Tóm tắt: Phương trình bậc hai và phương trình bậc cao. Từ lịch sử của phương trình bậc hai và phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Trường trung học cơ sở nông thôn Kopyevskaya

10 giải pháp phương trình bậc hai

Người đứng đầu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

giáo viên toán

làng Kopevo, 2007

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

1.2 Cách Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

1.4 Phương trình bậc hai của al-Khorezmi

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu thế kỷ XIII - XVII

1.6 Về định lý Vieta

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phần kết luận

Văn học

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai vào thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến tìm diện tích thửa đất và với công việc đào đất có tính chất quân sự, cũng như sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai có thể được giải vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. đ. Người Babylon.

Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng người ta không biết người Babylon đã đạt được quy tắc này như thế nào. Hầu như tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ cung cấp các vấn đề với các giải pháp được trình bày dưới dạng công thức nấu ăn mà không có dấu hiệu nào cho thấy chúng được tìm thấy như thế nào.

Cho dù cấp độ cao phát triển của đại số ở Babylon, các văn bản chữ nêm thiếu khái niệm về số âm và phương pháp chung giải phương trình bậc hai.

1.2 Cách Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai.

Số học của Diophantus không trình bày một cách có hệ thống về đại số, nhưng nó chứa một loạt các bài toán có hệ thống, kèm theo lời giải thích và giải bằng cách xây dựng các phương trình ở nhiều mức độ khác nhau.

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Vấn đề 11.“Tìm hai số biết tổng của chúng là 20 và tích của chúng là 96”

Diophantus lý do như sau: từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà bằng 100. Do đó, một trong số chúng sẽ lớn hơn một nửa số tiền của họ, tức là . 10 + x, cái kia ít hơn, tức là 10 giây. Sự khác biệt giữa chúng 2x .

Do đó phương trình:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Từ đây x = 2. Một trong các số cần tìm bằng 12 , khác 8 . Giải pháp x = -2 vì Diophantus không tồn tại, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến những con số dương.

Nếu chúng ta giải bài toán này bằng cách chọn một trong các số cần tìm làm ẩn số thì chúng ta sẽ đi đến nghiệm của phương trình

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Rõ ràng là bằng cách chọn nửa sai phân của các số cần tìm làm ẩn số, Diophantus đã đơn giản hóa lời giải; anh ta quản lý để giảm bài toán xuống việc giải phương trình bậc hai không đầy đủ (1).

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã vạch ra nguyên tắc chung nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất:

à 2 + b x = c, a > 0. (1)

Trong phương trình (1), các hệ số, ngoại trừ MỘT, cũng có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

TRONG Ấn Độ cổ đại Các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn là phổ biến. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Như mặt trời làm lu mờ các ngôi sao bằng ánh sáng rực rỡ của nó, người đàn ông đã học làm lu mờ vinh quang của người khác trong các hội nghị phổ biến bằng cách đề xuất và giải các bài toán đại số.” Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Vấn đề 13.

“Một đàn khỉ vui tươi và mười hai con dọc theo dây leo…

Chính quyền, ăn xong, vui vẻ. Họ bắt đầu nhảy, treo cổ...

Có chúng ở quảng trường, phần 8. Có bao nhiêu con khỉ ở đó?

Tôi đang tận hưởng niềm vui ở khu đất trống. Nói cho tôi biết, trong gói này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng ông biết rằng nghiệm của phương trình bậc hai có hai giá trị (Hình 3).

Phương trình tương ứng với bài 13 là:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

x 2 - 64x = -768

và để bổ sung bên trái của phương trình này thành bình phương, cộng hai vế 32 2 , sau đó nhận được:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Phương trình bậc hai trong al - Khorezmi

Trong chuyên luận đại số của al-Khorezmi, một sự phân loại các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai được đưa ra. Tác giả đếm được 6 loại phương trình, biểu diễn chúng như sau:

1) “Hình vuông bằng căn”, tức là rìu 2 + c = b X.

2) “Hình vuông bằng số”, tức là rìu 2 = c.

3) “Các căn bằng số,” tức là. à = s.

4) “Hình vuông và số đều bằng căn”, tức là. rìu 2 + c = b X.

5) “Hình vuông và căn đều bằng số”, tức là. à 2 + bx = s.

6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c = ax 2 .

Đối với al-Khorezmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có quyết định tích cực. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-muqabala. Tất nhiên, các quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể rằng nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, ví dụ, khi giải một phương trình bậc hai không đầy đủ thuộc loại thứ nhất

al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học trước thế kỷ 17, không tính đến nghiệm số 0, có lẽ vì nó không quan trọng trong các bài toán thực tế cụ thể. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, al-Khorezmi đặt ra các quy tắc để giải chúng bằng cách sử dụng các ví dụ số cụ thể và sau đó là chứng minh hình học.

Vấn đề 14.“Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm gốc rễ" (ngụ ý nghiệm của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải pháp của tác giả như sau: chia số căn làm đôi, bạn được 5, nhân 5 với chính nó, lấy kết quả trừ 21, còn lại là 4. Lấy căn từ 4, bạn được 2. Trừ 2 từ 5 , bạn nhận được 3, đây sẽ là root mong muốn. Hoặc cộng 2 với 5 được 7, đây cũng là một nghiệm.

Chuyên luận của al-Khorezmi là cuốn sách đầu tiên được chúng ta lưu truyền, trong đó trình bày một cách có hệ thống việc phân loại các phương trình bậc hai và đưa ra công thức giải chúng.

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu XIII - XVII bb

Công thức giải phương trình bậc hai theo đường al-Khwarizmi ở Châu Âu lần đầu tiên được nêu trong Sách Bàn tính, được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Công trình đồ sộ này phản ánh ảnh hưởng của toán học ở cả các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, được phân biệt bởi sự đầy đủ và rõ ràng của cách trình bày. Tác giả đã độc lập phát triển một số điểm mới ví dụ đại số giải quyết vấn đề và là người đầu tiên ở châu Âu giới thiệu số âm. Cuốn sách của ông đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong Sách Bàn tính đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 16 - 17. và một phần XVIII.

Nguyên tắc chung để giải phương trình bậc hai được rút gọn thành một dạng chính tắc duy nhất:

x2 + bx = c,

cho tất cả các tổ hợp có thể có của các dấu hệ số b , Với chỉ được M. Stiefel xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544.

Dẫn xuất công thức giải phương trình bậc hai trong nhìn chung Việt có nó, nhưng Việt chỉ thừa nhận những gốc tích cực. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai cần cái nhìn hiện đại.

1.6 Về định lý Vieta

Định lý biểu thị mối liên hệ giữa các hệ số của một phương trình bậc hai và nghiệm của nó, mang tên Vieta, được ông xây dựng lần đầu tiên vào năm 1591 như sau: “Nếu B + D, nhân với MỘT - MỘT 2 , bằng BD, Cái đó MỘT bằng TRONG và bằng nhau D ».

Để hiểu Việt ta nên nhớ rằng MỘT, giống như bất kỳ chữ cái nguyên âm nào, có nghĩa là ẩn số (của chúng tôi X), nguyên âm TRONG, D- hệ số cho ẩn số. Trong ngôn ngữ đại số hiện đại, công thức Vieta trên có nghĩa là: nếu có

(một + b )x - x 2 = bụng ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Biểu diễn mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình công thức tổng quát viết bằng ký hiệu, Việt tạo nên sự thống nhất trong cách giải phương trình. Tuy nhiên, biểu tượng của tiếng Việt vẫn còn xa với hình thức hiện đại của nó. Ông không nhận ra số âm và do đó, khi giải phương trình, ông chỉ xét những trường hợp tất cả các nghiệm đều dương.

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là nền tảng xây dựng nên tòa nhà đại số hùng vĩ. Phương trình bậc hai được sử dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình lượng giác, hàm mũ, logarit, vô tỷ và siêu việt và bất đẳng thức. Chúng ta đều biết cách giải phương trình bậc hai từ khi còn đi học (lớp 8) cho đến khi ra trường.

Bộ Giáo dục và Khoa học Cộng hòa Tatarstan

Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố

"Trường trung học Usad

Quận thành phố Vysokogorsky của Cộng hòa Tatarstan"

Công tác nghiên cứu:

"Câu chuyện sự xuất hiệnquảng trường phương trình»

Hoàn thành bởi: Andreeva Ekaterina,

học sinh lớp 8B

Cố vấn khoa học:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

giáo viên toán

Giới thiệu

Ai muốn giới hạn bản thân trong hiện tại?

không có kiến thức về quá khứ,

anh ấy sẽ không bao giờ hiểu được anh ấy.

G.V. Leibniz

Các phương trình chiếm vị trí hàng đầu trong môn toán ở trường, nhưng không có loại phương trình nào được tìm thấy như vậy. ứng dụng rộng rãi, giống như phương trình bậc hai.

Người ta đã có thể giải các phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại vào thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên. Các bài toán dẫn đến phương trình bậc hai được thảo luận trong nhiều bản thảo và chuyên luận toán học cổ xưa. Và ngày nay, nhiều bài toán đại số, hình học, vật lý cũng được giải bằng phương trình bậc hai. Bằng cách giải quyết chúng, mọi người tìm thấy câu trả lời cho nhiều câu hỏi khác nhau về khoa học và công nghệ.

Mục tiêu nghiên cứu này- Nghiên cứu lịch sử hình thành của phương trình bậc hai.

Để đạt được mục tiêu này cần giải quyết các nhiệm vụ sau:

Khám phá tài liệu khoa học về chủ đề này
Theo dõi lịch sử xuất hiện của phương trình bậc hai.

Đối tượng nghiên cứu: phương trình bậc hai.

Đề tài nghiên cứu: lịch sử sự xuất hiện của phương trình bậc hai.

Sự liên quan của chủ đề :

Con người đã giải phương trình bậc hai từ thời cổ đại. Tôi muốn biết lịch sử của phương trình bậc hai.
Không có thông tin nào trong sách giáo khoa về lịch sử của phương trình bậc hai.

Phương pháp nghiên cứu:

Làm việc với các tài liệu khoa học giáo dục và phổ biến.
Quan sát, so sánh, phân tích.

Theo tôi, giá trị khoa học của tác phẩm nằm ở chỗ tài liệu này có thể được các em học sinh yêu thích môn toán và các giáo viên dạy các lớp ngoại khóa quan tâm.

Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại.

Ở Babylon cổ đại, nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích đất và công việc khai quật mang tính chất quân sự, cũng như với sự phát triển của thiên văn học và toán học.

x 2 - x = 14,5

Mặc dù đại số ở Babylon có trình độ phát triển cao nhưng các văn bản chữ nêm vẫn thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

Một ví dụ được lấy từ một trong những tấm đất sét ở thời kỳ này.

“Diện tích tổng của hai hình vuông là 1000. Cạnh của một hình vuông là cạnh của hình vuông kia giảm đi 10. Cạnh của hình vuông là bao nhiêu?”

Điều này dẫn đến các phương trình mà nghiệm của nó rút gọn thành giải phương trình bậc hai với nghiệm dương.

Trong thực tế, lời giải trong văn bản chữ hình nêm, giống như trong tất cả các bài toán phương Đông, chỉ giới hạn ở việc liệt kê đơn giản các bước tính toán cần thiết để giải phương trình bậc hai:

“Hình vuông 10; cái này cho 100; trừ 100 từ 1000; cái này mang lại 900" vân vân

Cách Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai

Diophantus trình bày một trong những bí ẩn khó hiểu nhất trong lịch sử khoa học. Ông là một trong những nhà toán học Hy Lạp cổ đại độc đáo nhất, Diophantus xứ Alexandria, người có công trình tầm quan trọng lớn cho đại số và lý thuyết số. Cả năm sinh cũng như ngày mất của Diophantus vẫn chưa được làm rõ. Khoảng thời gian Diophantus có thể sống là nửa thiên niên kỷ! Người ta tin rằng ông sống ở thế kỷ thứ 3 sau Công Nguyên. Nhưng nơi cư trú của Diophantus được nhiều người biết đến - đây là Alexandria nổi tiếng, trung tâm tư tưởng khoa học của thế giới Hy Lạp.

Trong số các tác phẩm của Diophantus, quan trọng nhất là Số học, trong đó có 13 cuốn chỉ có 6 cuốn còn tồn tại cho đến ngày nay.

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Nhiệm vụ: “Tìm hai số biết tổng của chúng là 20 và tích của chúng là 96”

Do đó phương trình:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nếu chúng ta giải bài toán này bằng cách chọn một trong các số cần tìm làm ẩn số thì chúng ta sẽ đi đến nghiệm của phương trình

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Phương trình bậc hai từ số học của Diophantus:

12x2 +x = 1
630x2 +73x=6.

Ngay từ thời cổ đại, Ấn Độ đã nổi tiếng về kiến thức trong lĩnh vực thiên văn học, ngữ pháp và các ngành khoa học khác.

Các nhà khoa học Ấn Độ đã đạt được thành công lớn nhất trong lĩnh vực này nhà toán học. Họ là những người sáng lập ra số học và đại số, trong quá trình phát triển chúng họ đã tiến xa hơn người Hy Lạp.

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn “Aryabhattiam”, biên soạn năm 499. Nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ VII), đã đưa ra quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất: ax 2 + bx = c, a> 0.

Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.
Các cuộc thi công khai rất phổ biến ở Ấn Độ cổ đại
trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Giống như mặt trời chiếu sáng các vì sao bằng sự rực rỡ của nó, một người đàn ông có học cũng sẽ làm lu mờ vinh quang của người khác trong các cuộc họp công cộng, đề xuất và giải các bài toán đại số.”

Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.
Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskar:

« Một đàn khỉ vui nhộn,

Ăn cho thỏa thích, tôi thấy rất vui.

Có phần tám bình phương,

Tôi đang tận hưởng niềm vui ở khu đất trống.

Và mười hai dọc theo dây leo...

Họ bắt đầu nhảy, treo cổ...

Có bao nhiêu con khỉ?

Nói cho tôi biết, trong gói này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng ông biết rằng nghiệm của phương trình bậc hai có hai giá trị.

Phương trình tương ứng với bài toán

Bhaskara viết dưới dạng x 2 - 64x = -768 và để hoàn thành vế trái của phương trình này thành hình vuông, hãy cộng 32 2 cho cả hai vế, sau đó thu được:

x 2 -64x+32 2 = -768+1024,

x 1 =16, x 2 =48.

Phương trình bậc hai ở Trung Quốc (thiên niên kỷ 1 trước Công nguyên).

Những di tích bằng văn bản đầu tiên của Trung Quốc đến với chúng ta có từ thời nhà Thương (thế kỷ XVIII-XII trước Công nguyên). Và đã có trên xương bói toán của thế kỷ 14. BC BC, được tìm thấy ở Hà Nam, việc chỉ định các con số đã được bảo tồn. Nhưng sự hưng thịnh thực sự của khoa học bắt đầu sau thế kỷ 12. BC đ. Trung Quốc bị dân du mục Chu chinh phục. Trong những năm này, toán học và thiên văn học Trung Quốc đã xuất hiện và đạt đến những đỉnh cao đáng kinh ngạc. Những cái đầu tiên đã xuất hiện lịch chính xác và sách giáo khoa toán. Đáng tiếc là việc “tiêu diệt sách” của Hoàng đế Tần Thủy Hoàng (Shi Huangdi) đã không cho phép những cuốn sách đầu tiên đến được với chúng ta, nhưng rất có thể chúng đã hình thành nền tảng cho các tác phẩm tiếp theo.

"Toán học trong Cửu thư" là tác phẩm toán học cổ điển đầu tiên của Trung Quốc cổ đại, một tượng đài tuyệt vời Trung Quốc cổ đại vào thời Sơ Hán (206 TCN - 7 SCN). Bài tiểu luận này chứa đựng tài liệu toán học đa dạng và phong phú, bao gồm cả phương trình bậc hai.

Thử thách của Trung Quốc: “Có một cái hồ có cạnh 10 cm. Ở trung tâm của nó có một cây sậy nhô lên trên mặt nước 1 cm. Nếu bạn kéo cây sậy về phía bờ, nó sẽ chạm vào bờ. Câu hỏi là: độ sâu của nước là bao nhiêu và chiều dài của sậy là bao nhiêu?

(x+1) 2 =x 2 +5 2,

x 2 +2x+1= x 2 +25,

Đáp án: 12chi; 13 giờ chiều

Phương trình bậc hai của al-Khwarizmi

“Tôi đã biên soạn một cuốn sách ngắn về phép tính đại số và almukabala, bao gồm những kiến thức đơn giản và những câu hỏi khó số học, bởi vì mọi người cần nó.” Al Khorezmi Mohammed ben Musa.

Al-Khorezmi (Uzbekistan) được biết đến nhiều nhất với “Sách Hoàn thiện và Đối lập” (“Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala”), từ tên của từ “đại số” là nguồn gốc. Chuyên luận này là cuốn sách đầu tiên mà chúng tôi có được, trong đó trình bày một cách có hệ thống việc phân loại các phương trình bậc hai và đưa ra công thức giải chúng.

Trong phần lý thuyết trong chuyên luận của mình, al-Khorezmi đưa ra Phân loại các phương trình cấp 1 và cấp 2 và xác định sáu loại của chúng:

1) “Hình vuông bằng căn”, tức là ax 2 = bx. (ví dụ:)

2) “Hình vuông bằng số,” tức là ax 2 = s. (ví dụ:)

3) “Các căn bằng số,” tức là ax = c. (ví dụ:)

4) “Hình vuông và số đều bằng căn,” tức là ax 2 + c = bx. (ví dụ:)

5) “Bình phương và căn đều bằng số,” tức là ax 2 + bx = c.

6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c == ax 2. (ví dụ:)

Đối với al-Khwarizmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có nghiệm dương hiển nhiên không được tính đến. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-mukabal. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể rằng nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, chẳng hạn, khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh thuộc loại thứ nhất, al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học cho đến thế kỷ 17, không tính đến nghiệm 0, có lẽ bởi vì trong thực tế cụ thể, nó không quan trọng trong các nhiệm vụ. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, al-Khwarizmi đặt ra các quy tắc để giải chúng bằng cách sử dụng các ví dụ số cụ thể và sau đó là chứng minh hình học của chúng.

Hãy đưa ra một ví dụ.

“Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm gốc rễ"(ngụ ý nghiệm của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải pháp của tác giả như sau: “Chia số căn làm đôi, bạn được 5, nhân 5 với chính nó, lấy tích trừ 21, còn lại là 4. Lấy căn từ 4, bạn được 2. Trừ 2 từ 5 thì bạn được 3, đây sẽ là root mong muốn. Hoặc cộng 2 với 5 sẽ được 7, đây cũng là một nghiệm.”

Phương trình nổi tiếng của Al-Khwarizmi: "Một hình vuông và mười căn bằng 39." x 2 + 10x= 39 (thế kỷ IX). Trong chuyên luận của mình, ông viết: “Quy tắc là thế này: nhân đôi số nghiệm, bạn sẽ có được năm nghiệm trong bài toán này. Thêm số đó vào ba mươi chín, nó sẽ thành sáu mươi bốn. Lấy căn của cái này, nó trở thành 8, và trừ đi một nửa số căn từ cái này, tức là. năm, còn lại ba: đây sẽ là căn bậc hai của hình vuông mà bạn đang tìm kiếm.”

Phương trình bậc hai ở châu Âu thế kỷ 12-17.

Các dạng giải phương trình bậc hai theo mô hình của Al-Khwarizmi ở Châu Âu lần đầu tiên được nêu trong “Sách bàn tính” viết năm 1202. Nhà toán học người Ý Leonard Fibonacci. Tác giả đã độc lập phát triển một số ví dụ đại số mới để giải các bài toán và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận việc đưa số âm vào.

Cuốn sách này đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong cuốn sách này đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 14-17. Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về dạng x 2 + bх = с cho mọi tổ hợp có thể có của dấu và hệ số b, c được M. Stiefel xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544.

Công thức giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát có sẵn ở Viète, nhưng Viète chỉ thừa nhận nghiệm dương. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ các công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại.

Phần kết luận.

Phương trình bậc hai là nền tảng xây dựng nên tòa nhà đại số hùng vĩ. Các phương trình khác nhau cả bậc hai và phương trình bằng cấp cao hơnđã được quyết định bởi tổ tiên xa xôi của chúng ta. Những phương trình này đã được giải ở những quốc gia rất khác nhau và xa xôi. Nhu cầu về phương trình là rất lớn. Các phương trình được sử dụng trong xây dựng, quân sự và trong các tình huống hàng ngày.

Ngày nay, khả năng giải phương trình bậc hai là cần thiết đối với mọi người. Khả năng giải nhanh, hợp lý và chính xác các phương trình bậc hai giúp việc hoàn thành nhiều chủ đề trong môn toán trở nên dễ dàng hơn. Phương trình bậc hai được giải không chỉ trong các bài học toán mà còn trong các bài học vật lý, hóa học và khoa học máy tính. Những vấn đề thực tế nhất thế giới thực cũng liên quan đến việc giải phương trình bậc hai.

Văn học

Phương trình Bashmkova I. G. Diophantus và Diophantine. M.: Nauka, 1972.
Berezkina E.I. Toán học Trung Quốc cổ đại - M.: Nauka, 1980
Pichurin L.F. Đằng sau những trang sách giáo khoa đại số: Sách. dành cho sinh viên

lớp 7-9 trung bình của trường - M.: Giáo dục, 1990

Glazer G.I. Lịch sử toán học lớp VII - VIII. Cẩm nang dành cho giáo viên. - M.: Giáo dục, 1982.

Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại Nhu cầu giải các phương trình không chỉ bậc một mà cả bậc hai, ngay cả ở thời cổ đại, xuất phát từ nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất và công việc khai quật một bản chất quân sự, cũng như với sự phát triển của thiên văn học và toán học. Người Babylon đã có thể giải phương trình bậc hai khoảng 2000 năm trước đức tin của chúng ta. Bằng cách sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ hình nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, còn có các phương trình bậc hai hoàn chỉnh: Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản tiếng Babylon, trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng người ta không biết làm thế nào mà người Babylon có được những quy tắc đó. Hầu như tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ trình bày các vấn đề với các giải pháp được trình bày dưới dạng các công thức nấu ăn mà không có dấu hiệu nào cho thấy chúng được tìm thấy như thế nào. Mặc dù đại số ở Babylonia có trình độ phát triển cao, các văn bản chữ nêm vẫn thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

Cách Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai “Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tích của chúng bằng 96.” Diophantus lý luận như sau: từ điều kiện của bài toán suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không phải là 96 mà là 100. Do đó, một trong số chúng sẽ lớn hơn một nửa tổng của chúng, tức là. 10+X, số kia nhỏ hơn, tức là 10-X. Hiệu giữa chúng là 2X Do đó X=2. Một trong những số bắt buộc là 12, số còn lại là 8. Giải X = -2 không tồn tại đối với Diophantus, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến số dương. PHƯƠNG TIỆN: hoặc:

Phương trình bậc hai ở Ấn Độ Các bài toán về phương trình bậc hai cũng được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta, đã đưa ra quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất: ax ² +bx=c, a>0 Một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12 Bhaskara Một đàn khỉ tinh nghịch , ăn thỏa thích, vui vẻ. Phần tám trong số họ ở quảng trường. Tôi đang vui vẻ ở bãi đất trống. Và mười hai con trên dây leo... Chúng bắt đầu nhảy trong khi treo cổ... Có bao nhiêu con khỉ, hãy cho tôi biết trong đàn này? Phương trình tương ứng với bài toán là: Baskara viết dưới dạng: Hoàn thành vế trái thành hình vuông, 0 Một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12 Bhaskara Một đàn khỉ tinh nghịch sau khi ăn thỏa thích đã rất vui vẻ. Phần tám trong số họ ở quảng trường. Tôi đang vui vẻ ở bãi đất trống. Và mười hai con trên dây leo... Chúng bắt đầu nhảy trong khi treo cổ... Có bao nhiêu con khỉ, hãy cho tôi biết trong đàn này? Phương trình tương ứng với bài toán: Baskara viết dưới dạng: Hoàn thành vế trái thành hình vuông,">

phương trình bậc hai trong Châu Á cổ đạiĐây là cách nhà khoa học Trung Á al-Khorezmi giải phương trình này: Ông viết: “Quy tắc là: nhân đôi số nghiệm, x = 2x 5 trong bài toán này bạn được 5, nhân 5 với số này bằng nó, nó sẽ trở thành 20 -năm, 5 5 = 25 cộng cái này với ba mươi chín, nó sẽ là sáu mươi bốn, 64 lấy căn từ cái này, nó sẽ là tám, 8 và trừ đi một nửa số căn này, tức là năm, 8- 5 sẽ vẫn là 3 đây sẽ là căn bậc hai mà bạn đang tìm kiếm." Còn gốc thứ hai thì sao? Căn bậc hai không được tìm thấy vì số âm không được biết. x x = 39

Phương trình bậc hai ở châu Âu thế kỷ XIII-XVII. Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn thành một dạng chính tắc duy nhất x2+inx+c=0 chỉ được Stiefel xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544. Các công thức giải phương trình bậc hai ở Châu Âu lần đầu tiên được nhà toán học người Ý Leonard Fibonacci nêu ra vào năm 1202. Công thức giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát có sẵn ở Viète, nhưng Viète chỉ thừa nhận nghiệm dương. Chỉ trong thế kỷ 17. nhờ các công trình của Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại

Về định lý Vieta Định lý biểu thị mối quan hệ giữa các hệ số của một phương trình bậc hai và nghiệm của nó, mang tên Vieta, được ông xây dựng lần đầu tiên vào năm 1591 như sau: “Nếu B + D nhân với A-A bằng BD thì thì A bằng B và bằng D." Để hiểu Vieta, nên nhớ rằng A, giống như bất kỳ chữ cái nguyên âm nào, có nghĩa là cái chưa biết (x của chúng ta), trong khi nguyên âm B, D là hệ số cho cái chưa biết. Trong ngôn ngữ của đại số hiện đại, công thức Vieta trên có nghĩa là: Nếu phương trình bậc hai x 2 +px+q=0 đã cho có nghiệm thực thì tổng của chúng bằng -p và tích bằng q, nghĩa là: x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (tổng các nghiệm của phương trình bậc hai trên bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do ).

Phương pháp nhân tử hóa mang lại một phương trình bậc hai tổng quát có dạng: A(x)·B(x)=0, trong đó A(x) và B(x) là các đa thức đối với x. Mục đích: Loại bỏ số nhân chung ngoài dấu ngoặc; Sử dụng công thức nhân rút gọn; Phương pháp phân nhóm. Phương pháp: Ví dụ:

Nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu D>0, Nếu D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="Các nghiệm của phương trình bậc hai: If D>0, If D"> title="Nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu D>0, Nếu D"> !}

X 1 và x 2 là nghiệm của phương trình Giải phương trình theo định lý Vieta X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, tức là nghiệm có dấu hiệu khác nhau X 1 + X 2 = – 3, nghĩa là nghiệm có mô đun lớn hơn là âm. Bằng cách chọn lọc ta tìm được các nghiệm: X 1 = – 5, X 2 = 2 Ví dụ:

0, theo định lý nghịch đảo của định lý Vieta, ta thu được nghiệm: 5;6, sau đó trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2,5; 3. Đáp án: 2,5; 3. Giải phương trình" title="Giải phương trình: 2x 2 - 11x +15 = 0. Chuyển hệ số 2 sang số hạng tự do 2 - 11y +30= 0. D>0, theo đến định lý nghịch đảo với định lý Vieta, ta được nghiệm: 5;6, sau đó trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2.5;3. Đáp án: 2.5;3. Giải phương trình" class="link_thumb"> 14 !} Giải phương trình: 2x x +15 = 0. Chuyển hệ số 2 về số hạng tự do y y +30= 0. D>0, theo định lý nghịch đảo của định lý Vieta, ta được nghiệm: 5;6 thì ta trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2, 5; 3. Đáp án: 2,5; 3. Giải phương trình bằng phương pháp ném 0, theo định lý nghịch đảo của định lý Vieta, ta thu được nghiệm: 5;6, sau đó trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2,5; 3. Đáp án: 2,5; 3. Giải phương trình “> 0, theo định lý nghịch đảo của định lý Vieta, ta thu được nghiệm: 5;6, sau đó trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2.5; 3. Đáp án: 2.5; 3. Giải của các phương trình dùng phương pháp “chuyển”.” > 0, theo định lý nghịch đảo của định lý Vieta, ta thu được nghiệm: 5;6, sau đó trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2,5; 3. Đáp án: 2,5; 3. Giải phương trình" title="Giải phương trình: 2x 2 - 11x +15 = 0. Chuyển hệ số 2 sang số hạng tự do 2 - 11y +30= 0. D>0, theo đến định lý nghịch đảo với định lý Vieta, ta được nghiệm: 5;6, sau đó trở về nghiệm của phương trình ban đầu: 2.5;3. Đáp án: 2.5;3. Giải phương trình"> title="Giải phương trình: 2x 2 - 11x +15 = 0. Chuyển hệ số 2 về số hạng tự do y 2 - 11y +30= 0. D>0, theo định lý nghịch đảo định lý Vieta, ta được nghiệm: 5; 6 thì ta quay về nghiệm nguyên của phương trình ban đầu: 2,5; 3. Đáp án: 2,5; 3. Giải phương trình"> !}

Nếu trong phương trình bậc hai a+b+c=0 thì một trong các nghiệm bằng 1, và nghiệm thứ hai theo định lý Vieta bằng thứ hai theo định lý Vieta bằng If trong phương trình bậc hai a+c=b , khi đó một trong các nghiệm bằng (-1), và nghiệm thứ hai theo định lý Vieta bằng Ví dụ: Tính chất các hệ số của phương trình bậc hai 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Đáp án: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Đáp án: 1;

Phương pháp đồ họa để giải phương trình bậc hai Không cần sử dụng công thức, phương trình bậc hai có thể được giải bằng đồ thị. Hãy giải phương trình, để làm được điều này, chúng ta sẽ xây dựng hai đồ thị: X Y X 01 Y012 Trả lời: Trục hoành các giao điểm của đồ thị sẽ là nghiệm của phương trình. Nếu đồ thị cắt nhau tại hai điểm thì phương trình có hai nghiệm. Nếu các đồ thị cắt nhau tại một điểm thì phương trình có một nghiệm. Nếu các đồ thị không giao nhau thì phương trình không có nghiệm. 1)y=x2 2)y=x+1

Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng biểu đồ Đây là một phương pháp giải phương trình bậc hai cũ và không đáng bị lãng quên, được trình bày ở trang 83 “Bảng toán bốn chữ số” Bradis V.M. Bảng XXII. Biểu đồ để giải phương trình Biểu đồ này cho phép xác định nghiệm của phương trình từ các hệ số của nó mà không cần giải phương trình bậc hai. Đối với phương trình, biểu đồ cho các nghiệm

Phương pháp hình học để giải phương trình bậc hai Vào thời xa xưa, khi hình học phát triển hơn đại số, phương trình bậc hai được giải không phải bằng đại số mà bằng hình học. Nhưng, ví dụ, cách người Hy Lạp cổ đại giải phương trình: hoặc Biểu thức và biểu diễn hình học cho cùng một hình vuông, và phương trình ban đầu là phương trình giống nhau. Chúng ta lấy cái gì ở đâu, hoặc

Kết luận Những phương pháp giải này đáng được quan tâm vì không phải tất cả chúng đều được phản ánh trong sách giáo khoa toán phổ thông; nắm vững các kỹ thuật này sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian và giải phương trình một cách hiệu quả; nhu cầu về một giải pháp nhanh chóng là do ứng dụng Hệ thống thử nghiệm kỳ thi tuyển sinh;

GIỚI THIỆU

Các phương trình chiếm vị trí hàng đầu trong khóa học đại số ở trường. Họ dành nhiều thời gian cho việc học hơn bất kỳ chủ đề nào khác. khóa học toán học. Điểm mạnh của lý thuyết phương trình là nó không chỉ có ý nghĩa lý thuyết đối với kiến thức về các quy luật tự nhiên mà còn phục vụ những mục đích thực tiễn cụ thể. Hầu hết các bài toán về dạng không gian và các mối quan hệ định lượng trong thế giới thực đều bắt nguồn từ việc giải các loại phương trình khác nhau. Bằng cách nắm vững các cách giải quyết, con người tìm ra câu trả lời cho nhiều câu hỏi khác nhau từ khoa học và công nghệ (giao thông, nông nghiệp, công nghiệp, truyền thông, v.v.). Ngoài ra, để phát triển năng lực giải phương trình, việc làm việc độc lập của học sinh khi học giải phương trình có tầm quan trọng rất lớn. Khi học bất kỳ chủ đề nào, phương trình có thể được sử dụng như một phương tiện hữu hiệu để củng cố, đào sâu, lặp lại và mở rộng kiến thức lý thuyết, phát triển hoạt động sáng tạo toán học của học sinh.

Trong thế giới hiện đại, các phương trình được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành toán học khác nhau và trong việc giải các bài toán ứng dụng quan trọng. Chủ đề này được đặc trưng bởi độ sâu trình bày sâu sắc và sự phong phú của các kết nối được thiết lập với sự trợ giúp của nó trong việc giảng dạy cũng như tính hợp lý của bài trình bày. Vì vậy, nó chiếm một vị trí đặc biệt trong dòng phương trình. Học sinh bắt đầu học chủ đề “Tam thức vuông” khi đã tích lũy được một số kinh nghiệm, sở hữu một lượng lớn các khái niệm, khái niệm và kỹ năng về đại số và toán học tổng quát. Ở một mức độ lớn, dựa trên tài liệu của chủ đề này, cần phải tổng hợp các tài liệu liên quan đến các phương trình, thực hiện các nguyên tắc của chủ nghĩa lịch sử và khả năng tiếp cận.

Mức độ liên quanĐề tài là sự cần thiết phải thực hiện các nguyên tắc của chủ nghĩa lịch sử và sự thiếu hụt về vật chất để thực hiện điều này trong chủ đề “Giải phương trình bậc hai”.

Vấn đề nghiên cứu: nhận biết tư liệu lịch sửđể học cách giải phương trình bậc hai.

Mục tiêu của công việc: hình thành ý tưởng về cách giải phương trình bậc hai trong bài toán, lựa chọn bộ bài học có yếu tố lịch sử chủ đề “Phương trình bậc hai”.

Đối tượng nghiên cứu: giải phương trình bậc hai lớp 8 sử dụng các yếu tố của chủ nghĩa lịch sử.

Đề tài nghiên cứu: phương trình bậc hai và xây dựng bài dạy giải phương trình bậc hai bằng tài liệu lịch sử.

Nhiệm vụ:

thực hiện phân tích các tài liệu khoa học và phương pháp luận về vấn đề nghiên cứu;

phân tích Sách Giáo Khoa và nêu bật ở đó chỗ học cách giải phương trình bậc hai;

chọn bộ bài giải phương trình bậc hai sử dụng tài liệu lịch sử.

Phương pháp nghiên cứu:

phân tích tài liệu về chủ đề “Giải phương trình bậc hai”;

quan sát học sinh trong giờ học chuyên đề “Giải phương trình bậc hai”;

chọn lọc tài liệu: bài học về chủ đề “Giải phương trình bậc hai” bằng thông tin lịch sử.

§ 1. Từ lịch sử xuất hiện của phương trình bậc hai

Đại số nảy sinh liên quan đến việc giải các bài toán khác nhau bằng phương trình. Thông thường, các bài toán yêu cầu tìm ra một hoặc nhiều ẩn số, đồng thời biết kết quả của một số hành động được thực hiện với số lượng mong muốn và cho trước. Những vấn đề như vậy bắt nguồn từ việc giải một hoặc một hệ phương trình, đến việc tìm những phương trình cần thiết bằng cách sử dụng các phép toán đại số trên các đại lượng đã cho. Đại số nghiên cứu các tính chất chung của các phép toán về số lượng.

Một số kỹ thuật đại số để giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai đã được biết đến cách đây 4000 năm ở Babylon cổ đại.

Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai, ngay cả ở thời cổ đại, là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất cũng như công việc khai quật mang tính chất quân sự. cũng như sự phát triển của thiên văn học và toán học. Người Babylon đã có thể giải phương trình bậc hai vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Bài 2. “Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 20 và tích của chúng bằng 96”.

Diophantus lý do như sau: từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà bằng 100. Do đó, một trong số chúng sẽ lớn hơn một nửa số tiền của họ, tức là .
. Cái kia nhỏ hơn, tức là
. Sự khác biệt giữa chúng
. Do đó phương trình:

Từ đây
. Một số cần tìm là 12, số còn lại là 8. Giải
vì Diophantus không tồn tại, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến những con số dương.

Nếu bạn giải quyết vấn đề này bằng cách chọn một trong những số cần thiết làm ẩn số, bạn có thể đi đến nghiệm của phương trình:

Rõ ràng là bằng cách chọn nửa sai phân của các số cần tìm làm ẩn số, Diophantus đã đơn giản hóa lời giải; ông đã biến bài toán thành việc giải một phương trình bậc hai không đầy đủ.

Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã đưa ra một quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất:

(1)

Trong phương trình (1), các hệ số cũng có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

Các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn rất phổ biến ở Ấn Độ. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Cũng như mặt trời chiếu sáng các vì sao bằng sự rực rỡ của nó, một người có học thức cũng sẽ tỏa sáng hơn vinh quang của mình trong các cuộc họp công cộng bằng cách đề xuất và giải các bài toán đại số”. Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng tác giả biết rằng gốc của phương trình bậc hai có hai giá trị.

Phương trình tương ứng với bài toán 3 là:

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành bình phương, hãy cộng 322 cho cả hai vế, sau đó thu được:

Phương trình bậc hai của Al-Khwarizmi

Chuyên luận đại số của Al-Khwarizmi đưa ra cách phân loại các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai. Tác giả đếm được 6 loại phương trình, biểu diễn chúng như sau:

Đối với Al-Khwarizmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có nghiệm dương hiển nhiên không được tính đến. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-mukabal. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể rằng nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, chẳng hạn, khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh thuộc loại thứ nhất, Al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học cho đến thế kỷ 17, không tính đến nghiệm số 0, có lẽ bởi vì trong thực tế cụ thể, nó không quan trọng trong các nhiệm vụ. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, Al-Khwarizmi đặt ra các quy tắc giải chúng bằng cách sử dụng các ví dụ số cụ thể và sau đó là chứng minh hình học của chúng.

Hãy đưa ra một ví dụ.

Bài 4. “Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm nghiệm" (nghĩa là nghiệm của phương trình
).

Giải: chia số căn làm đôi, được 5, nhân 5 với chính nó, lấy tích trừ 21, còn lại là 4. Lấy căn từ 4, bạn được 2. Trừ 2 từ 5, bạn được 3, thế này sẽ là root mà bạn đang tìm kiếm. Hoặc cộng 2 với 5 được 7, đây cũng là một nghiệm.

Luận thuyết của Al-Khwarizmi là cuốn sách đầu tiên được chúng ta lưu truyền, trong đó trình bày một cách có hệ thống việc phân loại các phương trình bậc hai và đưa ra công thức giải chúng.

Phương trình bậc hai ở Châu ÂuXII- XVIIV.

Cuốn sách này đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong cuốn sách này đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 14-17. Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc
cho mọi tổ hợp có thể có của dấu và hệ số b, c, được M. Stiefel xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544.

Nguồn gốc của các phương pháp đại số để giải các bài toán thực tiễn gắn liền với khoa học thế giới cổ đại. Như đã biết từ lịch sử toán học, một phần quan trọng của các vấn đề toán học được giải quyết bởi các nhà ghi chép và máy tính của Ai Cập, Sumer và Babylon (thế kỷ XX-VI trước Công nguyên) đều có tính chất tính toán. Tuy nhiên, ngay cả khi đó, đôi khi vẫn nảy sinh các vấn đề trong đó giá trị mong muốn của một đại lượng được xác định bởi một số điều kiện gián tiếp nhất định mà theo quan điểm hiện đại của chúng ta, đòi hỏi phải thành lập một phương trình hoặc hệ phương trình. Ban đầu, các phương pháp số học được sử dụng để giải các bài toán như vậy. Sau đó, sự khởi đầu của các khái niệm đại số bắt đầu hình thành. Ví dụ, các máy tính của người Babylon có thể giải các bài toán mà theo quan điểm phân loại hiện đại, có thể rút gọn thành các phương trình bậc hai. Một phương pháp giải các bài toán đố đã được tạo ra, sau này được dùng làm cơ sở để cô lập thành phần đại số và nghiên cứu độc lập của nó.

Nghiên cứu này được thực hiện ở một thời đại khác, đầu tiên là bởi các nhà toán học Ả Rập (thế kỷ VI-X sau Công Nguyên), những người đã xác định các tác dụng đặc trưng mà qua đó các phương trình được rút gọn thành chế độ xem chuẩnđưa các số hạng tương tự, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình với sự thay đổi dấu. Và sau đó bởi các nhà toán học châu Âu thời Phục hưng, nhờ kết quả của một cuộc tìm kiếm lâu dài, họ đã tạo ra ngôn ngữ của đại số hiện đại, cách sử dụng các chữ cái, sự ra đời của các ký hiệu cho các phép tính số học, dấu ngoặc đơn, v.v. Vào đầu thế kỷ 16- thế kỷ 17. đại số như một phần cụ thể của toán học, với chủ đề, phương pháp và lĩnh vực ứng dụng riêng, đã được hình thành. Sự phát triển tiếp theo của nó, cho đến thời đại chúng ta, bao gồm việc cải tiến các phương pháp, mở rộng phạm vi ứng dụng, làm rõ các khái niệm và mối liên hệ của chúng với các khái niệm của các ngành toán học khác.

Vì vậy, xét đến tầm quan trọng và tính phong phú của tài liệu liên quan đến khái niệm phương trình, việc nghiên cứu nó trong phương pháp hiện đại toán học gắn liền với ba lĩnh vực chính về nguồn gốc và chức năng của nó.

Từ lịch sử của phương trình bậc hai.

a) Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai, ngay cả ở thời cổ đại, là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất cũng như công việc khai quật mang tính chất quân sự. cũng như sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai có thể được giải vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. Người Babylon. Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Bài 2. “Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 20 và tích của chúng bằng 96”.

Diophantus lý do như sau: từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà bằng 100. Do đó, một trong số chúng sẽ lớn hơn một nửa tổng của chúng, tức là 0,10 + x. Cái kia nhỏ hơn, tức là 10 - x. Sự khác biệt giữa chúng là 2x. Do đó phương trình:

(10+x)(10-x) =96,

hoặc

100 -x 2 = 96.

Do đó x = 2. Một trong những số cần tìm là 12, số còn lại là 8. Nghiệm x = - 2 không tồn tại đối với Diophantus, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến số dương.

Nếu bạn giải quyết vấn đề này bằng cách chọn một trong những số cần thiết làm ẩn số, bạn có thể đi đến nghiệm của phương trình:

Rõ ràng là bằng cách chọn nửa sai phân của các số cần tìm làm ẩn số, Diophantus đã đơn giản hóa lời giải; ông đã biến bài toán thành việc giải một phương trình bậc hai không đầy đủ.
b) Phương trình bậc hai ở Ấn Độ.

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã đặt ra một quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất

Ồ 2 + bx = c, a > 0

Trong phương trình, các hệ số ngoại trừ MỘT, có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Nhiệm vụ 3.

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng tác giả biết rằng gốc của phương trình bậc hai có hai giá trị.

Phương trình tương ứng với bài toán 3 là:

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

x 2 - 64x = - 768

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành hình vuông, hãy cộng 32 2 vào cả hai vế, rồi thu được:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Phương trình bậc hai của Al-Khorezmi

“Hình vuông bằng căn”, tức là ax 2 = bx.
“Hình vuông bằng số,” tức là ax 2 = c.
“Các căn bằng số,” tức là ax = c.
“Hình vuông và số đều bằng căn,” tức là ax 2 + c = bx.
“Bình phương và căn đều bằng số,” tức là ax 2 + bx = c.
“Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c == ax 2.

Đối với Al-Khwarizmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có nghiệm dương hiển nhiên không được tính đến. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-mukabal. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể đến việc nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, chẳng hạn, khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh thuộc loại thứ nhất, Al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học cho đến thế kỷ 17, không tính đến số 0. giải pháp, có lẽ vì trong thực tế cụ thể, nó không quan trọng trong các nhiệm vụ. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, Al-Khwarizmi đặt ra các quy tắc để giải chúng bằng cách sử dụng các ví dụ số cụ thể và sau đó là chứng minh hình học của chúng.

Hãy đưa ra một ví dụ.

Bài 4. “Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm nghiệm” (nghĩa là nghiệm của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải: chia số căn làm đôi, được 5, nhân 5 với chính nó, lấy tích trừ 21, còn lại là 4. Lấy căn từ 4, bạn được 2. Trừ 2 từ 5, bạn được 3, thế này sẽ là gốc mong muốn. Hoặc cộng 2 với 5 được 7, đây cũng là một nghiệm.

Chuyên luận của Al-Khorezmi là cuốn sách đầu tiên được chúng ta lưu truyền, trong đó trình bày một cách có hệ thống việc phân loại các phương trình bậc hai và đưa ra công thức giải chúng.

d) Phương trình bậc hai ở châu Âu thế kỷ 13-17.

Công thức giải phương trình bậc hai theo mô hình của al-Khwarizmi ở Châu Âu lần đầu tiên được nêu trong “Sách bàn tính” do nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci viết vào năm 1202. Tác phẩm đồ sộ này, phản ánh ảnh hưởng của toán học từ cả các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, nổi bật bởi tính đầy đủ và cách trình bày rõ ràng. Tác giả đã độc lập phát triển một số ví dụ đại số mới để giải các bài toán và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận việc đưa số âm vào. Cuốn sách của ông đã góp phần phổ biến kiến thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong Sách Bàn tính đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 16-17. và một phần XVIII.

Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc

x 2 + bx = c,

cho tất cả các tổ hợp có thể có của các dấu hệ số b, Với chỉ được M. Stiefel xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544.

Công thức giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát đã có sẵn ở Vieta, nhưng Vieta chỉ công nhận nghiệm dương. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ các công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại.

Nguồn gốc của các phương pháp đại số để giải các bài toán thực tiễn gắn liền với khoa học của thế giới cổ đại. Như đã biết từ lịch sử toán học, một phần quan trọng của các vấn đề có tính chất toán học, được giải quyết bởi các nhà ghi chép-máy tính Ai Cập, Sumerian, Babylon (thế kỷ XX-VI trước Công nguyên), đều có tính chất tính toán. Tuy nhiên, ngay cả khi đó, đôi khi vẫn nảy sinh các vấn đề trong đó giá trị mong muốn của một đại lượng được xác định bởi một số điều kiện gián tiếp nhất định mà theo quan điểm hiện đại của chúng ta, đòi hỏi phải thành lập một phương trình hoặc hệ phương trình. Ban đầu, các phương pháp số học được sử dụng để giải các bài toán như vậy. Sau đó, sự khởi đầu của các khái niệm đại số bắt đầu hình thành. Ví dụ, máy tính của người Babylon có thể giải các bài toán có thể rút gọn theo quan điểm phân loại hiện đạiđến các phương trình bậc hai. Một phương pháp giải các bài toán đố đã được tạo ra, sau này được dùng làm cơ sở để cô lập thành phần đại số và nghiên cứu độc lập của nó.

Nghiên cứu này được thực hiện ở một thời đại khác, đầu tiên là bởi các nhà toán học Ả Rập (thế kỷ VI-X sau Công nguyên), người đã xác định các tác động đặc trưng mà qua đó các phương trình được đưa về dạng chuẩn: đưa các số hạng tương tự, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình bằng sự thay đổi dấu hiệu. Và sau đó bởi các nhà toán học châu Âu thời Phục hưng, nhờ kết quả của một cuộc tìm kiếm lâu dài, họ đã tạo ra ngôn ngữ của đại số hiện đại, cách sử dụng các chữ cái, sự ra đời của các ký hiệu cho các phép tính số học, dấu ngoặc đơn, v.v. Vào đầu thế kỷ 16- thế kỷ 17. đại số như một phần cụ thể của toán học, với chủ đề, phương pháp và lĩnh vực ứng dụng riêng, đã được hình thành. Sự phát triển tiếp theo của nó, cho đến thời đại chúng ta, bao gồm việc cải tiến các phương pháp, mở rộng phạm vi ứng dụng, làm rõ các khái niệm và mối liên hệ của chúng với các khái niệm của các ngành toán học khác.

Vì vậy, xét về tầm quan trọng và tính phong phú của tài liệu liên quan đến khái niệm phương trình, việc nghiên cứu nó theo các phương pháp toán học hiện đại gắn liền với ba lĩnh vực chính về nguồn gốc và chức năng của nó.