Pengenalan atau apa itu bahasa matematik. "Bahasa Matematik"

Matematik dan dunia moden

3. Apakah bahasa matematik?

Sebarang penjelasan yang tepat tentang fenomena ini atau itu adalah matematik dan, sebaliknya, semua yang tepat adalah matematik. Sebarang huraian yang tepat ialah penerangan dalam bahasa matematik yang sesuai. Risalah klasik Newton "The Mathematical Principles of Natural Philosophy," yang merevolusikan semua matematik, pada asasnya adalah buku teks mengenai tatabahasa "bahasa Alam" yang dibongkarnya, kalkulus pembezaan, bersama-sama dengan cerita tentang apa yang dia berjaya dengar daripadanya Akibatnya. Sememangnya, dia hanya dapat memahami maksud frasa yang paling mudah. Generasi ahli matematik dan fizik seterusnya, sentiasa bertambah baik dalam bahasa ini, memahami ungkapan yang lebih dan lebih kompleks, kemudian kuatrain mudah, puisi... Oleh itu, versi tatabahasa Newton yang diperluaskan dan ditambah telah diterbitkan.

Sejarah matematik mengetahui dua revolusi besar, yang masing-masing berubah sepenuhnya penampilannya dan kandungan dalaman. mereka tenaga penggerak terdapat "kemustahilan untuk hidup dalam cara lama," i.e. ketidakupayaan untuk mentafsir dengan secukupnya masalah sebenar sains semula jadi tepat dalam bahasa matematik sedia ada. Yang pertama dikaitkan dengan nama Descartes, yang kedua dengan nama Newton dan Leibniz, walaupun, tentu saja, mereka tidak boleh dikurangkan hanya dengan nama-nama hebat ini. Menurut Gibbs, matematik ialah bahasa, dan intipati revolusi ini ialah penstrukturan semula global bagi semua matematik berdasarkan asas linguistik baharu. Hasil daripada revolusi pertama, bahasa semua matematik menjadi bahasa algebra komutatif, tetapi yang kedua menjadikannya bercakap bahasa kalkulus pembezaan.

Ahli matematik berbeza daripada "bukan ahli matematik" dalam hal itu, apabila berbincang masalah saintifik atau apabila menyelesaikan masalah praktikal, mereka bercakap sesama mereka dan menulis kertas dalam "bahasa matematik" khas - bahasa simbol khas, formula, dll.

Hakikatnya ialah dalam bahasa matematik banyak pernyataan kelihatan lebih jelas dan lebih telus daripada dalam bahasa biasa. Sebagai contoh, dalam bahasa biasa mereka berkata: "Jumlah tidak berubah dengan menukar tempat istilah" - beginilah bunyi undang-undang komutatif menambah nombor. Seorang ahli matematik menulis (atau berkata): a + b = b + a

Dan ungkapan: "Laluan S yang dilalui oleh jasad dengan kelajuan V dalam tempoh masa dari permulaan pergerakan t n hingga saat akhir t k" akan ditulis seperti berikut: S = V (t k - t n)

Atau frasa ini dari fizik: "Daya adalah sama dengan hasil jisim dan pecutan" akan ditulis: F = m a

Beliau menterjemah pernyataan yang dinyatakan ke dalam bahasa matematik yang menggunakan nombor yang berbeza, huruf (pembolehubah), tanda operasi aritmetik dan simbol lain. Semua rekod ini adalah menjimatkan, visual dan mudah digunakan.

Mari kita ambil contoh lain. Dalam bahasa biasa mereka berkata: "Untuk menambah dua pecahan sepunya dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan menulis pecahan dalam pengangka, dan biarkan penyebutnya tidak berubah dan menulisnya dalam penyebutnya." Ahli matematik menjalankan "terjemahan serentak" ke dalam bahasanya:

Berikut ialah contoh terjemahan terbalik. Hukum taburan ditulis dalam bahasa matematik: a (b + c) = ab + ac

Menterjemah ke dalam bahasa biasa, kita mendapat ayat yang panjang: "Untuk mendarab nombor a dengan jumlah nombor b dan c, anda perlu mendarabkan nombor a dengan setiap istilah secara bergilir-gilir: b, kemudian c, dan tambah hasil yang terhasil. .”

Setiap bahasa mempunyai tulisan dan ucapan lisan. Di atas kita bercakap tentang menulis dalam matematik. Dan ucapan lisan adalah penggunaannya terma khas atau frasa, contohnya: "arahan", "hasil", "persamaan", "ketaksamaan", "fungsi", "graf fungsi", "koordinat titik", "sistem koordinat", dll., juga sebagai pelbagai pernyataan matematik , dinyatakan dalam perkataan: "Nombor a boleh dibahagi dengan 2 jika dan hanya jika ia berakhir dengan 0 atau digit genap."

Mereka mengatakan bahawa orang yang berbudaya, kecuali Bahasa asal mesti bercakap sekurang-kurangnya satu bahasa asing yang lain. Ini benar, tetapi memerlukan tambahan: orang yang berbudaya juga mesti boleh bercakap, menulis dan berfikir dalam bahasa matematik, kerana ini adalah bahasa di mana, seperti yang telah kita lihat lebih daripada sekali, realiti sekeliling "bercakap". Untuk menguasai bahasa baru, adalah perlu untuk mengkaji, seperti yang mereka katakan, abjad, sintaks dan semantiknya, i.e. peraturan penulisan dan makna yang wujud dalam apa yang ditulis. Dan, sudah tentu, sebagai hasil daripada kajian sedemikian, idea tentang bahasa matematik dan bahan pelajaran akan sentiasa berkembang.

Algoritma Dijkstra

TEORI GRAF ialah satu bidang matematik diskret, ciri yang merupakan pendekatan geometri kepada kajian objek. Objek utama teori graf ialah graf dan generalisasinya...

Ahli statistik yang cemerlang. P.L. Chebyshev

Nombor terbesar Karya Chebyshev didedikasikan untuk analisis matematik. Dalam disertasinya pada tahun 1847 untuk hak untuk memberi kuliah, Chebyshev menyiasat kebolehintegrasian ungkapan tidak rasional tertentu dalam fungsi algebra dan logaritma...

Sejarah perkembangan matematik

Pengasas sains moden - Copernicus, Kepler, Galileo dan Newton - mendekati kajian alam sebagai matematik. Semasa mengkaji gerakan, ahli matematik membangunkan konsep asas seperti fungsi, atau hubungan antara pembolehubah...

Logik dalam perkataan

Tandatangan predikat ialah satu set simbol dua jenis - pemalar objek dan pemalar predikat - dengan integer bukan negatif dipanggil arity yang diberikan kepada setiap pemalar predikat...

Minimax dan pengoptimuman berbilang kriteria

Sebelum kita mula mempertimbangkan masalah pengoptimuman itu sendiri, kita akan bersetuju tentang alat matematik yang akan kita gunakan. Untuk menyelesaikan masalah dengan satu kriteria, sudah cukup untuk dapat bekerja dengan fungsi satu pembolehubah...

Ciri-ciri bahasa matematik

Mewakili jenis pengetahuan formal, matematik menduduki tempat istimewa berhubung dengan ilmu fakta. Ia ternyata sangat sesuai untuk pemprosesan kuantitatif sebarang maklumat saintifik, tanpa mengira kandungannya...

Ciri-ciri bahasa matematik

Untuk menggambarkan masa, difahami sebagai masa dunia kehidupan, masa kewujudan manusia, bahasa fenomenologi adalah yang paling mudah. Tetapi penerangan fenomenologi tentang masa dan keabadian mungkin menggunakan bahasa matematik...

Bentuk penyataan bahasa semula jadi Formula sepadan bahasa logik algebra Bukan A; adalah tidak benar bahawa A; A tidak mempunyai tempat A dan B; kedua-dua A dan B; bukan sahaja A, tetapi juga B; A bersama B; A, walaupun B; A sementara B A*B A, tetapi bukan B; bukan V...

Aplikasi radas algebra logik untuk menyelesaikan masalah yang bermakna

Marilah kita terjemahkan pernyataan berikut ke dalam bahasa algebra logik: 1) Jika matahari bersinar, maka supaya tidak ada hujan, cukuplah angin bertiup. Mari kita nyatakan: Cuaca cerah - C Hujan - D Angin bertiup - B Merujuk jadual di atas...

Minat dalam kehidupan penduduk penempatan bandar "bandar Zavitinsk"

Perkataan "peratus" berasal dari bahasa Latin: "pro centum" - "seratus." Selalunya, bukannya perkataan "peratusan", frasa "seratus nombor" digunakan. Jadi, peratusan ialah seperseratus daripada nombor...

Simetri adalah simbol kecantikan, keharmonian dan kesempurnaan

"betul">Oh, simetri! Saya menyanyikan lagu anda! "betul">Saya mengenali anda di mana-mana di dunia. "betul">Anda masuk Menara Eiffel, di tengah kecil, "kanan">Anda berada di dalam pokok Krismas berhampiran laluan hutan. "betul">Kedua-dua bunga tulip dan mawar berkawan dengan anda...

Salah satu perkara paling asas dalam analisis bukan piawai ialah infinitesimals dianggap bukan sebagai kuantiti berubah, tetapi sebagai kuantiti tetap. Buka mana-mana buku teks fizik...

Spektrum operator. Aplikasi analisis bukan piawai untuk mengkaji pelarut dan spektrum pengendali

Nombor hiperreal boleh dianggap sebagai kelas urutan nombor nyata biasa. Mari lihat cara membina kelas...

“Buku-buku terhebat telah ditulis mengenai falsafah alam, tetapi hanya mereka yang mula-mula mempelajari bahasa dan memahami skrip yang digunakan untuk menulisnya dapat memahaminya. Dan buku ini ditulis dalam bahasa matematik” Galileo.

Bahasa matematik moden adalah hasil daripada perkembangannya yang panjang. Semasa penubuhannya sehingga abad ke-6, sebelum Era Baru, matematik tidak mempunyai bahasanya sendiri. Tetapi apabila penulisan berkembang, tanda-tanda matematik untuk menyatakan beberapa nombor asli dan pecahan asli. Bahasa matematik Rom purba merangkumi sistem tatatanda untuk integer (I, II, III, IV...) yang masih wujud hingga ke hari ini. Dalam bahasa Rusia, nombor ditulis dengan tanda khas. Huruf pertama abjad melambangkan unit, 9 huruf seterusnya ialah 10s, dan 9 huruf terakhir ialah 100s. Untuk menunjukkan jumlah yang besar, Slav datang dengan cara asal. 10,000 kegelapan, 10 legion tema, 10 legion leodr, 10 leodr gagak, 10 gagak dek. Dan lebih daripada ini minda manusia tidak dapat memahami. Bahasa matematik ialah bahasa formal tiruan dengan segala kelebihan dan kekurangannya.

Matematik mengkaji objek yang sifatnya dirumus dengan tepat. Tidak semua yang dikatakan dalam bahasa semula jadi adalah tepat. Kuasa dua yang pertama ditambah kepada kuasa dua kedua dan dengan dua kali ganda hasil darab yang pertama dan yang kedua ialah kuasa dua hasil tambah dua. Pembangunan bahasa tiruan simbol dan formula adalah pencapaian terbesar sains, yang sebahagian besarnya menentukan perkembangan selanjutnya matematik. Bahasa matematik digunakan dalam banyak sains: dalam sains semula jadi untuk menerangkan fenomena alam.

Analisis kuantitatif dan perumusan fakta yang telah ditetapkan secara kualitatif, generalisasi dan undang-undang sains khusus.

Pembinaan model matematik dan juga penciptaan hala tuju baharu seperti fizik matematik, biologi, linguistik.

Bahasa matematik sangat tepat. Kelebihan bahasa kuantitatif matematik berbanding bahasa semula jadi ialah bahasa sedemikian adalah sangat ringkas dan tepat. Sebagai contoh, jika kita perlu menyatakan keamatan sifat menggunakan bahasa biasa, kita perlu menggunakan beberapa dozen kata sifat, dan jika secara matematik kita memilih skala untuk perbandingan atau memilih unit ukuran, maka semua hubungan boleh diterjemahkan ke dalam kuantitatif yang tepat bahasa. Bahasa matematik melaksanakan 2 fungsi:

Menggunakan bahasa matematik, pola kuantitatif yang mencirikan fenomena yang dikaji dirumus dengan tepat. Perumusan undang-undang dan teori saintifik yang tepat dalam bahasa matematik memungkinkan untuk menggunakan alat matematik dan logik yang kaya apabila mendapat akibat daripadanya. Perlu diingatkan bahawa terdapat hubungan rapat antara bahasa semula jadi yang menerangkan ciri kualitatif dan bahasa matematik kuantitatif, dan lebih baik kita mengetahui ciri kualitatif fenomena, lebih berjaya kita boleh menggunakan kaedah matematik kuantitatif untuk menganalisisnya. Bahasa matematik ialah bahasa universal yang direka khas untuk rakaman pelbagai fenomena yang ringkas dan tepat.

Ia berfungsi sebagai sumber model skema algoritma untuk memaparkan sambungan, hubungan dan proses yang membentuk subjek sains semula jadi. Di satu pihak, sebarang skema atau model matematik ialah penyederhanaan idealisasi objek atau fenomena yang dikaji, tetapi sebaliknya, penyederhanaan membolehkan anda memahami dengan jelas dan jelas intipati objek atau fenomena.

Bahasa matematik digunakan dalam: kesusasteraan (versifikasi), muzik.

Bahasa matematik melahirkan bahasa logik matematik. Bahasa logik matematik telah menjadi bahasa simbolik matematik moden. Ia timbul apabila ketidakselesaan bahasa matematik untuk keperluan matematik akhirnya jelas. Formalisasi matematik membawa kepada pemahaman yang lebih jelas tentang sifat matematik itu sendiri. Untuk penggunaannya pada objek bukan berangka dan bukan ruang (gen, bahasa, program, dll.). Sehingga pengetahuan kita tentang sesuatu bidang tertentu boleh diterjemahkan ke dalam bahasa matematik formal dengan cara yang seragam, kita tidak akan dapat memahami konsep asal dan sifat-sifatnya cukup untuk mengaplikasikan kaedah matematik. Tugas utama bahasa matematik adalah untuk menyediakan definisi yang tepat dan mudah bagi proposisi matematik, iaitu, untuk menyediakan bahasa yang akan memenuhi tiga keperluan.

Adalah mungkin untuk menterjemah pernyataan matematik ke dalamnya.

Ia akan mengakui terjemahan yang agak mudah ke dalam bahasa biasa.

Rekod di atasnya akan menjadi padat dan mudah digunakan.

dirinya logik matematik bermula dengan tugasan kedua yang berkait rapat dengan tugas utama bahasa matematik. Tugas kedua ialah tugas utama semantik logik, iaitu yang berikut: untuk memberikan tafsiran yang jelas dan tidak jelas tentang penghakiman bahasa formal yang pada masa yang sama semudah mungkin dan sedekat mungkin dengan pemahaman matematik semula jadi. .

Sediakan laporan: "Tanda sama yang begitu mudah"

Bahasa logik matematik secara sejarah adalah bahasa formal yang pertama ditakrifkan dengan tepat. Ia muncul pada akhir abad ke-19 dalam karya ahli matematik Itali Peano dan pelajarnya. Bentuk moden Russell dan Gilbert mengkhianati bahasa ini. Bahasa logik matematik adalah asas bahasa pengaturcaraan formal, linguistik matematik dan kecerdasan buatan.

>>Matematik: Apakah itu bahasa matematik

Apakah itu bahasa matematik

Ahli matematik berbeza daripada "bukan ahli matematik" kerana, apabila membincangkan masalah saintifik, mereka bercakap antara satu sama lain dan menulis dalam "bahasa matematik" khas. Hakikatnya ialah dalam bahasa matematik banyak pernyataan kelihatan lebih jelas dan lebih telus daripada dalam bahasa biasa.

Sebagai contoh, dalam bahasa biasa mereka berkata: "Jumlah tidak berubah dengan menukar tempat istilah." Mendengar ini, ahli matematik itu menulis (atau berkata):

a + b = b + a.

Dia menterjemah pernyataan yang dinyatakan ke dalam bahasa matematik, yang menggunakan nombor, huruf (pembolehubah), tanda operasi aritmetik dan simbol lain yang berbeza. Rekod a + b = b + a jimat dan senang digunakan.

Mari kita ambil contoh lain. Dalam bahasa biasa mereka berkata: “Untuk menambah dua biasa pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan ia tidak berubah.” Ahli matematik melakukan "terjemahan serentak" ke dalam bahasanya:

Berikut ialah contoh terjemahan terbalik. Undang-undang pengedaran ditulis dalam bahasa matematik:

a(b + c) = ab + ac.

Menterjemah ke dalam bahasa biasa, kita mendapat ayat yang panjang: “Untuk mendarab nombor a dengan jumlah nombor b Dan Dengan, perlukan nombor A darab dengan setiap sebutan secara bergilir-gilir dan tambahkan hasil yang terhasil.”

Setiap bahasa mempunyai bahasa tulisan dan pertuturan. Di atas kita bercakap tentang ucapan bertulis dalam bahasa matematik. Dan ucapan lisan adalah penggunaan istilah khas, contohnya: "perintah", persamaan, "ketaksamaan", "graf", "koordinat", serta pelbagai pernyataan matematik yang dinyatakan dalam perkataan.

Mereka mengatakan bahawa orang yang berbudaya, sebagai tambahan kepada bahasa ibundanya, mesti bercakap sekurang-kurangnya satu bahasa asing. Ini benar, tetapi memerlukan tambahan: orang yang berbudaya juga mesti boleh bercakap, menulis, berfikir dalam bahasa matematik, kerana ini adalah bahasa di mana, seperti yang akan kita lihat lebih daripada sekali pada masa akan datang, realiti sekeliling "bercakap. ” Inilah yang akan kita pelajari.

Untuk menguasai bahasa baharu, anda perlu mempelajari huruf, suku kata, perkataan, ayat, peraturan dan tatabahasanya. Ini bukan aktiviti yang paling menyeronokkan; ia lebih menarik untuk dibaca dan bercakap dengan segera. Tetapi ini tidak berlaku, anda perlu bersabar dan mempelajari asasnya terlebih dahulu. Kami akan mengkaji asas bahasa matematik tersebut dalam Bab 2-5. Dan, sudah tentu, sebagai hasil kajian sedemikian, idea anda tentang bahasa matematik akan berkembang secara beransur-ansur.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk gred 7-11, Buku Teks untuk institusi pendidikan

Matematik adalah bahasa.

David Gilbert

Matematik adalah bahasa. Bahasa diperlukan untuk komunikasi, untuk menyampaikan makna yang dimiliki oleh seseorang kepada orang lain. Untuk tujuan ini, ayat bahasa ini digunakan, disusun mengikut peraturan tertentu Mengapa orang belajar perbezaan bahasa, apakah yang ini memberi mereka selain peluang untuk berkomunikasi di negara lain? Jawapannya ialah setiap bahasa mempunyai perkataan yang tidak wujud dalam bahasa lain, oleh itu ia membolehkan anda menerangkan (dan melihat) fenomena yang tidak akan dilihat oleh seseorang jika dia tidak mengetahui bahasa ini. Mengetahui bahasa lain membolehkan anda mendapatkan visi dunia yang lain, berbeza daripada orang lain. (Orang Eskimo mempunyai 20 bahasa perkataan yang berbeza untuk menunjukkan salji, tidak seperti Rusia, di mana terdapat hanya satu. Walaupun, sebagai contoh, dalam bahasa Rusia terdapat perkataan "nast" untuk menandakan kerak yang terbentuk di atas salji selepas pencairan, diikuti dengan segera oleh fros. Mungkin ada perkataan lain yang menggambarkan keadaan istimewa salji).

Matematik sebagai bahasa sains

Mewakili sejenis pengetahuan formal, matematik menduduki tempat yang istimewa berhubung dengan sains fakta. Ia ternyata sangat sesuai untuk pemprosesan kuantitatif sebarang maklumat saintifik, tanpa mengira kandungannya. Lebih-lebih lagi, dalam banyak kes formalisme matematik ternyata menjadi satu-satunya cara yang mungkin ekspres ciri fizikal fenomena dan proses, kerana sifat semula jadi mereka dan terutamanya hubungan tidak dapat diperhatikan secara langsung. Sebagai contoh, bagaimana kita boleh menerangkan graviti, kesan elektromagnetisme, dsb., dari segi fizikal? Ia hanya boleh diwakili secara matematik sebagai hubungan berangka tertentu dalam undang-undang yang ditetapkan oleh penunjuk kuantitatif. Sains moden dalam sifat mekanik kuantum dan sedikit lebih awal teori relativiti hanya menambah keabstrakan kepada objek teori, sama sekali menghilangkan kejelasan mereka. Yang tinggal hanyalah merayu kepada matematik. L. Landau pernah menyatakan bahawa seorang ahli fizik moden tidak semestinya perlu mengetahui fizik;

Keadaan yang dipertimbangkan mempromosikan matematik kepada peranan bahasa sains. Mungkin buat pertama kalinya ini jelas didengar oleh G. Galileo, salah satu watak penentu dalam penciptaan sains semula jadi matematik, yang telah berlaku selama lebih dari tiga ratus tahun. Galileo menulis: "Falsafah ditulis dalam buku yang megah (maksud saya Alam Semesta), yang sentiasa terbuka kepada pandangan kita, tetapi ia hanya dapat difahami oleh mereka yang mula-mula belajar memahami bahasanya dan mentafsirkan tanda-tanda yang ditulisnya. . Ia ditulis dalam bahasa matematik ".

Apabila abstraksi sains semula jadi berkembang, idea ini mendapati pelaksanaan yang lebih luas, dan pada akhir abad ke-19. berabad-abad telah pun diamalkan kajian saintifik sebagai sejenis maksim metodologi. Beginilah kata-kata ahli fizik teori terkenal Amerika D. Gibbs ketika suatu hari, semasa membincangkan isu pengajaran dalam Bahasa Inggeris di sekolah, dia, yang biasanya senyap pada mesyuarat seperti itu, tiba-tiba berkata: "Matematik juga adalah bahasa." Mereka mengatakan bahawa anda semua tentang bahasa Inggeris dan tentang bahasa Inggeris, matematik juga bahasa. Ungkapan itu telah menjadi popular. Dan kemudian selepas itu, ahli kimia fizikal Inggeris, pemenang hadiah Nobel(terima, dengan cara, bersama-sama dengan N. Semenov kami) Hanshelwood mengumumkan bahawa saintis harus mengetahui matematik sebagai bahasa ibunda mereka.

Alasan penyelidik domestik yang luar biasa V. Nalimov, yang bekerja dalam bidang scientometrics, teori eksperimen matematik, dan yang mencadangkan model kebarangkalian bahasa, adalah ciri. Sains yang baik, dia menulis, bercakap dalam bahasa matematik. Atas sebab tertentu, kita manusia direka sedemikian rupa sehingga kita melihat Alam Semesta melalui ruang, masa dan nombor. Ini bermakna kita bersedia untuk beralih kepada matematik, yang disediakan oleh evolusi benda hidup, iaitu a priori. Cuba untuk mendedahkan latar belakang rahsia kuasa matematik ke atas seorang saintis, Nalimov selanjutnya mencatat: "Saya sering dituduh menggunakan matematik dalam kajian kesedaran, linguistik, evolusi biologi Tetapi adakah matematik seperti itu? Pemerhati. Jadi bagi saya Lebih senang untuk berfikir, jika tidak, ruang, masa, nombor dan logik adalah hak Pemerhati.

Keadaan kadang-kadang berkembang dalam sains sedemikian rupa sehingga tanpa menggunakan bahasa matematik yang sesuai seseorang dapat memahami sifat fizikal, kimia, dll. proses adalah mustahil. Bukan kebetulan bahawa P. Dirac mengakui bahawa setiap langkah baru dalam pembangunan fizik memerlukan lebih banyak lagi. matematik tinggi. Ini adalah fakta. Mencipta model planet atom, ahli fizik Inggeris yang terkenal pada abad ke-20. E. Rutherford mengalami kesukaran matematik. Pada mulanya, teorinya tidak diterima: ia tidak terdengar konklusif, dan sebabnya adalah ketidaktahuan Rutherford tentang teori kebarangkalian, berdasarkan mekanisme yang hanya mungkin untuk memahami perwakilan model interaksi atom. Menyedari perkara ini, seorang saintis yang cemerlang pada masa itu, pemenang Hadiah Nobel, telah mendaftar dalam seminar ahli matematik Profesor Lamb dan selama dua tahun, bersama-sama dengan pelajar, mengambil kursus dan bekerja di bengkel mengenai teori kebarangkalian. Berdasarkan asasnya, Rutherford dapat menerangkan tingkah laku elektron, memberikan model strukturnya ketepatan yang meyakinkan dan mendapat pengiktirafan.

Ini menimbulkan persoalan, apakah matematik yang terkandung dalam fenomena objektif yang membolehkan mereka menerima huraian dalam bahasa matematik, dalam bahasa ciri kuantitatif? Ini adalah unit jirim homogen yang diedarkan dalam ruang dan masa. Sains yang telah pergi lebih jauh daripada yang lain ke arah pengenalpastian kehomogenan ternyata lebih sesuai untuk penggunaan matematik di dalamnya. Khususnya, kebanyakannya - fizik. V. Lenin, mencatatkan kejayaan serius sains semula jadi dan, di atas semua, pengetahuan fizikal pada pergantian abad ke-19-20, melihat salah satu sebab dengan tepat dalam fakta bahawa alam semula jadi dibawa lebih dekat "kepada unsur-unsur homogen seperti itu, undang-undang pergerakan yang membenarkan pemprosesan matematik."

Mengikut fizik ialah disiplin kimia, di mana ia juga beroperasi dengan atom dan molekul, dan ke dalamnya, menggunakan kaedah "cantuman paradigma," banyak unit jirim dan medan yang homogen mengalir daripada fizik, bersama-sama dengan teknik penyelidikan yang sepadan. Kimia matematik menjadi semakin mantap. Bahasa matematik yang lebih lemah setakat ini telah memasuki biologi, kerana unit substrat belum lagi dikenal pasti di sini, kecuali genetik. Bahagian kemanusiaan dalam pengetahuan saintifik lebih kurang bersedia untuk ini. Satu kejayaan diperhatikan hanya dalam linguistik dengan penciptaan dan pembangunan yang berjaya linguistik matematik, dan juga dalam logik (logik matematik). Sains sosial sememangnya sukar analisis kuantitatif disebabkan oleh kekhususan fenomena dan proses yang berlaku di sini, kerana ia ditandai dengan keaslian dan keunikan. Percubaan menarik untuk mengenal pasti unsur-unsur homogen dalam proses sejarah telah dibuat oleh L. Tolstoy. Dalam novel "Perang dan Keamanan" penulis memperkenalkan konsep "perbezaan tindakan sejarah" dan menjelaskan bahawa hanya dengan mengakui unit yang sangat kecil - perbezaan sejarah, iaitu, "pemacuan homogen orang", dan kemudian belajar untuk mengintegrasikan mereka (mengambil jumlah infinitesimal ini), boleh berharap untuk memahami sejarah.

Walau bagaimanapun, kehomogenan sedemikian ternyata sangat bersyarat, kerana "tarikan orang" sentiasa diwarnai oleh keunikan individu dan berubah-ubah secara psikologi, yang akan menimbulkan gangguan yang sukar untuk diambil kira pada kehomogenan yang dipostulatkan. Secara umumnya, setiap peristiwa dalam sejarah masyarakat adalah agak unik dan tidak boleh diratakan kepada unit yang homogen. Bagus untuk itu ilustrasi - satu hujah oleh A. Poincaré. Pernah dia membaca daripada ahli sejarah Inggeris yang terkenal pada abad ke-19. Kenyataan T. Carlyle: “John the Landless berlalu di sini, dan fakta ini lebih saya sayangi daripada semua teori sejarah". Poincaré berkata pada kesempatan ini: "Ini adalah bahasa seorang ahli sejarah. Seorang ahli fizik tidak akan berkata begitu. Seorang ahli fizik akan berkata: "John the Landless berlalu di sini, dan itu sama sekali tidak ada perbezaan bagi saya, kerana dia tidak akan pergi ke sini lagi." Bantahan ahli matematik Poincaré boleh difahami: seorang ahli fizik memerlukan kebolehulangan, barulah dia dapat memperoleh undang-undang. Sebaliknya, keunikan peristiwa itu ialah bahan yang menyuburkan huraian sejarah.

Perhatikan bahawa pemahaman tentang kehomogenan sebagai syarat untuk kebolehgunaan penerangan matematik tentang fenomena datang kepada sains agak lewat. Sehingga masa tertentu, ia dianggap mustahil untuk mengabstrak daripada makna objektif untuk beralih kepada ciri berangka. Jadi, walaupun G. Galileo, salah seorang pengasas sains matematik, tidak mahu menerima kelajuan seragam. gerakan rectilinear dalam bentuk. Dia percaya bahawa tindakan membahagikan laluan mengikut masa secara fizikal tidak betul, kerana perlu membahagikan kilometer, meter, dll. untuk jam, minit, dll. Iaitu, beliau menganggap tidak boleh diterima untuk menjalankan operasi bahagi dengan kuantiti yang tidak homogen secara kualitatif. Bagi Galileo, persamaan halaju mempunyai makna substantif semata-mata, tetapi sama sekali bukan hubungan matematik kuantiti. Dan hanya berabad-abad kemudian, ahli akademik Akademi Sains St. Petersburg L. Euler, memperkenalkan formula ke dalam penggunaan saintifik, menjelaskan bahawa kita tidak membahagikan laluan dengan masa dan, oleh itu, bukan kilometer atau meter dengan jam atau minit, tetapi satu dimensi kuantitatif oleh yang lain, satu nilai berangka abstrak kepada yang lain. Seperti yang dicatat oleh M. Rozov, Euler, melalui perbuatan ini, melakukan penyongsangan tanda-subjek, mengubah huraian bermakna menjadi abstrak algebra 63 . Iaitu, Euler menerima secara kualitatif kilometer, meter, jam, minit, dll. sebagai ukuran abstrak untuk unit ukuran dan kemudian kita mempunyai, katakan, bukan 10 meter, tetapi 10 unit abstrak, yang kita bahagikan, katakan, bukan dengan 2 saat, tetapi dengan dua unit yang sama abstrak. Dengan teknik ini, kami berjaya menyongsangkan objek heterogen secara kualitatif yang mempunyai kepastian spatial dan temporal kepada homogeniti, yang membolehkan kami menggunakan bahasa penghuraian kuantitatif matematik.

Laporan di persidangan dalam rangka kerja "Hari Sains"
(penganjur - Dynasty Foundation, St. Petersburg, 21−23 Mei, 2009)

Bayangkan Paris pada tahun 1920-an, ibu kota modenisme dan fesyen dunia. Coco Chanel, mengenang masa ini, memberitahu Paul Morand tentang Picasso: "Saya mengagumi lukisannya, walaupun saya tidak memahaminya. Tetapi saya dapati dia meyakinkan, dan itulah yang saya suka. Bagi saya ia seperti jadual logaritma."

Fikirkan tentang persamaan yang menakjubkan ini. Matematik adalah abstrak, lukisan Picasso adalah abstrak; Nampaknya ini adalah persamaan yang paling jelas antara dua ketidakjelasan: "Gadis dengan Gelung" (1919) dan "Jadual Logaritma." Tetapi Chanel memilih perkataan yang berbeza: kedua-duanya adalah "memujuk," dan memujuk adalah yang menariknya.

Sebagai sebahagian daripada laporan ini, didedikasikan untuk pelbagai aspek linguistik kandungan dan bentuk aktiviti matematik, saya akan cuba memberi perhatian khusus kepada kualiti ini - "persuasif".

Pada peringkat peribadi, daya persuasif bukti, idea, simulasi komputer bergantung pada kecenderungan ahli matematik terhadap geometri atau pemikiran logik, kecenderungan falsafah (mungkin tidak sedarkan diri), dan akhirnya, orientasi nilai.

Dari segi sosial, terdapat keadaan sejarah berskala besar yang bermain yang boleh menyumbang sama ada kepada perkembangan matematik yang menakjubkan atau kehilangan mayanya.

Atas sebab yang jelas, ahli sejarah matematik beralih kepada tempat dan masa di mana matematik dicipta atau sekurang-kurangnya diterima pakai. Tetapi ia akan menjadi sangat menarik untuk melihat dengan lebih dekat keadaan sejarah penolakannya, sehingga dia (sementara) berlepas dari pentas.

Perkembangan matematik purba, terutamanya Yunani, di Eropah telah terganggu oleh sekurang-kurangnya untuk seribu tahun pertama agama Kristian. Tetapi sebelum agama Kristian, orang Rom yang praktikal dan suka berperang, telah mencipta tamadun yang tinggi, menyepadukan budaya kemanusiaan Yunani ke dalamnya, tetapi bukan sains Yunani. Malah permohonan ketenteraan yang jelas gagal untuk menggoda mereka. Menurut Plutarch, semasa pengepungan Syracuse, jeneral Rom Marcellus dengan sia-sia menggesa tenteranya untuk tidak berundur di hadapan "Briareus geometri ini" (Archimedes), yang dengan mainan ketenteraannya "melepasi gergasi mitologi seratus bersenjata!"

Walau bagaimanapun, Archimedes sendiri tidak menganggap pencapaian kejuruteraannya sebagai "aplikasi" matematiknya: kerana mindanya yang kuat itu adalah gangguan daripada matematik, yang dia lebih suka mengelak.

Warisan matematik Rom purba yang tidak seberapa termasuk sistem tatatanda untuk integer yang telah bertahan hingga ke hari ini:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,…, L,…, C,…, D,…, M.

Ia adalah paling berguna untuk melihatnya sebagai koleksi arkeologi unik jejak keadaan kuno pemikiran matematik.

Unit I melambangkan takuk pada kakitangan (bukan huruf Latin I - ini adalah tafsiran semula kemudian). Usaha yang masuk ke setiap takuk, dan ruang yang diambilnya, katakan, tongkat gembala, memaksa kita untuk berpindah dari sistem tatatanda yang tumpul, tetapi sangat sistematik dan berpotensi tidak terhingga dilanjutkan untuk nombor.

I, II, III, IIII, IIIIII, IIIIII,. . .

kepada yang lebih tidak konsisten (dan tidak membenarkan untuk pergi ke infiniti), tetapi pada mulanya sistem "nama" yang menjimatkan dan selesa dan bukannya simbol (juga dalam segmen awal yang boleh dikesan ke takuk):

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Urutan pendek simbol utama ini ditafsirkan menggunakan penambahan, kadangkala penolakan: 2009 = MMIX = M + M - I + X. Sudah tentu, sifar tidak mempunyai nama. Kengerian "ketiadaan," "kekosongan," berakar umbi dalam psikologi manusia. Pengkhotbah juga berkata, “Apa yang tidak ada tidak dapat dihitung.”

Ketidakupayaan untuk menetapkan sifar secara kritikal menghalang pembangunan sistem dan transformasinya menjadi satu kedudukan.

Penyebaran sistem nombor kedudukan di Eropah selepas penerbitan buku Leonardo Fibonacci Liber Abaci (1202) adalah, pada dasarnya, permulaan pengembangan satu-satunya bahasa dunia yang benar-benar global. Semantik bahasa ini dikira apa-apa: takuk, lembu, kapal, florin... Nuklearnya sintaks telah ditentukan peraturan sejagat menukarkan kuantiti abstrak kepada tatatanda kedudukan (perpuluhan) dan sebaliknya. Akhirnya, miliknya pragmatik mempunyai dua sisi. Apabila rujukan teks yang terdiri daripada nombor adalah serpihan dunia luar, katakan perdagangan, penghubung penting antara teks dan dunia luar peraturan sintaksis menjadi lebih banyak tahap tinggi. Contoh terkenal peraturan sedemikian ialah sistem simpan kira dua kali yang dikodkan oleh Luca Pacioli pada tahun 1494.

Apabila rujukan teks berangka adalah data daripada saintifik, contohnya astronomi, pemerhatian, pragmatiknya boleh dikaitkan dengan ramalan, katakan, gerhana atau membina model kuantitatif sistem suria. Dalam kes ini teks terpaksa tertakluk kepada pemprosesan algoritma. Dalam erti kata lain, ia berfungsi sebagai input untuk beberapa program, manakala ia keluar teks berangka baharu menjadi, sekali lagi mempunyai dunia yang boleh diperhatikan sebagai rujukannya.

Kelebihan sistem kedudukan yang tidak ternilai ialah kesesuaiannya yang ideal kepada pemprosesan algoritmik seperti itu, khususnya peraturan penambahan dan pendaraban yang mudah dan universal yang boleh diajar kepada pelajar sekolah dan kerani. Program yang lebih kompleks—arahan kepada kerani—diterangkan dalam bahasa semula jadi sebagai lelaran algoritma asas dengan penambahan cawangan bersyarat ("jika debit NN pelanggan melebihi kreditnya oleh ZZ florin, hentikan penghantaran").

Untuk masa yang sangat lama, bahasa pengaturcaraan hanya wujud sebagai subdialek bahasa semula jadi yang tidak formal dengan skop kebolehgunaan yang sangat terhad (walaupun sangat penting). Malah Alan Turing, yang sudah berada di abad ke-20, memotivasikan pemformalan universalnya tentang kebolehkiraan, apabila dia berkata "komputer", bermakna seseorang secara mekanikal mengikut senarai arahan terhingga yang terletak di hadapannya.

Contoh paradoks aktiviti sedemikian, yang telah menjadi monumen budaya dan sejarah pada skala tamadun, ialah 90 halaman jadual logaritma semula jadi oleh John Napier, diterbitkan dalam karyanya Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614(Gerak hati Coco Chanel juga tidak menipunya di sini). Logaritma dikira tanda demi tanda, secara manual. Sudah tentu, Napier menggabungkan dalam satu orang peranan pencipta matematik baharu dan kerani komputer mengikut arahannya sendiri.

Yang lebih menarik ialah wawasan falsafah Leibniz, yang terkenal Calculemus!, berdalil bahawa bukan sahaja manipulasi dengan nombor, tetapi sebarang penaakulan yang ketat dan konsisten secara logik yang menghasilkan kesimpulan daripada premis yang diterima mesti boleh dikurangkan kepada pengiraan.

Memetakan sempadan tepat dunia ideal Leibniz, di mana penaakulan adalah bersamaan dengan pengiraan, kebenaran boleh diformalkan, tetapi tidak boleh selalu disahkan secara rasmi, di mana seseorang dapat melihat dengan sangat jelas bagaimana infiniti Cantorian terkecil (nombor asli) terlepas daripada pelukan daripada bahasa yang dijana secara terhad, dan merupakan pencapaian tertinggi ahli logik yang hebat pada abad kedua puluh. (Hilbert, Gereja, Gödel, Tarski, Turing, Markov, Kolmogorov...).

Konsep utama program ini, bahasa formal, mewarisi ciri asas kedua-dua bahasa semula jadi (ditetapkan melalui tulisan abjad) dan sistem kedudukan nombor dan aritmetik. Khususnya, mana-mana bahasa formal klasik adalah satu dimensi/linear, terdiri daripada simbol diskret, dan secara eksplisit menyatakan cara logik asas.

Mana-mana teks matematik sebenar terdiri daripada perkataan yang diselangi dengan formula. Formula boleh dianggap sebagai ungkapan bahasa formal(ini mungkin berbeza dari artikel ke artikel, tetapi selalunya hanya versi bahasa teori set).

Persoalan bagaimana perkataan dan simbol berkongsi fungsi menyampaikan kandungan wajar dibincangkan secara berasingan. Perkara yang paling penting ialah kata-kata yang ditujukan kepada orang ramai, bukan kepada mesin membaca; Mereka juga berurusan dengan kehalusan seperti menyatakan sistem nilai pengarang.

Formula tidak selalu dan tidak di mana-mana pembawa makna dalam serpihan teras teks matematik. Sekurang-kurangnya dari zaman Euclid hingga ke hari ini buku teks sekolah Dalam geometri, peranan formula dimainkan oleh lukisan. Ramai orang masih ingat lukisan segi empat sama dibahagikan dengan dua garisan kepada dua petak yang lebih kecil dan dua segi empat tepat. Lukisan ini menggambarkan/menggantikan/membuktikan formula (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Lebih menarik - dan kurang dikenali - ialah lukisan yang menggambarkan teorem kuno Pappus Alexandria (sekitar 300 AD).

Menggunakannya, adalah mudah untuk menggambarkan bagaimana pemikiran geometri ahli matematik berinteraksi dengan pemikiran formula dan formal, dan selama beberapa generasi.

Pertama sekali, mengenai kandungan teorem.

Mari kita mulakan dengan heksagon rata, dalam lukisan bucunya ialah BXbCYc. (Ia tidak semestinya cembung seperti dalam gambar! Itulah perangkap pertama lukisan - mereka sering memaksa anda untuk menerima batasan tidak sedarkan diri.)

Mana-mana pasangan sisi bertentangan bagi heksagon, katakan Bc dan bC, juga mentakrifkan pepenjuru XY perantaraan di antara mereka. Mari kita teruskan kedua-dua belah ini dan pepenjuru; Ia mungkin ternyata bahawa tiga garis lurus bersilang pada satu titik.

TEOREM PAPPA. Jika sifat ini berlaku untuk dua pasang sisi bertentangan bagi heksagon, maka ia berlaku untuk pasangan ketiga.

Ini adalah hasil yang menakjubkan. Pertama sekali, sukar untuk membayangkan bagaimana seseorang boleh mencapainya. Ia tidak tergolong dalam geometri Euclidean: jarak, panjang dan sudut tidak memainkan sebarang peranan dalam perumusan dan pembuktiannya; Kumpulan gerakan Euclidean pesawat juga tidak memainkan peranan. Satu-satunya hubungan struktur adalah primitif: satah terdiri daripada mata; garis lurus ialah beberapa subset titik; dua garis bersilang tepat pada satu titik; satu garis lurus melalui dua titik.

Hanya pada abad ke-19. telah disedari bahawa teorem Pappus adalah hasil pusat flat projektif geometri. Pada mulanya ia adalah geometri satah biasa berbanding nombor nyata. Kemudian didapati bahawa sesuatu adalah benar untuk satah unjuran ke atas mana-mana medan abstrak; bidang ini, undang-undang komposisi dan aksiom - semuanya dipulihkan mengikut konfigurasi Pappus.

Akhirnya, menjelang akhir abad ke-20. ternyata kesetaraan teorem Pappus dengan teori medan komutatif dijelaskan dan digeneralisasikan dalam konteks yang luas. teori model. Model bahasa formal adalah, secara ringkasnya, pemetaan bahasa ini ke dalam bahasa teori set, bersama-sama dengan tafsiran standard yang terakhir. Oleh itu, makna lukisan yang indah ditunjukkan dalam pembinaan metalinguistik yang kompleks.

Lukisan tidak meminjamkan diri mereka untuk digabungkan ke dalam bahasa atas banyak sebab. Sintaks lukisan adalah aneh dan tidak sistematik, hubungan sintaksis di antara mereka menentang pemformalan, dan lukisan mempunyai integriti yang hilang semasa analisis. Fungsi mereka ialah proses yang berbeza penghantaran dan penyimpanan maklumat berbeza daripada fungsi binaan bahasa "sinonim" yang menarik kepada jenis imaginasi yang berbeza, kepada intuisi hemisfera kanan.

Apabila, dengan perkembangan algebra homologi dan teori kategori pada separuh kedua abad kedua puluh. Pembinaan bahasa "seperti lukisan" dan gambar rajah komutatif mula diperkenalkan ke dalam matematik;

Dalam Rajah. Rajah 2 menunjukkan rajah sedemikian (agak realistik: dari kerja D. Borisov dan pengarang, 2007). Komponen asas rajah ialah kuasa dua komutatif. Sebelum era kategori, perwakilan linguistik linear bagi pernyataan yang dinyatakan oleh petak ini hampir terhad kepada kesamaan h ◦ f = k ◦ g. Tetapi ini adalah benar hanya dengan kaveat yang ketara: f, g, h, k di sini adalah morfisme dalam kategori, dan adalah perlu untuk mengetahui dari objek mana setiap morfisme "terkena" dari objek mana.

Selain itu, dalam rajah besar dalam Rajah. 2 anda boleh melihat anak panah serong, seperti a. Anak panah sedemikian mewakili morfisme bukan dalam kategori asal, katakan C, tempat tinggal objek yang namanya menandakan permulaan dan penghujung anak panah. Dia menggambarkan morfisme dalam kategori morfisme Mor C:

a: Id ◦ F"- F" ◦ G.

Kandungan tepat rajah hanya boleh disampaikan dengan mengulas secara terperinci mengenainya dengan teks linear biasa yang diselangi dengan perkataan dan formula. Tetapi adakah teks sedemikian menjadikan gambar rajah itu sendiri berlebihan? Tidak! (Saya sedang berkomunikasi dengan rakan sekerja di e-mel, membincangkan subjek matematik yang sangat spesifik. Dalam teks e-mel, sudah tentu, anda perlu membuat kaitan dengan equivocation lisan. Tiba-tiba saya menerima jeritan daripada wartawan saya: “Diagram! Separuh kerajaan untuk rajah!”)

Di bawah ini saya berhasrat untuk menghujahkan sudut pandangan mengikut mana perkembangan teori kategori, dan khususnya topologi homotopi, semasa dekad lepas bukan sahaja kemajuan yang ketara dalam bidang tertentu matematik, tetapi juga menyumbang kepada kesedaran dan penyataan pergeseran epistemologi yang berlaku di hadapan mata kita dalam apa yang biasa dipanggil "asas" matematik.

Saya mesti membuat tempahan: bagi saya, "alasan" tidak mempunyai fungsi preskriptif atau normatif. Saya memahami dengan "asas" hasil kerja ahli matematik yang cenderung melihat ke dalam amalan memilih masalah, mereka bentuk bukti dan eksperimen, dan ke dalam orientasi nilai bagi generasi ahli matematik yang hidup dan telah pergi.

Yang paling penting fungsi sosial penyelidikan mengenai asas adalah untuk mengekalkan dialog antara "dua budaya" (C.P. Snow). Dialog ini bermula kerana matematik sentiasa menimbulkan kebimbangan falsafah semula jadi. Jika kita tidak benar-benar menerima kewujudan dunia idea Platonik yang objektif yang bebas daripada kita (dan ahli falsafah kadang-kadang bersedia untuk tidak menerima kewujudan dunia benda dan fenomena), maka kita perlu mengakui bahawa matematik hanyalah buah imaginasi terlatih beberapa ribu orang dalam setiap generasi.

Kemudian, walaupun meninggalkan seketika kebimbangan mengenai kriteria untuk "kebenaran" penyataan matematik, seseorang tidak boleh tidak kagum dengan kestabilan pengetahuan matematik yang degil, kebolehulangan antara generasi dan antara tamadun.

Lebih-lebih lagi, pengetahuan ini tidak hanya diterbitkan semula, kerana teks Odyssey, Gilgamesh atau Injil diterbitkan semula. Ia telah membangun dan memperkaya dirinya sendiri, dalam tempoh 200 tahun yang lalu, pada kelajuan yang tidak pernah didengari sebelum ini.

Berbalik kepada masalah kandungan matematik "asas matematik" dan evolusi sejarahnya sejak satu setengah ratus tahun yang lalu, saya akan membentangkannya seperti berikut.

Imej mental awal, biasa kepada majoriti ahli matematik yang bekerja selepas, katakan, Perang Dunia Kedua, ialah imej set dengan struktur tambahan: ruang topologi, kumpulan, cincin, ruang ukuran...

Pada peringkat pertama, set ini adalah abstraksi Cantorian semata-mata: sifat unsur-unsurnya tidak penting, satu-satunya perkara yang penting ialah mereka boleh dibezakan secara berpasangan dan dianggap sebagai bersatu menjadi satu keseluruhan. Pada peringkat seterusnya, unsur-unsur set baharu boleh menjadi subset terbuka daripada yang sebelumnya, fungsi setempat padanya, dsb.

Cantor sendiri, dalam inspirasi minimalis, bertanya soalan paling asas tentang set sedemikian, menunjukkan skala tak terhingga infiniti, dan meninggalkan beberapa generasi ahli logik dengan tugas untuk memahami ontologi dan epistemologi skala ini.

Generasi yang lebih pragmatik yang terselamat dalam perang pertama dibina di atas asas metafizik yang berpotensi ini, sebuah bangunan matematik kerja yang moden dari segi seni bina dan cekap berfungsi daripada unsur-unsur yang dihasilkan secara industri yang dipanggil "struktur" dalam erti kata Bourbaki.

Soalan tentang skala infiniti telah menjadi latar belakang untuk ahli matematik yang bekerja, tetapi set diskret kekal sebagai bahan binaan utama. Berterusan telah menjadi superstruktur atas diskret.

Sementara itu, sebelum Cantor, beberapa masalah dengan pembinaan aritmetik asas genap daripada set telah jelas sepenuhnya. Jika nombor asli merujuk kepada kuantiti kayu atau sebarang set diskret terhingga,

I, II, III,. . .

maka sudah sifar apabila kuasa set kosong mencipta masalah psikologi, dan nombor negatif memerlukan sama ada algebra buatan atau tafsiran dalam alam semesta yang sama sekali berbeza, katakan hubungan ekonomi (“hutang”).

Pada masa yang sama, jika elemen awal intuisi dianggap berterusan, dan diskret diperkenalkan sebagai struktur terbitan, maka integer menerima penjelmaan semula jadi yang mengejutkan. Bayangkan satu titik bergerak di sepanjang satah. Biarkan ia meninggalkan beberapa kedudukan awal, bersiar-siar untuk beberapa waktu, dan kemudian kembali semula, tanpa pernah berakhir di, katakan, asal koordinat. Soalan: berapa kali dia akan pergi sekitar permulaan? Tidak sukar untuk memberikan definisi yang tepat bagi integer ini: ia boleh menjadi sifar, positif atau negatif (laluan boleh mengikut arah jam atau lawan jam).

Selain itu, tidak sukar untuk memahami bagaimana lencongan pertama ke satu arah dan kemudian ke arah yang lain dipendekkan (1 - 1 = 0): laluan yang terdiri daripada dua lencongan sedemikian boleh diunci ke satu titik tanpa menyentuh asal.

Jadi apakah pada mulanya, diskret atau berterusan? Sudah tentu, ini adalah persoalan asas falsafah: ijoyoq, mungkin melambangkan diskret, dan x ao?- berterusan.

Menggunakan metafora dari profesion yang berkaitan, etnografi, saya akan membandingkan situasi ini dengan teori mitos menurut Lévi-Strauss. Bukan tanpa pengaruh Bourbaki, Lévi-Strauss membina tafsiran mitos sebagai pengantaraan pembangkang. Memikirkan konsepnya seperempat abad yang lalu, saya mencadangkan evolusi ke arah yang bertentangan: menurut pandangan ini, mitos menandakan era apabila kesedaran tentang penentangan ("diskrit") dilahirkan daripada kekacauan mental. Oleh itu, notasi muzik lahir daripada muzik itu sendiri.

Kaedah untuk memperkenalkan integer yang saya lakar di atas—mengira bilangan lencongan sedar orientasi yang dibuat oleh laluan satah tertutup di sekitar asal—bermula sebagai salah satu teorem terawal topologi homotopi.

Seorang geometer yang berurusan dengan topologi homotopik melihat dengan mata mindanya ruang dimensi tak terhingga yang boleh dan harus diubah bentuknya sehingga ia dikontrak menjadi satu titik. Akhirnya, diskret yang dikira dan disampaikan oleh ahli topologi dalam bahasa diskret dikurangkan kepada "komponen bersambung" ruang ini dan ruang pemetaan yang diperoleh daripadanya.

Dalam pembentangan popular matematik, dan kini dalam video, "simpulan" masuk R3, atau "memusingkan sfera ke dalam", digunakan untuk mengeksteriorkan imej mental peribadi tersebut. Kemungkinan eksteriorisasi ini sebagai alat pengajaran adalah terhad, sama seperti keupayaan untuk membayangkan diri sebagai Svyatoslav Richter melakukan Schubert selepas menonton wawancaranya dengan Bruno Monsaingeon adalah terhad.

Oleh itu, saya hanya boleh menggariskan secara ringkas tanggapan saya tentang anjakan epistemologi, dinamik yang saya lihat dalam asas matematik.

Intipatinya ialah hubungan antara diskret dan berterusan, antara bahasa dan imaginasi, antara algebra dan topologi adalah terbalik. Kesinambungan, imaginasi geometri, topologi perlahan-lahan mendapat tempat bahan matematik primer.

Bahasa menjadi sekunder, subordinat, "tulisan dalamannya" kembali ke bentuk hieroglif kuno, dan gabungan imej geometri menjadi perkaranya. Kombinatorik ini sendiri adalah tidak linear, multidimensi, dan sudah berada pada tahap permulaannya bahasa baharu mencampurkan sintaksis, semantik dan pragmatik dengan cara yang kita belum mula berkonsepkan secara falsafah.

Gambar rajah komutatif bahasa kategori adalah petanda evolusi sedemikian. Dengan penembusan ke dalam kehidupan seharian polikategori, kategori yang diperkaya, A∞-algebra dan struktur yang serupa, kami mula bercakap bahasa yang kurang bersetuju dengan eksteriorisasi berbanding biasa.

Hujah yang sangat meyakinkan bagi saya bahawa persepsi ini lebih daripada ilusi peribadi saya ialah kesedaran proses selari yang berlaku di sempadan matematik dan fizik teori. Saya bercakap tentang kamiran Feynman, kaedah penormalan semula, dan aplikasinya seperti kamiran Witten, yang mengira invarian simpulan.

Kesimpulannya, saya ingin kembali kepada topik yang saya mulakan—masalah persuasif matematik dan, secara umumnya, sains moden.

Persuasif pengalaman peribadi, akaun saksi, rujukan kepada pihak berkuasa dan teks berwibawa sering dianggap sebagai senarai penuh cara memujuk. Sudah tentu, ahli fizik, ahli kimia dan ahli biologi menambah eksperimen terarah pada senarai ini.

Tetapi saya ingin mempertimbangkan di sini apa yang saya akan panggil hujah "tamadun", secara intuitif ditebak oleh Coco Chanel. Tamadun menggunakan kaedah kami untuk mengesahkan kebenaran yang tidak melibatkan rayuan kepada pihak berkuasa, atau pengalaman peribadi dalam menganalisis bukti matematik yang panjang, atau bukti.

Sebagai persediaan untuk laporan ini, saya menghantar surat secara meluas melalui e-mel. Kemungkinannya kini dilihat oleh hampir semua orang sebagai sesuatu yang diambil mudah. Tetapi ia dimungkinkan oleh tahap matematik sedemikian, dibina selama 2 ribu tahun, keyakinan skala penuh yang tidak dapat kita sahkan oleh kita sendiri atau orang yang berwibawa untuk kita. Matematik adalah betul, antara lain, kerana penemuan persamaan Maxwell membawa kepada teknologi penghantaran maklumat melalui gelombang elektromagnet, dan algebra Boolean mula berfungsi dalam komputer riba anda dan saya.

Budaya penaakulan matematik dalam aspek ketamadunan adalah bentuk objektif yang paling penting bagi pengetahuan matematik abstrak, kaedah penghantarannya dari generasi ke generasi.

Pada peringkat peribadi, saya akan membandingkan budaya matematik, budaya pembuktian, dengan latihan seorang pemuzik - mempraktikkan ketepatan pergerakan kecil sehingga ia menjadi automatik dan boleh disintesis, katakan, ke dalam "Sonata for Solo Violin" Bach. Kodifikasi bahasa formal dengan komponen logik dan teori setnya adalah cara yang ideal untuk "mempraktikkan pergerakan yang tepat." Tetapi jika ia disertai dengan propaganda ideologi seperti intuisionisme atau konstruktivisme, ia menjadi berkelip falsafah dan kehilangan nilai ketamadunannya.