Công trình nghiên cứu: “Lịch sử hình thành phương trình bậc hai” Từ lịch sử của phương trình bậc hai

1.1. Từ lịch sử xuất hiện của phương trình bậc hai

Đại số nảy sinh liên quan đến việc giải các bài toán khác nhau bằng phương trình. Thông thường, các bài toán yêu cầu tìm ra một hoặc nhiều ẩn số, đồng thời biết kết quả của một số hành động được thực hiện với số lượng mong muốn và cho trước. Những vấn đề như vậy bắt nguồn từ việc giải một hoặc một hệ phương trình, tìm những phương trình cần thiết bằng cách sử dụng phép toán đại số trên các giá trị này. Đại số được nghiên cứu Thuộc tính chung hành động về số lượng.

Một số kỹ thuật đại số để giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai đã được biết đến cách đây 4000 năm ở Babylon cổ đại.

Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai vào thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến tìm diện tích thửa đất và với công việc đào đất có tính chất quân sự, cũng như sự phát triển của thiên văn học và toán học. Người Babylon đã có thể giải phương trình bậc hai vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như văn bản hoàn chỉnh, phương trình bậc hai:

Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng người ta không biết người Babylon đã đạt được quy tắc này như thế nào. Hầu như tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ cung cấp các vấn đề với các giải pháp được trình bày dưới dạng công thức nấu ăn mà không có dấu hiệu nào cho thấy chúng được tìm thấy như thế nào. Cho dù cấp độ cao phát triển của đại số ở Babylon, các văn bản chữ nêm thiếu khái niệm về số âm và phương pháp chung giải phương trình bậc hai.

Số học của Diophantus không trình bày một cách có hệ thống về đại số, nhưng nó chứa đựng một loạt các bài toán có hệ thống, kèm theo lời giải thích và giải bằng cách xây dựng các phương trình mức độ khác nhau.

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Bài 2. “Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 20 và tích của chúng bằng 96”.

Diophantus lý do như sau: từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà là 100. Do đó, một trong số chúng sẽ lớn hơn một nửa tổng của chúng, tức là 0,10 + x. Cái kia nhỏ hơn, tức là 10 - x. Sự khác biệt giữa chúng là 2x. Do đó phương trình:

(10+x)(10-x) =96,

Do đó x = 2. Một trong những số cần tìm là 12, số còn lại là 8. Nghiệm x = - 2 không tồn tại đối với Diophantus, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến số dương.

Nếu bạn giải quyết vấn đề này bằng cách chọn một trong những số cần thiết làm ẩn số, bạn có thể đi đến nghiệm của phương trình:

Rõ ràng là bằng cách chọn nửa sai phân của các số cần tìm làm ẩn số, Diophantus đã đơn giản hóa lời giải; ông đã biến bài toán thành việc giải một phương trình bậc hai không đầy đủ.

Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã đưa ra một quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

Trong phương trình (1), các hệ số cũng có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

Các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn rất phổ biến ở Ấn Độ. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Như mặt trời làm lu mờ các ngôi sao bằng ánh sáng rực rỡ của nó, người đàn ông đã học sẽ làm lu mờ vinh quang của anh ấy trước đám đông bằng cách đề xuất và giải các bài toán đại số.” Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng tác giả biết rằng gốc của phương trình bậc hai có hai giá trị.

Phương trình tương ứng với bài toán 3 là:

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

x 2 - 64x = - 768

và để bổ sung bên trái của phương trình này vào bình phương, cộng 32 2 vào cả hai vế, rồi thu được:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Phương trình bậc hai của Al-Khwarizmi

Chuyên luận đại số của Al-Khwarizmi đưa ra cách phân loại các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai. Tác giả đếm được 6 loại phương trình, biểu diễn chúng như sau:

1) “Hình vuông bằng căn”, tức là ax 2 = bx.

2) “Hình vuông bằng số,” tức là ax 2 = c.

3) “Các căn bằng số,” tức là ax = c.

4) “Hình vuông và số đều bằng căn”, tức là ax 2 + c = bx.

5) “Bình phương và căn đều bằng số,” tức là ax 2 + bx = c.

6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c == ax 2.

Đối với Al-Khwarizmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có quyết định tích cực. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-mukabal. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể rằng nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, chẳng hạn, khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh thuộc loại thứ nhất, Al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học cho đến thế kỷ 17, không tính đến nghiệm số 0, có lẽ bởi vì trong thực tế cụ thể, nó không quan trọng trong các nhiệm vụ. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, Al-Khwarizmi đặt ra các quy tắc giải chúng bằng cách sử dụng các ví dụ số cụ thể và sau đó là chứng minh hình học của chúng.

Hãy đưa ra một ví dụ.

Bài 4. “Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm nghiệm” (nghĩa là nghiệm của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải: chia số căn làm đôi, được 5, nhân 5 với chính nó, lấy tích trừ 21, còn lại là 4. Lấy căn từ 4, bạn được 2. Trừ 2 từ 5, bạn được 3, thế này sẽ là root mà bạn đang tìm kiếm. Hoặc cộng 2 với 5 được 7, đây cũng là một nghiệm.

Luận thuyết của Al-Khorezmi là cuốn sách đầu tiên được chúng ta lưu truyền, trong đó trình bày một cách có hệ thống việc phân loại các phương trình bậc hai và đưa ra công thức giải chúng.

Phương trình bậc hai ở châu Âu thế kỷ 12-17.

Các dạng giải phương trình bậc hai theo mô hình của Al-Khwarizmi ở Châu Âu lần đầu tiên được nêu trong “Sách bàn tính” viết năm 1202. Nhà toán học người Ý Leonard Fibonacci. Tác giả đã độc lập phát triển một số ví dụ đại số mới để giải các bài toán và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận việc đưa số âm vào.

Cuốn sách này đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong cuốn sách này đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 14-17. Nguyên tắc chung nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất x 2 + bх = с cho tất cả các tổ hợp dấu và hệ số b, c có thể có được xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544 bởi M. Stiefel.

Dẫn xuất công thức giải phương trình bậc hai trong nhìn chung Việt có nó, nhưng Việt chỉ thừa nhận những gốc tích cực. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. nhờ các công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai cần cái nhìn hiện đại..

Nguồn gốc phương pháp đại số giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến khoa học thế giới cổ đại. Như đã biết từ lịch sử toán học, một phần quan trọng của các vấn đề toán học được giải quyết bởi các nhà ghi chép và máy tính của Ai Cập, Sumer và Babylon (thế kỷ XX-VI trước Công nguyên) đều có tính chất tính toán. Tuy nhiên, ngay cả khi đó, đôi khi vẫn nảy sinh các vấn đề trong đó giá trị mong muốn của một đại lượng được xác định bởi một số điều kiện gián tiếp nhất định mà theo quan điểm hiện đại của chúng ta, đòi hỏi phải thành lập một phương trình hoặc hệ phương trình. Ban đầu, các phương pháp số học được sử dụng để giải các bài toán như vậy. Sau đó, sự khởi đầu của các khái niệm đại số bắt đầu hình thành. Ví dụ, máy tính của người Babylon có thể giải các bài toán có thể rút gọn theo quan điểm phân loại hiện đạiđến các phương trình bậc hai. Một phương pháp giải các bài toán đố đã được tạo ra, sau này được dùng làm cơ sở để cô lập thành phần đại số và nghiên cứu độc lập của nó.

Nghiên cứu này được thực hiện ở một thời đại khác, đầu tiên là bởi các nhà toán học Ả Rập (thế kỷ VI-X sau Công Nguyên), những người đã xác định các tác dụng đặc trưng mà qua đó các phương trình được rút gọn thành chế độ xem chuẩnđưa các số hạng tương tự, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình với sự thay đổi dấu. Và sau đó bởi các nhà toán học châu Âu thời Phục hưng, nhờ kết quả của một cuộc tìm kiếm lâu dài, họ đã tạo ra ngôn ngữ của đại số hiện đại, cách sử dụng các chữ cái, sự ra đời của các ký hiệu cho các phép tính số học, dấu ngoặc đơn, v.v. Vào đầu thế kỷ 16- thế kỷ 17. đại số như một phần cụ thể của toán học, với chủ đề, phương pháp và lĩnh vực ứng dụng riêng, đã được hình thành. Sự phát triển tiếp theo của nó, cho đến thời đại chúng ta, bao gồm việc cải tiến các phương pháp, mở rộng phạm vi ứng dụng, làm rõ các khái niệm và mối liên hệ của chúng với các khái niệm của các ngành toán học khác.

Vì vậy, xét đến tầm quan trọng và tính phong phú của tài liệu liên quan đến khái niệm phương trình, việc nghiên cứu nó trong phương pháp hiện đại toán học gắn liền với ba lĩnh vực chính về nguồn gốc và chức năng của nó.

Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai như thế nào. Do đó phương trình: (10+x)(10 -x) =96 hoặc: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Nghiệm x = -2 không tồn tại đối với Diophantus, vì toán học Hy Lạp chỉ biết số dương .

Src="https://hiện5.com/trình bày/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Phương trình bậc hai ở Ấn Độ. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Phương trình bậc hai trong al-Khorezmi. 1) “Hình vuông có căn bậc hai,” tức là ax2 + c = bx. 2) “Hình vuông bằng số,” tức là ax2 = c. 3) “Các căn bằng số,” tức là ax = c. 4) “Hình vuông và số đều bằng căn”, tức là ax2 + c = bx. 5) “Bình phương và căn đều bằng số”, tức là ax2 + bx = c. 6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c = ax2.

Phương trình bậc hai ở châu Âu vào thế kỷ 13 và 17. x2 + bx = c, đối với tất cả các tổ hợp dấu có thể có của các hệ số b, c chỉ được M. Stiefel hình thành ở Châu Âu vào năm 1544.

Về định lý Vieta. “Nếu B + D nhân A - A 2 bằng BD thì A bằng B và bằng D.” Trong ngôn ngữ đại số hiện đại, công thức Vieta trên có nghĩa là: nếu (a + b)x - x2 = ab, tức là x2 - (a + b)x + ab = 0 thì x1 = a, x2 = b.

Các phương pháp giải phương trình bậc hai. 1. PHƯƠNG PHÁP: Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. Hãy giải phương trình x2 + 10 x - 24 = 0. Hãy phân tích vế trái: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Do đó, phương trình có thể được viết lại như sau: (x + 12)(x - 2) = 0 Vì tích bằng 0 nên, theo ít nhất, một trong những số nhân của nó bằng 0. Do đó, vế trái của phương trình trở thành 0 tại x = 2, và cả tại x = - 12. Điều này có nghĩa là số 2 và - 12 là nghiệm của phương trình x2 + 10 x - 24 = 0.

2. PHƯƠNG PHÁP: Phương pháp trích ly toàn bình phương. Hãy giải phương trình x2 + 6 x - 7 = 0. Chọn một hình vuông hoàn chỉnh ở phía bên trái. Để làm điều này, hãy viết biểu thức x2 + 6 x vào mẫu sau: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Trong biểu thức thu được, số hạng đầu tiên là bình phương của số x và số hạng thứ hai là tích kép của x với 3. Do đó, để có được một số bình phương hoàn chỉnh, bạn cần cộng 32, vì x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Bây giờ chúng ta biến đổi vế trái của phương trình x2 + 6 x - 7 = 0, cộng với nó và trừ 32. Chúng ta có: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Do đó, phương trình đã cho có thể viết như sau: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Do đó, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, hoặc x + 3 = -4, x2 = -7 .

3. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình bậc hai bằng công thức. Hãy nhân cả hai vế của phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 với 4 a và tuần tự ta có: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 AC,

4. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình theo định lý Vieta. Như đã biết, phương trình bậc hai rút gọn có dạng x2 + px + c = 0. (1) Các nghiệm của nó thỏa mãn định lý Vieta, với a = 1 có dạng x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 và x 2 = 1, vì q = 2 > 0 và p = - 3 0 và p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 và x 2 = 1, vì q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 và x 2 = - 1, vì q = - 9

5. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình bằng phương pháp ném. Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, trong đó a ≠ 0. Nhân cả hai vế với a, ta thu được phương trình a 2 x2 + abx + ac = 0. Cho ax = y, do đó x = y/a; thì ta thu được phương trình y2 + by + ac = 0, tương đương với phương trình đã cho. Chúng ta tìm nghiệm y1 và y2 của nó bằng định lý Vieta. Cuối cùng chúng ta nhận được x1 = y1/a và x1 = y2/a.

Ví dụ. Giải phương trình 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Giải. Hãy “ném” hệ số 2 vào số hạng tự do, kết quả ta được phương trình y2 – 11 y + 30 = 0. Theo định lý Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Đáp án: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. PHƯƠNG PHÁP: Tính chất các hệ số của phương trình bậc hai. A. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, trong đó a ≠ 0. 1) Nếu a + b + c = 0 (tức là tổng các hệ số bằng 0), thì x1 = 1, x2 = c/A. Bằng chứng. Chia cả hai vế của phương trình cho a ≠ 0, ta thu được phương trình bậc hai rút gọn x 2 + b/a x + c/a = 0. Theo định lý Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Theo điều kiện, a – b + c = 0, do đó b = a + c. Do đó, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), tức là x1 = -1 và x2 = c/ a, đó là điều cần chứng minh.

B. Nếu hệ số thứ hai b = 2 k là số chẵn thì công thức nghiệm B. Phương trình trên x2 + px + q = 0 trùng với phương trình tổng quát trong đó a = 1, b = p và c = q. Do đó, đối với phương trình bậc hai rút gọn, công thức nghiệm là

7. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị. Nếu trong phương trình x2 + px + q = 0 ta chuyển số hạng thứ hai và thứ ba sang bên phải, khi đó ta được x2 = - px - q. Hãy xây dựng đồ thị phụ thuộc y = x2 và y = - px - q.

Ví dụ 1) Giải phương trình x2 - 3 x - 4 = 0 bằng đồ thị (Hình 2). Giải pháp. Viết phương trình dạng x2 = 3 x + 4. Vẽ parabol y = x2 và đường thẳng y = 3 x + 4. Đường thẳng y = 3 x + 4 có thể dựng được bằng hai điểm M (0; 4) và N(3;13) . Đáp án: x1 = - 1; x2 = 4

8. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình bậc hai bằng compa và thước. tìm gốc của la bàn và thước vuông (Hình 5). các phương trình Khi đó, theo định lý cát tuyến, chúng ta có OB OD = OA OC, từ đó OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 bằng cách sử dụng

Src="https://hiện5.com/trình bày/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Bán kính của hình tròn lớn hơn tọa độ của tâm (AS > SK hoặc R > một +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет !} điểm thông dụng với trục hoành (Hình 6, c), trong trường hợp này phương trình không có nghiệm.

9. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình bậc hai bằng toán đồ. z 2 + pz + q = 0. Thang đo đường cong của đồ thị được xây dựng theo các công thức (Hình 11): Giả sử OS = p, ED = q, OE = a (tất cả tính bằng cm), Từ sự giống nhau của tam giác SAN và CDF ta thu được tỷ lệ

Ví dụ. 1) Đối với phương trình z 2 - 9 z + 8 = 0, biểu đồ cho các nghiệm z 1 = 8, 0 và z 2 = 1, 0 (Hình 12). 2) Dùng biểu đồ, ta giải phương trình 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Chia các hệ số của phương trình này cho 2, ta được phương trình z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Biểu đồ cho kết quả nghiệm z 1 = 4 và z 2 = 0, 5. 3) Với phương trình z 2 - 25 z + 66 = 0, các hệ số p và q nằm ngoài thang đo, ta thực hiện thay z = 5 t, ta thu được phương trình t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, chúng ta giải bằng toán đồ và nhận được t 1 = 0,6 và t 2 = 4,4, từ đó z 1 = 5 t 1 = 3. 0 và z 2 = 5 t 2 = 22. 0.

10. PHƯƠNG PHÁP: Phương pháp hình học để giải phương trình bậc hai. Ví dụ. 1) Giải phương trình x2 + 10 x = 39. Trong bài gốc, bài toán này được phát biểu như sau: “Bình phương và mười căn bằng 39” (Hình 15). Với cạnh x cần tìm của hình vuông ban đầu, ta thu được

y2 + 6 y - 16 = 0. Lời giải được thể hiện trong hình. 16, trong đó y2 + 6 y = 16, hoặc y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Giải. Các biểu thức y2 + 6 y + 9 và 16 + 9 về mặt hình học biểu thị cùng một bình phương, và phương trình ban đầu y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 cũng chính là phương trình đó. Từ đó chúng ta thu được y + 3 = ± 5, hoặc y1 = 2, y2 = - 8 (Hình 16).

Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14,5

Mặc dù đại số ở Babylon có trình độ phát triển cao nhưng các văn bản chữ nêm vẫn thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai như thế nào.

Số học của Diophantus không trình bày một cách có hệ thống về đại số, nhưng nó chứa một loạt các bài toán có hệ thống, kèm theo lời giải thích và giải bằng cách xây dựng các phương trình ở nhiều mức độ khác nhau.

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Vấn đề 11.“Tìm hai số biết tổng của chúng là 20 và tích của chúng là 96”

Diophantus lý do như sau: từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà là 100. Do đó, một trong số chúng sẽ lớn hơn một nửa số tiền của họ, tức là . 10 + x, cái kia ít hơn, tức là 10 giây. Sự khác biệt giữa chúng 2x.

Do đó phương trình:

(10 + x)(10 - x) = 96

Từ đây x = 2. Một trong các số cần tìm bằng 12 , khác 8 . Giải pháp x = -2 vì Diophantus không tồn tại, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến những con số dương.

Nếu chúng ta giải bài toán này bằng cách chọn một trong các số cần tìm làm ẩn số thì chúng ta sẽ đi đến nghiệm của phương trình

y(20 - y) = 96,

Tại 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Rõ ràng là bằng cách chọn nửa sai phân của các số cần tìm làm ẩn số, Diophantus đã đơn giản hóa lời giải; anh ta quản lý để giảm bài toán xuống việc giải phương trình bậc hai không đầy đủ (1).

Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Ồ 2 + bх = с, а > 0. (1)

Trong phương trình (1), các hệ số, ngoại trừ MỘT, cũng có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

TRONG Ấn Độ cổ đại Các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn là phổ biến. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Cũng như mặt trời chiếu sáng các vì sao bằng sự rực rỡ của nó, một người có học thức sẽ làm lu mờ vinh quang của người khác trong các cuộc họp công cộng, đề xuất và giải các bài toán đại số”. Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Vấn đề 13.

“Một đàn khỉ vui tươi và mười hai con dọc theo dây leo…

Chính quyền, ăn xong, vui vẻ. Họ bắt đầu nhảy, treo cổ...

Có chúng ở quảng trường, phần 8. Có bao nhiêu con khỉ ở đó?

Tôi đang tận hưởng niềm vui ở khu đất trống. Nói cho tôi biết, trong gói này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng ông biết rằng nghiệm của phương trình bậc hai có hai giá trị (Hình 3).

Phương trình tương ứng với bài toán 13 là:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

X 2 - 64x = -768

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành bình phương, hãy cộng cả hai vế 32 2 , sau đó nhận được:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, x 2 = 48.

Kovalchuk Kirill

Dự án “Phương trình bậc hai qua các thế kỷ và các quốc gia” giới thiệu cho học sinh những nhà khoa học toán học, những khám phá của họ là nền tảng của tiến bộ khoa học và công nghệ, phát triển niềm yêu thích đối với toán học như một môn học dựa trên sự quen thuộc với tư liệu lịch sử, mở rộng tầm nhìn của sinh viên, kích thích họ hoạt động nhận thức và sự sáng tạo.

Tải xuống:

Xem trước:

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo một tài khoản cho chính bạn ( tài khoản) Google và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

Đồ án của một học sinh lớp 8 Trường Trung học Cơ sở Giáo dục Thành phố số 17 tại làng Borisovka Kirill Kovalchuk Giám sát G.V. Mulyukova

Phương trình bậc hai qua các thế kỷ và quốc gia

Mục tiêu dự án: Giới thiệu cho học sinh các nhà khoa học toán học, những khám phá của họ là nền tảng của tiến bộ khoa học và công nghệ. Cho thấy ý nghĩa công trình của các nhà khoa học đối với sự phát triển của hình học và vật lý.??????????? Trình bày ứng dụng rõ ràng khám phá khoa học trong cuộc sống. Phát triển niềm đam mê toán học như một môn học dựa trên sự hiểu biết về tài liệu lịch sử. Mở rộng tầm nhìn của học sinh, kích thích hoạt động nhận thức và sáng tạo của học sinh

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai vào thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất, cùng với sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai có thể được giải vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. đ. Người Babylon. Các quy tắc giải các phương trình này được đặt ra trong các văn bản tiếng Babylon về cơ bản giống như các quy tắc hiện đại, nhưng những văn bản này thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

. (khoảng 365 - 300 trước Công nguyên) - nhà toán học Hy Lạp cổ đại, tác giả của các chuyên luận lý thuyết đầu tiên về toán học đã đến với chúng ta. Euclid hoặc Euclid

Sự khởi đầu của Euclid Nơi sông Nile hòa vào biển, Ở vùng đất nóng cổ xưa của Kim tự tháp Nhà toán học Hy Lạp đã sống - Euclid thông thái, thông thái. Ông học hình học, ông dạy hình học. Anh đã viết công việc tuyệt vời. Tên cuốn sách này là "Sự khởi đầu".

Euclid thế kỷ thứ 3 TCN Euclid đã giải phương trình bậc hai bằng phương pháp hình học. Đây là một trong những vấn đề từ chuyên luận Hy Lạp cổ đại: “Có một thành phố có đường viền hình vuông, cạnh không rõ kích thước, ở trung tâm mỗi bên có một cổng. Có một cây cột cách cổng phía Bắc 20bu (1bu=1,6m). Nếu bạn đi thẳng từ cổng phía Nam 14bu, sau đó rẽ về phía Tây và đi thêm 1775bu nữa, bạn sẽ thấy một cây cột. Câu hỏi là: phía nào của biên giới thành phố? »

Để xác định cạnh chưa biết của hình vuông, chúng ta thu được phương trình bậc hai x 2 +(k+l)x-2kd =0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng x ² +34x-71000=0, từ đó x=250bu l x d k

Phương trình bậc hai ở Ấn Độ Các bài toán về phương trình bậc hai cũng được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta, đã đặt ra một quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất: ax ² +bx=c , a>0 Ở Ấn Độ cổ đại, các cuộc thi công khai trong việc giải các bài toán khó là phổ biến. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Cũng như mặt trời chiếu sáng các vì sao bằng sự rực rỡ của nó, một người có học thức sẽ làm lu mờ vinh quang của người khác trong các cuộc họp công cộng, đề xuất và giải các bài toán đại số”.

Một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12 Bhaskara Một đàn khỉ tinh nghịch sau khi ăn thỏa thích đã rất vui vẻ. Phần tám trong số họ ở quảng trường. Tôi đang vui vẻ ở bãi đất trống. Và mười hai con trên dây leo... Chúng bắt đầu nhảy trong khi treo cổ... Có bao nhiêu con khỉ, hãy cho tôi biết trong đàn này?

Giải pháp. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768 thì D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Đáp án: Có 16 hoặc 48 con khỉ, hãy giải nhé.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai đã được “tái khám phá” nhiều lần. Một trong những dẫn xuất đầu tiên của công thức này còn tồn tại cho đến ngày nay thuộc về nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta. Nhà khoa học Trung Á al-Khwarizmi, trong chuyên luận “Kitab al-jerb wal-mukabala”, đã thu được công thức này bằng phương pháp cô lập một hình vuông hoàn chỉnh.

Al-Khorezmi đã giải phương trình này như thế nào? Ông viết: “Quy tắc là thế này: nhân đôi số căn, x = 2x · 5 trong bài toán này bạn được 5, nhân 5 với số này bằng nó, nó sẽ thành 25, 5 · 5 = 25 cộng cái này với ba mươi -chín, 25 + 39 trở thành sáu mươi bốn , 64 lấy căn từ đây, nó sẽ là tám, 8 và trừ đi một nửa số căn này, tức là năm, 8-5 sẽ còn lại ba - đây là và 3 Sẽ là căn bậc hai mà bạn đang tìm kiếm." Còn gốc thứ hai thì sao? Căn bậc hai không được tìm thấy vì số âm không được biết. x 2 +10 x = 39

Phương trình bậc hai ở châu Âu thế kỷ 13-17. Các công thức giải phương trình bậc hai theo mô hình của al-Khwarizmi ở Châu Âu lần đầu tiên được trình bày trong “Sách Bàn tính”, được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Công trình đồ sộ này phản ánh ảnh hưởng của toán học từ cả các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, được phân biệt bởi sự đầy đủ và rõ ràng của cách trình bày. Tác giả đã độc lập phát triển một số điểm mới lời giải đại số vấn đề và là người đầu tiên ở châu Âu tiếp cận việc giới thiệu số âm. Cuốn sách của ông đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong Sách Bàn tính đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu vào thế kỷ 16 và 17. và một phần 18.

Francois Viète - nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 16

Trước F. Vieta, việc giải phương trình bậc hai được thực hiện theo những quy tắc riêng dưới hình thức lập luận và mô tả bằng lời nói rất dài, các thao tác khá rườm rà. Họ thậm chí không thể viết ra phương trình; điều này đòi hỏi một mô tả bằng lời nói khá dài và phức tạp. Ông đặt ra thuật ngữ "hệ số". Ông đề xuất rằng số lượng yêu cầu được biểu thị bằng nguyên âm và dữ liệu bằng phụ âm. Nhờ ký hiệu của Vieta mà phương trình bậc hai có thể viết được dưới dạng: ax 2 + bx + c =0. Định lý: Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích các nghiệm bằng số hạng tự do. Mặc dù thực tế là định lý này được gọi là “Định lý Vieta”, nhưng nó đã được biết đến trước ông và ông chỉ chuyển đổi nó thành dạng hiện đại. Vieta được mệnh danh là “cha đẻ của đại số”

Nhân loại đã đi một chặng đường dài từ ngu dốt đến tri thức, liên tục thay thế những tri thức chưa đầy đủ và không hoàn hảo bằng những tri thức ngày càng đầy đủ và hoàn hảo hơn trên đường đi. Từ cuối cùng

Chúng tôi sống ở đầu thế kỷ XXI thế kỷ, thu hút sự cổ xưa. Ở tổ tiên của chúng ta, trước hết chúng ta nhận thấy những gì họ thiếu theo quan điểm hiện đại, và thường không nhận thấy bản thân chúng ta thiếu những gì so với họ.

Chúng ta đừng quên họ...

Cám ơn vì sự quan tâm của bạn!

Từ lịch sử xuất hiện của phương trình bậc hai

Đại số nảy sinh liên quan đến việc giải các bài toán khác nhau bằng phương trình. Thông thường, các bài toán yêu cầu tìm ra một hoặc nhiều ẩn số, đồng thời biết kết quả của một số hành động được thực hiện với số lượng mong muốn và cho trước. Những vấn đề như vậy bắt nguồn từ việc giải một hoặc một hệ phương trình, đến việc tìm những phương trình cần thiết bằng cách sử dụng các phép toán đại số trên các đại lượng đã cho. Đại số nghiên cứu các tính chất chung của các phép toán về số lượng.

Một số kỹ thuật đại số để giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai đã được biết đến cách đây 4000 năm ở Babylon cổ đại.

Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai, ngay cả ở thời cổ đại, là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất cũng như công việc khai quật mang tính chất quân sự. cũng như sự phát triển của thiên văn học và toán học. Người Babylon đã có thể giải phương trình bậc hai vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" Height="41 src=">

Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng người ta không biết người Babylon đã đạt được quy tắc này như thế nào. Hầu như tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ cung cấp các vấn đề với các giải pháp được trình bày dưới dạng công thức nấu ăn mà không có dấu hiệu nào cho thấy chúng được tìm thấy như thế nào. Mặc dù đại số ở Babylon có trình độ phát triển cao nhưng các văn bản chữ nêm vẫn thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Bài 2. “Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 20 và tích của chúng bằng 96”.

(10+x)(10-x) =96,

Nếu bạn giải quyết vấn đề này bằng cách chọn một trong những số cần thiết làm ẩn số, bạn có thể đi đến nghiệm của phương trình:

Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

ax2 + bx = c, a>

Trong phương trình (1), các hệ số cũng có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

Các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn rất phổ biến ở Ấn Độ. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Cũng như mặt trời chiếu sáng các vì sao bằng sự rực rỡ của nó, một người có học thức cũng sẽ tỏa sáng hơn vinh quang của mình trong các cuộc họp công cộng bằng cách đề xuất và giải các bài toán đại số”. Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng tác giả biết rằng gốc của phương trình bậc hai có hai giá trị.

Phương trình tương ứng với bài toán 3 là:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" Height="26 src=">x2 - 64x = - 768

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành bình phương, hãy cộng 322 cho cả hai vế, rồi thu được:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Phương trình bậc hai của Al-Khwarizmi

1) “Hình vuông bằng căn”, tức là ax2 = bx.

2) “Hình vuông bằng số,” tức là ax2 = c.

3) “Các căn bằng số,” tức là ax = c.

4) “Hình vuông và số đều bằng căn”, tức là ax2 + c = bx.

5) “Bình phương và căn bậc hai đều bằng số,” tức là ax2 + bx = c.

6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c == ax2.

Đối với Al-Khwarizmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có nghiệm dương hiển nhiên không được tính đến. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-mukabal. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể rằng nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, chẳng hạn, khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh thuộc loại thứ nhất, Al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học cho đến thế kỷ 17, không tính đến nghiệm số 0, có lẽ bởi vì trong thực tế cụ thể, nó không quan trọng trong các nhiệm vụ. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, Al-Khwarizmi đặt ra các quy tắc giải chúng bằng cách sử dụng các ví dụ số cụ thể và sau đó là chứng minh hình học của chúng.

Hãy đưa ra một ví dụ.

Bài 4. “Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm nghiệm” (nghĩa là nghiệm của phương trình x2 + 21 = 10x).

Phương trình bậc hai ở Châu ÂuXII- XVIIV.

Cuốn sách này đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong cuốn sách này đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 14-17. Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn thành một dạng chính tắc duy nhất x2 + bх = с cho tất cả các tổ hợp dấu và hệ số b, c có thể có được xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544 bởi M. Stiefel.

Công thức giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát có sẵn ở Viète, nhưng Viète chỉ thừa nhận nghiệm dương. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ các công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại.

Nguồn gốc của các phương pháp đại số để giải các bài toán thực tiễn gắn liền với khoa học của thế giới cổ đại. Như đã biết từ lịch sử toán học, một phần quan trọng của các vấn đề toán học được giải quyết bởi các nhà ghi chép và máy tính của Ai Cập, Sumer và Babylon (thế kỷ XX-VI trước Công nguyên) đều có tính chất tính toán. Tuy nhiên, ngay cả khi đó, đôi khi vẫn nảy sinh các vấn đề trong đó giá trị mong muốn của một đại lượng được xác định bởi một số điều kiện gián tiếp nhất định mà theo quan điểm hiện đại của chúng ta, đòi hỏi phải thành lập một phương trình hoặc hệ phương trình. Ban đầu, các phương pháp số học được sử dụng để giải các bài toán như vậy. Sau đó, sự khởi đầu của các khái niệm đại số bắt đầu hình thành. Ví dụ, các máy tính của người Babylon có thể giải các bài toán mà theo quan điểm phân loại hiện đại, có thể rút gọn thành các phương trình bậc hai. Một phương pháp giải các bài toán đố đã được tạo ra, sau này được dùng làm cơ sở để cô lập thành phần đại số và nghiên cứu độc lập của nó.

Nghiên cứu này được thực hiện ở một thời đại khác, đầu tiên là bởi các nhà toán học Ả Rập (thế kỷ VI-X sau Công Nguyên), người đã xác định các tác động đặc trưng mà qua đó các phương trình được đưa về dạng chuẩn: đưa các số hạng tương tự, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình bằng sự thay đổi dấu hiệu. Và sau đó bởi các nhà toán học châu Âu thời Phục hưng, nhờ kết quả của một cuộc tìm kiếm lâu dài, họ đã tạo ra ngôn ngữ của đại số hiện đại, cách sử dụng các chữ cái, sự ra đời của các ký hiệu cho các phép tính số học, dấu ngoặc đơn, v.v. Vào đầu thế kỷ 16- thế kỷ 17. đại số như một phần cụ thể của toán học, với chủ đề, phương pháp và lĩnh vực ứng dụng riêng, đã được hình thành. Sự phát triển tiếp theo của nó, cho đến thời đại chúng ta, bao gồm việc cải tiến các phương pháp, mở rộng phạm vi ứng dụng, làm rõ các khái niệm và mối liên hệ của chúng với các khái niệm của các ngành toán học khác.

Vì vậy, xét về tầm quan trọng và tính phong phú của tài liệu liên quan đến khái niệm phương trình, việc nghiên cứu nó theo các phương pháp toán học hiện đại gắn liền với ba lĩnh vực chính về nguồn gốc và chức năng của nó.

Để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào, bạn cần biết:

công thức tìm người phân biệt;

· công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai;

· Thuật toán giải các phương trình loại này.

· giải các phương trình bậc hai không đầy đủ;

· giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh;

· giải các phương trình bậc hai đã cho;

· tìm lỗi trong các phương trình đã giải và sửa chúng;

· kiểm tra.

Giải pháp cho mỗi phương trình bao gồm hai phần chính:

· chuyển đổi phương trình này thành đơn giản nhất;

· giải phương trình bằng cách sử dụng các quy tắc, công thức hoặc thuật toán đã biết.

Việc khái quát hóa các phương pháp hoạt động của học sinh khi giải phương trình bậc hai diễn ra dần dần. Khi nghiên cứu chủ đề “Phương trình bậc hai” có thể phân biệt các giai đoạn sau:

Giai đoạn I – “Giải phương trình bậc hai không đầy đủ.”

Giai đoạn II – “Giải phương trình bậc hai đầy đủ.”

Giai đoạn III – “Giải phương trình bậc hai rút gọn.”

Ở giai đoạn đầu tiên, các phương trình bậc hai không đầy đủ được xem xét. Vì lúc đầu, các nhà toán học học cách giải các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh, vì để làm được điều này, như người ta nói, họ không cần phải phát minh ra bất cứ thứ gì. Đây là các phương trình có dạng: ax2 = 0, ax2 + c = 0, trong đó c≠ 0, ax2 + bx = 0, trong đó b ≠ 0. Hãy xem xét việc giải một số phương trình sau:

1. Nếu ax2 = 0. Phương trình loại này được giải bằng thuật toán:

1) tìm x2;

2) tìm x.

Ví dụ: 5x2 = 0. Chia cả hai vế của phương trình cho 5 ta có: x2 = 0, từ đó x = 0.

2. Nếu ax2 + c = 0, c≠ 0 Các phương trình loại này được giải bằng thuật toán:

1) chuyển các số hạng sang bên phải;

2) tìm tất cả các số có bình phương bằng số c.

Ví dụ: x2 - 5 = 0, Phương trình này tương đương với phương trình x2 = 5. Do đó, chúng ta cần tìm tất cả các số có bình phương bằng số 5..gif" width="16" Height="19 ">..gif" width=" 16" Height="19 src="> và không có gốc nào khác.

3. Nếu ax2 + bx = 0, b ≠ 0. Các phương trình loại này được giải bằng thuật toán:

1) di chuyển số nhân chung ngoài dấu ngoặc;

2) tìm x1, x2.

Ví dụ: x2 - 3x = 0. Hãy viết lại phương trình x2 - 3x = 0 dưới dạng x (x - 3) = 0. Phương trình này hiển nhiên có nghiệm x1 = 0, x2 = 3. Nó không có nghiệm nào khác, bởi vì nếu trong Nếu bạn thay thế bất kỳ số nào khác 0 và 3 thay vì x, thì ở vế trái của phương trình x (x – 3) = 0, bạn nhận được một số không bằng 0.

Vì vậy, những ví dụ này cho thấy cách giải phương trình bậc hai không đầy đủ:

1) nếu phương trình có dạng ax2 = 0 thì nó có một nghiệm x = 0;

2) nếu phương trình có dạng ax2 + bx = 0 thì sử dụng phương pháp phân tích nhân tử: x (ax + b) = 0; điều này có nghĩa là x = 0 hoặc ax + b = 0..gif" width="16" Height="41"> Trong trường hợp khi -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tức là - = m, trong đó m>0, phương trình x2 = m có hai nghiệm

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" Height="24 src=">.gif" width="29" Height="24 src=">, (trong trường hợp này ký hiệu ngắn hơn = được cho phép.

Vì vậy, một phương trình bậc hai không đầy đủ có thể có hai nghiệm, một nghiệm hoặc không có nghiệm.

Ở giai đoạn thứ hai, việc chuyển sang giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh được thực hiện. Đây là các phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số và ≠ 0, x là ẩn số.

Bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào cũng có thể được chuyển về dạng , để xác định số nghiệm của một phương trình bậc hai và tìm các nghiệm này. Đang được xem xét trường hợp sau giải pháp hoàn thành phương trình bậc hai :D< 0, D = 0, D > 0.

1. Nếu D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Ví dụ: 2x2 + 4x + 7 = 0. Giải: ở đây a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Vì D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Nếu D = 0 thì phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm được tìm thấy theo công thức.

Ví dụ: 4x – 20x + 25 = 0. Giải: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Vì D = 0 nên phương trình này có một nghiệm. Gốc này được tìm thấy bằng công thức ..gif" width="100" Height="45">.gif" width="445" Height="45 src=">.

Một thuật toán được biên soạn để giải phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0.

1. Tính biệt số D theo công thức D = b2 – 4ac.

2. Nếu D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Nếu D = 0 thì phương trình bậc hai có một nghiệm được tìm theo công thức

4..gif" width="101" chiều cao="45">.

Thuật toán này có tính phổ quát; nó có thể áp dụng cho cả phương trình bậc hai không hoàn chỉnh và phương trình bậc hai đầy đủ. Tuy nhiên, các phương trình bậc hai không đầy đủ thường không được giải bằng thuật toán này.

Các nhà toán học là những người thực tế, tiết kiệm nên họ sử dụng công thức: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" Height="53">. (4)

2..gif" width="96" Height="49 src=">, cùng dấu với D..gif" width="89" Height="49"> thì phương trình (3) có hai nghiệm ;

2) nếu phương trình đó có hai nghiệm trùng nhau;

3) nếu phương trình đó không có nghiệm.

Một điểm quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình bậc hai là việc xem xét định lý Vieta, trong đó phát biểu sự tồn tại mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai rút gọn.

Định lý Vieta. Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai trên bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do.

Nói cách khác, nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0, thì

Những công thức này được gọi là công thức Vieta để vinh danh nhà toán học người Pháp F. Vieta (), người đã giới thiệu hệ thống ký hiệu đại số và phát triển nền tảng của đại số cơ bản. Ông là một trong những người đầu tiên biểu thị số bằng chữ cái, điều này đã phát triển đáng kể lý thuyết về phương trình.

Ví dụ: phương trình đã cho x2 - 7x +10 = 0 có nghiệm 2 và 5. Tổng các nghiệm là 7, tích là 10. Có thể thấy tổng các nghiệm bằng hệ số thứ hai được lấy với dấu ngược lại, và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do.

Điều ngược lại của định lý Vieta cũng đúng.

Định lý nghịch đảo với định lý Vieta. Nếu công thức (5) đúng cho các số x1, x2, p, q thì x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0.

Định lý Vieta và định lý đảo của nó thường được sử dụng để giải nhiều bài toán khác nhau.

Ví dụ. Chúng ta hãy viết phương trình bậc hai sau đây có nghiệm là các số 1 và -3.

Theo công thức của Vieta

– p = x1 + x2 = - 2,

Do đó, phương trình cần tìm có dạng x2 + 2x – 3 = 0.

Khó khăn trong việc nắm vững định lý Vieta là do một số trường hợp. Trước hết, cần phải tính đến sự khác biệt giữa định lý trực tiếp và nghịch đảo. Định lý trực tiếp của Vieta đưa ra phương trình bậc hai và nghiệm của nó; trong nghịch đảo chỉ có hai số và phương trình bậc hai xuất hiện ở phần cuối của định lý. Học sinh thường mắc sai lầm khi biện minh cho lập luận của mình bằng cách viện dẫn sai định lý trực tiếp hoặc ngược của Vieta.

Ví dụ, khi tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng cách chọn lọc, bạn cần tham khảo định lý Vieta nghịch đảo chứ không phải định lý trực tiếp như học sinh thường làm. Để mở rộng định lý Vieta cho trường hợp phân biệt bằng 0, chúng ta phải đồng ý rằng trong trường hợp này phương trình bậc hai có hai rễ bằng nhau. Sự thuận tiện của thỏa thuận này được thể hiện khi phân tích một tam thức bậc hai.