Wprowadzenie, czyli czym jest język matematyczny. „Język matematyki”

Matematyka i świat współczesny

3. Co to jest język matematyczny?

Każde dokładne wyjaśnienie tego czy innego zjawiska jest matematyczne i odwrotnie, wszystko, co jest precyzyjne, jest matematyką. Każdy dokładny opis jest opisem w odpowiednim języku matematycznym. Klasyczny traktat Newtona „Matematyczne zasady filozofii naturalnej”, który zrewolucjonizował całą matematykę, jest w istocie podręcznikiem gramatyki rozwikłanego przez niego „języka natury”, rachunku różniczkowego, wraz z opowieścią o tym, co udało mu się od niej usłyszeć w rezultacie. Naturalnie, mógł zrozumieć tylko znaczenie jej najprostszych zwrotów. Kolejne pokolenia matematyków i fizyków, stale doskonaląc się w tym języku, rozumiały coraz bardziej złożone wyrażenia, potem proste czterowiersze, wiersze... W związku z tym wydano rozszerzone i uzupełnione wersje gramatyki Newtona.

Historia matematyki zna dwie wielkie rewolucje, z których każda całkowicie zmieniła swój wygląd i treść wewnętrzna. Ich siła napędowa istniała „niemożność życia po staremu”, tj. niemożność właściwej interpretacji aktualne problemyścisłe nauki przyrodnicze w języku istniejącej matematyki. Pierwsze z nich kojarzone jest z nazwiskiem Kartezjusza, drugie z nazwiskami Newtona i Leibniza, choć oczywiście nie można ich w żadnym wypadku sprowadzić jedynie do tych wielkich nazwisk. Według Gibbsa matematyka jest językiem, a istotą tych rewolucji była globalna restrukturyzacja całej matematyki na nowych podstawach językowych. W wyniku pierwszej rewolucji językiem całej matematyki stał się język algebry przemiennej, druga zaś sprawiła, że ​​zaczął mówić językiem rachunku różniczkowego.

Matematycy różnią się od „nie-matematyków” tym, że dyskutują problemy naukowe lub rozwiązując problemy praktyczne, rozmawiają między sobą i piszą prace w specjalnym „języku matematycznym” - języku specjalnych symboli, formuł itp.

Faktem jest, że w języku matematycznym wiele stwierdzeń wygląda jaśniej i bardziej przejrzyście niż w języku potocznym. Na przykład w potocznym języku mówią: „Suma nie zmienia się poprzez zmianę miejsc wyrazów” - tak brzmi prawo przemienności dodawania liczb. Matematyk pisze (lub mówi): a + b = b + a

Natomiast wyrażenie: „Droga S przebyta przez ciało z prędkością V w okresie od początku ruchu t n do chwili końcowej t k” zostanie zapisana w następujący sposób: S = V (t k - t n)

Lub zostanie napisane to zdanie z fizyki: „Siła jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia”: F = m a

Tłumaczy podane stwierdzenie na język matematyczny, którym się posługuje różne liczby, litery (zmienne), znaki operacje arytmetyczne i inne symbole. Wszystkie te zapisy są ekonomiczne, wizualne i łatwe w użyciu.

Weźmy inny przykład. W potocznym języku mówią: „Aby dodać dwa ułamki zwykłe mając te same mianowniki, należy dodać ich liczniki i zapisać ułamki w liczniku, a mianownik pozostawić bez zmian i zapisać go w mianowniku.” Matematyk dokonuje „tłumaczenia symultanicznego” na swój język:

Oto przykład tłumaczenia odwrotnego. Prawo dystrybucji jest zapisane w języku matematycznym: a (b + c) = ab + ac

Przekładając na potoczny język, otrzymujemy długie zdanie: „Aby pomnożyć liczbę a przez sumę liczb b i c, należy pomnożyć liczbę a przez każdy wyraz po kolei: b, następnie c i dodać powstałe iloczyny .”

Każdy język ma swój własny zapis i mowa ustna. Powyżej rozmawialiśmy o pisaniu w matematyce. A mowa ustna jest pożytkiem specjalne warunki lub zwroty, na przykład: „polecenie”, „iloczyn”, „równanie”, „nierówność”, „funkcja”, „wykres funkcji”, „współrzędna punktu”, „układ współrzędnych” itp., a także jako różne twierdzenia matematyczne, wyrażone słowami: „Liczba a jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na 0 lub cyfrze parzystej”.

Mówią, że to osoba kulturalna, z wyjątkiem język ojczysty musi znać co najmniej jeden inny język obcy. To prawda, ale wymaga uzupełnienia: osoba kulturalna musi także umieć mówić, pisać i myśleć językiem matematycznym, bo jest to język, w którym, jak już nie raz widzieliśmy, „mówi” otaczająca rzeczywistość. Aby opanować nowy język, trzeba przestudiować, jak mówią, jego alfabet, składnię i semantykę, tj. zasady pisania i znaczenie tkwiące w tym, co jest napisane. I, oczywiście, w wyniku takich badań, pomysły dotyczące języka matematycznego i przedmiotu będą stale się rozwijać.

Algorytm Dijkstry

TEORIA GRAFÓW jest dziedziną matematyki dyskretnej, której cechą jest geometryczne podejście do badania obiektów. Głównym przedmiotem teorii grafów jest wykres i jego uogólnienia...

Wybitni ludzie statystyki. PL Czebyszew

Największa liczba Prace Czebyszewa są poświęcone analiza matematyczna. W swojej rozprawie z 1847 r. o prawie do wygłaszania wykładów Czebyszew badał całkowalność niektórych wyrażeń irracjonalnych w funkcjach algebraicznych i logarytmach...

Historia rozwoju matematyki

Twórcy nowożytnej nauki – Kopernik, Kepler, Galileusz i Newton – podeszli do badania przyrody jak do matematyki. Badając ruch, matematycy opracowali tak podstawowe pojęcie, jak funkcja, czyli związek między zmiennymi...

Logika w słowach

Sygnatura predykatu to zbiór symboli dwóch typów – stałych obiektowych i stałych predykatów – z nieujemną liczbą całkowitą zwaną arnością przypisaną do każdej stałej predykatu...

Optymalizacja minimax i wielokryterialna

Zanim zaczniemy rozważać sam problem optymalizacji, uzgodnimy, jakiego aparatu matematycznego będziemy używać. Aby rozwiązać problemy za pomocą jednego kryterium, wystarczy umieć pracować z funkcją jednej zmiennej...

Cechy języka matematyki

Reprezentując rodzaj wiedzy formalnej, zajmuje się matematyka szczególne miejsce w odniesieniu do nauk faktycznych. Okazuje się, że świetnie nadaje się do ilościowego przetwarzania dowolnej informacji naukowej, niezależnie od jej zawartości...

Cechy języka matematyki

Do opisu czasu, rozumianego jako czas świata życia, czas istnienia człowieka, najdogodniejszy jest język fenomenologii. Ale fenomenologiczny opis czasu i wieczności może równie dobrze posłużyć się językiem matematycznym…

Forma wypowiedzi języka naturalnego Odpowiednia formuła języka algebry logicznej Nie A; nie jest prawdą, że A; A nie ma miejsca A i B; zarówno A, jak i B; nie tylko A, ale także B; A razem z B; A, pomimo B; A chwilę B A*B A, ale nie B; nie V...

Zastosowanie aparatu algebry logicznej do rozwiązywania problemów znaczących

Przetłumaczmy na język algebry logicznej następujące stwierdzenia: 1) Jeśli świeci słońce, to aby nie było deszczu, wystarczy, że wiał wiatr. Oznaczmy: Słoneczna pogoda - C Pada deszcz - D Wieje wiatr - B Odnosząc się do powyższej tabeli...

Zainteresowanie życiem mieszkańców osady miejskiej „miasto Zavitinsk”

Słowo „procent” ma pochodzenie łacińskie: „pro centum” – „na sto”. Często zamiast słowa „procent” używa się wyrażenia „setna liczba”. Zatem procent to setna część liczby...

Symetria jest symbolem piękna, harmonii i doskonałości

"right">Och, symetria! Śpiewam twój hymn! "right">Rozpoznaję Cię na całym świecie. "right">Wchodzisz w to Wieża Eiffla, w małej muszce, "w prawo">Jesteś na choince przy leśnej ścieżce. "right">Zarówno tulipan, jak i róża przyjaźnią się z Tobą...

Jednym z najbardziej podstawowych punktów analizy niestandardowej jest to, że nieskończenie małe są uważane nie za wielkości zmienne, ale za wielkości stałe. Wystarczy otworzyć dowolny podręcznik do fizyki...

Spektrum operatora. Zastosowanie analizy niestandardowej do badania rozpuszczalnika i widma operatora

Liczby hiperrealne można traktować jako klasy ciągów zwykłych liczb rzeczywistych. Przyjrzyjmy się, jak budować klasy...

„O filozofii przyrody napisano największe książki, ale zrozumieć je mogą tylko ci, którzy najpierw nauczą się języka i zrozumieją pismo, którym jest on napisany. A ta księga została napisana w języku matematyki” Galileo.

Język współczesnej matematyki jest wynikiem jej długiego rozwoju. Od chwili powstania, aż do VI wieku, przed Nową Erą, matematyka nie miała własnego języka. Ale w miarę rozwoju pisma znaki matematyczne do oznaczenia niektórych liczb naturalnych i ułamków naturalnych. W języku matematycznym starożytnego Rzymu istnieje system notacji liczb całkowitych (I, II, III, IV...), który przetrwał do dziś. W języku rosyjskim liczby pisano specjalnym znakiem. Pierwsze litery alfabetu oznaczały jednostki, kolejnych 9 liter to 10, a ostatnie 9 liter to 100. Aby oznaczyć duże liczby, wymyślili Słowianie oryginalny sposób. 10 000 ciemności, 10 legionów tematycznych, 10 leodrów legionów, 10 leodrów wron, 10 talii wron. Co więcej, ludzki umysł nie jest w stanie zrozumieć. Język matematyki jest sztucznym językiem formalnym, ze wszystkimi jego zaletami i wadami.

Matematyka bada obiekty, których właściwości są precyzyjnie sformułowane. Nie wszystko, co zostało powiedziane w języku naturalnym, jest dokładne. Kwadrat pierwszego dodany do kwadratu drugiego i przy dwukrotnym iloczynie pierwszego i drugiego daje kwadrat sumy tych dwóch. Opracowanie sztucznego języka symboli i formuł było największym osiągnięciem nauki, które w dużej mierze zdeterminowało dalszy rozwój matematyki. Język matematyki używany jest w wielu naukach: w naukach przyrodniczych do wyjaśniania zjawisk przyrodniczych.

Analiza ilościowa i formułowanie ustalonych jakościowo faktów, uogólnień i praw nauk szczegółowych.

Budowa modeli matematycznych, a nawet tworzenie nowych kierunków, takich jak fizyka matematyczna, biologia, językoznawstwo.

Język matematyki jest bardzo precyzyjny. Przewaga ilościowego języka matematyki nad językiem naturalnym polega na tym, że jest on bardzo zwięzły i precyzyjny. Przykładowo, jeśli chcemy wyrazić intensywność jakiejś właściwości za pomocą potocznego języka, musimy użyć kilkudziesięciu przymiotników, a jeśli matematycznie wybierzemy skalę do porównania lub wybierzemy jednostkę miary, to wszystkie zależności da się przełożyć na precyzyjne ilościowe język. Język matematyczny spełnia 2 funkcje:

Używając języka matematycznego, precyzyjnie formułuje się wzorce ilościowe charakteryzujące badane zjawiska.

Precyzyjne formułowanie praw i teorii naukowych w języku matematyki pozwala na zastosowanie bogatego aparatu matematyczno-logicznego przy wyciąganiu z nich konsekwencji. Należy zauważyć, że istnieje ścisły związek pomiędzy językiem naturalnym opisującym cechy jakościowe a ilościowym językiem matematycznym, a im lepiej znamy jakościowe cechy zjawisk, tym skuteczniej możemy zastosować ilościowe metody matematyczne do ich analizy. Język matematyczny to język uniwersalny, zaprojektowany specjalnie do zwięzłego i dokładnego rejestrowania różnych zjawisk.

Służy jako źródło modeli schematów algorytmicznych wyświetlania powiązań, zależności i procesów składających się na przedmiot nauk przyrodniczych. Z jednej strony każdy schemat lub model matematyczny jest upraszczającą idealizacją badanego obiektu lub zjawiska, z drugiej jednak strony uproszczenie pozwala jasno i jednoznacznie zrozumieć istotę przedmiotu lub zjawiska.

Język matematyczny stosowany jest w: literaturze (wersyfikacji), muzyce.

Można na niego przekładać wyrażenia matematyczne.

Dopuszczałby stosunkowo łatwe tłumaczenie na język potoczny.

Nagrania na nim byłyby kompaktowe i łatwe w użyciu.

Się logika matematyczna zaczyna się od drugiego zadania nierozerwalnie związanego z głównym zadaniem języka matematyki. Drugim zadaniem jest główne zadanie semantyki logicznej, które polega na: dać jasną i jednoznaczną interpretację sądów języka formalnego, jednocześnie możliwie najprostszą i możliwie najbliższą naturalnemu rozumieniu matematycznemu .

Przygotuj raport: „Taki prosty znak równości”

Język logiki matematycznej jest historycznie pierwszym precyzyjnie zdefiniowanym językiem formalnym. Pojawił się pod koniec XIX wieku w pracach włoskiego matematyka Peano i jego uczniów. Nowoczesny kształt Russell i Gilbert zdradzili ten język. Język logiki matematycznej jest podstawą formalnych języków programowania, językoznawstwa matematycznego i sztucznej inteligencji.

>>Matematyka: Co to jest język matematyczny

Co to jest język matematyczny

Matematycy różnią się od „nie-matematyków” tym, że omawiając problemy naukowe, rozmawiają ze sobą i piszą specjalnym „językiem matematycznym”. Faktem jest, że w języku matematycznym wiele stwierdzeń wygląda jaśniej i bardziej przejrzyście niż w języku potocznym.

Na przykład w potocznym języku mówią: „Suma nie zmienia się poprzez zmianę miejsc wyrazów”. Słysząc to, matematyk pisze (lub mówi):

za + b = b + a.

Tłumaczy podane stwierdzenie na język matematyczny, który używa różnych liczb, liter (zmiennych), znaków działań arytmetycznych i innych symboli. Nagrywać za + b = b + a ekonomiczny i wygodny w użyciu.

Weźmy inny przykład. W potocznym języku mówią: „Aby dodać dwa zwyczajne ułamki mając te same mianowniki, należy dodać ich liczniki i pozostawić je bez zmian.” Matematyk dokonuje „tłumaczenia symultanicznego” na swój język:

Oto przykład tłumaczenia odwrotnego. Prawo dystrybucji jest zapisane w języku matematycznym:

a(b + c) = ab + ac.

Przekładając na potoczny język otrzymujemy długie zdanie: „Aby pomnożyć liczbę a przez sumę liczb B I Z, potrzebny numer A pomnóż przez każdy wyraz po kolei i dodaj otrzymane iloczyny.”

Każdy język ma język pisany i mówiony. Powyżej rozmawialiśmy o mowie pisanej w języku matematycznym. Mowa ustna to użycie specjalnych terminów, na przykład: „polecenie”, równanie, „nierówność”, „wykres”, „współrzędna”, a także różne wyrażenia matematyczne wyrażone słownie.

Mówią, że osoba kulturalna, oprócz języka ojczystego, musi znać przynajmniej jeden język obcy. To prawda, ale wymaga uzupełnienia: osoba kulturalna musi także umieć mówić, pisać, myśleć językiem matematycznym, gdyż jest to język, w którym, jak przekonamy się nie raz w przyszłości, „mówi” otaczająca rzeczywistość. ” Tego się dowiemy.

Aby opanować nowy język, musisz przestudiować jego litery, sylaby, słowa, zdania, zasady i gramatykę. Nie jest to najzabawniejsza czynność; ciekawsze jest czytanie i mówienie od razu. Ale tak się nie dzieje, musisz uzbroić się w cierpliwość i najpierw nauczyć się podstaw. Takie podstawy języka matematycznego będziemy studiować w rozdziałach 2-5. I, oczywiście, w wyniku takich badań, Twoje pomysły na temat język matematyczny będzie stopniowo się rozszerzać.

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucje edukacyjne

Matematyka jest językiem.

Davida Gilberta

Matematyka jest językiem. Język jest potrzebny do komunikacji, aby przekazać znaczenie, jakie jedna osoba ma drugiej osobie. W tym celu stosuje się zdania tego języka, skompilowane według pewnych zasad. Dlaczego ludzie się uczą różne języki co im to daje poza możliwością komunikowania się w innych krajach? Odpowiedź jest taka, że ​​w każdym języku znajdują się słowa, które nie występują w innych językach, dlatego pozwala opisać (i zobaczyć) zjawiska, których człowiek nigdy by nie zauważył, gdyby nie znał tego języka. Znajomość innego języka pozwala uzyskać inną, odmienną od innych, wizję świata. (Eskimosi mają 20 języków różne słowa na oznaczenie śniegu, w przeciwieństwie do rosyjskiego, gdzie jest tylko jeden. Chociaż na przykład w języku rosyjskim istnieje takie słowo „nast”, które oznacza skorupę, która tworzy się na śniegu po odwilży, po której natychmiast następuje mróz. Istnieją prawdopodobnie inne słowa opisujące szczególne warunki śniegowe).

Matematyka jako język nauki

Reprezentując rodzaj wiedzy formalnej, matematyka zajmuje szczególne miejsce w stosunku do nauk faktycznych. Okazuje się, że doskonale nadaje się do ilościowego przetwarzania dowolnej informacji naukowej, niezależnie od jej treści. Co więcej, w wielu przypadkach formalizm matematyczny okazuje się jedyny możliwy sposób wyrazić cechy fizyczne zjawiska i procesy, ponieważ ich naturalne właściwości, a zwłaszcza zależności, nie są bezpośrednio obserwowalne. Na przykład, jak możemy opisać grawitację, wpływ elektromagnetyzmu itp. w kategoriach fizycznych? Można je przedstawić jedynie matematycznie jako pewne zależności liczbowe w prawach ustalonych za pomocą wskaźników ilościowych. Współczesna nauka w osobie mechaniki kwantowej, a nieco wcześniej teorii względności, jedynie dodała obiektom teoretycznym abstrakcyjności, całkowicie pozbawiając je przejrzystości. Pozostaje tylko odwołać się do matematyki. L. Landau stwierdził kiedyś, że współczesny fizyk niekoniecznie musi znać fizykę, wystarczy mu znajomość matematyki.

Rozważana okoliczność promuje matematykę do roli języka nauki. Być może po raz pierwszy wyraźnie usłyszał to G. Galileo, jedna z decydujących postaci w tworzeniu matematyczno-przyrodniczych nauk, która dominowała przez ponad trzysta lat. Galileusz napisał: „Filozofia jest zapisana w majestatycznej księdze (mam na myśli Wszechświat), która jest stale otwarta dla naszego wzroku, ale zrozumieć ją mogą tylko ci, którzy najpierw nauczyli się rozumieć jej język i interpretować znaki, którymi jest napisana Jest napisany językiem matematyki”.

Wraz ze wzrostem abstrakcji nauk przyrodniczych idea ta znalazła coraz szerszą realizację i pod koniec XIX wieku. stuleci weszło już w życie badania naukowe jako swego rodzaju maksyma metodologiczna. Dokładnie tak brzmiały słowa słynnego amerykańskiego fizyka teoretyka D. Gibbsa, gdy pewnego dnia podczas omawiania kwestii nauczania Język angielski w szkole on, który zwykle milczał na takich spotkaniach, nagle powiedział: „Matematyka to też język”. Mówią, że interesuje Cię angielski i angielski, matematyka to też język. Wyrażenie stało się popularne. A teraz, potem, angielski chemik fizyczny, laureat Nagroda Nobla(nawiasem mówiąc, razem z naszym N. Semenowem) Hanshelwood ogłasza, że ​​naukowcy powinni znać matematykę jako swój język ojczysty.

Charakterystyczna jest argumentacja wybitnego krajowego badacza W. Nalimowa, który zajmował się naukometrią, teorią eksperymentu matematycznego i proponował probabilistyczne modele języka. Dobra nauka, pisze, mówi językiem matematyki. Z jakiegoś powodu my, ludzie, jesteśmy stworzeni w taki sposób, że postrzegamy Wszechświat poprzez przestrzeń, czas i liczby. Oznacza to, że jesteśmy gotowi zwrócić się ku matematyce, przygotowanej przez ewolucję istot żywych, to znaczy a priori. Próbując odkryć tajemnicę matematycznej władzy nad naukowcem, Nalimov zauważa dalej: „Często oskarża się mnie o wykorzystywanie matematyki w badaniu świadomości, językoznawstwa i ewolucji biologicznej. Ale czy matematyka jako taka jest rzadkością? Obserwator. Więc dla mnie wygodniej jest myśleć, inaczej nie mogę. Przestrzeń, czas, liczby i logika są przywilejem Obserwatora.

Czasami sytuacja w nauce rozwija się w taki sposób, że bez użycia odpowiedniego języka matematycznego można zrozumieć naturę fizyczną, chemiczną itp. proces jest niemożliwy. To nie przypadek, że P. Dirac przyznał, że każdy nowy krok w rozwoju fizyki wymaga coraz więcej wysoka matematyka. To jest fakt. Tworząc planetarny model atomu, słynny angielski fizyk XX wieku. E. Rutherford doświadczył trudności matematycznych. Początkowo jego teoria nie została przyjęta: nie brzmiała ona przekonująco, a powodem tego była nieznajomość Rutherforda teorii prawdopodobieństwa, na podstawie której mechanizmu można było zrozumieć jedynie modelową reprezentację oddziaływań atomowych. Zdając sobie z tego sprawę, wybitny wówczas naukowiec, laureat Nagrody Nobla, zapisał się na seminarium matematyka profesora Lamba i przez dwa lata wraz ze studentami odbywał kurs i pracował nad warsztatami z teorii prawdopodobieństwa. Na jej podstawie Rutherford był w stanie opisać zachowanie elektronu, nadając swojemu modelowi strukturalnemu przekonującą dokładność i zyskując uznanie.

Nasuwa się pytanie, co jest takiego matematycznego w zjawiskach obiektywnych, że dają się opisać w języku matematyki, w języku cech ilościowych? Są to jednorodne jednostki materii rozmieszczone w przestrzeni i czasie. Te nauki, które posunęły się dalej niż inne w kierunku identyfikacji jednorodności, okazują się lepiej przystosowane do stosowania w nich matematyki. W szczególności przede wszystkim - fizyka. W. Lenin, zauważając poważne sukcesy nauk przyrodniczych, a przede wszystkim wiedzy fizycznej przełomu XIX i XX w., jedną z przyczyn upatrywał właśnie w tym, że przyroda przybliżała się „do takich jednorodnych elementów materii, których prawa ruchu umożliwiały przetwarzanie matematyczne.”

Po fizyce znajdują się dyscypliny chemiczne, w których operuje się także atomami i cząsteczkami i do których, stosując metodę „szczepienia paradygmatycznego”, z fizyki napływa wiele jednorodnych jednostek materii i pól, wraz z odpowiednimi technikami badawczymi. Chemia matematyczna cieszy się coraz większą popularnością. Znacznie słabszy język matematyczny wkroczył dotychczas do biologii, gdyż nie zidentyfikowano tu jeszcze jednostek podłoża, z wyjątkiem genetyki. Jeszcze słabiej przygotowane są do tego humanistyczne sekcje wiedzy naukowej. Przełom obserwuje się dopiero w językoznawstwie wraz z utworzeniem i pomyślny rozwój językoznawstwo matematyczne, a także logika (logika matematyczna). Nauki społeczne są oczywiście trudne analiza ilościowa ze względu na specyfikę zachodzących tu zjawisk i procesów, gdyż charakteryzują się one oryginalnością i niepowtarzalnością. Ciekawą próbę identyfikacji elementów jednorodnych w procesach historycznych podjął L. Tołstoj. W powieści „Wojna i pokój” pisarz wprowadza pojęcie „dyferencjału działania historycznego” i wyjaśnia, że ​​dopiero przyjmując nieskończenie małą jednostkę – dyferencjał historii, czyli „jednorodne popędy ludzi”, a następnie ucząc się zintegrować je (biorąc sumy tych nieskończenie małych), możemy mieć nadzieję na zrozumienie historii.

Homogeniczność taka okazuje się jednak bardzo warunkowa, gdyż „atrakcje ludowe” są zawsze zabarwione indywidualną niepowtarzalnością i są zmienne psychologicznie, co będzie narzucać trudne do uwzględnienia zaburzenia postulowanej jednorodności. Ogólnie rzecz biorąc, każde wydarzenie w historii społeczeństwa jest dość wyjątkowe i nie można go sprowadzić do jednorodnych jednostek. To dobrze ilustracja - jeden argument A. Poincarégo. Kiedyś czytał od słynnego angielskiego historyka z XIX wieku. Wypowiedź T. Carlyle’a: „Przechodził tędy Jan Bezrolny i ten fakt jest mi droższy niż wszystko teorie historyczne Przy tej okazji Poincaré zauważył: „To jest język historyka. Fizyk by tak nie powiedział. Fizyk powiedziałby: „Tędy przechodził Jan Bezrolny i dla mnie nie ma to żadnego znaczenia, bo więcej już tędy nie przejdzie”. Zarzut matematyka Poincarégo jest zrozumiały: fizyk potrzebuje powtarzalności, tylko wtedy będzie mógł wyprowadzać prawa. Wręcz przeciwnie, wyjątkowość wydarzenia jest materiałem stanowiącym podstawę opisu historycznego.

Należy zauważyć, że rozumienie jednorodności jako warunku stosowalności matematycznego opisu zjawisk przyszło do nauki dość późno. Do pewnego czasu uważano, że nie da się abstrahować od znaczeń obiektywnych i przejść do charakterystyk numerycznych. Tak więc nawet G. Galileo, jeden z twórców nauk matematycznych, nie chciał zaakceptować prędkości munduru ruch prostoliniowy w formie. Uważał, że czynność dzielenia ścieżki przez czas jest fizycznie niepoprawna, gdyż konieczne jest dzielenie kilometrów, metrów itp. na godziny, minuty itp. Oznacza to, że uznał za niedopuszczalne przeprowadzenie operacji podziału z jakościowo niejednorodnymi ilościami. Dla Galileusza równanie prędkości miało znaczenie czysto merytoryczne, ale w żadnym wypadku nie było matematyczną zależnością wielkości. I dopiero wieki później akademik petersburskiej Akademii Nauk L. Euler, wprowadzając tę ​​formułę do użytku naukowego, wyjaśnił, że nie dzielimy w ten sposób ścieżki przez czas, a zatem nie kilometry czy metry przez godziny czy minuty, ale jeden wymiar ilościowy za drugim, jedna abstrakcyjna wartość liczbowa za drugą. Jak zauważa M. Rozov, Euler dokonał tym aktem inwersji znak-podmiot, przekształcając opis znaczący w opis algebraicznie abstrakcyjny 63 . Oznacza to, że Euler akceptuje jakościowo dane kilometry, metry, godziny, minuty itp. jako abstrakcyjną miarę jednostek miary i wtedy mamy, powiedzmy, nie 10 metrów, ale 10 jednostek abstrakcyjnych, które dzielimy, powiedzmy, nie przez 2 sekundy, ale przez dwie równie abstrakcyjne jednostki. Dzięki tej technice udaje nam się odwrócić jakościowo heterogeniczne obiekty posiadające określoność przestrzenną i czasową w jednorodność, co pozwala na zastosowanie matematycznego, ilościowego języka opisu.

Relacja z konferencji w ramach „Dni Nauki”
(organizator - Fundacja Dynasty, St. Petersburg, 21-23 maja 2009)

Wyobraźcie sobie Paryż lat 20. XX w., stolicę modernizmu i światowej mody. Coco Chanel, wspominając ten czas, opowiada Paulowi Morandowi o Picasso: „Podziwiałam jego malarstwo, choć go nie rozumiałam. Ale wydała mi się przekonująca i to mi się podoba. Dla mnie to jak tablica logarytmów.”

Pomyśl o tej niesamowitej paraleli. Matematyka jest abstrakcyjna, malarstwo Picassa jest abstrakcyjne; Wydawałoby się, że jest to najbardziej oczywiste podobieństwo dwóch niejasności: „Dziewczyny z obręczą” (1919) i „Tablicy logarytmów”. Chanel wybiera jednak inne słowo: oba są „przekonujące”, a perswazja jest tym, co ją przyciąga.

W ramach tego raportu, poświęconego różnym aspekty językowe treści i formy działalności matematycznej, postaram się zwrócić szczególną uwagę na tę cechę - „przekonywanie”.

Na poziomie osobistym siła przekonywania dowodu, pomysłu, symulacji komputerowej zależy od predyspozycji matematyka do obliczeń geometrycznych lub logiczne myślenie, skłonności filozoficzne (być może nieświadome) i wreszcie orientacja na wartości.

Pod względem społecznym w grę wchodzą okoliczności historyczne na dużą skalę, które mogą przyczynić się albo do spektakularnego rozkwitu matematyki, albo do jej wirtualnego zniknięcia.

Z oczywistych powodów historycy matematyki sięgają po miejsca i czasy, w których matematyka powstała lub przynajmniej została przyjęta. Bardzo interesujące byłoby jednak przyjrzeć się bliżej historycznym okolicznościom jej odrzucenia, aż do (tymczasowego) zejścia ze sceny.

Rozwój starożytnej, głównie greckiej, matematyki w Europie został przerwany przez co najmniej przez pierwsze tysiąc lat chrześcijaństwa. Ale jeszcze przed chrześcijaństwem praktyczni i wojowniczy Rzymianie, stworzywszy wysoką cywilizację, zintegrowali z nią grecką kulturę humanitarną, ale nie grecką naukę. Nawet oczywiste zastosowania wojskowe ich nie kusiły. Według Plutarcha podczas oblężenia Syrakuz rzymski generał Marcellus na próżno namawiał swoich żołnierzy, aby nie wycofywali się przed „tym geometrycznym Briareusem” (Archimedesem), który swoimi wojskowymi zabawkami „przewyższa stuuzbrojonych gigantów z mitologii!”

Jednak sam Archimedes nie uważał swoich osiągnięć inżynieryjnych za „zastosowanie” swojej matematyki: dla jego potężnego umysłu były one odwróceniem uwagi od matematyki, czego wolałby unikać.

Skromne dziedzictwo matematyczne starożytnego Rzymu obejmuje system notacji liczb całkowitych, który przetrwał do dziś:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,…, L,…, C,…, D,…, M.

Najbardziej pouczające jest postrzeganie go jako wyjątkowego zbioru archeologicznego śladów archaicznego stanu myśli matematycznej.

Jednostka I symbolizuje nacięcie na lasce (a nie łacińska litera I – to późniejsza reinterpretacja). Wysiłek włożony w każde nacięcie i przestrzeń, jaką zajmuje, powiedzmy, laska pasterska, zmuszają nas do odejścia od tępego, ale niezwykle systematycznego i potencjalnie nieskończenie rozszerzalnego systemu notacji liczb

I, II, III, IIII, IIIIII, IIIIII,. . .

do znacznie bardziej niespójnego (i nie sięgającego w nieskończoność), ale z początku ekonomicznego i przytulnego systemu „nazw” zamiast symboli (również w początkowym segmencie dającym się prześledzić po nacięciach):

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Krótkie ciągi tych podstawowych symboli są interpretowane za pomocą dodawania, czasem odejmowania: 2009 = MMIX = M + M - I + X. Oczywiście zero nie ma nazwy. Groza „nieobecności”, „pustki” jest głęboko zakorzeniona w ludzkiej psychologii. Kaznodziei powiedział też: „Nie można policzyć tego, czego nie ma”.

Brak możliwości wyznaczenia zera krytycznie utrudnia rozwój systemu i jego transformację w pozycyjny.

Rozpowszechnienie się systemu liczb pozycyjnych w Europie po opublikowaniu książki Leonarda Fibonacciego Liber Abaci (1202) był w istocie początkiem ekspansji jedynego prawdziwie globalnego języka światowego. Semantyka ten język został policzony wszystko: nacięcia, bydło, statki, floreny... Jego broń nuklearna składnia został zdeterminowany zasada uniwersalna konwertowanie wielkości abstrakcyjnej na zapis pozycyjny (dziesiętny) i odwrotnie. Wreszcie jego pragmatyka miał dwie strony. Kiedy desygnatem tekstu składającego się z liczb był fragment świata zewnętrznego, powiedzmy handlowego, ważnym ogniwem łączącym tekst świat zewnętrzny reguł syntaktycznych stało się więcej wysoki poziom. Znanym przykładem takich zasad jest system podwójnego zapisu skodyfikowany przez Luca Pacioli w 1494 roku.

Kiedy desygnatem tekstu numerycznego były dane pochodzące z obserwacji naukowych, na przykład astronomicznych, jego pragmatykę można było powiązać z prognoza, powiedzmy, zaćmienie lub budowanie modelu ilościowego układ słoneczny. W tym przypadku tekst musiał zostać poddany przetwarzanie algorytmiczne. Innymi słowy, służy jako wejście dla jakiegoś programu, podczas gdy jego Wyjście staje się nowym tekstem liczbowym, którego odniesieniem jest ponownie obserwowalny świat.

Nieocenioną zaletą systemu pozycyjnego była jego idealna zdolność adaptacji do takiego przetwarzania algorytmicznego, w szczególności prostych i uniwersalnych zasad dodawania i mnożenia, których można było uczyć uczniów i urzędników. Bardziej złożone programy – instrukcje dla urzędników – opisano w języku naturalnym jako iteracje elementarnych algorytmów z dodatkiem rozgałęzień warunkowych („jeśli debet klienta NN przekroczy jego kredyt o floreny ZZ, wstrzymaj dostawy”).

Język programu istnieje przez bardzo długi czas jedynie jako niesformalizowany subdialekt języka naturalnego o bardzo ograniczonym (aczkolwiek niezwykle ważnym) zakresie zastosowania. Nawet Alan Turing już w XX w., motywując swoją uniwersalną formalizację obliczalności, mówiąc „komputer”, miał na myśli osobę mechanicznie wykonującą leżącą przed nią skończoną listę instrukcji.

Paradoksalnym przykładem takiej działalności, która stała się pomnikiem kultury i historii w skali cywilizacyjnej, jest 90 stron tablic logarytmów naturalnych Johna Napiera, opublikowanych w jego pracy Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614(Intuicja Coco Chanel i tutaj jej nie zawiodła). Logarytmy obliczano znak po znaku, ręcznie. Oczywiście Napier połączył w jednej osobie rolę twórcy nowej matematyki i informatyka wykonującego własne instrukcje.

Tym bardziej uderzająca jest filozoficzna intuicja Leibniza, jego słynna Kalkulemus!, postulując, że nie tylko manipulacje liczbami, ale każde rygorystyczne i logicznie spójne rozumowanie, które wyprowadza wnioski z przyjętych przesłanek, musi dać się sprowadzić do obliczeń.

Wyznaczając dokładne granice idealnego świata Leibniza, w którym rozumowanie jest równoznaczne z kalkulacją, prawda może zostać sformalizowana, ale nie zawsze może zostać formalnie zweryfikowana, gdzie z największą wyrazistością można zobaczyć, jak nawet najmniejsza kantorowska nieskończoność (liczb naturalnych) wymyka się z uścisku skończonego języka i było najwyższym osiągnięciem wielkich logików XX wieku. (Hilbert, Kościół, Gödel, Tarski, Turing, Markow, Kołmogorow...).

Główną koncepcją tego programu, język formalny, odziedziczyli podstawowe cechy obu języków naturalnych (utrwalone poprzez pisanie alfabetyczne) oraz pozycyjny system zapisu liczb i arytmetyki. W szczególności każdy klasyczny język formalny jest jednowymiarowy/liniowy, składa się z dyskretnych symboli i wyraźnie wyraża podstawowe środki logiczne.

Każdy prawdziwy tekst matematyczny składa się ze słów przeplatanych formułami. Formuły można uważać za wyrażenia język formalny(może się to różnić w zależności od artykułu, ale często jest to tylko wersja języka teorii mnogości).

Na osobne omówienie zasługuje pytanie, w jaki sposób słowa i symbole pełnią funkcję przekazu treści. Najważniejsze, że słowa kierują dzieło do ludzi, a nie do czytających maszyn; Zajmują się także takimi subtelnościami, jak wyrażanie autorskiego systemu wartości.

Formuły nie zawsze i nie wszędzie są nośnikiem znaczenia w podstawowych fragmentach tekstu matematycznego. Przynajmniej od czasów Euklidesa do czasów współczesnych podręczniki szkolne W geometrii rolę wzorów pełnią rysunki. Wiele osób pamięta rysunek kwadratu podzielonego dwiema liniami na dwa mniejsze kwadraty i dwa prostokąty. Ten rysunek ilustruje/zastępuje/dowodzi wzoru (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Znacznie ciekawszy - i znacznie mniej znany - jest rysunek ilustrujący starożytne twierdzenie Pappusa z Aleksandrii (około 300 r. n.e.).

Za jego pomocą wygodnie jest zilustrować, w jaki sposób myślenie geometryczne matematyków współdziała z myśleniem formalnym i formalnym i to na przestrzeni wielu pokoleń.

Przede wszystkim o treści twierdzenia.

Zacznijmy od płaskiego sześciokąta, na rysunku jego wierzchołki to BXbCYc. (Nie musi być wypukły jak na zdjęciu! To pierwsza pułapka rysunków – często zmuszają do zaakceptowania nieświadomych ograniczeń.)

Dowolna para przeciwnych boków sześciokąta, powiedzmy Bc i bC, również definiuje pośrednią przekątną XY między nimi. Kontynuujmy te dwa boki i przekątną; Może się okazać, że trzy proste przecinają się w jednym punkcie.

TWIERDZENIE TAPY. Jeśli ta właściwość obowiązuje dla dwóch par przeciwległych boków sześciokąta, to obowiązuje także dla trzeciej pary.

To niesamowity wynik. Po pierwsze, trudno sobie wyobrazić, jak można do tego dojść. Nie należy do geometrii euklidesowej: odległości, długości i kąty nie odgrywają żadnej roli w jej sformułowaniu i dowodzie; Grupa ruchów euklidesowych płaszczyzny również nie odgrywa roli. Jedyne relacje strukturalne są pierwotne: płaszczyzna składa się z punktów; linie proste to niektóre podzbiory punktów; dwie linie przecinają się dokładnie w jednym punkcie; jedna prosta przechodzi przez dwa punkty.

Dopiero w XIX w. zdano sobie sprawę, że twierdzenie Pappusa jest głównym wynikiem mieszkania rzutowy geometria. Początkowo była to geometria zwykłej płaszczyzny nad liczbami rzeczywistymi. Następnie odkryto, że coś jest prawdą w przypadku płaszczyzny rzutowej w dowolnym polu abstrakcyjnym; to pole, jego prawa składu i aksjomaty - wszystko zostaje przywrócone zgodnie z konfiguracjami Pappusa.

Wreszcie pod koniec XX w. okazuje się, że równoważność twierdzenia Pappusa z teorią pól przemiennych jest wyjaśniana i uogólniana w szerokim kontekście teoria modeli. Formalny model języka jest, najprościej mówiąc, odwzorowaniem tego języka na język teorii mnogości wraz ze standardową interpretacją tej ostatniej. Zatem znaczenie wykwintnego rysunku przejawia się w złożonej konstrukcji metajęzykowej.

Z wielu powodów rysunki nie nadają się do łączenia w język. Składnia rysunków jest kapryśna i niesystematyczna, syntaktyczne powiązania między nimi opierają się formalizacji, a rysunki mają integralność, która zostaje utracona podczas analizy. Ich funkcją jest różne procesy przekazywanie i przechowywanie informacji odbiega od funkcji nawet „synonimicznych” konstrukcji językowych, odwołują się do innego rodzaju wyobraźni, do intuicji prawej półkuli.

Kiedy wraz z rozwojem algebry homologicznej i teorii kategorii w drugiej połowie XX wieku. Do matematyki zaczęto wprowadzać konstrukcje językowe „rysunkowe” i diagramy przemienne; trzeba było się do nich przyzwyczaić;

Na ryc. Rycina 2 pokazuje taki diagram (całkiem realistyczny: z pracy D. Borisowa i autora, 2007). Elementarnym składnikiem diagramu jest kwadrat przemienny. Przed erą kategorii liniowa reprezentacja językowa stwierdzenia wyrażonego przez ten kwadrat ograniczałaby się prawie do równości h ◦ f = k ◦ g. Jest to jednak prawdą tylko z istotnym zastrzeżeniem: f, g, h, k są tutaj morfizmami w tej kategorii i konieczne jest wiedzieć, z którego obiektu dany morfizm „uderza” w który przedmiot.

Ponadto na dużym schemacie na ryc. 2 widać ukośne strzałki, np. Taka strzałka reprezentuje morfizm powiedzmy, że nie w oryginalnej kategorii C, gdzie żyją obiekty, których nazwy wyznaczają początek i koniec strzałek. Przedstawia morfizmy w kategorie morfizmów Mor C:

a: Identyfikator ◦ F"- F" ◦ G.

Dokładną treść diagramu można przekazać jedynie poprzez szczegółowe jego skomentowanie zwykłym tekstem linearnym przeplatanym słowami i formułami. Ale czy taki tekst sprawia, że ​​sam diagram jest zbędny? NIE! (Korespondowałem z kolegą na e-mail, omawiając bardzo specyficzny temat matematyczny. W tekście e-maila trzeba oczywiście poprzestać na słownych dwuznacznościach. Nagle słyszę krzyk od mojego korespondenta: „Schemat! Pół królestwa za schemat!”)

Poniżej zamierzam przedstawić punkt widzenia, zgodnie z którym rozwój teorii kategorii, a w szczególności topologii homotopii, w okresie ostatnie dziesięciolecia nie tylko nastąpił znaczący postęp w konkretnym obszarze matematyki, ale także przyczynił się do uświadomienia i werbalizacji zachodzącego na naszych oczach przesunięcia epistemologicznego w tym, co powszechnie nazywano „podstawami” matematyki.

Muszę poczynić zastrzeżenie: dla mnie „podstawy” nie mają funkcji normatywnej ani normatywnej. Przez „podstawy” rozumiem owoce pracy matematyków, którzy mają tendencję do przyglądania się praktyce wyboru problemów, projektowaniu dowodów i eksperymentów, a także orientacji na wartości żyjących i zmarłych pokoleń matematyków.

Najważniejsze funkcja społeczna Podstawą badań jest utrzymanie dialogu pomiędzy „dwiema kulturami” (C.P. Snow). Dialog ten rozpoczyna się, ponieważ matematyka nieustannie budzi naturalne zainteresowanie filozoficzne. Jeśli nie przyjmiemy dosłownie istnienia obiektywnego platońskiego świata idei niezależnych od nas (a filozofowie są czasem gotowi nawet nie przyjąć istnienia świata rzeczy i zjawisk), to będziemy musieli przyznać, że matematyka jest po prostu owocem wysoce wytrenowanej wyobraźni kilku tysięcy ludzi w każdym pokoleniu.

Wtedy nawet pozostawiając na chwilę zaniepokojenie kryteriami „prawdziwości” twierdzeń matematycznych, nie sposób nie dziwić się upartej stabilności wiedzy matematycznej, jej międzypokoleniowej i międzycywilizacyjnej odtwarzalności.

Co więcej, wiedza ta nie jest po prostu powielana, jak reprodukuje się teksty Odysei, Gilgamesza czy Ewangelii. W ciągu ostatnich 200 lat rozwijał się i wzbogacał w niespotykanym wcześniej tempie.

Wracając do problemu treści matematycznej „podstaw matematyki” i jej historycznej ewolucji na przestrzeni ostatniego półtora stulecia, przedstawię go następująco.

Początkowy obraz mentalny, wspólny dla zdecydowanej większości pracujących matematyków po, powiedzmy, drugiej wojnie światowej, to obraz zbioru z dodatkową strukturą: przestrzenią topologiczną, grupą, pierścieniem, przestrzenią miary...

Na początku zbiór ten jest abstrakcją czysto kantorowską: charakter jego elementów nie jest ważny, istotne jest tylko to, że można je rozróżnić parami i uważać za złączone w jedną całość. W kolejnych etapach elementami nowego zbioru mogą być otwarte podzbiory poprzedniego, znajdujące się na nim funkcje lokalne itp.

Sam Cantor, kierując się inspiracją minimalistyczną, zadał najbardziej podstawowe pytania dotyczące takich zbiorów, pokazał nieskończoną skalę nieskończoności i pozostawił kilku pokoleniom logików zadanie zrozumienia ontologii i epistemologii tej skali.

Bardziej pragmatyczne pokolenie, które przeżyło pierwszą wojnę, zbudowało na tym potencjalnie metafizycznym fundamencie nowoczesny architektonicznie i funkcjonalnie wydajny gmach działającej matematyki z produkowanych przemysłowo elementów zwanych „strukturami” w sensie Bourbaki.

Pytania o skalę nieskończoności zeszły na dalszy plan dla pracujących matematyków, ale głównym materiałem konstrukcyjnym pozostają zbiory dyskretne. Ciągłość stała się nadbudową nad dyskretną.

Tymczasem jeszcze przed Cantorem pewne problemy z konstrukcją nawet elementarnej arytmetyki ze zbiorów były zupełnie jasne. Jeśli liczby naturalne odnoszą się do ilości sztyftów lub dowolnych skończonych zbiorów dyskretnych,

I, II, III,. . .

wtedy już zero, gdy tworzy się moc pustego zbioru problemy psychologiczne, a liczby ujemne wymagają albo sztucznej algebry, albo interpretacji w zupełnie innym wszechświecie, powiedzmy stosunki gospodarcze („dług”).

Jednocześnie, jeśli początkowy element intuicji uznamy za ciągły, a dyskretny zostanie wprowadzony jako struktura pochodna, wówczas liczby całkowite otrzymają zaskakująco naturalne wykonanie. Wyobraź sobie punkt poruszający się po płaszczyźnie. Pozwól mu opuścić jakąś pozycję początkową, wędrować przez jakiś czas, a następnie wrócić, nigdy nie kończąc, powiedzmy, na początku współrzędnych. Pytanie: ile razy okrąży początek? Nie jest trudno podać precyzyjną definicję tej liczby całkowitej: może ona wynosić zero, dodatnia lub ujemna (przejścia mogą odbywać się zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

Co więcej, nietrudno zrozumieć, w jaki sposób skracane są objazdy najpierw w jednym, a potem w drugim kierunku (1 - 1 = 0): ścieżkę składającą się z dwóch takich objazdów można zawęzić do punktu bez dotykania początku.

Co więc było na początku, dyskretne czy ciągłe? Jest to oczywiście archetypowe pytanie filozofii: ijoyoq, prawdopodobnie symbolizuje dyskretność i x tak?- ciągły.

Posługując się metaforą z dziedziny pokrewnej, jaką jest etnografia, porównałbym tę sytuację z teorią mitu według Lévi-Straussa. Nie bez wpływu Bourbaki Lévi-Strauss skonstruował interpretację mitu jako mediacji opozycji. Myśląc o jego koncepcji ćwierć wieku temu, sugerowałem ewolucję w odwrotnym kierunku: zgodnie z tym poglądem mit wyznacza epokę, w której świadomość opozycji („dyskretnego”) zrodziła się z mentalnego chaosu. W ten sposób zapis muzyczny narodził się z samej muzyki.

Metoda wprowadzania liczb całkowitych, którą naszkicowałem powyżej – liczenie liczby objazdów uwzględniających orientację, jakie tworzy ścieżka w zamkniętej płaszczyźnie wokół początku układu współrzędnych – rozpoczęła się jako jedno z najwcześniejszych twierdzeń Topologia homotopii.

Geometr zajmujący się topologią homotopijną widzi oczami wyobraźni nieskończenie wymiarowe przestrzenie, które mogą i powinny ulegać deformacji, aż do ściągnięcia ich w jednym punkcie. Ostatecznie dyskretność, którą topolog oblicza i przekazuje w dyskretnym języku, sprowadza się do „połączonych komponentów” tych przestrzeni i wywodzących się z nich przestrzeni mapowania.

W popularnych prezentacjach matematyki, a teraz w filmach, „węzły” w R3, lub „wywracanie kuli na lewą stronę” służą do uzewnętrzniania takich prywatnych obrazów mentalnych. Możliwości tej eksternalizacji jako narzędzia nauczania są ograniczone, podobnie jak ograniczona jest możliwość wyobrażenia sobie siebie jako Światosława Richtera wykonującego Schuberta po obejrzeniu jego wywiadu z Bruno Monsaingeonem.

Mogę zatem jedynie pokrótce zarysować swoje wrażenia z przesunięcia epistemologicznego, którego dynamikę dostrzegam w podstawach matematyki.

Jej istotą jest odwrócenie relacji pomiędzy dyskretnym a ciągłym, między językiem a wyobraźnią, pomiędzy algebrą a topologią. Ciągłość, wyobraźnia geometryczna, topologia powoli zyskują miejsce pierwotnego materiału matematycznego.

Język staje się wtórny, podporządkowany, jego „wewnętrzne pismo” powraca do archaicznej formy hieroglificznej, a jego materią staje się kombinatoryka obrazów geometrycznych. Sama kombinatoryka jest nieliniowa, wielowymiarowa i znajduje się już na poziomie jej początków nowy językłączy składnię, semantykę i pragmatykę w sposób, którego nie zaczęliśmy jeszcze filozoficznie konceptualizować.

Zwiastunem takiej ewolucji były diagramy przemienne języka kategorycznego. Wraz z przenikaniem do życia codziennego polikategorii, kategorii wzbogaconych, A∞-algebr i podobnych struktur, zaczynamy mówić językiem znacznie mniej podatnym na eksterioryzację, niż jesteśmy przyzwyczajeni.

Bardzo przekonującym dla mnie argumentem, że to postrzeganie jest czymś więcej niż moją prywatną iluzją, była świadomość równoległych procesów zachodzących na pograniczu matematyki i fizyki teoretycznej. Mówię o całkach Feynmana, metodach renormalizacji i ich zastosowaniach, takich jak całka Wittena, która oblicza niezmienniki węzłów.

Na zakończenie chcę powrócić do tematu, od którego zacząłem – problemu przekonywalności matematyki i szerzej – nauki nowożytnej.

Siła przekonywania osobistych doświadczeń, relacji naocznych świadków, odniesień do autorytetów i autorytatywnych tekstów jest często postrzegana jako pełna listaśrodek perswazji. Oczywiście fizycy, chemicy i biolodzy dodają do tej listy ukierunkowane eksperymenty.

Chciałbym jednak rozważyć tutaj to, co nazwiemy argumentem „cywilizacyjnym”, intuicyjnie odgadniętym przez Coco Chanel. Cywilizacja oddaje do naszej dyspozycji metody sprawdzania prawdy, które nie sprowadzają się do odwoływania się do autorytetów, ani do osobistego doświadczenia w analizowaniu długich dowodów matematycznych, ani do dowodów.

Przygotowując się do tego raportu, prowadziłem szeroką korespondencję e-mailową. Jego możliwość jest obecnie postrzegana przez prawie wszystkich jako coś oczywistego. Było to jednak możliwe dzięki takiemu poziomowi matematyki, budowanemu przez 2 tysiące lat, którego wiarygodności na pełną skalę nie jesteśmy w stanie zweryfikować ani my sami, ani autorytatywni dla nas ludzie. Matematyka jest poprawna między innymi dlatego, że odkrycie równań Maxwella doprowadziło do technologii przesyłania informacji za pomocą fal elektromagnetycznych, a algebra Boole'a zaczęła działać w Twoim i moim laptopie.

Kultura rozumowania matematycznego w aspekcie cywilizacyjnym jest najważniejszą formą obiektywizacji abstrakcyjnej wiedzy matematycznej, metodą jej przekazywania z pokolenia na pokolenie.

Na poziomie osobistym porównałbym kulturę matematyczną, kulturę dowodu, do szkolenia muzyka – ćwiczenia precyzji małych ruchów, aż staną się automatyczne i można je zsyntetyzować, powiedzmy, w „Sonacie na skrzypce solo” Bacha. Kodyfikacja języka formalnego z jego elementami logiki i teorii mnogości była idealnym środkiem do takiego „ćwiczenia precyzyjnych ruchów”. Jeśli jednak towarzyszy jej propaganda ideologiczna, taka jak intuicjonizm czy konstruktywizm, zostaje ona filozoficznie przymknięta i traci swą wartość cywilizacyjną.