Trigonometriløsning. Løse trigonometriske ligninger

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller passende for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Trigonometriske ligninger er ikke et lett tema. De er for forskjellige.) For eksempel disse:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to ting til felles: obligatoriske funksjoner. For det første - du vil ikke tro det - det er trigonometriske funksjoner i ligningene.) For det andre: alle uttrykk med x finnes innenfor de samme funksjonene. Og bare der! Hvis X vises et sted utenfor, For eksempel, sin2x + 3x = 3, dette vil allerede være en ligning blandet type. Slike ligninger krever individuell tilnærming. Vi vil ikke vurdere dem her.

Vi skal heller ikke løse onde ligninger i denne leksjonen.) Her skal vi ta for oss de enkleste trigonometriske ligningene. Hvorfor? Ja fordi løsningen noen trigonometriske ligninger består av to trinn. På det første stadiet reduseres den onde ligningen til en enkel gjennom en rekke transformasjoner. På den andre er denne enkleste ligningen løst. Ingen annen vei.

Så hvis du har problemer i det andre trinnet, gir ikke det første trinnet mye mening.)

Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Her EN står for et hvilket som helst tall. Noen.

Forresten, inne i en funksjon er det kanskje ikke en ren X, men et slags uttrykk, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Dette kompliserer livet, men påvirker ikke metoden for å løse en trigonometrisk ligning.

Hvordan løse trigonometriske ligninger?

Trigonometriske ligninger kan løses på to måter. Den første måten: ved å bruke logikk og den trigonometriske sirkelen. Vi skal se på denne veien her. Den andre måten - ved å bruke minne og formler - vil bli diskutert i neste leksjon.

Den første måten er tydelig, pålitelig og vanskelig å glemme.) Den er god for å løse trigonometriske ligninger, ulikheter og alle slags vanskelige ikke-standardiserte eksempler. Logikk sterkere enn hukommelsen!)

Løse ligninger ved hjelp av en trigonometrisk sirkel.

Vi inkluderer elementær logikk og evnen til å bruke den trigonometriske sirkelen. Vet du ikke hvordan? Imidlertid ... Du vil ha det vanskelig i trigonometri ...) Men det spiller ingen rolle. Ta en titt på leksjonene "Trigonometrisk sirkel...... Hva er det?" og "Måle vinkler på en trigonometrisk sirkel." Alt er enkelt der. I motsetning til lærebøker...)

Å, vet du!? Og til og med mestret "Praktisk arbeid med den trigonometriske sirkelen"!? Gratulerer. Dette emnet vil være nært og forståelig for deg.) Det som er spesielt gledelig er at den trigonometriske sirkelen ikke bryr seg om hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Det er bare ett løsningsprinsipp.

Så vi tar en hvilken som helst elementær trigonometrisk ligning. I det minste dette:

cosx = 0,5

Vi må finne X. Hvis vi snakker menneskelig språk, trenger å finn vinkelen (x) hvis cosinus er 0,5.

Hvordan brukte vi sirkelen tidligere? Vi tegnet en vinkel på den. I grader eller radianer. Og med en gang sag trigonometriske funksjoner til denne vinkelen. La oss nå gjøre det motsatte. La oss tegne en cosinus på sirkelen lik 0,5 og umiddelbart vi får se hjørne. Det gjenstår bare å skrive ned svaret.) Ja, ja!

Tegn en sirkel og merk cosinus lik 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Som dette:

La oss nå tegne vinkelen som denne cosinus gir oss. Hold musen over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet ditt), og du vil se akkurat dette hjørnet X.

Hvilken vinkel er cosinus 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Noen mennesker vil humre skeptisk, ja... Som, var det verdt å lage en sirkel når alt allerede er klart... Du kan selvfølgelig humre...) Men faktum er at dette er et feilsvar. Eller rettere sagt, utilstrekkelig. Sirkelkjennere forstår at det er en hel haug med andre vinkler her som også gir en cosinus på 0,5.

Hvis du snur den bevegelige siden OA full sving, vil punkt A gå tilbake til sin opprinnelige posisjon. Med samme cosinus lik 0,5. De. vinkelen vil endre seg med 360° eller 2π radianer, og kosinus - nei. Den nye vinkelen 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på ligningen vår, fordi

Et uendelig antall slike komplette omdreininger kan gjøres... Og alle disse nye vinklene vil være løsninger på vår trigonometriske ligning. Og de må alle skrives ned på en eller annen måte som svar. Alle. Ellers teller ikke avgjørelsen, ja...)

Matematikk kan gjøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i ett kort svar uendelig sett beslutninger. Slik ser det ut for ligningen vår:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jeg skal tyde det. Skriv fortsatt meningsfullt Det er mer behagelig enn å tegne noen mystiske bokstaver dumt, ikke sant?)

π /3 – dette er det samme hjørnet som vi sag på sirkelen og fast bestemt i henhold til cosinustabellen.

2π er en fullstendig revolusjon i radianer.

n - dette er antallet komplette, dvs. hel rpm Det er klart at n kan være lik 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som indikert av en kort oppføring:

n ∈ Z

n tilhører ( ∈ ) sett med heltall ( Z ). Forresten, i stedet for bokstaven n bokstaver kan godt brukes k, m, t etc.

Denne notasjonen betyr at du kan ta et hvilket som helst heltall n . Minst -3, minst 0, minst +55. Hva enn du vil. Hvis du erstatter dette tallet i svaret, vil du få en spesifikk vinkel, som definitivt vil være løsningen på vår harde ligning.)

Eller med andre ord, x = π /3 er den eneste roten til et uendelig sett. For å få alle de andre røttene er det nok å legge til et hvilket som helst antall hele omdreininger til π /3 ( n ) i radianer. De. 2π n radian.

Alle? Nei. Jeg forlenger gleden bevisst. For å huske bedre.) Vi fikk bare deler av svarene på ligningen vår. Jeg vil skrive denne første delen av løsningen slik:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ikke bare én rot, men en hel rekke røtter, skrevet ned i kort form.

Men det finnes også vinkler som også gir en cosinus på 0,5!

La oss gå tilbake til bildet vårt som vi skrev ned svaret fra. Her er hun:

Hold musen over bildet og vi ser en annen vinkel det gir også en cosinus på 0,5. Hva tror du det er lik? Trekantene er like... Ja! Han lik vinkel X , bare forsinket i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi trygt skrive:

x 2 = - π /3

Vel, selvfølgelig legger vi til alle vinklene som oppnås gjennom hele omdreininger:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt nå.) På den trigonometriske sirkelen vi sag(hvem forstår, selvfølgelig)) Alle vinkler som gir en cosinus på 0,5. Og vi skrev ned disse vinklene i en kort matematisk form. Svaret resulterte i to uendelige serier med røtter:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er det riktige svaret.

Håp, generelt prinsipp for å løse trigonometriske ligningerå bruke en sirkel er tydelig. Vi markerer cosinus (sinus, tangens, cotangens) fra den gitte ligningen på en sirkel, tegner vinklene som tilsvarer den og skriver ned svaret. Selvfølgelig må vi finne ut hvilke hjørner vi er sag på sirkelen. Noen ganger er det ikke så tydelig. Vel, jeg sa at logikk kreves her.)

La oss for eksempel se på en annen trigonometrisk ligning:

Vær oppmerksom på at tallet 0,5 ikke er det eneste mulig antall i ligninger!) Det er bare mer praktisk for meg å skrive det enn røtter og brøker.

Vi jobber etter det generelle prinsippet. Vi tegner en sirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner alle vinklene som tilsvarer denne sinusen samtidig. Vi får dette bildet:

La oss ta for oss vinkelen først X i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer verdien av denne vinkelen. Det er en enkel sak:

x = π /6

Vi husker om fulle svinger, og med god samvittighet skriver vi ned den første serien med svar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halve jobben er gjort. Men nå må vi bestemme andre hjørnet... Det er vanskeligere enn å bruke kosinus, ja... Men logikken vil redde oss! Hvordan bestemme den andre vinkelen gjennom x? Ja enkelt! Trekantene på bildet er like, og det røde hjørnet X lik vinkel X . Bare det telles fra vinkelen π i negativ retning. Det er derfor den er rød.) Og for svaret trenger vi en vinkel, målt riktig, fra den positive halvaksen OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.

Vi holder markøren over tegningen og ser alt. Jeg fjernet det første hjørnet for ikke å komplisere bildet. Vinkelen vi er interessert i (tegnet i grønt) vil være lik:

π - x

X vi vet dette π /6 . Derfor vil den andre vinkelen være:

π - π /6 = 5π /6

Igjen husker vi å legge til hele omdreininger og skrive ned den andre serien med svar:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt. Et fullstendig svar består av to serier med røtter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangent- og cotangensligninger kan enkelt løses ved å bruke det samme generelle prinsippet for å løse trigonometriske ligninger. Hvis du selvfølgelig vet hvordan du tegner tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel.

I eksemplene ovenfor brukte jeg tabellverdien for sinus og cosinus: 0,5. De. en av de betydningene som eleven kjenner til må. La oss nå utvide våre evner til alle andre verdier. Bestem deg, så bestem!)

Så la oss si at vi må løse denne trigonometriske ligningen:

En slik kosinusverdi i korte tabeller Nei. Vi ignorerer kaldt dette forferdelige faktum. Tegn en sirkel, merk 2/3 på cosinus-aksen og tegn de tilsvarende vinklene. Vi får dette bildet.

La oss først se på vinkelen i første kvartal. Hvis vi bare visste hva x er lik, ville vi umiddelbart skrevet ned svaret! Vi vet ikke ... Feil!? Rolig! Matematikk etterlater ikke sine egne folk i trøbbel! Hun kom opp med buekosinus til denne saken. Vet ikke? Forgjeves. Finn ut, det er mye enklere enn du tror. Det er ikke en eneste vanskelig trollformel om "inverse trigonometriske funksjoner" på denne lenken... Dette er overflødig i dette emnet.

Hvis du vet, bare si til deg selv: "X er en vinkel hvis cosinus er lik 2/3." Og umiddelbart, rent av definisjonen av arc cosinus, kan vi skrive:

Vi husker de ekstra revolusjonene og skriver rolig ned den første serien med røtter til vår trigonometriske ligning:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andre serien med røtter for den andre vinkelen skrives nesten automatisk ned. Alt er det samme, bare X (arccos 2/3) vil ha et minus:

x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Og det er det! Dette er det riktige svaret. Enda enklere enn med tabellverdier. Det er ikke nødvendig å huske noe.) De mest oppmerksomme vil forresten legge merke til at dette bildet viser løsningen gjennom buekosinus i hovedsak ikke forskjellig fra bildet for ligningen cosx = 0,5.

Nøyaktig! Generelt prinsipp Derfor er det vanlig! Jeg har bevisst tegnet to nesten like bilder. Sirkelen viser oss vinkelen X ved sin kosinus. Om det er en tabellformet cosinus eller ikke er ukjent for alle. Hva slags vinkel dette er, π /3, eller hva buekosinus er - det er opp til oss å bestemme.

Samme sang med sinus. For eksempel:

Tegn en sirkel igjen, merk sinus lik 1/3, tegn vinklene. Dette er bildet vi får:

Og igjen er bildet nesten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igjen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hva er X lik hvis sinus er 1/3? Ikke noe problem!

Nå er den første pakken med røtter klar:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

La oss ta for oss den andre vinkelen. I eksemplet med en tabellverdi på 0,5 var den lik:

π - x

Det blir akkurat det samme her også! Bare x er forskjellig, arcsin 1/3. Hva så!? Du kan trygt skrive ned den andre pakken med røtter:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er et helt riktig svar. Selv om det ikke ser veldig kjent ut. Men det er klart, håper jeg.)

Slik løses trigonometriske ligninger ved hjelp av en sirkel. Denne veien er tydelig og forståelig. Det er han som sparer i trigonometriske ligninger med utvalg av røtter på et gitt intervall, i trigonometriske ulikheter - de løses stort sett alltid i en sirkel. Kort sagt, i alle oppgaver som er litt vanskeligere enn standardoppgaver.

La oss bruke kunnskap i praksis?)

Løs trigonometriske ligninger:

Først, enklere, rett fra denne leksjonen.

Nå er det mer komplisert.

Hint: her må du tenke på sirkelen. Personlig.)

Og nå er de utad enkle... De kalles også spesielle tilfeller.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: her må du finne ut i en sirkel hvor det er to serier med svar og hvor det er en ... Og hvordan du skriver en i stedet for to serier med svar. Ja, slik at ikke en eneste rot fra et uendelig antall går tapt!)

Vel, veldig enkelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: her må du vite hva arcsine og arccosine er? Hva er arctangens, arccotangent? Det meste enkle definisjoner. Men husk nei tabellverdier Ikke nødvendig!)

Svarene er selvfølgelig et rot):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ikke alt ordner seg? Skjer. Les leksjonen på nytt. Bare ettertenksomt(det er et så utdatert ord...) Og følg linkene. Hovedlenkene handler om sirkelen. Uten den er trigonometri som å krysse veien med bind for øynene. Noen ganger fungerer det.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Leksjon og presentasjon om emnet: "Løse enkle trigonometriske ligninger"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Løse problemer i geometri. Interaktive oppgaver for bygging i rommet
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hva vi skal studere:
1. Hva er trigonometriske ligninger?

3. To hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.
4. Homogene trigonometriske ligninger.
5. Eksempler.

Hva er trigonometriske ligninger?

Gutter, vi har allerede studert arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. La oss nå se på trigonometriske ligninger generelt.

Trigonometriske ligninger er ligninger der en variabel er inneholdt under tegnet til en trigonometrisk funksjon.

La oss gjenta formen for å løse de enkleste trigonometriske ligningene:

1)Hvis |a|≤ 1, så har ligningen cos(x) = a en løsning:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x) = a en løsning:

3) Hvis |a| > 1, da har ligningen sin(x) = a og cos(x) = a ingen løsninger 4) Ligningen tg(x)=a har en løsning: x=arctg(a)+ πk

5) Ligningen ctg(x)=a har en løsning: x=arcctg(a)+ πk

For alle formler er k et heltall

De enkleste trigonometriske ligningene har formen: T(kx+m)=a, T er en trigonometrisk funksjon.

Løs ligningene: a) sin(3x)= √3/2

Løsning:

A) La oss betegne 3x=t, så vil vi omskrive ligningen vår i formen:

Løsningen på denne ligningen vil være: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Fra verditabellen får vi: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

La oss gå tilbake til variabelen vår: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Da er x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Svar: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, der n er et heltall. (-1)^n – minus én i potensen av n.

Flere eksempler på trigonometriske ligninger.

Løsning:

A) La oss denne gangen gå direkte til å beregne røttene til ligningen med en gang:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Da er x/5= πk => x=5πk

Svar: x=5πk, der k er et heltall.

B) Vi skriver det på formen: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vi vet at: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Svar: x=2π/9 + πk/3, der k er et heltall.

Løs ligningene: cos(4x)= √2/2. Og finn alle røttene på segmentet.

Løsning:

Vi bestemmer oss generelt syn vår ligning: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

La oss nå se hvilke røtter som faller på vårt segment. Ved k Ved k=0, x= π/16, er vi i det gitte segmentet.
Med k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, treffer vi igjen.
For k=2, x= π/16+ π=17π/16, men her traff vi ikke, noe som betyr at for stor k vil vi selvsagt heller ikke treffe.

Svar: x= π/16, x= 9π/16

To hovedløsningsmetoder.

La oss løse ligningen:

Løsning:
For å løse ligningen vår vil vi bruke metoden for å introdusere en ny variabel, som betegner: t=tg(x).

Som et resultat av erstatningen får vi: t 2 + 2t -1 = 0

La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: t=-1 og t=1/3

Så tg(x)=-1 og tg(x)=1/3, får vi den enkleste trigonometriske ligningen, la oss finne røttene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Svar: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Et eksempel på å løse en ligning

Løs ligningene: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Løsning:

La oss bruke identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Vår ligning vil ha formen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

La oss introdusere erstatningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Løsningen på vår andregradsligning er røttene: t=2 og t=-1/2

Deretter cos(x)=2 og cos(x)=-1/2.

Fordi cosinus kan ikke ta verdier større enn én, da har cos(x)=2 ingen røtter.

For cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Svar: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometriske ligninger.

Formens ligninger

homogene trigonometriske ligninger av andre grad.

For å løse en homogen trigonometrisk ligning av første grad, del den med cos(x): Du kan ikke dele med cosinus hvis det lik null, la oss sørge for at dette ikke er tilfelle:
La cos(x)=0, så asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus og cosinus er ikke lik null samtidig, vi får en selvmotsigelse, så vi kan trygt dele med null.

Løs ligningen:
Eksempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Løsning:

Vi tar den ut felles multiplikator: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Da må vi løse to ligninger:

Cos(x)=0 og cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ved x= π/2 + πk;

Tenk på ligningen cos(x)+sin(x)=0 Del vår ligning med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Svar: x= π/2 + πk og x= -π/4+πk

Hvordan løse homogene trigonometriske ligninger av andre grad?
Gutter, følg alltid disse reglene!

1. Se hva koeffisienten a er lik, hvis a=0 vil ligningen vår ha formen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), et eksempel på løsningen som er på forrige lysbilde

2. Hvis a≠0, må du dele begge sider av ligningen med cosinus i annen, får vi:

Vi endrer variabelen t=tg(x) og får ligningen:

Løs eksempel nr.:3

La oss dele begge sider av ligningen med cosinuskvadrat:

Vi endrer variabelen t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: t=-3 og t=1

Deretter: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Svar: x=-arctg(3) + πk og x= π/4+ πk

Løs eksempel nr.:4

Løsning:
La oss forvandle uttrykket vårt:

Vi kan løse slike ligninger: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Svar: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Løs eksempel nr.:5

Løsning:
La oss forvandle uttrykket vårt:

La oss introdusere erstatningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Løsningen på vår andregradsligning vil være røttene: t=-2 og t=1/2

Da får vi: tg(2x)=-2 og tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + πk/2 og x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemer for uavhengig løsning.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Løs ligningene: sin(3x)= √3/2. Og finn alle røttene på segmentet [π/2; π].

3) Løs ligningen: barneseng 2 (x) + 2 barneseng (x) + 1 =0

4) Løs ligningen: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Løs ligningen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Løs ligningen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller passende for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Når man løser mange matematiske problemer , spesielt de som oppstår før klasse 10, er rekkefølgen på utførte handlinger som vil føre til målet klart definert. Slike problemer inkluderer for eksempel lineære og andregradsligninger, lineære og kvadratiske ulikheter, brøklikninger og ligninger som reduserer til kvadratiske. Prinsippet for å lykkes med å løse hvert av de nevnte problemene er som følger: det er nødvendig å fastslå hvilken type problem som blir løst, husk den nødvendige sekvensen av handlinger som vil føre til ønsket resultat, dvs. svar og følg disse trinnene.

Det er åpenbart at suksess eller fiasko i å løse et bestemt problem hovedsakelig avhenger av hvor riktig type ligning som løses er bestemt, hvor riktig rekkefølgen av alle stadier av løsningen er gjengitt. Det er selvfølgelig nødvendig å ha kompetansen til å prestere identitetstransformasjoner og databehandling.

Situasjonen er annerledes med trigonometriske ligninger. Det er slett ikke vanskelig å fastslå at ligningen er trigonometrisk. Det oppstår vanskeligheter når man skal bestemme rekkefølgen av handlinger som vil føre til riktig svar.

Av utseende ligning, er det noen ganger vanskelig å bestemme typen. Og uten å vite hvilken type ligning, er det nesten umulig å velge den rette fra flere dusin trigonometriske formler.

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve:

1. bringe alle funksjoner inkludert i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funksjoner";
3. utfolde seg venstre side factoring-ligninger osv.

La oss vurdere grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

I. Reduksjon til de enkleste trigonometriske ligningene

Løsningsdiagram

Trinn 1. Uttrykke trigonometrisk funksjon gjennom kjente komponenter.

Steg 2. Finn funksjonsargumentet ved å bruke formlene:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trinn 3. Finn den ukjente variabelen.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel utskifting

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser ligningen til algebraisk form med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Steg 2. Angi den resulterende funksjonen med variabelen t (om nødvendig, innfør begrensninger på t).

Trinn 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligningen.

Trinn 4. Gjør en omvendt erstatning.

Trinn 5. Løs den enkleste trigonometriske ligningen.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) La sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, tilfredsstiller ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Likningsordensreduksjonsmetode

Løsningsdiagram

Trinn 1. Erstatt denne ligningen med en lineær, ved å bruke formelen for å redusere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser denne ligningen til formen

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogen ligning første grad)

eller til utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning av andre grad).

Steg 2. Del begge sider av ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trinn 3. Løs ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) La da tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, som betyr

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligningen x = π/4 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode for å transformere en ligning ved bruk av trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trinn 1. Bruk alle mulige trigonometriske formler, reduser denne ligningen til en ligning løst med metodene I, II, III, IV.

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligningen 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den andre ligningen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og ferdigheten til å løse trigonometriske ligninger er svært viktig, deres utvikling krever betydelig innsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysikk, etc. er forbundet med løsningen av trigonometriske ligninger. Prosessen med å løse slike problemer legemliggjør mange av kunnskapen og ferdighetene som er tilegnet ved å studere elementene i trigonometri.

Trigonometriske ligninger tar viktig sted i ferd med å undervise i matematikk og personlighetsutvikling generelt.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.