De enkleste trigonometriske sinusligningene. Trigonometriske ligninger

Når man løser mange matematiske problemer , spesielt de som inntreffer før karakter 10, er rekkefølgen på utførte handlinger som vil føre til målet klart definert. Slike problemer inkluderer for eksempel lineære og kvadratiske ligninger, lineære og kvadratiske ulikheter, brøklikninger og ligninger som reduserer til kvadratiske. Prinsippet for å lykkes med å løse hvert av de nevnte problemene er som følger: det er nødvendig å fastslå hvilken type problem som løses, husk den nødvendige rekkefølgen av handlinger som vil føre til ønsket resultat, dvs. svar og følg disse trinnene.

Det er åpenbart at suksess eller fiasko i å løse et bestemt problem hovedsakelig avhenger av hvor riktig type ligning som blir løst er bestemt, hvor riktig rekkefølgen av alle stadier av løsningen er gjengitt. Det er selvfølgelig nødvendig å ha kompetansen for å prestere identitetstransformasjoner og databehandling.

Situasjonen er annerledes med trigonometriske ligninger. Det er slett ikke vanskelig å fastslå at ligningen er trigonometrisk. Det oppstår vanskeligheter når man skal bestemme rekkefølgen av handlinger som vil føre til riktig svar.

Av utseende ligning, er det noen ganger vanskelig å bestemme typen. Og uten å vite hvilken type ligning, er det nesten umulig å velge den rette fra flere dusin trigonometriske formler.

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve:

1. bringe alle funksjoner inkludert i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funksjoner";
3. utfolde seg venstre side factoring-ligninger osv.

La oss vurdere grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

I. Reduksjon til de enkleste trigonometriske ligningene

Løsningsdiagram

Trinn 1. Uttrykke trigonometrisk funksjon gjennom kjente komponenter.

Steg 2. Finn funksjonsargumentet ved å bruke formlene:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trinn 3. Finn den ukjente variabelen.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel utskifting

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser ligningen til algebraisk form med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Steg 2. Angi den resulterende funksjonen med variabelen t (om nødvendig, innfør begrensninger på t).

Trinn 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligningen.

Trinn 4. Gjør en omvendt erstatning.

Trinn 5. Løs den enkleste trigonometriske ligningen.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) La sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, tilfredsstiller ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduksjonsmetode for ligningsorden

Løsningsdiagram

Trinn 1. Erstatt denne ligningen med en lineær, ved å bruke formelen for å redusere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser denne ligningen til formen

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogen ligning første grad)

eller til utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning av andre grad).

Steg 2. Del begge sider av ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trinn 3. Løs ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) La da tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, som betyr

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligningen x = π/4 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode for å transformere en ligning ved bruk av trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trinn 1. Bruk alle mulige trigonometriske formler, reduser denne ligningen til en ligning løst med metodene I, II, III, IV.

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligningen 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den andre ligningen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Løse ferdigheter og evner trigonometriske ligninger er veldig viktig, deres utvikling krever betydelig innsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysikk osv. er knyttet til løsningen av trigonometriske ligninger.Prosessen med å løse slike problemer legemliggjør mange av kunnskapen og ferdighetene som tilegnes ved å studere elementene i trigonometri.

Trigonometriske ligninger tar viktig sted i ferd med å undervise i matematikk og personlighetsutvikling generelt.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store temaer, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.

Leksjon og presentasjon om emnet: "Løse enkle trigonometriske ligninger"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Løse problemer i geometri. Interaktive oppgaver for bygging i rommet
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hva vi skal studere:
1. Hva er trigonometriske ligninger?

3. To hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.
4. Homogene trigonometriske ligninger.
5. Eksempler.

Hva er trigonometriske ligninger?

Gutter, vi har allerede studert arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. La oss nå se på trigonometriske ligninger generelt.

Trigonometriske ligninger er ligninger der en variabel er inneholdt under tegnet til en trigonometrisk funksjon.

La oss gjenta formen for å løse de enkleste trigonometriske ligningene:

1)Hvis |a|≤ 1, så har ligningen cos(x) = a en løsning:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x) = a en løsning:

3) Hvis |a| > 1, da har ligningen sin(x) = a og cos(x) = a ingen løsninger 4) Ligningen tg(x)=a har en løsning: x=arctg(a)+ πk

5) Ligningen ctg(x)=a har en løsning: x=arcctg(a)+ πk

For alle formler er k et heltall

De enkleste trigonometriske ligningene har formen: T(kx+m)=a, T er en trigonometrisk funksjon.

Løs ligningene: a) sin(3x)= √3/2

Løsning:

A) La oss betegne 3x=t, så vil vi omskrive ligningen vår i formen:

Løsningen på denne ligningen vil være: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Fra verditabellen får vi: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

La oss gå tilbake til variabelen vår: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Da er x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Svar: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, der n er et heltall. (-1)^n – minus én i potensen av n.

Flere eksempler på trigonometriske ligninger.

Løsning:

A) La oss denne gangen gå direkte til å beregne røttene til ligningen med en gang:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Da er x/5= πk => x=5πk

Svar: x=5πk, der k er et heltall.

B) Vi skriver det på formen: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vi vet at: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Svar: x=2π/9 + πk/3, hvor k er et heltall.

Løs ligningene: cos(4x)= √2/2. Og finn alle røttene på segmentet.

Løsning:

Vi bestemmer oss generelt syn vår ligning: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

La oss nå se hvilke røtter som faller på vårt segment. Ved k Ved k=0, x= π/16, er vi i det gitte segmentet.
Med k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, treffer vi igjen.
For k=2, x= π/16+ π=17π/16, men her traff vi ikke, noe som betyr at for stor k vil vi selvsagt heller ikke treffe.

Svar: x= π/16, x= 9π/16

To hovedløsningsmetoder.

La oss løse ligningen:

Løsning:
For å løse ligningen vår vil vi bruke metoden for å introdusere en ny variabel, som betegner: t=tg(x).

Som et resultat av erstatningen får vi: t 2 + 2t -1 = 0

La oss finne røttene kvadratisk ligning: t=-1 og t=1/3

Så tg(x)=-1 og tg(x)=1/3, får vi den enkleste trigonometriske ligningen, la oss finne røttene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Svar: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Et eksempel på å løse en ligning

Løs ligninger: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Løsning:

La oss bruke identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Vår ligning vil ha formen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

La oss introdusere erstatningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Løsningen på vår andregradsligning er røttene: t=2 og t=-1/2

Deretter cos(x)=2 og cos(x)=-1/2.

Fordi cosinus kan ikke ta verdier større enn én, da har cos(x)=2 ingen røtter.

For cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Svar: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometriske ligninger.

Formens ligninger

homogene trigonometriske ligninger av andre grad.

For å løse en homogen trigonometrisk ligning av første grad, del den med cos(x): Du kan ikke dele med cosinus hvis det lik null, la oss sørge for at dette ikke er tilfelle:
La cos(x)=0, så asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus og cosinus er ikke lik null samtidig, vi får en motsigelse, så vi kan trygt dele med null.

Løs ligningen:
Eksempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Løsning:

Vi tar den ut felles multiplikator: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Da må vi løse to ligninger:

Cos(x)=0 og cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ved x= π/2 + πk;

Tenk på ligningen cos(x)+sin(x)=0 Del vår ligning med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Svar: x= π/2 + πk og x= -π/4+πk

Hvordan løse homogene trigonometriske ligninger av andre grad?
Gutter, følg alltid disse reglene!

1. Se hva koeffisienten a er lik, hvis a=0 vil ligningen vår ha formen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), et eksempel på løsningen som er på forrige lysbilde

2. Hvis a≠0, må du dele begge sider av ligningen med cosinus i annen, får vi:

Vi endrer variabelen t=tg(x) og får ligningen:

Løs eksempel nr.:3

La oss dele begge sider av ligningen med cosinuskvadrat:

Vi endrer variabelen t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: t=-3 og t=1

Deretter: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Svar: x=-arctg(3) + πk og x= π/4+ πk

Løs eksempel nr.:4

Løsning:
La oss forvandle uttrykket vårt:

Vi kan løse slike ligninger: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Svar: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Løs eksempel nr.:5

Løsning:
La oss forvandle uttrykket vårt:

La oss introdusere erstatningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Løsningen på vår andregradsligning vil være røttene: t=-2 og t=1/2

Da får vi: tg(2x)=-2 og tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + πk/2 og x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemer for uavhengig løsning.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Løs ligningene: sin(3x)= √3/2. Og finn alle røttene på segmentet [π/2; π].

3) Løs ligningen: barneseng 2 (x) + 2 barneseng (x) + 1 =0

4) Løs ligningen: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Løs ligningen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Løs ligningen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.