ចំនួនសនិទានភាពឬមិនសមហេតុផល។ លេខមិនសមហេតុផល៖ តើពួកវាជាអ្វី និងប្រើសម្រាប់អ្វី

តើលេខមិនសមហេតុផលជាអ្វី? ហេតុអ្វីបានជាគេហៅវា? តើ​គេ​ប្រើ​នៅ​ឯណា ហើយ​ប្រើ​អ្វី? មានមនុស្សតិចណាស់ដែលអាចឆ្លើយសំណួរទាំងនេះដោយមិនគិត។ ប៉ុន្តែតាមពិត ចម្លើយចំពោះពួកគេគឺសាមញ្ញណាស់ ទោះបីមិនមែនគ្រប់គ្នាត្រូវការពួកគេ និងក្នុងស្ថានភាពដ៏កម្រក៏ដោយ។

ខ្លឹមសារនិងនិយមន័យ

លេខមិនសមហេតុផលតំណាងឱ្យគ្មានកំណត់តាមកាលកំណត់ តម្រូវការដើម្បីណែនាំគំនិតនេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលកំពុងលេចឡើងថ្មី គំនិតដែលមានស្រាប់ពីមុននៃចំនួនពិត ឬពិតប្រាកដ ចំនួនគត់ ធម្មជាតិ និងសនិទានភាពគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ទៀតទេ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនាបរិមាណណាមួយជាការ៉េនៃ 2 អ្នកត្រូវប្រើទសភាគគ្មានកំណត់ដែលមិនមែនជាតាមកាលកំណត់។ លើសពីនេះ សមីការសាមញ្ញជាច្រើនក៏មិនមានដំណោះស្រាយដោយមិនបានបង្ហាញពីគំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផលនោះទេ។

សំណុំនេះត្រូវបានតំណាងថាជា I. ហើយដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ តម្លៃទាំងនេះមិនអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគសាមញ្ញទេ ភាគយកដែលនឹងជាចំនួនគត់ ហើយភាគបែងនឹងជា

ជាលើកដំបូង គណិតវិទូឥណ្ឌាបានជួបប្រទះបាតុភូតនេះនៅសតវត្សទី 7 នៅពេលដែលវាត្រូវបានគេរកឃើញថាឫសការ៉េនៃបរិមាណមួយចំនួនមិនអាចបញ្ជាក់បានច្បាស់លាស់នោះទេ។ ហើយភស្តុតាងដំបូងនៃអត្ថិភាពនៃលេខបែបនេះត្រូវបានសន្មតថាជា Pythagorean Hippasus ដែលបានធ្វើវានៅក្នុងដំណើរការនៃការសិក្សា isosceles ។ ត្រីកោណកែង. អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រខ្លះទៀតដែលរស់នៅមុនសម័យរបស់យើងបានចូលរួមចំណែកយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរក្នុងការសិក្សាអំពីសំណុំនេះ។ សេចក្តីផ្តើមនៃគោលគំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផលបានរួមបញ្ចូលការពិនិត្យឡើងវិញនៃប្រព័ន្ធគណិតវិទ្យាដែលមានស្រាប់ ដែលជាមូលហេតុដែលពួកគេមានសារៈសំខាន់ណាស់។

ប្រភពដើមនៃឈ្មោះ

ប្រសិនបើសមាមាត្របកប្រែពីឡាតាំងគឺ "ប្រភាគ" "សមាមាត្រ" បន្ទាប់មកបុព្វបទ "ir"
ផ្តល់ឱ្យពាក្យនេះនូវអត្ថន័យផ្ទុយ។ ដូច្នេះឈ្មោះនៃសំណុំលេខទាំងនេះបង្ហាញថា ពួកវាមិនអាចទាក់ទងគ្នាជាមួយចំនួនគត់ ឬប្រភាគ ហើយមានកន្លែងដាច់ដោយឡែក។ នេះធ្វើតាមខ្លឹមសាររបស់ពួកគេ។

ដាក់ក្នុងចំណាត់ថ្នាក់ទូទៅ

លេខមិនសមហេតុផល រួមជាមួយនឹងលេខសនិទានភាព ជារបស់ក្រុមនៃចំនួនពិត ឬពិតប្រាកដ ដែលនៅក្នុងវេនជារបស់ចំនួនកុំផ្លិច។ មិនមានសំណុំរងទេ ប៉ុន្តែមានប្រភេទពិជគណិត និង វិសាលភាព ដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សាខាងក្រោម។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ដោយសារលេខមិនសមហេតុផលគឺជាផ្នែកមួយនៃសំណុំនៃចំនួនពិត លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់របស់ពួកគេដែលត្រូវបានសិក្សាក្នុងនព្វន្ធ (ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ពិជគណិតមូលដ្ឋានផងដែរ) អនុវត្តចំពោះពួកគេ។

a + b = b + a (ការផ្លាស់ប្តូរ);

(a + b) + c = a + (b + c) (សមាគម);

a + (-a) = 0 (អត្ថិភាពនៃលេខផ្ទុយ);

ab = ba (ច្បាប់ចម្លង);

(ab)c = a(bc) (ការចែកចាយ);

a(b+c) = ab + ac (ច្បាប់ចែកចាយ);

a x 1/a = 1 (អត្ថិភាពនៃលេខទៅវិញទៅមក);

ការប្រៀបធៀបក៏ត្រូវបានធ្វើឡើងស្របតាម លំនាំទូទៅនិងគោលការណ៍៖

ប្រសិនបើ a > b និង b > c នោះ a > c (អន្តរកាលនៃទំនាក់ទំនង) និង។ ល។

ជាការពិតណាស់ លេខមិនសមហេតុផលទាំងអស់អាចត្រូវបានបំប្លែងដោយប្រើនព្វន្ធមូលដ្ឋាន។ គ្មាន ច្បាប់ពិសេសក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះទេ។

លើសពីនេះទៀត axiom Archimedes អនុវត្តចំពោះលេខមិនសមហេតុផល។ វាចែងថាសម្រាប់បរិមាណពីរណាមួយ a និង b វាជាការពិតដែលយក a ជាពាក្យ បរិមាណគ្រប់គ្រាន់ដងអាចលើស ខ.

ការប្រើប្រាស់

ទោះបីជាការពិតដែលអ្នកមិនជួបពួកគេញឹកញាប់ក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃក៏ដោយ ក៏លេខមិនសមហេតុផលមិនអាចរាប់បានទេ។ មានចំនួនដ៏ច្រើននៃពួកគេ ប៉ុន្តែពួកគេស្ទើរតែមើលមិនឃើញ។ លេខមិនសមហេតុផលគឺនៅជុំវិញយើង។ ឧទាហរណ៍ដែលគ្រប់គ្នាធ្លាប់ស្គាល់គឺលេខ pi ស្មើនឹង 3.1415926... ឬ e ដែលជាមូលដ្ឋានសំខាន់នៃលោការីតធម្មជាតិ 2.718281828... ក្នុងពិជគណិត ត្រីកោណមាត្រ និងធរណីមាត្រ ពួកវាត្រូវប្រើជានិច្ច។ និយាយ​អញ្ចឹង, អត្ថន័យដ៏ល្បីល្បាញ"សមាមាត្រមាស" មានន័យថាសមាមាត្រនៃផ្នែកធំទៅផ្នែកតូចនិងច្រាសមកវិញផងដែរ។

ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ឈុតនេះ។ "ប្រាក់" ដែលមិនសូវស្គាល់ផងដែរ។

នៅលើបន្ទាត់លេខ ពួកវាស្ថិតនៅយ៉ាងក្រាស់ ដូច្នេះរវាងបរិមាណទាំងពីរដែលត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាសនិទានភាព ភាពមិនសមហេតុផលមួយប្រាកដជាកើតឡើង។

នៅតែមានបញ្ហាជាច្រើនដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាក់ទងនឹងឈុតនេះ។ មានលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដូចជារង្វាស់នៃភាពមិនសមហេតុផល និងភាពធម្មតានៃលេខ។ គណិតវិទូបន្តសិក្សាឧទាហរណ៍សំខាន់ៗបំផុតដើម្បីកំណត់ថាតើពួកគេជាក្រុមមួយឬមួយផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានគេជឿថា e គឺជាលេខធម្មតា ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃលេខផ្សេងគ្នាដែលលេចឡើងក្នុងសញ្ញាណរបស់វាគឺដូចគ្នា។ ចំពោះ pi ការស្រាវជ្រាវនៅតែកំពុងដំណើរការទាក់ទងនឹងវា។ រង្វាស់នៃភាពមិនសមហេតុផលគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាតើចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានគេប៉ាន់ស្មានដោយលេខសមហេតុផល។

ពិជគណិត និងវិញ្ញាសា

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ លេខមិនសមហេតុផលត្រូវបានបែងចែកតាមធម្មតាទៅជាពិជគណិត និងវិញ្ញាបនបត្រ។ តាមលក្ខខណ្ឌ ចាប់តាំងពីនិយាយយ៉ាងតឹងរឹង ចំណាត់ថ្នាក់នេះត្រូវបានប្រើដើម្បីបែងចែកសំណុំ C ។

ការ​កំណត់​នេះ​លាក់​ចំនួន​កុំផ្លិច ដែល​រួម​មាន​ចំនួន​ពិត ឬ​លេខ​ពិត។

ដូច្នេះ ពិជគណិតគឺជាតម្លៃដែលជាឫសគល់នៃពហុធា ដែលមិនដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យ។ ឧទាហរណ៍, ឫស​ការេនៃ 2 នឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងប្រភេទនេះព្រោះវាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x 2 − 2 = 0 ។

លេខពិតផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានគេហៅថាវិចារណញាណ។ ពូជនេះរួមមានឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីល្បាញបំផុត និងដែលបានរៀបរាប់រួចហើយ - លេខ pi និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ អ៊ី។

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ ទាំងអ្នកគណិតវិទូដំបូងឡើយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូក្នុងសមត្ថភាពនេះ ភាពមិនសមហេតុផល និងវិសាលភាពរបស់ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញជាច្រើនឆ្នាំបន្ទាប់ពីការរកឃើញរបស់ពួកគេ។ សម្រាប់ pi ភ័ស្តុតាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅឆ្នាំ 1882 ហើយត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៅឆ្នាំ 1894 ដោយបញ្ចប់ការជជែកដេញដោលរយៈពេល 2,500 ឆ្នាំអំពីបញ្ហានៃការបំបែករង្វង់។ វា​នៅ​មិន​ទាន់​បាន​សិក្សា​ពេញលេញ​នៅឡើយ ដូច្នេះ​អ្នក​គណិតវិទ្យា​សម័យ​ទំនើប​មាន​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​ធ្វើ។ ដោយវិធីនេះ ការគណនាត្រឹមត្រូវជាលើកដំបូងនៃតម្លៃនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយ Archimedes ។ មុនពេលគាត់ការគណនាទាំងអស់គឺប្រហាក់ប្រហែលពេក។

សម្រាប់ e (លេខរបស់អយល័រ ឬលេខរបស់ Napier) ភស្តុតាងនៃការឆ្លងកាត់របស់វាត្រូវបានរកឃើញនៅឆ្នាំ 1873 ។ វាត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការលោការីត។

ឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតរួមមានតម្លៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់សម្រាប់តម្លៃពិជគណិតណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ។

ភាពអរូបីនៃគំនិតគណិតវិទ្យា ជួនកាលបញ្ចេញនូវភាពច្របូកច្របល់យ៉ាងខ្លាំង ដែលគំនិតកើតឡើងដោយអចេតនា៖ "ហេតុអ្វីទាំងអស់នេះសម្រាប់?" ប៉ុន្តែទោះបីជាមានចំណាប់អារម្មណ៍ដំបូងក៏ដោយ ទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ មុខងារ។ល។ - គ្មានអ្វីក្រៅពីបំណងប្រាថ្នាដើម្បីបំពេញតម្រូវការមូលដ្ឋាន។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ជាពិសេសនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃរូបរាងនៃឈុតផ្សេងៗ។

វាទាំងអស់បានចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរូបរាងនៃលេខធម្មជាតិ។ ហើយទោះបីជាវាមិនទំនងថាឥឡូវនេះអ្នកណាម្នាក់នឹងអាចឆ្លើយបានថាវាពិតប្រាកដប៉ុណ្ណាក៏ដោយ ភាគច្រើនទំនងជាជើងរបស់មហាក្សត្រីវិទ្យាសាស្ត្រដុះចេញពីកន្លែងណាមួយនៅក្នុងរូងភ្នំ។ នៅទីនេះ ការវិភាគចំនួនស្បែក ថ្ម និងកុលសម្ព័ន្ធ មនុស្សម្នាក់មាន "ចំនួនជាច្រើនដែលត្រូវរាប់"។ ហើយវាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់គាត់។ ជាការពិតណាស់រហូតដល់ចំណុចណាមួយ។

បន្ទាប់​មក ស្បែក និង​ថ្ម​ត្រូវ​បែង​ចែក ហើយ​យក​ទៅ​ឆ្ងាយ។ នេះជារបៀបដែលតម្រូវការបានកើតឡើងសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ ហើយជាមួយនឹងពួកគេសនិទានភាព ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ជាប្រភាគដូចជា m/n ដែលឧទាហរណ៍ m គឺជាចំនួនស្បែក n គឺជាចំនួនកុលសម្ព័ន្ធមិត្ត។

វាហាក់ដូចជាថាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដែលបានរកឃើញរួចហើយគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរីករាយនឹងជីវិត។ ប៉ុន្តែមិនយូរប៉ុន្មានវាបានប្រែក្លាយថាមានករណីនៅពេលដែលលទ្ធផលគឺមិនត្រឹមតែមិនមែនជាចំនួនគត់, ប៉ុន្តែមិនមានសូម្បីតែប្រភាគ! ហើយជាការពិត ឫសការេនៃពីរមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមវិធីផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគយក និងភាគបែងទេ។ ឬជាឧទាហរណ៍ លេខដ៏ល្បី Pi ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Archimedes ក៏មិនសមហេតុផលដែរ។ ហើយយូរ ៗ ទៅការរកឃើញបែបនេះបានក្លាយទៅជាច្រើនដែលលេខទាំងអស់ដែលមិនអាច "សមហេតុផល" ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាហើយហៅថាមិនសមហេតុផល។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

សំណុំដែលបានពិចារណាពីមុនជាសំណុំនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យា។ នេះមានន័យថា ពួកវាមិនអាចកំណត់បានតាមរយៈវត្ថុគណិតវិទ្យាសាមញ្ញជាងនេះទេ។ ប៉ុន្តែនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយជំនួយនៃប្រភេទ (ពី "សេចក្តីថ្លែងការណ៍" ក្រិក) ឬ postulates ។ ក្នុងករណីនេះ វាជាការល្អបំផុតដើម្បីបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឈុតទាំងនេះ។

o លេខមិនសមហេតុផលកំណត់ការកាត់ Dedekind ក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទានដែលមិនមានលេខធំជាងគេនៅលេខខាងក្រោម និងមិនមានលេខតូចបំផុតនៅផ្នែកខាងលើ។

o រាល់លេខវិចារណញាណគឺមិនសមហេតុផល។

o រាល់លេខមិនសមហេតុផលគឺពិជគណិត ឬវិញ្ញាសា។

o សំណុំនៃលេខគឺក្រាស់នៅគ្រប់ទីកន្លែងនៅលើបន្ទាត់លេខ៖ រវាងលេខណាមួយមានលេខមិនសមហេតុផល។

o សំណុំមិនអាចរាប់បាន និងជាសំណុំនៃប្រភេទ Baire ទីពីរ។

o សំណុំនេះត្រូវបានតម្រៀប ពោលគឺសម្រាប់រាល់លេខសនិទានភាពពីរផ្សេងគ្នា a និង b អ្នកអាចបង្ហាញថាមួយណាតិចជាងលេខផ្សេងទៀត។
o រវាងលេខសនិទានភាពពីរផ្សេងគ្នា មានលេខមួយទៀត យ៉ាងហោចណាស់មួយ ហើយ​ដូច្នេះ​សំណុំ​នៃ​ចំនួន​សនិទានភាព​គ្មាន​កំណត់។

o ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ(ការបន្ថែម គុណ និងចែក) លើចំនួនសនិទានទាំងពីរគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន ហើយលទ្ធផលជាលេខសនិទានជាក់លាក់។ ករណីលើកលែងគឺការបែងចែកដោយសូន្យ ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ។

o រាល់លេខសមហេតុសមផលអាចត្រូវបានតំណាងជា ទសភាគ(តាមកាលកំណត់ឬគ្មានកំណត់) ។

ចំនួនសនិទាន- លេខដែលតំណាងដោយប្រភាគធម្មតា m/n ដែលភាគយក m ជាចំនួនគត់ ហើយភាគបែង n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ លេខសនិទានភាពណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់តាមកាលកំណត់។ សំណុំនៃលេខសនិទានភាពត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ Q.

ប្រសិនបើចំនួនពិតមិនសមហេតុផលទេនោះ វាគឺ លេខមិនសមហេតុផល. ប្រភាគទសភាគដែលបង្ហាញពីចំនួនមិនសមហេតុផលគឺគ្មានកំណត់ និងមិនមានតាមកាលកំណត់។ សំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផលជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំ I ។

លេខពិតត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិតប្រសិនបើវាជាឫសនៃពហុធាមួយចំនួន (មិនសូន្យដឺក្រេ) ជាមួយនឹងមេគុណសនិទាន។ លេខដែលមិនមែនជាពិជគណិតត្រូវបានហៅ វិញ្ញាសា.

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖

សំណុំនៃលេខសនិទានដ្ឋានមានទីតាំងនៅគ្រប់ទិសទីយ៉ាងក្រាស់នៅលើអ័ក្សលេខ៖ រវាងលេខសនិទានភាពពីរផ្សេងគ្នា យ៉ាងហោចណាស់មានលេខសនិទានមួយ (ហើយដូច្នេះជាសំណុំលេខសនិទានគ្មានកំណត់)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាបង្ហាញថាសំណុំនៃលេខសនិទានភាព Q និងសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N គឺសមមូល ពោលគឺការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងពួកវា (ធាតុទាំងអស់នៃសំណុំលេខសនិទានអាចត្រូវបានប្តូរលេខ) .

សំណុំ Q ​​នៃលេខសនិទានភាពត្រូវបានបិទក្រោមការបូក ដក គុណ និងចែក ពោលគឺផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតានៃលេខសនិទានទាំងពីរក៏ជាលេខសមហេតុផលផងដែរ។

លេខសមហេតុផលទាំងអស់គឺពិជគណិត (ការសន្ទនាគឺមិនពិត)។

រាល់​លេខ​ឆ្លង​ពិត​គឺ​មិន​សម​ហេតុ​ផល។

រាល់លេខមិនសមហេតុផលគឺពិជគណិត ឬវិញ្ញាបនបត្រ។

សំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផលគឺក្រាស់នៅគ្រប់ទីកន្លែងនៅលើបន្ទាត់លេខ៖ រវាងលេខទាំងពីរមានលេខមិនសមហេតុផល (ហើយដូច្នេះជាសំណុំនៃចំនួនមិនសមហេតុផល)។

សំណុំនៃចំនួនមិនសមហេតុផលគឺមិនអាចរាប់បាន។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា វាជាការងាយស្រួល រួមជាមួយនឹងចំនួនមិនសមហេតុផល a + b√ c (ដែល a, b ជាលេខសនិទាន c ជាចំនួនគត់ដែលមិនមែនជាការេនៃចំនួនធម្មជាតិ) ដើម្បីពិចារណាលេខ "បន្សំ" a – b√ គ៖ ផលបូក និងផលិតផលរបស់វាជាមួយនឹងលេខដើម – លេខសនិទាន។ ដូច្នេះ a + b√ c និង a – b√ c គឺជាឫស សមីការ​ការ៉េជាមួយមេគុណចំនួនគត់។

បញ្ហាជាមួយដំណោះស្រាយ

1. បញ្ជាក់

ក) លេខ √ 7;

ខ) លេខកំណត់ហេតុ 80;

គ) លេខ √ 2 + 3 √ 3;

គឺមិនសមហេតុផល។

ក) ចូរយើងសន្មតថាលេខ √ 7 គឺសមហេតុផល។ បន្ទាប់មកមាន coprime p និង q ដូចនេះ √ 7 = p/q ដែលយើងទទួលបាន p 2 = 7q 2 ។ ដោយហេតុថា p និង q គឺទាក់ទងគ្នាដំបូង បន្ទាប់មក p 2 ហើយដូច្នេះ p ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។ បន្ទាប់មក p = 7k ដែល k គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន។ ដូច្នេះ q 2 = 7k 2 = pk ដែលផ្ទុយនឹងការពិតដែលថា p និង q គឺជា coprime ។

ដូច្នេះ ការសន្មត់គឺមិនពិត ដែលមានន័យថាលេខ √ 7 មិនសមហេតុផល។

ខ) ចូរយើងសន្មត់ថាលេខ 80 គឺសមហេតុផល។ បន្ទាប់មកមាន p និង q ធម្មជាតិដែលកំណត់ហេតុ 80 = p/q ឬ 10 p = 80 q ដែលយើងទទួលបាន 2 p–4q = 5 q–p ។ ដោយពិចារណាថាលេខ 2 និង 5 ជាលេខសំខាន់ យើងឃើញថាសមភាពចុងក្រោយគឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់តែ p–4q = 0 និង q–p = 0 ។ ពេលណា p = q = 0 ដែលមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះថា p និង q ត្រូវបានជ្រើសរើស ទៅជាធម្មជាតិ។

ដូច្នេះ ការសន្មត់គឺមិនពិត ដែលមានន័យថាលេខ lg 80 គឺមិនសមហេតុផល។

គ) អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់លេខនេះដោយ x ។

បន្ទាប់មក (x – √ 2) 3 = 3 ឬ x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2) ។ បន្ទាប់ពីការបំបែកសមីការនេះ យើងឃើញថា x ត្រូវតែបំពេញសមីការ

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0 ។

ឫសសនិទានភាពរបស់វាអាចគ្រាន់តែជាលេខ 1 និង -1 ប៉ុណ្ណោះ។ ការពិនិត្យបង្ហាញថា 1 និង -1 មិនមែនជាឫសទេ។

ដូច្នេះលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ √ 2 + 3 √ 3 ​​គឺមិនសមហេតុផល។

2. គេដឹងថាលេខ a, b, √a -√b,- សមហេតុផល។ បញ្ជាក់ √a និង √bក៏ជាលេខសមហេតុផលផងដែរ។

តោះមើលការងារ

(√ a – √ b) · (√ a + √ b) = a – b ។

ចំនួន √a +√b,ដែលស្មើនឹងសមាមាត្រនៃលេខ a – b និង √a -√b,គឺសនិទាន ព្រោះថាចំនួនកូតានៃលេខសនិទានចំនួនពីរគឺជាលេខសនិទាន។ ផលបូកនៃចំនួនសមហេតុផលពីរ

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

- ចំនួនសមហេតុផល, ភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

ក៏ជាចំនួនសមហេតុផលផងដែរ ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

3. បង្ហាញថាមានលេខមិនសមហេតុផលវិជ្ជមាន a និង b ដែលលេខ a b គឺជាលេខធម្មជាតិ។

4. តើមានលេខសនិទាន a, b, c, d ដែលបំពេញសមភាព

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

តើលេខធម្មជាតិនៅឯណា?

ប្រសិនបើសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត ហើយលេខ a, b, c, d គឺសមហេតុផល នោះសមភាពក៏ពេញចិត្តដែរ៖

(ក-ខ √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

ប៉ុន្តែ 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. លទ្ធផលផ្ទុយបង្ហាញថាសមភាពដើមគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ចម្លើយ៖ ពួកគេមិនមានទេ។

5. ប្រសិនបើផ្នែកដែលមានប្រវែង a, b, c បង្កើតជាត្រីកោណ បន្ទាប់មកសម្រាប់ n = 2, 3, 4, ទាំងអស់។ . . ផ្នែកដែលមានប្រវែង n √ a, n √ b, n √ c ក៏បង្កើតជាត្រីកោណផងដែរ។ បញ្ជាក់។

ប្រសិនបើផ្នែកដែលមានប្រវែង a,b,c បង្កើតជាត្រីកោណ នោះវិសមភាពត្រីកោណផ្តល់ឱ្យ

ដូច្នេះយើងមាន

(n √ a + n √ b) n> a + b> c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ គ។

ករណីដែលនៅសេសសល់នៃការត្រួតពិនិត្យវិសមភាពត្រីកោណត្រូវបានពិចារណាស្រដៀងគ្នា ដែលការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម។

6. បង្ហាញថាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់គឺ 0.1234567891011121314... (បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគទាំងអស់ ចំនួនគត់តាមលំដាប់) គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

ដូចដែលអ្នកដឹង លេខសនិទានត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគទសភាគ ដែលមានរយៈពេលចាប់ផ្តើមពីសញ្ញាជាក់លាក់មួយ។ ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាប្រភាគនេះមិនទៀងទាត់នៅក្នុងសញ្ញាណាមួយឡើយ។ ឧបមាថានេះមិនមែនជាករណីនោះទេ ហើយលំដាប់មួយចំនួន T នៃខ្ទង់ n គឺជារយៈពេលនៃប្រភាគ ដោយចាប់ផ្តើមពីខ្ទង់ទសភាគ mth ។ វាច្បាស់ណាស់ថាក្នុងចំណោមខ្ទង់បន្ទាប់ពីសញ្ញា m-th មានលេខដែលមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះមានខ្ទង់មិនមែនសូន្យនៅក្នុងលំដាប់នៃខ្ទង់ T ។ នេះមានន័យថា ចាប់ផ្តើមពីខ្ទង់ mth បន្ទាប់ពីខ្ទង់ទសភាគ ក្នុងចំណោមខ្ទង់ n ណាមួយក្នុងជួរដេកមួយ មានខ្ទង់មិនមែនសូន្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញាណទសភាគនៃប្រភាគនេះត្រូវតែមានសញ្ញាណទសភាគនៃលេខ 100...0 = 10 k ដែល k > m និង k > n ។ វាច្បាស់ណាស់ថាធាតុនេះកើតឡើងនៅខាងស្តាំនៃខ្ទង់ m-th ហើយមានច្រើនជាង n សូន្យក្នុងមួយជួរ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នាដែលបំពេញភស្តុតាង។

7. ផ្តល់ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ 0,a 1 a 2 ... . បង្ហាញថាលេខនៅក្នុងសញ្ញាទសភាគរបស់វាអាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ដូច្នេះប្រភាគលទ្ធផលបង្ហាញចំនួនសមហេតុផល។

សូមចាំថាប្រភាគបង្ហាញចំនួនសមហេតុសមផលប្រសិនបើនិងបានតែប្រសិនបើវាជាតាមកាលកំណត់ ដោយចាប់ផ្តើមពីសញ្ញាជាក់លាក់មួយ។ យើងនឹងបែងចែកលេខពី 0 ដល់ 9 ជាពីរថ្នាក់៖ នៅក្នុងថ្នាក់ដំបូង យើងរួមបញ្ចូលលេខទាំងនោះដែលលេចឡើងក្នុងប្រភាគដើមចំនួនដងកំណត់ ហើយនៅក្នុងថ្នាក់ទីពីរ យើងរួមបញ្ចូលលេខដែលលេចឡើងក្នុងប្រភាគដើមជាចំនួនគ្មានកំណត់។ ដង។ ចូរចាប់ផ្តើមសរសេរប្រភាគតាមកាលកំណត់ដែលអាចទទួលបានពីដើមដោយរៀបចំលេខឡើងវិញ។ ទីមួយ បន្ទាប់ពីសូន្យ និងសញ្ញាក្បៀស យើងសរសេរតាមលំដាប់ចៃដន្យលេខទាំងអស់ពីថ្នាក់ដំបូង - នីមួយៗច្រើនដងដូចដែលវាបង្ហាញក្នុងសញ្ញាណនៃប្រភាគដើម។ លេខថ្នាក់ដំបូងដែលបានកត់ត្រានឹងនាំមុខរយៈពេលនៅក្នុងផ្នែកប្រភាគនៃទសភាគ។ បន្ទាប់មក ចូរយើងសរសេរលេខពីថ្នាក់ទីពីរម្តងមួយៗ តាមលំដាប់លំដោយ។ យើង​នឹង​ប្រកាស​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នេះ​ថា​ជា​រយៈពេល​មួយ ហើយ​ធ្វើ​វា​ឡើង​វិញ​ជា​ចំនួន​ដង​ដែល​គ្មាន​កំណត់។ ដូច្នេះ យើង​បាន​សរសេរ​ប្រភាគ​តាមកាលកំណត់​ដែល​ត្រូវការ​ដែល​បង្ហាញ​ចំនួន​សនិទានភាព​ជាក់លាក់។

8. បង្ហាញឱ្យឃើញថា នៅគ្រប់ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ មានលំដាប់នៃខ្ទង់ទសភាគនៃប្រវែងបំពាន ដែលកើតឡើងច្រើនដងឥតកំណត់ក្នុងការបំបែកប្រភាគ។

អនុញ្ញាតឱ្យ m ជាលេខធម្មជាតិដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមអំពើចិត្ត។ ចូរបែងចែកប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់នេះទៅជាផ្នែកដែលមានខ្ទង់ m ក្នុងនីមួយៗ។ វានឹងមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃផ្នែកបែបនេះ។ នៅ​ម្ខាងទៀត, ប្រព័ន្ធផ្សេងៗមានលេខ m មានតែ 10 m ពោលគឺលេខកំណត់។ អាស្រ័យហេតុនេះ យ៉ាងហោចណាស់ប្រព័ន្ធមួយក្នុងចំណោមប្រព័ន្ធទាំងនេះត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតនៅទីនេះច្រើនដង។

មតិយោបល់។ សម្រាប់លេខមិនសមហេតុផល √ 2, π ឬ អ៊ីយើងមិនដឹងថាលេខមួយណាត្រូវដដែលៗច្រើនដងក្នុងប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ដែលតំណាងឱ្យពួកគេ ទោះបីជាលេខនីមួយៗអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយស្រួលថាមានយ៉ាងហោចណាស់ពីរខ្ទង់ផ្សេងគ្នាក៏ដោយ។

9. បញ្ជាក់នៅក្នុងវិធីបឋមថាឫសវិជ្ជមាននៃសមីការ

គឺមិនសមហេតុផល។

សម្រាប់ x > 0 ខាងឆ្វេងសមីការកើនឡើងជាមួយ x ហើយវាងាយស្រួលឃើញថានៅ x = 1.5 វាតិចជាង 10 ហើយនៅ x = 1.6 វាច្រើនជាង 10 ។ ដូច្នេះឫសវិជ្ជមានតែមួយគត់នៃសមីការស្ថិតនៅចន្លោះពេល (1.5; 1.6 ។ )

ចូរយើងសរសេរឫសជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន p/q ដែល p និង q គឺជាលេខធម្មជាតិសំខាន់ៗមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកនៅ x = p/q សមីការនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

p 5 + pq 4 = 10q 5,

ពីដែលវាធ្វើតាមថា p គឺជាអ្នកចែកនៃ 10 ដូច្នេះ p គឺស្មើនឹងលេខមួយក្នុងចំនោមលេខ 1, 2, 5, 10។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលសរសេរប្រភាគជាមួយភាគយក 1, 2, 5, 10 យើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថា គ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេធ្លាក់ក្នុងចន្លោះពេលនោះទេ (1.5; 1.6) ។

ដូច្នេះឫសវិជ្ជមាននៃសមីការដើមមិនអាចត្រូវបានតំណាងថាជា ប្រភាគទូទៅដែលមានន័យថាវាជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

10. ក) តើមានចំនុច A, B និង C បីនៅលើយន្តហោះ ដែលសម្រាប់ចំនុចណាមួយ X ប្រវែងយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃផ្នែក XA, XB និង XC គឺមិនសមហេតុផលទេ?

ខ) កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណគឺសមហេតុផល។ បង្ហាញថាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់របស់វាក៏សមហេតុផលផងដែរ។

គ) តើ​មាន​ចំណុច​មួយ​ដែល​មាន​ចំណុច​សមហេតុសមផល​មួយ​ដែរ​ឬ​ទេ? (ចំណុចសនិទានភាពគឺជាចំណុចមួយដែលកូអរដោនេ Cartesian ទាំងបីគឺជាលេខសមហេតុផល។ )

ក) បាទ ពួកគេមាន។ សូមឱ្យ C ជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក AB ។ បន្ទាប់មក XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2 ។ ប្រសិនបើលេខ AB 2 មិនសមហេតុផល នោះលេខ XA, XB និង XC មិនអាចសមហេតុផលក្នុងពេលតែមួយបានទេ។

ខ) អនុញ្ញាតឱ្យ (a 1 ; b 1) (a 2 ; b 2) និង (a 3 ; b 3) ជាកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ។ កូអរដោណេកណ្តាលនៃរង្វង់មូលរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធសមីការ៖

(x − a 1) 2 + (y − b 1) 2 = (x − a 2) 2 + (y − b 2) 2,

(x − a 1) 2 + (y − b 1) 2 = (x − a 3) 2 + (y − b 3) ២.

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាសមីការទាំងនេះគឺលីនេអ៊ែរ ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដែលកំពុងពិចារណាគឺសមហេតុផល។

គ) រង្វង់បែបនេះមាន។ ឧទាហរណ៍ ស្វ៊ែរដែលមានសមីការ

(x − √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2 ។

ចំណុច O ដែលមានកូអរដោណេ (0; 0; 0) គឺជាចំណុចសនិទានភាពដែលស្ថិតនៅលើលំហនេះ។ ចំនុចដែលនៅសល់នៃស្វ៊ែរគឺមិនសមហេតុផល។ ចូរយើងបញ្ជាក់។

អនុញ្ញាតឱ្យ (x; y; z) ជាចំណុចសនិទាននៃស្វ៊ែរ ខុសពីចំណុច O វាច្បាស់ណាស់ថា x ខុសពី 0 ព្រោះសម្រាប់ x = 0 មាន ការសម្រេចចិត្តតែប៉ុណ្ណោះ(0; 0; 0) ដែល​មិន​ចាប់​អារម្មណ៍​សម្រាប់​យើង​ឥឡូវ​នេះ។ ចូរបើកតង្កៀបនិងបង្ហាញ √ 2:

x 2 − 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

ដែលមិនអាចកើតឡើងជាមួយសមហេតុផល x, y, z និង irrational √ 2 ។ ដូច្នេះ O(0; 0; 0) គឺជាចំណុចសមហេតុផលតែមួយគត់នៅលើស្វ៊ែរដែលកំពុងពិចារណា។

បញ្ហាដែលគ្មានដំណោះស្រាយ

1. បញ្ជាក់ថាលេខ

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

គឺមិនសមហេតុផល។

2. សម្រាប់ចំនួនគត់ m និង n តើសមភាព (5 + 3√ 2) m = (3 + 5√ 2) n កាន់?

3. តើមានលេខដែលលេខ a – √ 3 និង 1/a + √ 3 ជាចំនួនគត់ទេ?

4. តើលេខ 1, √ 2, 4 អាចជាសមាជិក (មិនចាំបាច់នៅជាប់គ្នា) នៃដំណើរការនព្វន្ធបានទេ?

5. បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n សមីការ (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 មិនមានដំណោះស្រាយក្នុងលេខសមហេតុផល (x; y) ទេ។

និយមន័យនៃចំនួនមិនសមហេតុផល

លេខមិនសមហេតុផលគឺជាលេខទាំងនោះដែលនៅក្នុងសញ្ញាទសភាគតំណាងឱ្យប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ លេខដែលទទួលបានដោយការយកឫសការ៉េនៃលេខធម្មជាតិគឺមិនសមហេតុផល ហើយមិនមែនជាការេនៃលេខធម្មជាតិទេ។ ប៉ុន្តែមិនមែនលេខមិនសមហេតុផលទាំងអស់ត្រូវបានទទួលដោយការស្រង់ចេញនោះទេ។ ឫសការ៉េពីព្រោះលេខ "pi" ដែលទទួលបានដោយការបែងចែកក៏មិនសមហេតុផលដែរ ហើយអ្នកទំនងជាមិនទទួលបានវានៅពេលព្យាយាមទាញយកឫសការ៉េនៃចំនួនធម្មជាតិ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃចំនួនមិនសមហេតុផល

មិនដូចលេខដែលសរសេរជាទសភាគគ្មានកំណត់ទេ មានតែលេខមិនសមហេតុផលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសរសេរជាទសភាគមិនកំណត់តាមកាលកំណត់។
ផលបូកនៃចំនួនមិនសមហេតុផលមិនអវិជ្ជមានពីរអាចបញ្ចប់ទៅជាលេខសនិទាន។
លេខមិនសមហេតុផលកំណត់ផ្នែក Dedekind ក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទានភាព ក្នុងថ្នាក់ទាប ដែលមិនមាន ចំនួន​ច្រើនហើយនៅផ្នែកខាងលើមានមិនតិចទេ។
លេខ​ឆ្លង​ពិត​ណា​មួយ​គឺ​មិន​សម​ហេតុ​ផល។
លេខមិនសមហេតុផលទាំងអស់គឺពិជគណិត ឬវិញ្ញាបនបត្រ។
សំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផលនៅលើបន្ទាត់មួយគឺស្ថិតនៅយ៉ាងក្រាស់ ហើយរវាងលេខទាំងពីរណាមួយរបស់វា ប្រាកដណាស់ថាជាលេខមិនសមហេតុផល។
សំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផលគឺគ្មានកំណត់ មិនអាចរាប់បាន និងជាសំណុំនៃប្រភេទទី 2 ។
នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធណាមួយលើលេខសនិទាន លើកលែងតែការបែងចែកដោយ 0 លទ្ធផលនឹងជាលេខសនិទាន។
នៅពេលបន្ថែមលេខសមហេតុផលទៅលេខមិនសមហេតុផល លទ្ធផលគឺតែងតែជាលេខមិនសមហេតុផល។
នៅពេលបន្ថែមលេខមិនសមហេតុផល យើងអាចបញ្ចប់ដោយលេខសនិទាន។
សំណុំនៃចំនួនមិនសមហេតុផលគឺមិនមានសូម្បីតែ។

លេខមិនសមហេតុផលទេ។

ពេលខ្លះវាពិបាកណាស់ក្នុងការឆ្លើយសំណួរថាតើលេខមួយមិនសមហេតុផលទេ ជាពិសេសក្នុងករណីដែលលេខស្ថិតក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគទសភាគ ឬក្នុងទម្រង់នៃកន្សោមលេខ ឫស ឬលោការីត។

ដូច្នេះវានឹងមិននាំអោយដឹងថាលេខណាដែលមិនសមហេតុផលនោះទេ។ ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យនៃលេខមិនសមហេតុផល នោះយើងដឹងរួចហើយថាលេខសនិទាន មិនអាចមិនសមហេតុផលទេ។

លេខមិនសមហេតុផលគឺមិនមែន៖

ទីមួយលេខធម្មជាតិទាំងអស់;
ទីពីរចំនួនគត់;
ទីបី ប្រភាគធម្មតា;
ទីបួន លេខចម្រុះផ្សេងៗគ្នា;
ទីប្រាំ ទាំងនេះគឺជាប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។

បន្ថែមពីលើទាំងអស់ខាងលើ លេខមិនសមហេតុផលមិនអាចជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលេខសនិទានដែលត្រូវបានអនុវត្តដោយសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធដូចជា +, -, , :, ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះលទ្ធផលនៃលេខសនិទានទាំងពីរក៏នឹងត្រូវបានផងដែរ។ ចំនួនសមហេតុផល។

ឥឡូវ​យើង​មើល​ថា​លេខ​មួយ​ណា​មិន​សម​ហេតុ​ផល៖

តើអ្នកដឹងអំពីអត្ថិភាពនៃក្លឹបអ្នកគាំទ្រ ដែលអ្នកគាំទ្រនៃបាតុភូតគណិតវិទ្យាដ៏អាថ៌កំបាំងនេះកំពុងស្វែងរកព័ត៌មានបន្ថែមអំពី Pi ដោយព្យាយាមស្រាយអាថ៌កំបាំងរបស់វាទេ? អ្នកដែលដឹងដោយបេះដូងនូវចំនួនជាក់លាក់នៃលេខ Pi បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគអាចក្លាយជាសមាជិកនៃក្លឹបនេះ។

តើអ្នកដឹងទេថានៅប្រទេសអាឡឺម៉ង់ក្រោមការការពាររបស់អង្គការយូណេស្កូមានវិមាន Castadel Monte អរគុណចំពោះសមាមាត្រដែលអ្នកអាចគណនា Pi ។ ស្តេច Frederick II បានឧទ្ទិសវិមានទាំងមូលទៅលេខនេះ។

វាប្រែថាពួកគេបានព្យាយាមប្រើលេខ Pi ក្នុងការសាងសង់ Tower of Babel ។ ប៉ុន្តែជាអកុសល នេះនាំឱ្យមានការដួលរលំនៃគម្រោង ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ការគណនាពិតប្រាកដនៃតម្លៃរបស់ Pi មិនត្រូវបានសិក្សាគ្រប់គ្រាន់។

តារាចម្រៀង Kate Bush នៅក្នុងឌីសថ្មីរបស់នាងបានថតបទចម្រៀងមួយបទដែលមានចំណងជើងថា "Pi" ដែលក្នុងនោះលេខមួយរយម្ភៃបួនពីដ៏ល្បីល្បាញ។ ស៊េរីលេខ 3, 141…..

សម្ភារៈនៅក្នុងអត្ថបទនេះផ្តល់ព័ត៌មានដំបូងអំពី លេខមិនសមហេតុផល. ដំបូងយើងនឹងផ្តល់និយមន័យនៃលេខមិនសមហេតុផល ហើយពន្យល់វា។ ខាងក្រោមនេះ យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃចំនួនមិនសមហេតុផល។ ជាចុងក្រោយ សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺមិនសមហេតុផលឬអត់។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃចំនួនមិនសមហេតុផល

នៅពេលសិក្សាទសភាគ យើងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវទសភាគដែលមិនមែនជាតាមកាលកំណត់។ ប្រភាគបែបនេះកើតឡើងនៅពេលវាស់ប្រវែងទសភាគនៃផ្នែកដែលមិនអាចគណនាបានជាមួយផ្នែកឯកតា។ យើងក៏បានកត់សម្គាល់ផងដែរថា ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ មិនអាចបំប្លែងទៅជាប្រភាគធម្មតាបានទេ (សូមមើលការបំប្លែងប្រភាគធម្មតាទៅជាទសភាគ និងច្រាសមកវិញ) ដូច្នេះលេខទាំងនេះមិនមែនជាលេខសមហេតុផលទេ វាតំណាងឱ្យអ្វីដែលគេហៅថាលេខមិនសមហេតុផល។

ដូច្នេះយើងមក និយមន័យនៃចំនួនមិនសមហេតុផល.

និយមន័យ។

លេខដែលតំណាងឱ្យប្រភាគទសភាគមិនកំណត់តាមកាលកំណត់ក្នុងសញ្ញាទសភាគត្រូវបានហៅ លេខមិនសមហេតុផល.

និយមន័យសំឡេងអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍នៃចំនួនមិនសមហេតុផល. ឧទាហរណ៍ ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ 4.10110011100011110000... (ចំនួនមួយ និងសូន្យកើនឡើងម្តងៗ) គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ចូរផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃចំនួនមិនសមហេតុផល៖ −22.353335333335... (ចំនួនបីដែលបំបែកប្រាំបីកើនឡើងពីររាល់ពេល)។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា លេខមិនសមហេតុផលគឺកម្ររកឃើញក្នុងទម្រង់នៃប្រភាគទសភាគដែលមិនមានតាមកាលកំណត់។ ជាធម្មតាពួកវាត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងទម្រង់ ល។ ក៏ដូចជានៅក្នុងទម្រង់នៃអក្សរដែលបានបញ្ចូលពិសេស។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីបំផុតនៃលេខមិនសមហេតុផលនៅក្នុងសញ្ញាណនេះគឺ ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃពីរ លេខ "pi" π=3.141592... លេខ e=2.718281... និង លេខមាស.

លេខមិនសមហេតុផលក៏អាចត្រូវបានកំណត់ក្នុងន័យនៃចំនួនពិត ដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវចំនួនសមហេតុផល និងអសមហេតុផល។

និយមន័យ។

លេខមិនសមហេតុផលគឺជាចំនួនពិតដែលមិនមែនជាលេខសមហេតុផល។

តើលេខនេះមិនសមហេតុផលទេ?

នៅពេលដែលលេខមួយត្រូវបានផ្តល់មិនមែនជាប្រភាគទសភាគ ប៉ុន្តែជាឫសខ្លះ លោការីត។

ដោយមិនសង្ស័យ នៅពេលឆ្លើយសំណួរដែលសួរ វាពិតជាមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការដឹងថាលេខណាដែលមិនសមហេតុផល។ តាមនិយមន័យនៃលេខមិនសមហេតុផល វាដូចខាងក្រោមថាលេខមិនសមហេតុផលមិនមែនជាលេខសមហេតុផលទេ។ ដូច្នេះ លេខមិនសមហេតុផលគឺមិនមែន៖

• ប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់ និងគ្មានកំណត់។

ដូចគ្នានេះផងដែរ សមាសធាតុនៃលេខសនិទានភាពដែលភ្ជាប់ដោយសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ (+, −, ·, :) មិនមែនជាចំនួនមិនសមហេតុផលទេ។ នេះគឺដោយសារតែផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតានៃចំនួនសនិទានចំនួនពីរគឺជាលេខសនិទាន។ ឧទាហរណ៍ តម្លៃនៃកន្សោម និងជាលេខសមហេតុផល។ នៅទីនេះយើងកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើកន្សោមបែបនេះមានលេខមិនសមហេតុផលតែមួយក្នុងចំណោមលេខសនិទាន នោះតម្លៃនៃកន្សោមទាំងមូលនឹងជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកន្សោម លេខគឺមិនសមហេតុផល ហើយលេខដែលនៅសល់គឺសមហេតុផល ដូច្នេះវាជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ប្រសិនបើវាជាលេខសមហេតុសមផល នោះសនិទានភាពនៃលេខនឹងធ្វើតាម ប៉ុន្តែវាមិនសមហេតុផលទេ។

ប្រសិនបើកន្សោមដែលបញ្ជាក់លេខមានលេខមិនសមហេតុផលជាច្រើន សញ្ញាឫស លោការីត។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រលេខ π, អ៊ី ។ ករណីជាក់លាក់. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានលទ្ធផលមួយចំនួនដែលទទួលបានរួចហើយ ដែលអាចប្រើបាន។ ចូរយើងរាយបញ្ជីសំខាន់ៗ។

វាត្រូវបានបង្ហាញថាឫស kth នៃចំនួនគត់គឺជាចំនួនសមហេតុផលលុះត្រាតែចំនួននៅក្រោមឫសគឺជាអំណាច kth នៃចំនួនគត់ផ្សេងទៀត ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ឫសបែបនេះបញ្ជាក់ចំនួនមិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ លេខ និងមិនសមហេតុផល ដោយសារគ្មានចំនួនគត់ដែលការេគឺ 7 ហើយគ្មានចំនួនគត់ដែលការកើនឡើងដល់ថាមពលទីប្រាំផ្តល់លេខ 15 ទេ។ ហើយលេខមិនសមហេតុផលទេ តាំងពី និង .

ចំពោះលោការីត ជួនកាលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ភាពមិនសមហេតុផលរបស់ពួកគេដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃភាពផ្ទុយគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបង្ហាញថាកំណត់ហេតុ 2 3 គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

ឧបមាថា log 2 3 គឺជាលេខសនិទាន មិនមែនជាលេខមិនសមហេតុផលទេ នោះគឺវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគធម្មតា m/n ។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោម: . សមភាពចុងក្រោយគឺមិនអាចទៅរួចទេព្រោះនៅខាងឆ្វេងរបស់វា។ លេខសេសនិងនៅខាងស្តាំ - សូម្បីតែ។ ដូច្នេះយើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា ដែលមានន័យថាការសន្មត់របស់យើងបានប្រែទៅជាមិនត្រឹមត្រូវ ហើយនេះបានបង្ហាញថាកំណត់ហេតុ 2 3 គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

ចំណាំថា lna សម្រាប់ហេតុផលវិជ្ជមាន និងមិនមែនមួយ a គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ និងជាលេខមិនសមហេតុផល។

វាក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរថាចំនួន e a សម្រាប់សនិទានដែលមិនមែនជាសូន្យ a គឺមិនសមហេតុផល ហើយថាចំនួន π z សម្រាប់ចំនួនគត់ដែលមិនមែនជាសូន្យ z គឺមិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ លេខមិនសមហេតុផល។

លេខមិនសមហេតុផលក៏ជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ sin, cos, tg និង ctg សម្រាប់តម្លៃសមហេតុផល និងមិនមែនសូន្យនៃអាគុយម៉ង់។ ឧទាហរណ៍ sin1 , tan(−4), cos5,7 គឺជាលេខមិនសមហេតុផល។

មានលទ្ធផលដែលបង្ហាញឱ្យឃើញផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែយើងនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះលទ្ធផលដែលបានរាយរួចហើយ។ វាគួរតែត្រូវបាននិយាយផងដែរថានៅពេលបង្ហាញលទ្ធផលខាងលើទ្រឹស្តីដែលជាប់ទាក់ទងជាមួយ លេខពិជគណិតនិង លេខឆ្លង.

សរុបសេចក្តី យើងកត់សំគាល់ថា យើងមិនគួរធ្វើការសន្និដ្ឋានយ៉ាងប្រញាប់ប្រញាល់ទាក់ទងនឹងភាពមិនសមហេតុផលនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ វាហាក់ដូចជាច្បាស់ថាចំនួនមិនសមហេតុផលទៅកម្រិតអសមហេតុផល គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ការពិត យើងបង្ហាញសញ្ញាបត្រ។ វាត្រូវបានគេដឹងថា - គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល ហើយវាក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរថា - គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល ប៉ុន្តែជាចំនួនសមហេតុផល។ អ្នកក៏អាចផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃចំនួនមិនសមហេតុផល ផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតាដែលជាលេខសមហេតុផល។ លើសពីនេះទៅទៀត សនិទានភាព ឬភាពមិនសមហេតុផលនៃលេខ π+e, π−e, π·e, π π, π e និងផ្សេងទៀតជាច្រើនមិនទាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅឡើយទេ។

គន្ថនិទ្ទេស។

• គណិតវិទ្យា។ថ្នាក់ទី ៦៖ ការអប់រំ។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [ន. Ya. Vilenkin និងអ្នកដទៃ] ។ - ទី 22 ed ។, rev ។ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2 ។
• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា, ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។