellis:

Kuidas konstrueerida antud sirgega paralleelset sirget?

Selle teadmatuse pärast lihtsaim ülesanne Röövli ööbik karistab karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistame tundmatut rida tähega . Mida seisund tema kohta ütleb? Sirge läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmne, et sirge “tse” suunavektor sobib ka sirge “de” konstrueerimiseks.

Me võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Näite geomeetria näeb välja lihtne:

Analüütiline testimine koosneb järgmised sammud:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Enamikul juhtudel saab analüütilist testimist hõlpsasti läbi viia suuliselt. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti ilma jooniseta joonte paralleelsuse kindlaks.

Tänapäeva iseseisvate lahenduste näited on loomingulised. Sest peate ikkagi võistlema Baba Yagaga ja teate, ta on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Selle lahendamiseks on ratsionaalne ja mitte nii ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Töötasime veidi paralleelsete joontega ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühttuvate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega vaatleme teile tuttavat probleemi kooli õppekava:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Palun geomeetriline tähendus süsteemid kahest lineaarvõrrandid kahe tundmatuga- need on kaks tasapinnal ristuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline meetod on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igas sirge võrrandis asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Sisuliselt vaatasime graafilist lahendust lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi ei ole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise loomine võtab aega. Lisaks ei ole mõnda sirget nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib asuda kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminikaupa liitmise meetodit. Asjakohaste oskuste arendamiseks võtke õppetund Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?

Vastus:

Kontroll on triviaalne – lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesanne on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage üles sirge võrrand.
2) Kirjutage üles sirge võrrand.
3) Selgitage välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täislahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Enne tunni teise osasse jõudmist polnud isegi kingapaar kulunud:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Sirgete vaheline nurk

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime sellega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas konstrueerida antud sirgega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand, mis on risti läbiva joonega.

Lahendus: Tingimuste järgi on teada, et . Oleks tore leida joone suunav vektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Vastus:

Laiendame geomeetrilist visandit:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Võtame võrranditest välja suunavektorid ja abiga vektorite skalaarkorrutis jõuame järeldusele, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Testi on jällegi lihtne suuliselt sooritada.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja periood.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on lahendust mugav sõnastada punkt-punkti haaval.

Meie põnev teekond jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikuda mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Traditsiooniliselt tähistatakse geomeetrias kaugust Kreeka kiri“ro”, näiteks: – kaugus punktist “em” sirgjooneni “de”.

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused läbi viia:

Vastus:

Teeme joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui koostate ruudulisele paberile joonise skaalal 1 ühikut. = 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Vaatleme teist ülesannet, mis põhineb samal joonisel:

Ülesandeks on leida punktiga, mis on sirge suhtes sümmeetriline, koordinaadid . Soovitan toimingud ise läbi viia, kuid toon välja vahetulemustega lahendusalgoritmi:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskpunkti koordinaatide valemid leiame.

Tasub kontrollida, et vahemaa oleks ka 2,2 ühikut.

Siin võib arvutamisel tekkida raskusi, kuid tornis on suureks abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen teile korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide, mille saate ise otsustada. Annan teile väikese vihje: selle lahendamiseks on lõputult palju viise. Aruanne tunni lõpus, kuid parem on proovida ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi arenenud.

Nurk kahe sirge vahel

Iga nurk on lengiks:


Geomeetrias võetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks VÄIKSEM nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka lõikuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja tema "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud"vaarika" nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on nurga "kerimise" suund põhimõtteliselt oluline. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma sulle seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurga mõistega saame hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, võib see kergesti välja tulla negatiivne tulemus, ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel negatiivse nurga puhul märkige kindlasti selle suund noolega (päripäeva).

Kuidas leida nurk kahe sirge vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus Ja Meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on määratletud võrranditega üldkujul:

Kui sirge mitte risti, See orienteeritud Nende vahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörakem hoolikalt tähelepanu nimetajale – see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavad vektorid:

Kui , siis on valemi nimetaja null ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti sõnastuses reservatsioon sirgjoonte mitteperpendikulaarsuse suhtes.

Eeltoodust lähtuvalt on mugav lahendus vormistada kahes etapis:

1) Arvutame skalaarkorrutis sirgjoonte suunavad vektorid:
, mis tähendab, et jooned ei ole risti.

2) Leidke sirgjoonte vaheline nurk valemi abil:

Kasutades pöördfunktsiooni, on nurga enda leidmine lihtne. Sel juhul kasutame arctangensi veidrust (vt. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Vastuses märgime nii täpse väärtuse kui ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides), mis arvutatakse kalkulaatori abil.

Noh, miinus, miinus, pole suurt probleemi. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesandepüstituses on esimene number sirge ja nurga “lahti keeramine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist , ja võta koefitsiendid esimesest võrrandist. Lühidalt, peate alustama otsest .

Sellega Interneti-kalkulaator saate leida tasapinna sirgete lõikepunkti. Antud üksikasjalik lahendus selgitustega. Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks määrake joonte võrrandi tüüp ("kanooniline", "parameetriline" või "üldine"), sisestage lahtritesse joonte võrrandite koefitsiendid ja klõpsake nuppu "Lahenda". " nuppu. Vaata teoreetilist osa ja numbrilisi näiteid allpool.

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täisarvud või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Tasapinna sirgete lõikepunkt - teooria, näited ja lahendused

1. Üldkujul antud sirgete lõikepunkt.

Oxy L 1 ja L 2:

Koostame laiendatud maatriksi:

Kui B" 2 = 0 ja KOOS" 2 =0, siis on lineaarvõrrandisüsteemil palju lahendeid. Seetõttu otse L 1 ja L 2 vastet. Kui B" 2 = 0 ja KOOS" 2 ≠0, siis on süsteem ebajärjekindel ja seetõttu on sirged paralleelsed ja neil puudub ühine punkt. Kui B" 2 ≠0, siis on lineaarvõrrandisüsteemil ainulaadne lahendus. Teisest võrrandist leiame y: y=KOOS" 2 /B" 2 ja asendades saadud väärtuse esimese võrrandiga, mille leiame x: x=−KOOS 1 −B 1 y. Saime sirgete lõikepunkti L 1 ja L 2: M(x, y).

2. Kanoonilisel kujul antud sirgete lõikepunkt.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy ja olgu antud koordinaatsüsteemis sirged L 1 ja L 2:

Avame sulud ja teeme teisendusi:

Sarnast meetodit kasutades saame sirge (7) üldvõrrandi:

Võrrandist (12) järeldub:

Seda, kuidas kanoonilisel kujul antud sirgete lõikepunkti leida, on kirjeldatud eespool.

4. Erinevates vaadetes määratud joonte lõikepunkt.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy ja olgu antud koordinaatsüsteemis sirged L 1 ja L 2:

Me leiame t:

Lahendame lineaarvõrrandi süsteemi suhtes x, y. Selleks kasutame Gaussi meetodit. Saame:

Näide 2. Leidke sirgete lõikepunkt L 1 ja L 2:

(21)

Sirgete lõikepunkti leidmiseks L 1 ja L 2 peate lahendama lineaarvõrrandisüsteemi (20) ja (21). Esitame võrrandid maatrikskujul.

Olgu kaks sirget antud ja peate leidma nende lõikepunkti. Kuna see punkt kuulub mõlemale antud sirgele, peavad selle koordinaadid vastama nii esimese kui ka teise sirge võrrandile.

Seega tuleb kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks lahendada võrrandisüsteem

Näide 1. Leia sirgete lõikepunkt ja

Lahendus. Leiame võrrandisüsteemi lahendades soovitud lõikepunkti koordinaadid

Lõikepunktil M on koordinaadid

Näitame, kuidas sirgjoont selle võrrandi abil konstrueerida. Sirge konstrueerimiseks piisab selle kahe punkti teadmisest. Iga punkti konstrueerimiseks määrame ühele selle koordinaadile suvalise väärtuse ja seejärel leiame võrrandist teise koordinaadi vastava väärtuse.

Kui sirge üldvõrrandis ei ole mõlemad hetkekoordinaatide koefitsiendid võrdsed nulliga, siis selle sirge konstrueerimiseks on kõige parem leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Näide 2. Koostage sirgjoon.

Lahendus. Leiame selle sirge lõikepunkti abstsissteljega. Selleks lahendame koos nende võrrandid:

ja saame. Seega on leitud selle sirge lõikepunkt M (3; 0) abstsissteljega (joonis 40).

Seejärel lahendades koos selle sirge võrrandi ja ordinaattelje võrrandi

leiame sirge lõikepunkti ordinaatteljega. Lõpuks konstrueerime selle kahest punktist M ja sirge

Mõne geomeetrilise ülesande lahendamisel koordinaatmeetodil tuleb leida sirgete lõikepunkti koordinaadid. Enamasti tuleb otsida tasapinnal kahe sirge lõikepunkti koordinaate, kuid vahel tekib vajadus määrata kahe ruumilise sirge lõikepunkti koordinaadid. Selles artiklis käsitleme kahe sirge ristumispunkti koordinaatide leidmist.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe sirge lõikepunkt on definitsioon.

Esmalt määratleme kahe sirge lõikepunkti.

Jaotises sirgete suhtelise asukoha kohta tasapinnal on näidatud, et kaks sirget tasapinnal võivad kas kokku langeda (ja neid on lõpmatult palju ühised punktid), olema paralleelsed (kahe sirgega, millel pole ühiseid punkte) või lõikuvad ühe ühise punktiga. Kahe sirge suhtelise asukoha jaoks ruumis on rohkem võimalusi - need võivad kokku langeda (neil on lõpmatult palju ühiseid punkte), nad võivad olla paralleelsed (st asetsevad samal tasapinnal ega ristu), võivad olla lõikuvad (mitte asuvad samal tasapinnal) ja neil võib olla ka üks ühine punkt, st ristuvad. Seega nimetatakse kahte sirget nii tasapinnal kui ka ruumis ristuvateks, kui neil on üks ühine punkt.

Lõikuvate joonte määratlusest järeldub sirgete lõikepunkti määramine: punkti, kus kaks sirget ristuvad, nimetatakse nende sirgete lõikepunktiks. Teisisõnu, kahe risuva sirge ainus ühine punkt on nende sirgete lõikepunkt.

Selguse huvides esitame graafilise illustratsiooni kahe sirge lõikepunktist tasapinnal ja ruumis.

Lehe ülaosa

Kahe tasapinna sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal, kasutades nende tuntud võrrandid, kaaluge abiprobleemi.

Oxy a Ja b. Eeldame seda otse a vastab vormi sirgjoone ja sirge üldvõrrandile b- tüüp. Laskma olla mingi punkt lennukis ja me peame välja selgitama, kas punkt M 0 etteantud sirgete lõikepunkt.

Lahendame probleemi.

Kui M0 a Ja b, siis definitsiooni järgi kuulub see ka reale a ja otse b, see tähendab, et selle koordinaadid peavad rahuldama nii võrrandit kui ka võrrandit. Seetõttu peame punkti koordinaadid asendama M 0 antud sirgete võrranditesse ja vaadake, kas selle tulemuseks on kaks õiget võrdsust. Kui punkti koordinaadid M 0 vastavad mõlemad võrrandid ja , Siis on joonte lõikepunkt a Ja b, muidu M 0 .

Kas asja mõte M 0 koordinaatidega (2, -3) joonte lõikepunkt 5x-2a-16=0 Ja 2x-5a-19=0?

Kui M 0 on tõepoolest antud sirgete lõikepunkt, siis vastavad selle koordinaadid sirgete võrranditele. Kontrollime seda, asendades punkti koordinaadid M 0 antud võrranditesse:

Seega on meil kaks tõelist võrdsust, M 0 (2, -3)- joonte lõikepunkt 5x-2a-16=0 Ja 2x-5a-19=0.

Selguse huvides esitame joonise, mis näitab sirgeid ja nende lõikepunktide koordinaadid on nähtavad.

jah, punkt M 0 (2, -3) on joonte lõikepunkt 5x-2a-16=0 Ja 2x-5a-19=0.

Kas jooned ristuvad? 5x+3a-1=0 Ja 7x-2a+11=0 punktis M 0 (2, -3)?

Asendame punkti koordinaadid M 0 sirgjoonte võrranditesse, kontrollib see toiming, kas punkt kuulub M 0 mõlemad sirged korraga:

Alates teisest võrrandist, kui asendada punkti koordinaadid sellesse M 0 ei muutunud tõeliseks võrdsuseks, siis punkt M 0 ei kuulu rida 7x-2a+11=0. Sellest faktist võime järeldada, et punkt M 0 ei ole antud sirgete lõikepunkt.

Ka jooniselt on selgelt näha, et punkt M 0 ei ole joonte lõikepunkt 5x+3a-1=0 Ja 7x-2a+11=0. Ilmselgelt ristuvad antud sirged koordinaatidega punktis (-1, 2) .

M 0 (2, -3) ei ole joonte lõikepunkt 5x+3a-1=0 Ja 7x-2a+11=0.

Nüüd saame liikuda kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmise ülesande juurde, kasutades tasapinnal antud sirge võrrandeid.

Olgu tasapinnale fikseeritud ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem Oxy ja antud kaks ristuvat joont a Ja b võrrandid ja vastavalt. Tähistame antud sirgete lõikepunkti kui M 0 ja lahendage järgmine ülesanne: leidke kahe sirge lõikepunkti koordinaadid a Ja b vastavalt teadaolevatele nende sirgete võrranditele ja .

Punkt M0 kuulub igale lõikuvale sirgele a Ja b a-prioor. Seejärel sirgete lõikepunkti koordinaadid a Ja b rahuldavad nii võrrandit kui ka võrrandit . Seetõttu kahe sirge lõikepunkti koordinaadid a Ja b on võrrandisüsteemi lahendus (vt artiklit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine).

Seega leida kahe tasapinnal määratletud sirge lõikepunkti koordinaadid üldvõrrandid, peate lahendama süsteemi, mis koosneb antud joonte võrranditest.

Vaatame näidislahendust.

Leidke kahe ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal võrranditega määratletud sirge lõikepunkt x-9a+14=0 Ja 5x-2a-16=0.

Meile on antud kaks üldist sirge võrrandit, teeme neist süsteemi: . Saadud võrrandisüsteemi lahendusi on lihtne leida, lahendades selle esimese võrrandi muutuja suhtes x ja asendage see avaldis teise võrrandiga:

Võrrandisüsteemi leitud lahendus annab meile kahe sirge lõikepunkti soovitud koordinaadid.

M 0 (4, 2)– joonte lõikepunkt x-9a+14=0 Ja 5x-2a-16=0.

Niisiis, kahe tasapinna üldvõrrandiga määratletud sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine taandub kahe tundmatu muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamisele. Aga mis siis, kui tasapinnal olevad sirged on antud mitte üldvõrranditega, vaid erinevat tüüpi võrranditega (vt tasapinna sirge võrrandite tüüpe)? Sellistel juhtudel saate kõigepealt taandada joonte võrrandid väärtuseks üldine välimus ja pärast seda leidke lõikepunkti koordinaadid.

Enne antud sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmist taandame nende võrrandid üldkujule. Üleminek sirge parameetrilistest võrranditest selle sirge üldvõrrandile näeb välja järgmine:

Nüüd teeme vajalikud toimingud sirge kanoonilise võrrandiga:

Seega on sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid vormiga võrrandisüsteemi lahenduseks. Selle lahendamiseks kasutame Crameri meetodit:

M 0 (-5, 1)

On veel üks viis tasapinna kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks. Seda on mugav kasutada, kui üks ridadest on antud vormi parameetriliste võrranditega ja teine ​​teist tüüpi joonvõrrandiga. Sel juhul muutujate asemel teises võrrandis x Ja y saab asendada avaldised ja , kust saab antud sirgete lõikepunktile vastava väärtuse. Sel juhul on joonte lõikepunktil koordinaadid.

Leiame selle meetodi abil eelmisest näitest sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Määrata joonte lõikepunkti koordinaadid ja .

Asendame võrrandis sirge avaldise:

Olles lahendanud saadud võrrandi, saame . See väärtus vastab joonte ühisele punktile ja . Arvutame lõikepunkti koordinaadid, asendades parameetriliste võrranditega sirgjoone:
.

M 0 (-5, 1).

Pildi täiendamiseks tuleks arutada veel ühte punkti.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal on kasulik veenduda, et antud sirged ka reaalselt ristuvad. Kui selgub, et algsed sirged langevad kokku või on paralleelsed, siis selliste sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

Loomulikult saate ilma sellise kontrollita hakkama, kuid looge kohe vormi võrrandisüsteem ja lahendage see. Kui võrrandisüsteemil on kordumatu lahend, siis annab see algsirgete ristumispunkti koordinaadid. Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed (kuna sellist reaalarvude paari pole olemas x Ja y, mis rahuldaks korraga mõlema antud sirge võrrandi). Võrrandisüsteemi lõpmatu arvu lahendite olemasolust järeldub, et algsetel sirgtel on lõpmatult palju ühiseid punkte, see tähendab, et need langevad kokku.

Vaatame nende olukordade jaoks sobivaid näiteid.

Uurige, kas sirged ja lõikuvad, ja kui nad ristuvad, siis leidke lõikepunkti koordinaadid.

Antud joonte võrrandid vastavad võrranditele ja . Lahendame nendest võrranditest koosneva süsteemi.

On ilmne, et süsteemi võrrandid on üksteise kaudu lineaarselt väljendatud (süsteemi teine ​​võrrand saadakse esimesest, korrutades selle mõlemad osad 4 ), seetõttu on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Seega defineerivad võrrandid sama sirget ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa rääkida.

võrrandid ja on defineeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy sama sirge, seega ei saa rääkida ristumispunkti koordinaatide leidmisest.

Leia sirgete lõikepunkti koordinaadid ja võimalusel .

Probleemi seisukord lubab, et jooned ei pruugi ristuda. Loome nendest võrranditest süsteemi. Kasutagem selle lahendamiseks Gaussi meetodit, kuna see võimaldab tuvastada võrrandisüsteemi ühilduvuse või mitteühilduvuse ja kui see on ühilduv, siis leida lahendus:

Süsteemi viimane võrrand pärast löök edasi Gaussi meetod muutus valeks võrduseks, seetõttu pole võrrandisüsteemil lahendusi. Sellest võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Teine lahendus.

Uurime, kas antud sirged lõikuvad.

Normaalvektor on sirge ja vektor on joone normaalvektor. Kontrollime, kas vektorite ja : kollineaarsuse tingimus on tõene, kuna seega on antud sirgete normaalvektorid kollineaarsed. Siis on need sirged paralleelsed või langevad kokku. Seega ei leia me algsete sirgete lõikepunkti koordinaate.

antud sirgete lõikepunkti koordinaate on võimatu leida, kuna need sirged on paralleelsed.

Leidke sirgete lõikepunkti koordinaadid 2x-1 = 0 ja kui need ristuvad.

Koostame võrrandisüsteemi, mis on antud sirgete üldvõrrandid: . Selle võrrandisüsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, seetõttu on võrrandisüsteemil unikaalne lahend, mis näitab etteantud sirgete lõikepunkti.

Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks peame lahendama süsteemi:

Saadud lahendus annab meile sirgete lõikepunkti koordinaadid ehk sirgete lõikepunkti 2x-1 = 0 Ja .

Lehe ülaosa

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Sarnaselt leitakse ka kahe sirge lõikepunkti koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis.

Laske ristuvad jooned a Ja b määratud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz kahe lõikuva tasandi võrrandid, see tähendab sirge a määratakse vormi ja sirge süsteemiga b- . Lase M 0– joonte lõikepunkt a Ja b. Siis punkt M 0 definitsiooni järgi kuulub ka rida a ja otse b Seetõttu vastavad selle koordinaadid mõlema sirge võrrandile. Seega sirgete lõikepunkti koordinaadid a Ja b kujutavad lahendust lineaarvõrrandisüsteemile kujul . Siin vajame teavet jaotisest, mis käsitleb lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga.

Vaatame näidete lahendusi.

Leia kahe ruumis võrrandiga ja defineeritud sirge lõikepunkti koordinaadid.

Koostame etteantud sirgete võrranditest võrrandisüsteemi: . Selle süsteemi lahendus annab meile ruumis olevate joonte lõikepunkti vajalikud koordinaadid. Leiame lahenduse kirjutatud võrrandisüsteemile.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm ja laiendatud maatriksil - .

Määrame maatriksi auastme A ja maatriksi auaste T. Kasutame alaealiste ääristamise meetodit, kuid me ei kirjelda üksikasjalikult determinantide arvutamist (vajadusel vaadake artiklit Maatriksi determinandi arvutamine):

Seega on põhimaatriksi auaste võrdne laiendatud maatriksi auastmega ja võrdub kolmega.

Järelikult on võrrandisüsteemil ainulaadne lahendus.

Võtame determinandi aluseks minoorseks, seepärast tuleks viimane võrrand võrrandisüsteemist välja jätta, kuna ta moodustamises ei osale põhimoll. Niisiis,

Lahendust saadud süsteemile on lihtne leida:

Seega on sirgete lõikepunktil koordinaadid (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Tuleb märkida, et võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus siis ja ainult siis, kui sirgjooned a Ja b ristuvad. Kui sirge A Ja b paralleelselt või ristuvalt, siis viimasel võrrandisüsteemil pole lahendeid, kuna sel juhul pole sirgetel ühiseid punkte. Kui sirge a Ja b langevad kokku, siis on neil lõpmatu arv ühiseid punkte, seega määratud süsteem võrranditel on lõpmatu arv lahendeid. Nendel juhtudel ei saa aga rääkida sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest, kuna sirged ei ristu.

Seega, kui me ei tea ette, kas antud sirged ristuvad a Ja b või mitte, siis on mõistlik luua vormi võrrandisüsteem ja lahendada see Gaussi meetodil. Kui saame ainulaadse lahenduse, vastab see sirgete lõikepunkti koordinaatidele a Ja b. Kui süsteem osutub ebajärjekindlaks, siis otsene a Ja bära ristu. Kui süsteemis on lõpmatu arv lahendeid, siis sirgeid a Ja b kokku sobima.

Saate hakkama ilma Gaussi meetodit kasutamata. Teise võimalusena saate arvutada selle süsteemi põhi- ja laiendatud maatriksite auastmed ning saadud andmete ja Kroneckeri-Capelli teoreemi põhjal teha järelduse olemasolu kohta. ainus lahendus, või paljude lahenduste olemasolu või lahenduste puudumine. See on maitse asi.

Kui sirged lõikuvad, määrake lõikepunkti koordinaadid.

Koostame antud võrranditest süsteemi: . Lahendame selle Gaussi meetodi abil maatriksi kujul:

Selgus, et võrrandisüsteemil puuduvad lahendid, mistõttu antud sirged ei lõiku ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

me ei leia antud sirgete lõikepunkti koordinaate, kuna need sirged ei ristu.

Kui ristuvad sirged on antud kanoonilised võrrandid sirge ruumis või sirge parameetrilised võrrandid ruumis, siis tuleks esmalt hankida nende võrrandid kahe lõikuva tasandi kujul ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Kaks ristuvat sirget on määratletud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz võrrandid ja . Leidke nende sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Määratleme esialgsed sirgjooned kahe lõikuva tasandi võrrandiga:

Sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmiseks jääb üle lahendada võrrandisüsteem. Selle süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega ja võrdub kolmega (soovitame seda fakti kontrollida). Võtame aluseks minoorsed, seega võime süsteemist viimase võrrandi välja jätta. Olles lahendanud saadud süsteemi mis tahes meetodiga (näiteks Crameri meetodiga), saame lahenduse. Seega on sirgete lõikepunktil koordinaadid (-2, 3, -5) .

Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Jätkame tutvumist geomeetrilised algoritmid. Viimases tunnis leidsime kahe punkti koordinaatide abil sirge võrrandi. Saime järgmise vormi võrrandi:

Täna kirjutame funktsiooni, mis kahe sirge võrrandi abil leiab nende lõikepunkti koordinaadid (kui see on olemas). Reaalarvude võrdsuse kontrollimiseks kasutame spetsiaalset funktsiooni RealEq().

Tasapinna punkte kirjeldatakse reaalarvude paariga. Reaalse tüübi kasutamisel on parem teostada võrdlustoiminguid spetsiaalsete funktsioonide abil.

Põhjus on teada: Pascali programmeerimissüsteemis Real tüübil puudub järjestusseos, seega on parem mitte kasutada kirjeid kujul a = b, kus a ja b on reaalarvud.
Täna tutvustame funktsiooni RealEq(), et rakendada operatsiooni “=” (rangelt võrdne):

Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Ülesanne. Kahe sirge võrrandid on antud: ja . Leidke nende ristumispunkt.

Lahendus. Ilmselge lahendus on joonvõrrandisüsteemi lahendamine: Kirjutame selle süsteemi veidi teistmoodi ümber:
(1)

Tutvustame järgmist tähistust: , , . Siin on D süsteemi determinant ja determinandid, mis tulenevad vastava tundmatu koefitsientide veeru asendamisest vabade liikmete veeruga. Kui , siis süsteem (1) on kindel, st tal on unikaalne lahendus. Selle lahenduse saab leida järgmiste valemite abil: , mida nimetatakse Crameri valemid. Lubage mul teile meelde tuletada, kuidas arvutatakse teist järku determinant. Determinant eristab kahte diagonaali: põhi- ja sekundaarset. Põhidiagonaal koosneb elementidest, mis on võetud determinandi ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka. Külgdiagonaal - ülevalt paremalt alla vasakusse. Teist järku determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega, millest on lahutatud sekundaarse diagonaali elementide korrutis.

Kood kasutab võrdsuse kontrollimiseks funktsiooni RealEq(). Reaalarvude arvutused tehakse täpsusega _Eps=1e-7.

Programm geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(arvutuse täpsus) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Reaalne; Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Oleme koostanud programmi, mille abil saate sirgete võrrandeid teades leida nende lõikepunktide koordinaadid.