Tiivistelmä: Toisen asteen yhtälöt ja korkeamman asteen yhtälöt. Toissijaisten yhtälöiden ja toisen asteen yhtälöiden historiasta muinaisessa Babylonissa

Kopjevskajan maaseutukoulu

10 ratkaisua toisen asteen yhtälöt

Pää: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematiikan opettaja

kylä Kopevo, 2007

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Toisen asteen yhtälöt muinaisessa Babylonissa

1.2 Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä

1.3 Toisen asteen yhtälöt Intiassa

1.4 Al-Khorezmin toisen asteen yhtälöt

1.5 Neliöyhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisatoja

1.6 Tietoja Vietan lauseesta

2. Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Toisen asteen yhtälöt muinaisessa Babylonissa

Tarve ratkaista ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista alueiden löytämiseen liittyviä ongelmia tontteja ja kanssa maanrakennustyöt luonteeltaan sotilaallinen, samoin kuin itse tähtitieteen ja matematiikan kehitys. Neliöyhtälöt voitiin ratkaista noin 2000 eaa. e. babylonialaiset.

Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Huolimatta korkeatasoinen Algebran kehitys Babylonissa, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisiä menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen.

1.2 Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä.

Diophantuksen aritmetiikka ei sisällä algebran systemaattista esitystä, mutta se sisältää systemaattisen sarjan tehtäviä, joihin liittyy selityksiä ja jotka ratkaistaan rakentamalla eriasteisia yhtälöitä.

Yhtälöitä laatiessaan Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomia ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Ongelma 11."Etsi kaksi numeroa tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96"

Diophantus perustelee seuraavasti: tehtävän ehdoista seuraa, että vaaditut luvut eivät ole yhtä suuret, koska jos ne olisivat yhtä suuret, heidän tulonsa ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä on suurempi kuin puolet summastaan, eli . 10 + x, toinen on pienempi, ts. 10-luvulla. Niiden välinen ero 2x .

Siksi yhtälö:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Täältä x = 2. Yksi vaadituista luvuista on yhtä suuri kuin 12 , muu 8 . Ratkaisu x = -2 sillä Diofantosta ei ole olemassa, koska kreikkalainen matematiikka tunsi vain positiivisia lukuja.

Jos ratkaisemme tämän ongelman valitsemalla yhden vaadituista luvuista tuntemattomaksi, niin pääsemme ratkaisuun yhtälöön

y(20 - y) = 96,

v 2 - 20 v + 96 = 0. (2)

On selvää, että valitsemalla tarvittavien lukujen erotuksen puolikkaan tuntemattomaksi, Diophantus yksinkertaistaa ratkaisua; hän onnistuu pelkistämään ongelman ratkaisemaan epätäydellisen toisen asteen yhtälön (1).

1.3 Neliöyhtälöt Intiassa

Neliöyhtälöitä koskevia ongelmia löytyy jo intialaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Aryabhattan vuonna 499 laatimasta tähtitieteellisestä tutkielmasta "Aryabhattiam". Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (7. vuosisata), esitti yleissääntö yhdeksi kanoniseen muotoon pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisut:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Yhtälössä (1) kertoimet, paitsi A, voi olla myös negatiivinen. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän.

SISÄÄN Muinainen Intia Julkiset kilpailut vaikeiden ongelmien ratkaisemiseksi olivat yleisiä. Eräässä vanhoista intialaisista kirjoista sanotaan tällaisista kilpailuista seuraavasti: "Kun aurinko pimentää tähdet loistollaan, niin oppinut mies varjostaa toisen loistoa suosituissa kokoonpanoissa ehdottamalla ja ratkaisemalla algebrallisia ongelmia." Ongelmat esitettiin usein runollisessa muodossa.

Tämä on yksi kuuluisan intialaisen 1100-luvun matemaatikon ongelmista. Bhaskarit.

Ongelma 13.

"Parvi röyhkeitä apinoita ja kaksitoista viiniköynnösten varrella...

Viranomaisilla oli syötyään hauskaa. He alkoivat hypätä, roikkua...

Ne ovat aukiolla, osa kahdeksan. Kuinka monta apinaa siellä oli?

Viihdyin aukiolla. Kerro tässä paketissa?

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että hän tiesi, että toisen asteen yhtälöiden juuret ovat kaksiarvoisia (kuva 3).

Tehtävää 13 vastaava yhtälö on:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjoittaa varjolla:

x 2 - 64x = -768

ja täydentämään vasen puoli tämän yhtälön neliöön, lisätään molemmille puolille 32 2 , niin saat:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Al - Khorezmin toisen asteen yhtälöt

Al-Khorezmin algebrallisessa tutkielmassa on annettu lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden luokitus. Kirjoittaja laskee 6 tyyppistä yhtälöä ja ilmaisee ne seuraavasti:

1) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin juuria", ts. ax 2 + c = b X.

2) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin numerot", ts. ax 2 = c.

3) "Juurit ovat yhtä suuria kuin luku", ts. ah = s.

4) "Neliöt ja luvut ovat yhtä suuria kuin juuria", ts. ax 2 + c = b X.

5) "Neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin numerot", ts. ah 2+ bx = s.

6) "Juuret ja luvut ovat yhtä suuria kuin neliöitä", ts. bx + c = ax 2 .

Al-Khorezmille, joka vältti negatiivisten lukujen käyttöä, kunkin yhtälön ehdot ovat yhteenlaskuja eivätkä vähennyskelpoisia. Tässä tapauksessa yhtälöt, joita ei ole myönteisiä päätöksiä. Kirjoittaja esittää menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi al-jabrin ja al-muqabalan tekniikoilla. Hänen päätöksensä eivät tietenkään ole täysin samat kuin meidän. Puhumattakaan siitä, että se on puhtaasti retorinen, on huomioitava esimerkiksi, että kun ratkaistaan ensimmäisen tyypin epätäydellistä toisen tyyppistä yhtälöä

al-Khorezmi, kuten kaikki matemaatikot ennen 1600-lukua, ei ota huomioon nollaratkaisua, luultavasti koska sillä ei ole erityisissä käytännön ongelmissa merkitystä. Ratkaiseessaan täydellisiä toisen asteen yhtälöitä al-Khorezmi esittää säännöt niiden ratkaisemiseksi käyttämällä erityisiä numeerisia esimerkkejä ja sitten geometrisia todisteita.

Ongelma 14."Neliö ja luku 21 ovat 10 juuria. Etsi juuri" (mikä tarkoittaa yhtälön juurta x 2 + 21 = 10x).

Tekijän ratkaisu menee suunnilleen näin: jaa juurten määrä puoliksi, saat 5, kerro 5 itsellään, vähennä tulosta 21, jäljelle jää 4. Ota juuri 4:stä, saat 2. Vähennä 2 viidestä , saat 3, tämä on haluttu juuri. Tai lisää 2 viiteen, mikä antaa 7, tämä on myös juuri.

Al-Khorezmin tutkielma on ensimmäinen meille saapunut kirja, jossa esitetään systemaattisesti toisen asteen yhtälöiden luokittelu ja annetaan kaavoja niiden ratkaisemiseksi.

1.5 Toisen asteen yhtälöt Euroopassa XIII - XVII bb

Kaavat al-Khwarizmin kaltaisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Euroopassa esitettiin ensimmäisen kerran Abacus-kirjassa, jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Tämä laaja työ, joka heijastaa matematiikan vaikutusta sekä islamilaisissa maissa että Muinainen Kreikka, erottuu sekä esityksen täydellisyydestä että selkeydestä. Kirjoittaja kehitti itsenäisesti joitain uusia algebrallisia esimerkkejä ratkaisemaan ongelmia ja otti ensimmäisenä Euroopassa käyttöön negatiiviset luvut. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tiedon leviämistä ei vain Italiassa, vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monia Abacus-kirjan ongelmia käytettiin lähes kaikissa 1500-1600-luvun eurooppalaisissa oppikirjoissa. ja osittain XVIII.

Yleinen sääntö toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseksi muotoksi:

x 2+ bx = c,

kaikille mahdollisille kerroinmerkkiyhdistelmille b , Kanssa M. Stiefel muotoili Euroopassa vasta vuonna 1544.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi in yleisnäkymä Vietillä on se, mutta Viet tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisten joukossa 1500-luvulla. Positiivisten lisäksi huomioidaan myös negatiiviset juuret. Vasta 1700-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työn ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä vie moderni ilme.

1.6 Tietoja Vietan lauseesta

Lauseen, joka ilmaisee toisen asteen yhtälön kertoimien ja sen juurien välistä suhdetta Vietan mukaan, hän muotoili ensimmäisen kerran vuonna 1591 seuraavasti: "Jos B + D, kerrottuna A - A 2 , on yhtä suuri BD, Tuo A on yhtä suuri SISÄÄN ja tasa-arvoinen D ».

Ymmärtääksemme Vietaa meidän tulee muistaa se A, kuten mikä tahansa vokaalikirjain, tarkoitti tuntematonta (meidän X), vokaalit SISÄÄN, D- tuntemattoman kertoimet. Modernin algebran kielellä yllä oleva Vieta-formulaatio tarkoittaa: jos on

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ilmaisee yhtälöiden juurien ja kertoimien välisen suhteen yleiset kaavat kirjoitettu symboleilla, Viet loi yhtenäisyyden yhtälöiden ratkaisumenetelmiin. Vietin symboliikka on kuitenkin vielä kaukana modernista muodostaan. Hän ei tunnistanut negatiivisia lukuja ja siksi hän otti yhtälöitä ratkaiseessaan huomioon vain tapaukset, joissa kaikki juuret olivat positiivisia.

2. Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Neliöyhtälöt ovat perusta, jolla algebran majesteettinen rakennus lepää. Neliöyhtälöitä käytetään laajalti trigonometristen, eksponentiaalisten, logaritmien, irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Me kaikki tiedämme kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä koulusta (8. luokka) valmistumiseen asti.

Tatarstanin tasavallan opetus- ja tiedeministeriö

Kunnan budjettikoulutuslaitos

"Usadin lukio

Tatarstanin tasavallan Vysokogorskyn kuntapiiri"

Tutkimustyö:

"Tarina ilmaantuminenneliö yhtälöt»

Täydentäjä: Andreeva Ekaterina,

8B luokan opiskelija

Tieteellinen neuvonantaja:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

matematiikan opettaja

Johdanto

Kuka haluaa rajoittua nykyhetkeen?

tietämättä menneisyyttä,

hän ei koskaan ymmärrä häntä.

G.V. Leibniz

Yhtälöillä on johtava paikka koulun matematiikan kurssilla, mutta mikään yhtälötyypeistä ei löytänyt sellaista laaja sovellus, kuten toisen asteen yhtälöt.

Ihmiset pystyivät ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä tai toisen asteen yhtälöitä muinaisessa Babylonissa 2. vuosituhannella eKr. Ongelmia, jotka johtavat toisen asteen yhtälöihin, käsitellään monissa muinaisissa matemaattisissa käsikirjoituksissa ja tutkielmissa. Ja nykyään monia algebran, geometrian ja fysiikan ongelmia ratkaistaan myös neliöyhtälöiden avulla. Niitä ratkaisemalla ihmiset löytävät vastauksia erilaisiin tieteen ja teknologian kysymyksiin.

Kohde Tämä tutkimus- tutkia toisen asteen yhtälöiden syntyhistoriaa.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi on tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

Tutkia tieteellistä kirjallisuutta tässä aiheessa.
Seuraa toisen asteen yhtälöiden syntyhistoriaa.

Tutkimuksen kohde: toisen asteen yhtälöt.

Opintojen aihe: toisen asteen yhtälöiden syntyhistoria.

Aiheen relevanssi :

Ihmiset ovat ratkaisseet toisen asteen yhtälöitä muinaisista ajoista lähtien. Halusin tietää toisen asteen yhtälöiden historian.
Koulun oppikirjoissa ei ole tietoa toisen asteen yhtälöiden historiasta.

Tutkimusmenetelmät:

Työskentely opetus- ja populaaritieteellisen kirjallisuuden parissa.
Havainnointi, vertailu, analyysi.

Teoksen tieteellinen arvo on mielestäni siinä, että tämä materiaali saattaa kiinnostaa matematiikasta kiinnostuneita koululaisia ja koulun ulkopuolisten luokkien opettajia.

Neliöyhtälöt muinaisessa Babylonissa.

Muinaisessa Babylonissa tarve ratkaista ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä johtui tarpeesta ratkaista ongelmia, jotka liittyvät maa-alueiden löytämiseen ja sotilaallisiin kaivaustöihin sekä itse tähtitieteen ja matematiikan kehitys.

Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

x 2 - x = 14,5

Huolimatta algebran korkeasta kehitystasosta Babylonissa, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkki yhdestä tämän ajanjakson savitaulusta.

"Kahden neliön summan pinta-ala on 1000. Toisen neliön sivu on toisen neliön sivu, joka on vähennetty 10:llä. Mitkä ovat neliöiden sivut?"

Tämä johtaa yhtälöihin, joiden ratkaisu pelkistyy positiivisen juuren omaavan toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Todellisuudessa nuolenkielisen tekstin ratkaisu rajoittuu, kuten kaikissa itämaisissa ongelmissa, yksinkertaiseen luetteloon laskentavaiheista, joita tarvitaan toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi:

"neliö 10; tämä antaa 100; vähennä 100 1000:sta; tämä antaa 900" jne

Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä

Diophantus esittelee yhden tieteen historian vaikeimmista mysteereistä. Hän oli yksi alkuperäisimmistä antiikin kreikkalaisista matemaatikoista, Diophantus Aleksandrialainen, jonka teoksissa oli hyvin tärkeä algebralle ja lukuteorialle. Diophantuksen syntymävuotta tai kuolinpäivää ei ole vielä selvitetty. Aika, jolloin Diophantus olisi voinut elää, on puoli vuosituhatta! Hänen uskotaan eläneen 300-luvulla jKr. Mutta Diophantuksen asuinpaikka on tunnettu - tämä on kuuluisa Aleksandria, hellenistisen maailman tieteellisen ajattelun keskus.

Diofantoksen teoksista tärkein on Aritmetiikka, josta 13 kirjaa on säilynyt tähän päivään mennessä vain kuusi.

Yhtälöitä laatiessaan Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomia ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Tehtävä: "Etsi kaksi numeroa tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96"

Siksi yhtälö:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Täältä x = 2. Yksi vaadituista luvuista on yhtä suuri kuin 12 , muu 8 . Ratkaisu x = -2 sillä Diofantosta ei ole olemassa, koska kreikkalainen matematiikka tunsi vain positiivisia lukuja.

Jos ratkaisemme tämän ongelman valitsemalla yhden vaadituista luvuista tuntemattomaksi, niin pääsemme ratkaisuun yhtälöön

y(20 - y) = 96,

v 2 - 20 v + 96 = 0. (2)

Neliöyhtälöt Diophantuksen aritmetiikasta:

12x2 +x = 1
630x2 +73x=6.

Jo muinaisina aikoina Intia oli kuuluisa tietämystään tähtitieteen, kieliopin ja muiden tieteiden alalla.

Intialaiset tutkijat ovat saavuttaneet suurimman menestyksen alalla matemaatikot. He olivat aritmetiikan ja algebran perustajia, joiden kehittämisessä he menivät pidemmälle kuin kreikkalaiset.

Neliöyhtälöitä koskevia ongelmia löytyy jo vuonna 499 laaditusta tähtitieteellisestä tutkielmasta "Aryabhattiam". Intialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Aryabhatta. Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (VII vuosisata), hahmotteli yleisen säännön yhdelle kanoniselle muotoon pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi: ax 2 + bx = c, a> 0.

Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän.
Julkiset kilpailut olivat yleisiä muinaisessa Intiassa
vaikeiden ongelmien ratkaisemisessa. Yksi vanhoista intialaisista kirjoista sanoo tällaisista kilpailuista seuraavaa: "Kuten aurinko loistaa loistollaan tähdet, niin oppinut ihminen ylittää toisen kunnian julkisissa kokouksissa ehdottaen ja ratkaiseen algebrallisia ongelmia."

Ongelmat esitettiin usein runollisessa muodossa.
Tämä on yksi kuuluisan intialaisen 1100-luvun matemaatikon ongelmista. Bhaskarit:

« Parvi pirteitä apinoita,

Syötyäni sydämeni kyllyydestä minulla oli hauskaa.

Niistä kahdeksan osa on neliöity,

Viihdyin aukiolla.

Ja kaksitoista viiniköynnösten varrella...

He alkoivat hypätä, roikkua...

Kuinka monta apinaa siellä oli?

Kerro tässä paketissa?

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että hän tiesi, että toisen asteen yhtälöiden juuret ovat kaksiarvoisia.

Ongelmaa vastaava yhtälö

Bhaskara kirjoittaa muodossa x 2 - 64x = -768 ja täydentääksesi tämän yhtälön vasemman puolen neliöön lisäämällä molemmille puolille 32 2, jolloin saadaan:

x 2 -64x+32 2 = -768+1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Toisen asteen yhtälöt Kiinassa (1. vuosituhat eKr.).

Ensimmäiset kiinalaiset kirjalliset monumentit, jotka ovat saapuneet meille, ovat peräisin Shangin aikakaudelta (XVIII-XII vuosisatoja eKr.). Ja jo 1300-luvun ennustavissa luissa. eKr eKr., Henanista löydetty, numeroiden nimitykset on säilytetty. Mutta todellinen tieteen kukoistaminen alkoi 1100-luvun jälkeen. eKr e. Zhou-paimentolaiset valloittivat Kiinan. Näiden vuosien aikana kiinalainen matematiikka ja tähtitiede nousivat esiin ja saavuttivat hämmästyttäviä korkeuksia. Ensimmäiset ilmestyivät tarkat kalenterit ja matematiikan oppikirjoja. Valitettavasti keisari Qin Shi Huangin (Shi Huangdi) "kirjojen tuhoaminen" ei sallinut varhaisten kirjojen saapumista meille, mutta ne muodostivat todennäköisesti perustan myöhemmille teoksille.

"Mathematics in Nine Books" on ensimmäinen klassinen matemaattinen teos muinaisessa Kiinassa, upea muistomerkki muinainen Kiina varhaisen Han-dynastian aikana (206 eKr. - 7 jKr.). Tämä essee sisältää monipuolista ja rikasta matemaattista materiaalia, mukaan lukien toisen asteen yhtälöt.

Kiinan haaste: "Siellä on säiliö, jonka sivu on 10 cm. Sen keskellä on ruoko, joka työntyy veden yläpuolelle 1 cm. Jos vedät ruokoa kohti rantaa, se vain koskettaa sitä. Kysymys kuuluu: mikä on veden syvyys ja kuinka pitkä on ruoko?

(x+1) 2 =x 2 +5 2,

x 2 +2x+1 = x 2 +25,

Vastaus: 12chi; klo 13

Al-Khwarizmin toisen asteen yhtälöt

”Olen koonnut lyhyen kirjan algebran ja almukabalan laskennasta, joka sisältää yksinkertaisia ja vaikeita kysymyksiä aritmetiikkaa, koska ihmiset tarvitsevat sitä." Al-Khorezmi Mohammed ben Musa.

Al-Khorezmi (Uzbekistan) tunnetaan parhaiten "Täydennyksen ja vastustuksen kirjastaan" ("Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala"), jonka nimestä sana "algebra" on peräisin. johdettu. Tämä tutkielma on ensimmäinen meille saapunut kirja, jossa esitetään systemaattisesti toisen asteen yhtälöiden luokittelu ja annetaan kaavat niiden ratkaisuun.

Tutkimuksensa teoreettisessa osassa al-Khorezmi antaa 1. ja 2. asteen yhtälöiden luokituksen ja tunnistaa kuusi niiden tyyppiä:

1) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin juuret", eli ax 2 = bx. (esimerkki:)

2) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin numerot", eli ax 2 = s. (esimerkki:)

3) "Juurit ovat yhtä suuret kuin luku", eli ax = c. (esimerkki:)

4) "Neliöt ja luvut ovat yhtä suuria kuin juuri", eli ax 2 + c = bx. (esimerkki:)

5) "Neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin luku", eli ax 2 + bx = c.

6) "Juuret ja luvut ovat yhtä suuria kuin neliöt", eli bx + c == ax 2. (esimerkki:)

Al-Khwarizmille, joka vältti negatiivisten lukujen käyttöä, kunkin yhtälön ehdot ovat yhteenlaskuja eivätkä vähennyskelpoisia. Tässä tapauksessa yhtälöitä, joilla ei ole positiivisia ratkaisuja, ei tietenkään oteta huomioon. Kirjoittaja esittää menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi al-jabrin ja al-mukabalin tekniikoilla. Hänen päätöksensä ei tietenkään ole täysin sama kuin meidän. Puhumattakaan siitä, että se on puhtaasti retorinen, on esimerkiksi huomattava, että kun al-Khorezmi ratkaisee ensimmäisen tyypin epätäydellisen toisen asteen yhtälön, kuten kaikki matemaatikot 1600-luvulle asti, ei ota huomioon nollaratkaisua, luultavasti siksi, että tietyssä käytännössä sillä ei ole väliä tehtävissä. Ratkaisessaan täydellisiä toisen asteen yhtälöitä al-Khwarizmi esittää säännöt niiden ratkaisemiseksi käyttämällä tiettyjä numeerisia esimerkkejä ja sitten niiden geometrisia todisteita.

Otetaan esimerkki.

"Neliö ja luku 21 ovat 10 juuria. Etsi juuri"(mikä tarkoittaa yhtälön juurta x 2 + 21 = 10x).

Kirjoittajan ratkaisu menee suunnilleen näin: "Jaa juurten määrä puoliksi, saat 5, kerro 5 itsellään, vähennä tulosta 21, jäljelle jää 4. Ota juuri 4:stä, saat 2. Vähennä 2:sta. 5, saat 3, tämä on haluttu juuri . Tai lisää 2 viiteen, jolloin saadaan 7, tämä on myös juuri."

Al-Khwarizmin kuuluisa yhtälö: "Neliö ja kymmenen juurta ovat 39." x 2 + 10x= 39 (IX vuosisata). Tutkielmassaan hän kirjoittaa: "Sääntö on tämä: kaksinkertaistaa juurien määrä, saat viisi tässä tehtävässä. Kun se lisätään kolmeenkymmeneenyhdeksään, siitä tulee kuusikymmentäneljä. Ota tämän juuri, siitä tulee kahdeksan, ja vähennä tästä puolet juurien määrästä, ts. viisi, se jättää kolme: tämä on etsimäsi neliön juuri."

Neliöyhtälöt Euroopassa 1100-1600-luvuilla.

Al-Khwarizmin mallin mukaiset muodot toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Euroopassa esitettiin ensimmäisen kerran vuonna 1202 kirjoitetussa "Abakuksen kirjassa". italialainen matemaatikko Leonard Fibonacci. Kirjoittaja kehitti itsenäisesti uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja lähestyi ensimmäisenä Euroopassa negatiivisten lukujen käyttöönottoa.

Tämä kirja auttoi algebrallisen tiedon leviämistä paitsi Italiassa, myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monia tämän kirjan ongelmia käytettiin lähes kaikissa 1300-1600-luvun eurooppalaisissa oppikirjoissa. M. Stiefel muotoili Euroopassa vuonna 1544 yleissäännön muotoon x 2 + bх = с pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi kaikille mahdollisille merkkien ja kertoimien b, c yhdistelmille.

Kaavan johdanto toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi yleisessä muodossa on saatavilla Vièteltä, mutta Viète tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisten joukossa 1500-luvulla. Positiivisten lisäksi huomioidaan myös negatiiviset juuret. Vasta 1700-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden töiden ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä saa nykyaikaisen muodon.

Johtopäätös.

Neliöyhtälöt ovat perusta, jolla algebran majesteettinen rakennus lepää. Erilaisia yhtälöitä sekä neliö- että yhtälöt korkeammat asteet ovat päättäneet kaukaiset esi-isämme. Nämä yhtälöt on ratkaistu hyvin erilaisissa ja kaukaisissa maissa. Tarve yhtälöille oli suuri. Yhtälöitä käytettiin rakentamisessa, sotilasasioissa ja jokapäiväisissä tilanteissa.

Nykyään kyky ratkaista toisen asteen yhtälöitä on välttämätöntä kaikille. Kyky ratkaista toisen asteen yhtälöitä nopeasti, järkevästi ja oikein helpottaa monien aiheiden suorittamista matematiikan kurssilla. Neliöyhtälöitä ei ratkaista vain matematiikan tunneilla, vaan myös fysiikan, kemian ja tietojenkäsittelyn tunneilla. Useimmat käytännön ongelmat todellista maailmaa tarkoittaa myös toisen asteen yhtälöiden ratkaisemista.

Kirjallisuus

Bashmakova I. G. Diophantus ja Diophantine yhtälöt. M.: Nauka, 1972.
Berezkina E.I. Muinaisen Kiinan matematiikka - M.: Nauka, 1980
Pichurin L.F. Algebraoppikirjan sivujen takana: Kirja. opiskelijoille

7-9 luokkaa koulun keskiarvo - M.: Koulutus, 1990

Glazer G.I. Matematiikan historia koulun VII - VIII luokilla. Käsikirja opettajille. - M.: Koulutus, 1982.

Neliöyhtälöt muinaisessa Babylonissa Tarve ratkaista ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä jo muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista tonttien alueiden löytämiseen ja maan kaivutöihin liittyviä ongelmia. sotilaallinen luonne sekä itse tähtitieteen ja matematiikan kehitys. Babylonialaiset pystyivät ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä noin 2000 vuotta ennen meidän uskoamme. Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä: Babylonilaisissa teksteissä esitetty sääntö näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi on sama kuin nykyaikainen, mutta ei tiedetä, kuinka babylonialaiset pääsivät sinne säännöt. Lähes kaikissa tähän mennessä löydetyissä nuolenkirjoitusteksteissä on vain ongelmia reseptien muodossa laadittujen ratkaisujen kanssa, eikä niissä ole viitteitä siitä, miten ne on löydetty. Huolimatta Babylonian algebran korkeasta kehitystasosta, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kuinka Diophantos laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä "Etsi kaksi lukua tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96." Diophantus perustelee seuraavasti: Tehtävän ehdoista seuraa, että vaaditut luvut eivät ole yhtä suuria, koska jos ne olisivat yhtä suuret, heidän tulonsa ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä olisi enemmän kuin puolet niiden summasta, ts. 10+X, toinen on pienempi, ts. 10-X. Niiden välinen ero on 2X, joten X=2. Yksi vaadituista luvuista on 12, toinen on 8. Ratkaisua X = -2 ei ole Diophantukselle, koska kreikkalainen matematiikka tunsi vain positiivisia lukuja. YHTÄLÖ: tai:

Neliöyhtälöt Intiassa Neliöyhtälöitä koskevia ongelmia löytyy myös intialaisen matemaatikko ja tähtitieteilijän Aryabhattan vuonna 499 laatimasta tähtitieteellisestä tutkielmasta "Aryabhattiam". Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta, hahmotteli yleisen säännön yhdeksi kanoniseen muotoon pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi: ax ² +bx=c, a>0 Yksi kuuluisan 1100-luvun intialaisen matemaatikon Bhaskaran ongelmista. , syötyään sydämensä kyllyydestä, oli hauskaa. Kahdeksas osa heistä aukiolla pidin hauskaa aukiolla. Ja kaksitoista viiniköynnöksillä... He alkoivat hypätä riippuessaan... Kuinka monta apinaa oli tässä laumassa, kerro minulle? Tehtävää vastaava yhtälö: Baskara kirjoittaa lomakkeen alle: Täytti vasemman puolen neliöön, 0 Yksi kuuluisan 1100-luvun intialaisen matemaatikon Bhaskaran ongelmista Syötyään sydämensä kyllyydestä ovelaa apinaparvi piti hauskaa. Kahdeksas osa heistä aukiolla pidin hauskaa aukiolla. Ja kaksitoista viiniköynnöksillä... He alkoivat hypätä riippuessaan... Kuinka monta apinaa oli tässä laumassa, kerro minulle? Tehtävää vastaava yhtälö: Baskara kirjoittaa lomakkeen alle: Täytti vasemman puolen neliöön,">

Neliöyhtälöt sisään Muinainen Aasia Näin keskiaasialainen tiedemies al-Khorezmi ratkaisi tämän yhtälön: Hän kirjoitti: "Sääntö on: kaksinkertainen juurien määrä, x = 2x 5 tässä tehtävässä saat viisi, kerro 5 tällä yhtä suurella kuin se, siitä tulee kaksikymmentä -viisi, 5 5 = 25 lisää tämä on kolmekymmentäyhdeksän, se on kuusikymmentäneljä, 64 ota tästä juur, se on kahdeksan, 8 ja vähennä tästä puolesta juurien lukumäärä, eli viisi, 8- 5 pysyy 3 tämä on etsimäsi neliön juuri." Entä toinen juuri? Toista juuria ei löytynyt, koska negatiivisia lukuja ei tiedetty. x x = 39

Neliöyhtälöt Euroopassa XIII-XVII vuosisadalla. Yhdelle kanoniselle muotoon x2+inx+c=0 pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen yleissäännön Stiefel muotoili Euroopassa vasta vuonna 1544. Kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Euroopassa esitti ensimmäisen kerran vuonna 1202 italialainen matemaatikko Leonard Fibonacci. Kaavan johdanto toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi yleisessä muodossa on saatavilla Vièteltä, mutta Viète tunnisti vain positiiviset juuret. Vasta 1700-luvulla. Descartesin, Newtonin ja muiden tiedemiesten töiden ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä saa nykyaikaisen muodon

Vietan lauseesta Lauseen, joka ilmaisee toisen asteen yhtälön kertoimien ja sen juurien välistä suhdetta ja jonka nimi on Vieta, hän muotoili ensimmäisen kerran vuonna 1591 seuraavasti: "Jos B + D kerrottuna A-A:lla on yhtä suuri kuin BD, silloin A on yhtä suuri kuin B ja yhtä suuri kuin D." Vietan ymmärtämiseksi tulee muistaa, että A, kuten mikä tahansa vokaalikirjain, tarkoitti tuntematonta (meidän x:ämme), kun taas vokaalit B, D ovat tuntemattoman kertoimia. Nykyalgebran kielellä yllä oleva Vieta-formulaatio tarkoittaa: Jos annetulla toisen asteen yhtälöllä x 2 +px+q=0 on todelliset juuret, niin niiden summa on yhtä suuri kuin -p ja tulo on yhtä suuri kuin q, eli x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (edellä olevan toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella etumerkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi ).

Tekijöintimenetelmä tuo yleisen toisen asteen yhtälön muotoon: A(x)·B(x)=0, missä A(x) ja B(x) ovat polynomeja x:n suhteen. Tarkoitus: Poistaminen yhteinen kerroin sulkeiden ulkopuolella; Lyhennettyjen kertolaskujen käyttö; Ryhmittelymenetelmä. Menetelmät: Esimerkki:

Neliöyhtälön juuret: Jos D>0, Jos D 0, jos D> 0, jos D> 0, jos D" title="Nastoyhtälön juuret: Jos D>0, Jos D"> title="Neliöyhtälön juuret: Jos D>0, Jos D"> !}

X 1 ja x 2 ovat yhtälön juuret Yhtälöiden ratkaiseminen Vietan lauseella X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, mikä tarkoittaa, että juurilla on erilaisia merkkejä X 1 + X 2 = – 3, eli suuremman moduulin juuri on negatiivinen Valikoimalla löydämme juuret: X 1 = – 5, X 2 = 2 Esimerkiksi:

0, Vietan lauseen käänteisellä lauseella saadaan juuret: 5;6, sitten palataan alkuperäisen yhtälön juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2,5; 3. Yhtälön ratkaisu" title="Ratkaise yhtälö: 2x 2 - 11x +15 = 0. Siirretään kerroin 2 vapaaseen termiin 2 - 11y +30= 0. D>0, sen mukaan Lauseen käänteinen Vietan lauseelle, saadaan juuret: 5;6, sitten palataan alkuperäisen yhtälön juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2.5; 3. Yhtälön ratkaisu" class="link_thumb"> 14 !} Ratkaise yhtälö: 2x x +15 = 0. Siirretään kerroin 2 vapaaseen termiin y y +30= 0. D>0, lauseen mukaan käänteisesti Vietan lauseeseen, saadaan juuret: 5;6, niin palaa alkuperäisen yhtälön juurille: 2, 5; 3. Vastaus: 2,5; 3. Yhtälöiden ratkaiseminen "heitto"-menetelmällä 0, Vietan lauseen käänteisellä lauseella saadaan juuret: 5;6, sitten palataan alkuperäisen yhtälön juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2,5; 3. Yhtälön "> 0 ratkaisu, Vietan lauseelle käänteisen lauseen mukaan saadaan juuret: 5;6, sitten palataan alkuperäisen yhtälön juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2.5; 3. Ratkaisu yhtälöistä "siirto"-menetelmällä." > 0, Vietan lauseen käänteisellä lauseella saadaan juuret: 5;6, sitten palataan alkuperäisen yhtälön juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2,5; 3. Yhtälön ratkaisu" title="Ratkaise yhtälö: 2x 2 - 11x +15 = 0. Siirretään kerroin 2 vapaaseen termiin 2 - 11y +30= 0. D>0, sen mukaan Lauseen käänteinen Vietan lauseelle, saadaan juuret: 5;6, sitten palataan alkuperäisen yhtälön juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2.5; 3. Yhtälön ratkaisu"> title="Ratkaise yhtälö: 2x 2 - 11x +15 = 0. Siirretään kerroin 2 vapaaseen termiin y 2 - 11y +30= 0. D>0, lauseella käänteinen Vietan lauseeseen, saadaan juuret: 5; 6, sitten palataan alkuperäisten yhtälöiden juuriin: 2.5; 3. Vastaus: 2,5; 3. Yhtälön ratkaisu"> !}

Jos toisen asteen yhtälössä a+b+c=0, niin toinen juurista on yhtä suuri kuin 1 ja toinen Vietan lauseen mukaan on yhtä suuri kuin toinen, kun Vietan lause on yhtä kuin Jos toisen asteen yhtälössä a+c=b , silloin yksi juurista on yhtä suuri kuin (-1), ja toinen on Vietan lause sama kuin Esimerkki: Toisen yhtälön 137x x – 157 = 0 kertoimien ominaisuudet. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, vastaus: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, vastaus: 1;

Graafinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi Käyttämättä kaavoja, toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista graafisesti. Ratkaisemme yhtälön. Tätä varten rakennamme kaksi kuvaajaa: X Y X 01 Y012 Vastaus: Kaavioiden leikkauspisteiden abskissat ovat yhtälön juuria. Jos kuvaajat leikkaavat kahdessa pisteessä, yhtälöllä on kaksi juuria. Jos kuvaajat leikkaavat yhdessä pisteessä, yhtälöllä on yksi juuri. Jos kaaviot eivät leikkaa, yhtälöllä ei ole juuria. 1)y=x2 2)y=x+1

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen nomogrammin avulla Tämä on vanha ja ansaittomasti unohdettu tapa ratkaista toisen asteen yhtälöitä, s. 83 “Nelinumeroiset matemaattiset taulukot” Bradis V.M. Taulukko XXII. Nomogrammi yhtälön ratkaisemiseksi Tämän nomogrammin avulla voidaan määrittää yhtälön juuret sen kertoimista ilman toisen asteen yhtälön ratkaisemista. Yhtälölle nomogrammi antaa juuret

Geometrinen menetelmä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Muinaisina aikoina, jolloin geometria oli kehittyneempää kuin algebra, toisen asteen yhtälöitä ei ratkaistu algebrallisesti, vaan geometrisesti. Mutta esimerkiksi kuinka muinaiset kreikkalaiset ratkaisivat yhtälön: tai Lausekkeet ja geometrisesti edustavat samaa neliötä, ja alkuperäinen yhtälö on sama yhtälö. Mistä saamme mitä tai

Johtopäätös Nämä ratkaisumenetelmät ansaitsevat huomiota, koska ne eivät kaikki näy koulumatematiikan oppikirjoissa; näiden tekniikoiden hallitseminen auttaa opiskelijoita säästämään aikaa ja ratkaisemaan yhtälöitä tehokkaasti; nopean ratkaisun tarve johtuu sovelluksesta testijärjestelmä pääsykokeet;

JOHDANTO

Yhtälöt ovat johtavassa asemassa koulun algebran kurssissa. Heidän opiskeluunsa käytetään enemmän aikaa kuin mihinkään muuhun aiheeseen. koulun kurssi matematiikka. Yhtälöteorian vahvuus on, että sillä ei ole vain teoreettista merkitystä luonnonlakien tuntemuksessa, vaan se palvelee myös erityisiä käytännön tarkoituksia. Useimmat tilamuotoihin ja kvantitatiivisiin suhteisiin liittyvät ongelmat todellisessa maailmassa liittyvät erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Hallitsemalla tapoja ratkaista niitä, ihmiset löytävät vastauksia erilaisiin tieteen ja teknologian kysymyksiin (liikenne, maatalous, teollisuus, viestintä jne.). Myös yhtälönratkaisukyvyn kehittymisen kannalta opiskelijan itsenäinen työskentely yhtälönratkaisun oppimisessa on erittäin tärkeää. Mitä tahansa aihetta opiskellessa yhtälöitä voidaan käyttää tehokkaana keinona lujittaa, syventää, toistaa ja laajentaa teoreettista tietoa opiskelijoiden luovan matemaattisen toiminnan kehittämiseksi.

Nykymaailmassa yhtälöitä käytetään laajasti matematiikan eri aloilla ja tärkeiden sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Tälle aiheelle on ominaista esityksen suuri syvyys ja sen avulla opetuksessa luotujen yhteyksien rikkaus sekä esityksen looginen pätevyys. Siksi sillä on poikkeuksellinen asema yhtälöiden rivissä. Neliötrinomi-aiheen opiskelun aloittavat opiskelijat jo kertyneen kokemuksen jälkeen riittävän laajan algebrallisten ja yleisten matemaattisten käsitteiden, käsitteiden ja taitojen hallussa. Suurelta osin juuri tämän aiheen aineistosta on tarpeen syntetisoida yhtälöihin liittyvää materiaalia, toteuttaa historismin ja saavutettavuuden periaatteet.

Merkityksellisyys Aiheena on historismin periaatteiden toteuttamisen tarve ja aineiston riittämättömyys tämän toteuttamiseen aiheesta "Kesällisten yhtälöiden ratkaiseminen".

Tutkimusongelma: henkilöllisyystodistus historiallista materiaalia oppia ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä.

Työn tavoite: ideoiden muodostaminen toisen asteen yhtälöiden työstämisestä matematiikan tunneilla, oppituntisarjan valinta historismin elementeillä aiheesta "Kvadraattiset yhtälöt".

Tutkimuksen kohde: toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen 8. luokalla käyttäen historismin elementtejä.

Opintojen aihe: toisen asteen yhtälöt ja oppituntien kehittäminen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen historiallisten materiaalien avulla.

Tehtävät:

suorittaa tutkimusongelman tieteellisen ja metodologisen kirjallisuuden analyysin;

analysoida koulukirjat ja korosta niissä paikka, jossa opitaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä;

valita oppitunteja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta historiallisten materiaalien avulla.

Tutkimusmenetelmät:

kirjallisuuden analyysi aiheesta "Klikraattisten yhtälöiden ratkaiseminen";

opiskelijoiden havainnointi oppitunnin aikana aiheesta "Keskinen yhtälöiden ratkaiseminen";

materiaalin valinta: oppitunnit aiheesta "Keskinen yhtälöiden ratkaiseminen" historiallisen tiedon avulla.

§ 1. Toisen asteen yhtälöiden syntyhistoriasta

Algebra syntyi erilaisten ongelmien ratkaisemisen yhteydessä yhtälöiden avulla. Tyypillisesti ongelmat edellyttävät yhden tai useamman tuntemattoman löytämistä, samalla kun tiedetään joidenkin halutuille ja annetuille määrille suoritettujen toimien tulokset. Tällaiset ongelmat liittyvät yhden tai useamman yhtälön ratkaisemiseen, tarvittavien löytämiseen käyttämällä algebrallisia operaatioita tietyille suureille. Algebra tutkii suureiden operaatioiden yleisiä ominaisuuksia.

Joitakin algebrallisia tekniikoita lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi tunnettiin 4000 vuotta sitten muinaisessa Babylonissa.

Neliöyhtälöt muinaisessa Babylonissa

Tarve ratkaista ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä jo muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista ongelmia, jotka liittyvät maa-alueiden löytämiseen ja sotilaallisiin kaivaustöihin. kuten itse tähtitieteen ja matematiikan kehitys. Babylonialaiset pystyivät ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä noin 2000 eaa. Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

Näiden yhtälöiden ratkaisemisen sääntö, joka on esitetty babylonialaisissa teksteissä, on olennaisesti sama kuin nykyaikainen, mutta ei tiedetä, kuinka babylonialaiset päätyivät tähän sääntöön. Lähes kaikki tähän mennessä löydetyt nuolenkirjoitustekstit sisältävät vain ongelmia reseptien muodossa laadittujen ratkaisujen kanssa, ilman viitteitä siitä, miten ne on löydetty. Huolimatta algebran korkeasta kehitystasosta Babylonissa, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Yhtälöitä laatiessaan Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomia ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Tehtävä 2. "Etsi kaksi lukua tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96."

Diophantus perustelee seuraavasti: tehtävän ehdoista seuraa, että vaaditut luvut eivät ole yhtä suuret, koska jos ne olisivat yhtä suuret, heidän tulonsa ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä on suurempi kuin puolet summastaan, eli .
. Toinen on pienempi, ts.
. Niiden välinen ero
. Siksi yhtälö:

Täältä
. Yksi vaadituista luvuista on 12, toinen on 8. Ratkaisu
sillä Diofantosta ei ole olemassa, koska kreikkalainen matematiikka tunsi vain positiivisia lukuja.

Jos ratkaiset tämän ongelman valitsemalla yhden vaadituista luvuista tuntemattomaksi, voit löytää ratkaisun yhtälöön:

Neliöyhtälöt Intiassa

Neliöyhtälöitä koskevia ongelmia löytyy jo intialaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Aryabhattan vuonna 499 laatimasta tähtitieteellisestä tutkielmasta "Aryabhattiam". Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (7. vuosisata), hahmotteli yleisen säännön yhdeksi kanoniseen muotoon pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

(1)

Yhtälössä (1) kertoimet voivat olla myös negatiivisia. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän.

Julkiset kilpailut vaikeiden ongelmien ratkaisemiseksi olivat yleisiä Intiassa. Eräässä vanhoista intialaisista kirjoista sanotaan tällaisista kilpailuista seuraavaa: "Kuten aurinko loistaa loistollaan tähdet, niin oppinut mies ylittää kunniansa julkisissa kokouksissa ehdottamalla ja ratkaisemalla algebrallisia ongelmia." Ongelmat esitettiin usein runollisessa muodossa.

Tämä on yksi kuuluisan intialaisen 1100-luvun matemaatikon ongelmista. Bhaskarit.

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että kirjoittaja tiesi, että toisen asteen yhtälöiden juuret ovat kaksiarvoisia.

Tehtävää 3 vastaava yhtälö on:

Bhaskara kirjoittaa varjolla:

ja täydentääksesi tämän yhtälön vasemman puolen neliöön, lisää molemmille puolille 322, jolloin saadaan:

Al-Khwarizmin toisen asteen yhtälöt

Al-Khwarizmin algebrallinen tutkielma antaa lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden luokituksen. Kirjoittaja laskee 6 tyyppistä yhtälöä ja ilmaisee ne seuraavasti:

Al-Khwarizmille, joka vältti negatiivisten lukujen käyttöä, kunkin yhtälön ehdot ovat yhteenlaskuja eivätkä vähennyskelpoisia. Tässä tapauksessa yhtälöitä, joilla ei ole positiivisia ratkaisuja, ei tietenkään oteta huomioon. Kirjoittaja esittää menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi al-jabrin ja al-mukabalin tekniikoilla. Hänen päätöksensä ei tietenkään ole täysin sama kuin meidän. Puhumattakaan siitä, että se on puhtaasti retorinen, on esimerkiksi huomattava, että kun Al-Khorezmi ratkaisee ensimmäisen tyypin epätäydellisen toisen asteen yhtälön, niin kuin kaikki matemaatikot 1600-luvulle asti, ei ota huomioon nollaratkaisua, luultavasti siksi, että tietyssä käytännössä sillä ei ole väliä tehtävissä. Ratkaisessaan täydellisiä toisen asteen yhtälöitä Al-Khwarizmi esittää säännöt niiden ratkaisemiseksi käyttämällä tiettyjä numeerisia esimerkkejä ja sitten niiden geometrisia todisteita.

Otetaan esimerkki.

Tehtävä 4. ”Neliö ja luku 21 ovat yhtä kuin 10 juuria. Etsi juuri" (tarkoittaa yhtälön juuria
).

Ratkaisu: jaa juurten määrä kahtia, saat 5, kerro 5 itsellään, vähennä tulosta 21, jäljelle jää 4. Ota juuri 4:stä, saat 2. Vähennä 5:stä 2, saat 3, tämä on etsimäsi juuri. Tai lisää 2 viiteen, mikä antaa 7, tämä on myös juuri.

Al-Khwarizmin tutkielma on ensimmäinen meille saapunut kirja, jossa esitetään systemaattisesti toisen asteen yhtälöiden luokittelu ja annetaan kaavoja niiden ratkaisuun.

Toisen asteen yhtälöt EuroopassaXII- XVIIV.

Tämä kirja auttoi algebrallisen tiedon leviämistä paitsi Italiassa, myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monia tämän kirjan ongelmia käytettiin lähes kaikissa 1300-1600-luvun eurooppalaisissa oppikirjoissa. Yleinen sääntö toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseen muotoon
kaikille mahdollisille merkkien ja kertoimien yhdistelmille b, c muotoili Euroopassa vuonna 1544 M. Stiefel.

Algebrallisten menetelmien alkuperä käytännön ongelmien ratkaisemiseksi liittyy tieteeseen muinainen maailma. Kuten matematiikan historiasta tiedetään, merkittävä osa egyptiläisten, sumerilaisten ja babylonialaisten kirjanoppineiden ja laskelmien (XX-VI vuosisatoja eKr.) ratkomista matemaattisista ongelmista oli laskennallisia. Kuitenkin silloinkin ajoittain ilmaantui ongelmia, joissa suuren haluttu arvo määriteltiin tietyillä epäsuorilla ehdoilla, jotka nykyajan näkökulmastamme vaativat yhtälön tai yhtälöjärjestelmän muodostamista. Aluksi tällaisten ongelmien ratkaisemiseen käytettiin aritmeettisia menetelmiä. Myöhemmin algebrallisten käsitteiden alkuja alkoi muodostua. Esimerkiksi babylonialaiset laskimet pystyivät ratkaisemaan ongelmia, jotka nykyajan luokituksen kannalta voidaan pelkistää toisen asteen yhtälöiksi. Tekstitehtävien ratkaisuun luotiin menetelmä, joka myöhemmin toimi perustana algebrallisen komponentin eristämiselle ja sen itsenäiselle tutkimukselle.

Tämän tutkimuksen suorittivat toisella aikakaudella, ensin arabimatemaatikot (VI-X vuosisatoja jKr.), jotka tunnistivat tunnusomaiset toimet, joilla yhtälöt pelkistettiin vakionäkymä samankaltaisten termien tuominen, termien siirtäminen yhtälön osasta toiseen etumerkin muutoksella. Ja sitten eurooppalaiset renessanssin matemaatikot, jotka pitkän etsinnän tuloksena loivat modernin algebran kielen, kirjainten käytön, symbolien käyttöönoton aritmeettisiin operaatioihin, sulkuihin jne. 16. 1700-luvulla. algebra matematiikan erityisenä osana, jolla on oma aihe, menetelmä ja sovellusalueet, oli jo muodostunut. Sen jatkokehitys käsitti meidän aikanamme menetelmien parantamisen, sovellusalueen laajentamisen, käsitteiden ja niiden yhteyksien selkiyttämisen matematiikan muiden alojen käsitteisiin.

Joten, kun otetaan huomioon yhtälön käsitteeseen liittyvän materiaalin merkitys ja laajuus, sen tutkiminen nykyaikaisia menetelmiä matematiikka liittyy kolmeen pääalueeseensa sen alkuperässä ja toiminnassa.

Toisen asteen yhtälöiden historiasta.

a) Neliöyhtälöt muinaisessa Babylonissa

Tarve ratkaista ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä jo muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista ongelmia, jotka liittyvät maa-alueiden löytämiseen ja sotilaallisiin kaivaustöihin. kuten itse tähtitieteen ja matematiikan kehitys. Neliöyhtälöt voitiin ratkaista noin 2000 eaa. babylonialaiset. Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Huolimatta algebran korkeasta kehitystasosta Babylonissa, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Yhtälöitä laatiessaan Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomia ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Tehtävä 2. "Etsi kaksi lukua tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96."

Diophantus perustelee seuraavasti: tehtävän ehdoista seuraa, että vaaditut luvut eivät ole yhtä suuret, koska jos ne olisivat yhtä suuret, heidän tulonsa ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä on suurempi kuin puolet niiden summasta, eli .10 + x. Toinen on pienempi, eli 10 - x. Niiden välinen ero on 2x. Siksi yhtälö:

(10+x)(10-x) =96,

tai

100 -x 2 = 96.

Siten x = 2. Yksi vaadituista luvuista on 12, toinen on 8. Ratkaisua x = - 2 ei ole Diophantukselle, koska kreikkalainen matematiikka tiesi vain positiiviset luvut.

Jos ratkaiset tämän ongelman valitsemalla yhden vaadituista luvuista tuntemattomaksi, voit löytää ratkaisun yhtälöön:

Neliöyhtälöitä koskevia ongelmia löytyy jo intialaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Aryabhattan vuonna 499 laatimasta tähtitieteellisestä tutkielmasta "Aryabhattiam". Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (7. vuosisata), esitti yleisen säännön yhdeksi kanoniseen muotoon pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

vai niin 2 + bx = c, a > 0

Yhtälössä kertoimet paitsi A, voi olla negatiivinen. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän.

Tämä on yksi kuuluisan intialaisen 1100-luvun matemaatikon ongelmista. Bhaskarit.

Tehtävä 3.

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että kirjoittaja tiesi, että toisen asteen yhtälöiden juuret ovat kaksiarvoisia.

Tehtävää 3 vastaava yhtälö on:

Bhaskara kirjoittaa varjolla:

x 2 - 64x = - 768

ja täydentääksesi tämän yhtälön vasemman puolen neliöön, lisää molemmille puolille 32 2, jolloin saadaan:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khorezmin toisen asteen yhtälöt

Al-Khwarizmin algebrallinen tutkielma antaa lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden luokituksen. Kirjoittaja laskee 6 tyyppistä yhtälöä ja ilmaisee ne seuraavasti:

"Neliöt ovat yhtä suuria kuin juuret", eli ax 2 = bx.
"Neliöt ovat yhtä suuria kuin numerot", eli ax 2 = c.
"Juurit ovat yhtä suuria kuin luku", eli ax = c.
"Neliöt ja luvut ovat yhtä suuria kuin juuri", eli ax 2 + c = bx.
"Neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin luku", eli ax 2 + bx = c.
"Juuret ja luvut ovat yhtä suuria kuin neliöt", eli bx + c == ax 2.

Al-Khwarizmille, joka vältti negatiivisten lukujen käyttöä, kunkin yhtälön ehdot ovat yhteenlaskuja eivätkä vähennyskelpoisia. Tässä tapauksessa yhtälöitä, joilla ei ole positiivisia ratkaisuja, ei tietenkään oteta huomioon. Kirjoittaja esittää menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi al-jabrin ja al-mukabalin tekniikoilla. Hänen päätöksensä ei tietenkään ole täysin sama kuin meidän. Puhumattakaan siitä tosiasiasta, että se on puhtaasti retorinen, on esimerkiksi huomattava, että kun Al-Khorezmi ratkaisee ensimmäisen tyypin epätäydellisen toisen asteen yhtälön, Al-Khorezmi, kuten kaikki matemaatikot 1600-luvulle asti, ei ota huomioon nollaa. ratkaisu, luultavasti siksi, että tietyssä käytännössä sillä ei ole väliä tehtävissä. Ratkaisessaan täydellisiä toisen asteen yhtälöitä Al-Khwarizmi esittää säännöt niiden ratkaisemiseksi käyttämällä tiettyjä numeerisia esimerkkejä ja sitten niiden geometrisia todisteita.

Otetaan esimerkki.

Tehtävä 4. ”Neliö ja luku 21 ovat yhtä kuin 10 juuria. Etsi juuri” (eli yhtälön juurta x 2 + 21 = 10x).

Ratkaisu: jaa juurten määrä kahtia, saat 5, kerro 5 itsellään, vähennä tulosta 21, jäljelle jää 4. Ota juuri 4:stä, saat 2. Vähennä 5:stä 2, saat 3, tämä on haluttu juuri. Tai lisää 2 viiteen, mikä antaa 7, tämä on myös juuri.

Al-Khorezmin tutkielma on ensimmäinen meille saapunut kirja, jossa esitetään systemaattisesti toisen asteen yhtälöiden luokittelu ja annetaan kaavat niiden ratkaisuun.

d) Neliöyhtälöt Euroopassa 1200-1600-luvuilla.

Al-Khwarizmin mukaan Euroopassa mallinnetut toisen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat esitettiin ensimmäisen kerran "Abacuksen kirjassa", jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Tämä laaja teos, joka heijastaa sekä islamilaisten maiden että antiikin Kreikan matematiikan vaikutusta, erottuu sen täydellisyydestä ja esityksen selkeydestä. Kirjoittaja kehitti itsenäisesti uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja lähestyi ensimmäisenä Euroopassa negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tiedon leviämistä ei vain Italiassa, vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monia Abacus-kirjan ongelmia käytettiin lähes kaikissa 1500-1600-luvun eurooppalaisissa oppikirjoissa. ja osittain XVIII.

Yleinen sääntö toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseen muotoon

x 2 + bx = c,

kaikille mahdollisille kerroinmerkkiyhdistelmille b, Kanssa M. Stiefel muotoili Euroopassa vasta vuonna 1544.

Kaavan johdanto toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi yleisessä muodossa on saatavilla Vietassa, mutta Vieta tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisten joukossa 1500-luvulla. Positiivisten lisäksi huomioidaan myös negatiiviset juuret. Vasta 1700-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden töiden ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä saa nykyaikaisen muodon.

Algebrallisten menetelmien alkuperä käytännön ongelmien ratkaisemiseksi liittyy antiikin maailman tieteeseen. Kuten matematiikan historiasta tiedetään, merkittävä osa egyptiläisten, sumerilaisten, babylonialaisten kirjanoppineiden-laskijoiden (XX-VI vuosisatoja eKr.) ratkaisemista matemaattisista ongelmista oli luonteeltaan laskennallisia. Kuitenkin silloinkin ajoittain ilmaantui ongelmia, joissa suuren haluttu arvo määriteltiin tietyillä epäsuorilla ehdoilla, jotka nykyajan näkökulmastamme vaativat yhtälön tai yhtälöjärjestelmän muodostamista. Aluksi tällaisten ongelmien ratkaisemiseen käytettiin aritmeettisia menetelmiä. Myöhemmin algebrallisten käsitteiden alkuja alkoi muodostua. Esimerkiksi babylonialaiset laskimet pystyivät ratkaisemaan ongelmia, joita voidaan pienentää näkökulmasta moderni luokitus toisen asteen yhtälöihin. Tekstitehtävien ratkaisuun luotiin menetelmä, joka myöhemmin toimi perustana algebrallisen komponentin eristämiselle ja sen itsenäiselle tutkimukselle.

Tämän tutkimuksen suorittivat toisella aikakaudella, ensin arabimatemaatikot (VI-X vuosisatoja jKr.), jotka tunnistivat tyypillisiä toimia, joilla yhtälöt saatettiin vakiomuotoon: samanlaisten termien tuominen, termien siirtäminen yhtälön yhdestä osasta toiseen merkin vaihto. Ja sitten eurooppalaiset renessanssin matemaatikot, jotka pitkän etsinnän tuloksena loivat modernin algebran kielen, kirjainten käytön, symbolien käyttöönoton aritmeettisiin operaatioihin, sulkuihin jne. 16. 1700-luvulla. algebra matematiikan erityisenä osana, jolla on oma aihe, menetelmä ja sovellusalueet, oli jo muodostunut. Sen jatkokehitys käsitti meidän aikanamme menetelmien parantamisen, sovellusalueen laajentamisen, käsitteiden ja niiden yhteyksien selkiyttämisen matematiikan muiden alojen käsitteisiin.

Joten, kun otetaan huomioon yhtälön käsitteeseen liittyvän materiaalin merkitys ja laajuus, sen tutkiminen nykyaikaisissa matematiikan menetelmissä liittyy kolmeen sen alkuperän ja toiminnan pääalueeseen.